Lista Movimento oscilatório

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I. LISTA DE EXERCI´CIO DE MOVIMENTO OSCILATO´RIO
1 - Uma part´ıcula oscila em um movimento harmoˆnico simples no eixo x. Sua posic¸a˜o com o
tempo varia de acordo com a equac¸a˜o:
x(t) = 4 cos
(
pit+
pi
4
)
, (1)
com o tempo t em segundos.
a) Determine a amplitude frequeˆncia e per´ıodo do movimento
b) Calcule a velocidade e a acelerac¸a˜o da part´ıcula em qualquer tempo t.
c) Qual a posic¸a˜o e a velocidade da part´ıcula no tempo t = 0s?
d) Qual a velocidade ma´xima e a acelerac¸a˜o ma´xima da part´ıcula?
2 - Um bloco de 200g e´ conectado a uma mola horizontal leve cuja constante ela´stica e´ 5, 00N/m
e esta´ livre para oscilar sobre uma superf´ıcie horizontal sem atrito.
a) Se o bloco for deslocado de 5, 00cm do equil´ıbrio e liberado do repouso, qual o per´ıodo do
movimento?
b) Nas condic¸o˜es anteriormente apresentadas, determine a velocidade ma´xima e a acelerac¸a˜o
ma´xima do bloco
c) Expresse x(t), v(t) e a(t) supondo que θ = 0.
3 - Um corpo de 0, 5kg conectado a uma mola desprovida de massa cuja constante ela´stica
e´ 20N/m oscila sobre uma superf´ıcie horizontal sem atrito. A amplitude total do movimento e´
3, 0cm. Calcule:
a) A energia total do sistema e a velocidade ma´xima do corpo.
b) A velocidade do corpo quando sua posic¸a˜o e´ igual a 2cm.
c) As energias potencial e cine´tica quando x = 2cm.
4 - Um arqueiro puxa a corda de seu arco para tra´s 0, 4m exercendo uma forc¸a na corda que
aumenta uniformemente de zero a 230N . Qual e´ a constante de forc¸a equivalente do arco?
5 - Deixa-se cair uma bola de uma altura de 4, 0m Ela faz uma colisa˜o perfeitamente ela´stica
com o solo. Supondo que nenhuma energia e´ perdida devido a` resisteˆncia do ar.
1
a) Demonstre que o movimento e´ perio´dico
b) Determine o per´ıodo do movimento
c) O movimento e´ harmoˆnico simples? Explique.
6 - A posic¸a˜o de uma part´ıcula e´ dada pela expressa˜o
x(t) = 4 cos(3pit+ pi) (2)
estando x em metros e t em segundos.
a) determine a frequeˆncia e o per´ıodo do movimento
b) A amplitude do movimento
c) A constante de fase e a posic¸a˜o da part´ıcula em t = 0, 25s.
7 - Uma part´ıcula realiza um movimento harmoˆnico simples com frequeˆncia de 3Hz e uma
amplitude de 5cm.
a) Qual a distaˆncia total que uma part´ıcula percorre durante um ciclo de seu movimento?
b) Qual a sua velocidade ma´xima? Onde ela ocorre?
c) Encontre a acelerac¸a˜o ma´xima da part´ıcula. Em que ponto do movimento ela ocorre?
8 - Um bloco de massa desconhecida e´ unido a uma mola de constante ela´stica 6, 5N/m e realiza
um movimento harmoˆnico simples com uma amplitude de 10cm. Quando o bloco esta´ no meio
do caminho entre sua posic¸a˜o de equil´ıbrio e o ponto final, sua velocidade medida e´ de 30cm/s.
Calcule:
a) A massa do bloco.
b) O per´ıodo do movimento
c) A acelerac¸a˜o ma´xima do bloco.
9 - Considere um peˆndulo oscilando em torno de uma posic¸a˜o de equil´ıbrio. O corpo ligado ao
fio inextens´ıvel, de comprimento l, possui uma massa m. Mostre que o corpo ligado ao fio descreve
um movimento que obedece a equac¸a˜o (para aˆngulos pequenos)
θ(t) = A cos(ωt+ φ), (3)
2
sendo θ(t) o aˆngulo formado entre o fio e a vertical, A a amplitude de oscilac¸a˜o, ω a frequeˆncia
angular e φ uma fase angular arbitra´ria.
10 - Demonstre que a taxa temporal de variac¸a˜o da energia mecaˆnica em um oscilador amortecido
e´ dada por
dE
dt
= −bv2. (4)
11 - Demonstre que
x(t) = (Ae−(b/2m)t) cos(ωt+ φ) (5)
e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o
−kx− b
dx
dt
= m
d2x
dt2
, (6)
contanto que b2 < 4mk.
12 - Considerando um oscilador forc¸ado na˜o amortecido. Demonstre que a equac¸a˜o
x(t) = A cos(ωt+ φ) (7)
e´ uma soluc¸a˜o de
F0 sin(ωt)− kx = m
d2x
dt2
(8)
com amplitude dada por
A =
F0/m√
(ω2 − ω20)
2 +
(
bω
m
)2 (9)
e ω0 =
√
k/m.
13 - A massa da mole´cula de deute´rio (D2) e´ o dobro da massa da mole´cula de hidrogeˆnio (H2).
Se a frequeˆncia vibrato´ria de H2 e´ 1.3× 10
14Hz, qual a frequeˆncia vibrato´ria de D2? Suponha que
a constante ela´stica de atrac¸a˜o das forc¸as de atrac¸a˜o seja a mesma para as duas mole´culas.
3
14 - Um peˆndulo de comprimento L e massa M tem uma mola cuja constante ela´stica k esta´
conectada a ele a uma distaˆncia h de seu ponto de suspensa˜o (ver figura). Encontre a frequeˆncia
de vibrac¸a˜o do sistema para amplitudes de valores pequenos. Suponha que a suspensa˜o vertical de
comprimento L e´ r´ıgida, mas ignore sua massa.
k
L
h
15 - Uma bola de massa m e´ conectada com dois ela´sticos de comprimento L, cada um deles
sob tensa˜o T (ver figura). A bola e´ deslocada por uma pequena distaˆncia y perpendicular ao
comprimento dos ela´sticos. Supondo que a tensa˜o na˜o se altera, demonstre que:
a) A forc¸a restauradora e´
F = −
(
2T
L
)
y. (10)
b) O sistema apresenta movimento harmoˆnico simples com uma frequeˆncia angular
ω =
√
2T
mL
. (11)
L L
y
4