Física_2_Lista_1_Oscilações

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ÁREA 1: FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
Disciplina: F́ısica 2 - Oscilações, Ondas, Fluidos e Calor
Professor: Dian Soares
1a Lista de Exerćıcios - Oscilações
Oscilações Livres - MHS
1. Considere que o carrinho do sistema massa-mola da Figura 1 tenha massa m = 5, 00
kg e k = 2000 N/m. Puxado para a direita do ponto de equiĺıbrio e depois solto, o
sistema se comporta como um oscilador harmônico simples. (a) Qual o peŕıodo deste
oscilador? (b) Qual a frequência? (c) Qual deve ser a massa do carrinho para que o
peŕıodo seja igual a 1,00 s? (a) 0,314 s; (b) 3,18 Hz; (c) 50,7 kg
Figura 1: Questão 1
2. Uma part́ıcula realiza um MHS segundo a função x(t) = 20sen(5πt + π/2) com as
unidades no S.I. Determine: (a) sua posição em t = 60 s; (b) a sua velocidade em t = 60
s; (c) a sua aceleração em t = 30 s; (d) a sua frequência angular; (e) a amplitude; (f) a
velocidade e a aceleração máximas; (g) a frequência e o peŕıodo.
(a) 20 m; (b) 0; (c) −500π2 m/s2; (d) 5π rad/s; (e) 20 m; (f) 100π m/s, 500π2 m/s2;
(g) 2,5 Hz e 0, 4 s
3. A Figura 2 mostra a oscilação de um corpo com massa 0,5 kg preso a uma mola. (a)
Quanto vale a constante elástica da mola? (b) Escreva a equação que descreve x(t); (c)
Obtenha as expressões para as energias potencial, cinética e mecânica total do oscilador
em função do tempo.
(a) 50 N/m; (b) x(t) = 10sen(10t + π/4); (c) U(t) = 1/4sen2(10t + π/4), K(t) =
1/4cos2(10t− π/4) e E = 1/4 J
Figura 2: Questão 3
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4. Determine a posição de uma part́ıcula que realiza um MHS presa a uma mola de
constante elástica k, no instante que a energia cinética é o dobro da energia potencial,
para o caso onde a amplitude é A. A/
√
3
5. Uma massa de 2 kg realiza um movimento harmônico simples presa a uma mola de
constante elástica 200 N/m. A amplitude do movimento é 3 m. Calcule a velocidade
máxima, a aceleração máxima, a frequência e o peŕıodo. (a) 30 m/s,(b) 300 m/s2, (c)
5/π Hz e π/5 s
6. Uma part́ıcula descreve movimento harmônico simples de peŕıodo 4, 0 s e amplitude
10 cm. Qual o módulo de sua velocidade ao passar por um ponto de trajetória, cuja
elongação é 6, 0 cm? 4π cm/s
7. Dois sistemas massa-mola oscilam com as frequências fA e fB. As constantes das molas
são iguais e fA = 2fB. Determine a relação entre as massas MA e MB dos dois sistemas.
MB = 4MA
8. Uma mola cuja constante elástica k = 400 N/m, tendo uma de suas extremidades
fixas no teto do laboratório, de acordo com a Figura 3, pende livre na vertical. Na
sua extremidade livre é preso um objeto de massa m = 4, 0 kg. A mola se alonga
um valor y0 até encontrar o ponto de equiĺıbrio. Em seguida, o objeto é levado até
uma elongação y = −0, 10 m (em relação ao ponto de equiĺıbrio), de onde, após solto,
executa um movimento harmônico simples. Adotar g = 10 m/s2. (a) Determinar a
coordenada y0 da mola; (b) Escrever a equação do MHS; (c) Determinar o peŕıodo do
movimento; (d) Esboce o gráfico da energia potencial do sistema. (a) y0 = 0, 1 m; (b)
y(t) = 0, 1 cos(10t+ π); (c) T = 0, 628 s
Figura 3: Questão 8
9. Uma part́ıcula movimenta-se no espaço e as projeções nos eixos x, y e z são x(t) =
3 cos(2t), y(t) = 2 cos(4t) e z(t) = −2 sin(8t). Calcule o módulo da velocidade e da
aceleração desta part́ıcula em t = π/4s.
√
292 m/s; 32 m/s2
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10. Na Figura 4, duas molas iguais, de constante elástica igual a 7580 N/m, estão ligadas
a um bloco de massa 0, 245 kg. Qual é a frequência de oscilação no piso sem atrito?
39, 6 Hz
Figura 4: Questão 10
11. Uma part́ıcula oscila ligada a uma mola leve executando movimento harmônico simples
de amplitude 2, 0 m. A Figura 5 representa a variação da energia potencial elástica (Ep)
acumulada na mola em função da elongação da part́ıcula (x). Qual a energia cinética
da part́ıcula no ponto de elongação x = 1, 0 m? 3× 103 J
Figura 5: Questão 11
12. O gráfico abaixo (Figura 6) representa o movimento harmônico simples de uma part́ıcula
que oscila presa a uma mola de constante elástica k, sendo esta força conservativa e
admitindo que não há outra força atuando sobre a part́ıcula são feitas as seguintes
afirmações: (I) A sua energia mecânica é 18 J; (II) A energia total é 9 J; (III) Em
x = −2 m a potencial é 7 J; (IV) A energia cinética em x = 1 m é 8 J. Quais afirmações
estão corretas? Justifique. II e IV
Figura 6: Questão 12
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13. A energia total de um móvel de 4, 0 kg que realiza movimento harmônico simples,
preso a uma mola de constante elástica k = 100 N/m é 5000 J. Calcule a amplitude, a
frequência e o peŕıodo desse movimento. A = 10 m, f = 5/2π Hz e T = 2π/5 s
14. Uma massa m presa a um fio ideal de 0, 4 m oscila realizando um MHS, no plano
vertical, em um local onde a aceleração da gravidade é 9, 81 m/s2. O movimento
assemelha-se a um pêndulo simples. A outra extremidade do fio está fixa no teto de
uma sala. Determine: (a) o peŕıodo e (b) a frequência. (a) T = 2π/5 s; (b) 5/2π Hz
15. Seja T o peŕıodo de um pêndulo simples que realiza um MHS com uma part́ıcula de
massa m presa a uma das extremidades livres de um fio de comprimento L e com a
extremidade superior fixa. Se essa mesma part́ıcula for presa a um fio de comprimento
4L, determine o seu novo peŕıodo em função de T . T ′ = 2T
16. Um pêndulo simples de comprimento L, quando oscila em uma região onde a aceleração
da gravidade é g, apresenta peŕıodo T e frequência f . Se o pêndulo for levado para um
local onde a aceleração da gravidade é g/2 e, sendo mantido as condições climáticas do
local anterior, determine, em função de T e f , o novo peŕıodo e a nova frequência com
que o pêndulo passará a oscilar. T ′ = T
√
2; f ′ = f/
√
2
17. Considere dois osciladores, um pêndulo simples e um sistema massa-mola que, na su-
perf́ıcie da Terra, têm peŕıodos iguais. Se levados para um planeta onde a gravidade
na superf́ıcie é 1/4 da gravidade da superf́ıcie da Terra, qual a razão entre o peŕıodo
do pêndulo e o peŕıodo do sistema massa-mola, medida na superf́ıcie do tal planeta? 2
18. Um pêndulo f́ısico consiste de uma esfera uniforme de massa M e raio R suspensa por
um cabo com massa despreźıvel e comprimento L. Levando em conta o tamanho da
bola, qual é o peŕıodo de pequenas oscilações desse pêndulo? 2π
√
2R2+5(L+R)2
5g(L+R)
19. Na Figura 7, o pêndulo consiste em um disco uniforme com raio r = 10, 0 cm e massa de
500 g preso a uma haste uniforme com comprimento L = 500 mm e massa de 270 g. (a)
Calcule o momento de inércia em torno do ponto de pivô; (b) Qual é a distância entre
o ponto de pivô e o centro de massa do pêndulo? (c) Calcule o peŕıodo de oscilação.
0,205 kg.m2; 0, 477 m; 1, 50 s
Figura 7: Questão 19
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20. Na Figura 8, uma haste de comprimento L = 1, 85 m oscila como um pêndulo f́ısico.
(a) Que valor da distância x entre o centro de massa da haste e o seu ponto de pivô O
fornece o menor peŕıodo? (b) Qual é este peŕıodo mı́nimo? (a) 0, 53 m; (b) 2, 1 s
Figura 8: Questão 20
Oscilações Amortecidas e Forçadas
21. Um corpo de massa m = 40 g está preso em uma mola de constante elástica k = 100
N/m. Este sistema é colocado para oscilar e depois imerso num meio cujo coeficiente
de atrito viscoso é b = 0, 08 kg/s. (a) Determine a frequência natural do sistema; (b)
Escreva a equação do movimento, explicitando os valores numéricos dos coeficientes;
(c) Qual o regime de oscilação? (d) Qual a frequência angular? (a) 50 rad/s; (b) γ = 2
s−1 e ω2o = 2500 rad
2/s2; (d) 49,99 rad/s
22. Um corpo de massa m = 1, 0 kg oscila livremente, quando preso a uma mola, com
frequência angular ωo = 2, 0 rad/s. Posteriormente este conjunto é colocado num
fluido cujo coeficiente de resistência viscosa é b = 2
√
3 kg/s. (a) Escreva a equaçãodo
movimento e sua solução com as condições iniciais x(0) = 0, 50 m e v(0) = 0 m/s; (b)
Determine o tempo necessário T para que a amplitude do movimento diminua um fator
1/e em relação ao valor inicial. (a) ẍ+ 2
√
3ẋ+ 4x = 0 e x(t) = e−
√
3t cos(t− π/3); (b)√
3/3 s
23. O gráfico de x(t), mostrado na Figura 9, representa a equação horária de um oscilador
criticamente amortecido, para um sistema composto de um corpo de massa m = 1, 0 kg
preso a uma mola de constante elástica k e imerso num ĺıquido viscoso de resistência b.
(a) Em que instante de tempo a velocidade do corpo será nula?
(b) Dada a equação x(t) = e−γt/2(A+Bt), determine A e B.
(c) Determine b e k.
(d) Determine a velocidade inicial do oscilador.
(a) t = 3 s; (b) A = 0, 5 m e B = −0, 5 m/s; (c) b = 1, 0 kg/s e k = 2, 5 N/m; (d)
v0 = −0, 75 m/s
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Figura 9: Questão 23
24. Um oscilador harmônico amortecido envolve um bloco (m = 1, 91 kg), uma certa mola
(k = 12, 6 N/m) e um meio amortecedor F = −bv. Inicialmente o bloco oscila com
amplitude de 26, 2 cm. Por causa do amortecimento, a amplitude cai para 3/4 deste
valor inicial, depois de quatro ciclos completos. (a) Qual é o valor de b? Que quantidade
de energia foi “perdida” durante estes quatro ciclos? (b) Considere agora que este
oscilador tem um peŕıodo de 3 s. Sua amplitude decresce de 5% em cada ciclo. De
quanto a sua energia decresce em cada ciclo e qual é a constante de tempo (m/b)? (a)
0,11 kg/s; 0,19 J; (b) 10%; 29 s
25. Um sistema massa-mola amortecido oscila a 200 Hz. A constante de tempo do sistema
(m/b) é de 2, 0 s. No instante t = 0 s, a amplitude da oscilação é de 6, 0 cm e a energia
do sistema oscilante é de 60 J. (a) Quais as amplitudes das oscilações nos instantes
t = 2, 0 s e t = 4, 0 s? (b) Que energia é dissipada no primeiro intervalo de 2, 0 s e no
segundo intervalo de 2, 0 s? (c) Determine a massa do sistema. (a) 3,64 cm e 2,21 cm;
(b) 37,93 J e 13,95 J; (c) 21,1 g
26. O amortecimento para um corpo de 0, 150 kg pendurado em uma mola com k = 6, 30
N/m é despreźıvel. Uma força senoidal com amplitude de 1, 70 N impulsiona o sistema.
Com que frequência a força fará o corpo vibrar com amplitude de 0,440 m? 1,31 Hz
27. Um corpo de 2 kg oscila preso a certa mola com a constante de força k = 450 N/m.
A constante de amortecimento tem o valor b = 2 kg/s. O sistema é excitado por uma
força senoidal cujo valor máximo é de 10 N e a frequência angular é ω = 10 rad/s.
(a) Qual a amplitude da oscilação? (b) Se a frequência de excitação variar, em que
frequência ocorrerá a ressonância? (c) Qual a amplitude das oscilações na ressonância?
(a) 4 cm; (b) 15 rad/s; (c) 0,33 m
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28. Um corpo de massa 1, 0 kg movimenta-se de acordo com a equação diferencial:
ÿ + 2
√
5ẏ + 9y = 10cos(4t).
Considere que no instante t = 0 s sua amplitude é de 20 cm e sua fase é igual a 60o.
(a) Qual a frequência angular do movimento amortecido? (b) Qual a amplitude na
ressonância? (c) Qual a constante de tempo desse movimento? (d) Qual a amplitude
do movimento quando a frequência angular da força aplicada for igual a 5 rad/s? (a)
2 rad/s; (b)
√
5/3 m; (c)
√
5/10 s; (d) 36 cm
29. Um corpo de massa 50 g está preso a uma mola de constante k = 20 N/m e oscila,
inicialmente, livremente. Este oscilador é colocado posteriormente num meio viscoso
onde b = 0, 9 kg/s. Depois disso, o oscilador, ainda no meio viscoso, é excitado por
uma força externa F = Fo cos(ωt), onde Fo = 9 N e ω = 20, 0 rad/s. (a) Determine
a frequência natural do sistema; (b) Qual o regime de oscilação do sistema quando
imerso no meio viscoso, antes de ser excitado pela força externa? (c) Depois que a
força externa é aplicada e que o sistema entrou em regime estacionário, qual é o valor
da amplitude do movimento? (d) Qual deveria ser o valor exato da frequência externa
de excitação para que a amplitude de oscilação, no regime estacionário, fosse máxima?
(a) ωo = 20 rad/s; (b) Subcŕıtico; (c) 0,5 m; (d) ω = 15, 43 rad/s
30. O gráfico (Figura 10) mostra a curva de ressonância de potência de um certo sistema
mecânico sujeito a uma forca externa F = Fosen(ωt), onde Fo é constante e ω é variável.
Figura 10: Questão 30
(a) Encontre ωo e Q;
(b) A força externa deixa de agir. Depois de quantos ciclos de oscilações amortecidas
a energia do sistema é reduzida por um fator 1/e5 do seu valor inicial?
(a) ωo = 40 rad/s; Q = 20; (b) 16 ciclos