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Unidade II - Análise de Circuitos de Corrente Alternada: Excitação Senoidal, Fasores e Impedância Complexa Universidade Federal do Rio Grande do Norte Escola de Ciência e Tecnologia Impedância Complexa Prof. Valdemir Praxedes Silva Neto Disciplina: Eletricidade Aplicada Natal, 2013.2 Propriedades da Senóide � Onda Senoidal: ( ) ( )tsenVtv m ϖ= �Amplitude: Vm � Frequência Angular: ω [rad/s] 2 � Onda Senoidal é um função periódica: ( ) ( )Ttvtv += � Período da Senóide: T = 2π/ω [s] � Frequência: f = 1/T = ω/2π [Hz] � Expressão Geral: ( ) ( )φϖ += tsenVtv m Ângulo de fase Propriedades da Senóide � Senóide Defasada: 3 � Observações Importantes: ( ) ( )ttsen tsent ω pi ω ϖpiω cos 2 2 cos = + = − Representação por Números Complexos � Números Complexo na Forma Cartesiana: 4 � Números Complexo na Forma Polar: Representação por Números Complexos � Exemplo: Encontrar a representação polar dos números complexos: a) Z1 = 4 + j2 º9,3655 º9,36 4 3534 º9,36 1 22 1 ∠== = ==+= jeZ arctgZ α 5 b) A= - 5 – j2 ( ) ( ) º4,2471313 º4,247 5 12 º180 13125 º4,247 22 ∠== = − − += =−+−= jeA arctg A α Representação por Números Complexos � Relações Importante: º9011 ∠=−=j º180112 ∠=−=j � Relação de Euller: 6 Excitações Complexas em Circuitos � Consideraremos a entrada de um circuito sendo uma fonte de tensão senoidal e saída a corrente através de um elemento. 7 � Para determinarmos a corrente i, utilizaremos do circuito com excitação complexa, { }1Re ii = Excitações Complexas em Circuitos �A equação representativa do circuito, pode ser resolvida para a resposta forçada (solução particular), visto que: tjj m eeVv ϖθ =1 � Sabendo que a resposta forçada apresenta a mesma natureza da excitação (entrada): tjAei ϖ=1 8 Aei =1 � Comparando-se com Re[i1], temos:( )φ+= wtIi m cos ( ) { } φ φ φ j m jwtjjwt m jwt m eIA AeeeI AewtI = = =+ Recos tjj m eeIi ϖφ =1 )cos(1 φ+= wtIi m Re { } Fasores � Permitem compactar os resultados apresentados anteriormente de forma mais compacta ( ) ( )θϖ += tVtv m cos θθ ∠== mjm VeVV . �A representação fasorial é feita para a representação temporal na forma de cosseno. 9 cosseno. � Exemplo: Representar na forma fasorial a senóide: ( ) ( )º302 += wtsentv ( ) ( ) )º60cos(2)( )º90º30cos(2º302 −= −+=+= wttv wtwtsentv �Assim, a representação fasorial é: º6022 º60 . −∠== − jeV Relação entre Tensão e Corrente para Elementos de Circuito � Resistores: RivR = ( ) ( ) φ θ φ θ j mm j mRmR eIIwtIi eVVwtVv =→+= =→+= cos cos 10 φθ j m j m eIReV .= �Aplicando-se a Lei de Ohm: mm IRV .= φθ = Relação entre Tensão e Corrente para Elementos de Circuito � Resistores: 11 �As ondas de tensão e corrente senoidais em um resistores apresentam o mesmo ângulo de fase, ou seja, estão em fase. Relação entre Tensão e Corrente para Elementos de Circuito � Indutores: 12 ( ) dt tdiLv = Relação entre Tensão e Corrente para Elementos de Circuito � Considerando tensões e correntes complexas: ( ) ( )φθ ++ == wtj m wtj m eIieVv 11 [ ]d � Substituindo as expressões na equação anterior, tem-se: 13 ( ) ( )[ ] ( )φφθ +++ == wtjmwtjmwtjm ejwLIeIdt dLeV φθ j m j m ejwLIeV = ... IZV L= � Impedância do Indutor: jwLZ L = . Relação entre Tensão e Corrente para Elementos de Circuito � Se a corrente no indutor é dada por: ( ) ( )º90+=== φφ jmjm ewLIeIjwLjwLIV � Temos que: )cos()( φ+= wtIti m � Logo: 14 )º90cos( ++= φwtwLIv m � Portanto, a expressão no domínio do tempo é dado por: � Logo: θj meVV = mm wLIV = º90+=φθ Relação entre Tensão e Corrente para Elementos de Circuito � Indutores: 15 �A corrente em um indutor, está atrasa de 90º em relação a tensão em seus terminais. Relação entre Tensão e Corrente para Elementos de Circuito � Capacitores: 16 dt tdvCti )()( = Relação entre Tensão e Corrente para Elementos de Circuito � Considerando tensões e correntes complexas: ( ) ( )φθ ++ == wtj m wtj m eIieVv 11 [ ]d � Substituindo as expressões na equação anterior, tem-se: 17 ( ) ( )[ ] ( )θθφ +++ == wtjwtjmwtjm jwCeeVdt dCeI θφ j m j m ejwCVeI = ... IZV C= � Impedância do Capacitor: wC jjwCZ C 11. −== Relação entre Tensão e Corrente para Elementos de Circuito � Se a tensão no capacitor é dada por: ( ) ( )º90+=== θθ jmjm ewCVeVjwCjwCVI � Temos que: )cos()( θ+= wtVtv m � Logo: 18 )º90cos( ++= θwtwCWi m � Portanto, a expressão no domínio do tempo é dado por: � Logo: φj meII = mm wCVI = º90+=θφ Relação entre Tensão e Corrente para Elementos de Circuito � Capacitores: 19 �A corrente em um capacitor está adiantada de 90º em relação a tensão. Impedância e Admitância 20 � Impedância do Circuito: I VZ = zjeZZ θ= m m I VZ = φθθ −=z Impedância e Admitância � A impedância segue as mesmas regras dos resistores no circuito. � A impedância é um número complexo, mas não um fasor. � Impedância na forma retangular: Z = R +jX � Re {Z} � componente resistiva (resistor)� Re {Z} � componente resistiva (resistor) � Im {Z} � componente reativa (reatância) 21 Impedância e Admitância � Exemplo: 22 Impedância e Admitância � Impedância de resistores, indutores e capacitores: � No caso do resistor, a impedância é puramente resistiva, sendo a reatância zero. 23 reatância zero. � No caso de indutores e capacitores, a impedância é puramente reativa, ou seja, a parte resistiva é nula. Impedância e Admitância � A reatância indutiva é positiva, enquanto que a reatância capacitiva é negativa. � Para o caso geral: Z = R + jX, temos: � O inverso da impedância é denominado de admitância. � G é a condutância e B é a susceptância. 24 Impedância e Admitância � Relação entre os componentes de Z e Y: 1 1 jXR jXR xjXRjBG Z Y − − + =+ = @2 X XR RG − + = 25 22 XR jXRjBG jXRjXR + − =+ −+ 22 XR XB + − = Z e Y são recíprocos porém: R G 1≠ X B 1≠ Impedância e Admitância �Associação de impedâncias em paralelo: 26 �Associação de admitâncias em paralelo: Impedância e Admitância �Associação de impedâncias em série: 27 �Associação de admitâncias em série: Exercícios de Resolvidos: 1) Considerando as senóides seguintes, determine quanto uma antecede ou atrasa da outra, sabendo que oscilam na mesma frequência. ( ) ( )º182º30cos4 21 +−=+= wtsenvwtv ( ) ( ) ( ) º30cos41 += wtv Solução: 28 ( ) ( ) ( ) ( ) )º108cos(2 º90º180º18cos2º180º182 º180º182º182 2 2 22 1 += −++=++= ++=→+−= wtv wtwtsenv wtsenvwtsenv ���� Portanto: v1 antecede v2 em: 30º - 108º = -78º Exercícios de Resolvidos: 2) Calcule o período das seguintes senóides: a) 4 cos(5t+33º) b) cos(2t + π/4) + 3sen( 2t+ π/6) 29 Exercícios de Resolvidos: Conclusão: 30 Exercícios de Resolvidos: 3) Uma fonte de tensão senoidal v = 100cos(500t+30º), é ligada a uma associação em série de um resistor de 100Ω, um indutor de 0,3 H e um capacitor de 40µF. Nestas, condições pede-se: a) a impedância equivalente do circuito. b) a tensão fasorial sobre cada elemento. Solução: a) ZZRZ ++= 31 a) CLeq ZZRZ ++= 1503,0500 jxjxjwLZL === 50 1040500 111 6 jxxjwCjjwCZC −=−=−== − Ω+=−+=++=10010050150100 jjjZZRZ CLeq ][º454,141 Ω∠=eqZ Exercícios de Resolvidos: Solução: b) ][º454,141 ][º30100 Ω∠= ∠= eqZ VV ][º15707,0 º454,141 º30100 A Z VI −∠= ∠ ∠ == 32 Como os elementos estão em série, a corrente é a mesma para todos. Portanto ][º1054,35º15707,0º.9050. ][º751,106º15707,0º.90150. ][º157,70º15707,0.100. VIZV VIZV VIRV cc LL R −∠=−∠−∠== ∠=−∠∠== −∠=−∠== Exercícios de Resolvidos: 4) Num circuito RLC série, R=10ΩΩΩΩ, L=5mH e C=12,5µµµµF. Representar graficamente o módulo e o ângulo da impedância em função de ωωωω, com ωωωω variando de 3200 rad/s a 4800 rad/s. CLeq ZZRZ ++= wxjjwLZL 3103 −== wjwCjjwCZC 8000011 −=−== 33 Exercícios de Resolvidos: 5) Um circuito puramente indutivo onde temos L=0,5H é alimentado por uma tensão cujo valor eficaz é 110v e cuja freqüência é 60Hz. Calcule o valor eficaz da corrente alternada que circula nesse circuito. 34 Exercícios Propostos: 1) Considere a função v(t) = 10 sem (100πt + 30º) e determine: a) Expresse v(t) em termo da função cosseno. b) A partir da expressão anterior, encontre: b.1) a frequência em Hz; b.2) o ângulo de fase; b.3) o período; b.4) o valor rms; c) Encontro o primeiro valor de tempo, após t=0, onde v(t) atinge o seu valor de pico. 35 de pico. d) Esboce a forma de onda de v(t). 2) Dado Z = 3 + j4, achar a admitância equivalente Y. 3) Um certo elemento de circuito pode ser uma resistência, uma indutância ou uma capacitância. Determine, justificando, o tipo e o valor em (ohms, henry ou farads) do elemento se a tensão e a corrente no elemento são dadas por: a) v(t) = 100 sen (200t+30º) V e i(t) = cos (200t + 30º) A b) v(t) = 500 cos(100t + 50º) V e i(t)= 2cos(100t+50º) A c) v(t) = 100cos(400t + 30º) V e i(t) = sem(400t + 30º) A Exercícios Propostos: 4) Faça os gráficos das magnitudes das impedâncias de uma indutância de 10mH, uma capacitância de 10µF e uma resistência de 50Ω em função da frequência no intervalo de zero a 100Hz, quando: a) estiverem ligados em série. b) estiverem ligados em paralelo. c) dos três elementos isolados. 5) Achar a impedância equivalente do circuito abaixo e a corrente total 36 5) Achar a impedância equivalente do circuito abaixo e a corrente total fornecida pela fonte.
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