UNIDADE 4 - Distribuicao Normal e Suas Ramificacoes

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DISTRIBUIÇÃO NORMAL E SUAS 
RAMIFICAÇÕES 
A DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 É a mais importante distribuição de variável aleatória 
contínua. 
 
 Sua função de probabilidade tem forma de sino. 
 
 Também conhecida como distribuição “Gaussiana”, 
por homenagem ao homem que se acreditava ter sido 
o primeiro a formulá-la: Carl Friedrich Gauss. 
 
 Mas, foi um matemático anterior a ele, Abraham de 
Moivre, quem primeiro escreveu a fórmula para a 
distribuição. 
 Lei da misonomia (Stephen Stigler): nenhuma coisa em 
matemática leva o nome da pessoa que a descobriu. 
 
 
 
 
A DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 Muitas populações reais seguem a distribuição 
normal. 
 Altura, tamanho, peso de um órgão / 
população; 
 QI de uma população; 
 O tamanho de fios de cabelo, dentes, unhas; 
 Pressão sanguínea em humanos; 
 Diâmetro de uma árvore; 
 Os erros associados à uma medida; 
 Número de clientes semanais em muitos 
negócios. 
 
 
A DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 De forma mais geral, uma distribuição normal 
nos diz que valores muito altos (ou muito baixos) 
têm baixa probabilidade de ocorrerem. 
 
 A maioria dos valores fica em torno da média. 
 
 Isso pode ser melhor visualizado nos exemplos 
seguintes. 
 
 
http://www.karlsims.com/marbles/ 
A DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 Nessa experiência, os eventos são as quedas de 
bolinhas de gude através de um padrão simétrico 
de obstáculos. 
 
 Ao se agruparem em um conjuntos de "gavetas" 
no fim da queda, as bolinhas mostram um padrão 
de arrumação que tende a uma distribuição 
gaussiana. 
De forma simples, 
uma distribuição de 
probabilidade 
fornece a 
probabilidade de 
cada resultado 
acontecer. 
 
Na distribuição 
gaussiana, os 
resultados dos 
extremos (das 
pontas) têm menos 
chances de ocorrer. 
http://www.karlsims.com/marbles/ 
1 6 11 15 13 4 1 = 51 
http://www.karlsims.com/marbles/ 
1,96% 1,96% 
11,77% 
21,57% 
29,41% 
25,49% 
7,84% 
http://www.karlsims.com/marbles/ 
EXEMPLO – RESULTADO DA ROLAGEM DE DADOS 
 Suponha que eu role 1 dado de 6 faces, não 
viciado. 
 
 Então, para cada face 1,2,3,4,5,6, tenho a 
probabilidade de 1/6 de cada uma delas ocorrer. 
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
1 2 3 4 5 6
C
h
a
n
c
e
 d
e
 O
c
o
r
r
e
r
 
Resultado do Dado 
EXEMPLO – RESULTADO DA ROLAGEM DE DADOS 
 Suponha que eu role 2 dados de 6 faces, não 
viciados. Eu somo os resultados das duas faces. 
 
1º Sai 1 1º Sai 2 1º Sai 3 1º Sai 4 1º Sai 5 1º Sai 6 
(1,1) = 2 (2,1) = 3 (3,1) = 4 (4,1) = 5 (5,1) = 6 (6,1) = 7 
(1,2) = 3 (2,2) = 4 (3,2) = 5 (4,2) = 6 (5,2) = 7 (6,2) = 8 
(1,3) = 4 (2,3) = 5 (3,3) = 6 (4,3) = 7 (5,3) = 8 (6,3) = 9 
(1,4) = 4 (2,4) = 6 (3,4) = 7 (4,4) = 8 (5,4) = 9 (6,4) = 10 
(1,5) = 6 (2,5) = 7 (3,5) = 8 (4,5) = 9 (5,5) = 10 (6,5) = 11 
(1,6) = 7 (2,6) = 8 (3,6) = 9 (4,6) = 10 (5,6) = 11 (6,6) = 12 
EXEMPLO – RESULTADO DA ROLAGEM DE DADOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1º Sai 1 1º Sai 2 1º Sai 3 1º Sai 4 1º Sai 5 1º Sai 6 
(1,1) = 2 (2,1) = 3 (3,1) = 4 (4,1) = 5 (5,1) = 6 (6,1) = 7 
(1,2) = 3 (2,2) = 4 (3,2) = 5 (4,2) = 6 (5,2) = 7 (6,2) = 8 
(1,3) = 4 (2,3) = 5 (3,3) = 6 (4,3) = 7 (5,3) = 8 (6,3) = 9 
(1,4) = 5 (2,4) = 6 (3,4) = 7 (4,4) = 8 (5,4) = 9 (6,4) = 10 
(1,5) = 6 (2,5) = 7 (3,5) = 8 (4,5) = 9 (5,5) = 10 (6,5) = 11 
(1,6) = 7 (2,6) = 8 (3,6) = 9 (4,6) = 10 (5,6) = 11 (6,6) = 12 
O resultado: 
2 acontece 1 vez; 
3 acontece 2 vezes; 
4 acontece 3 vezes; 
5 acontece 4 vezes; 
6 acontece 5 vezes; 
7 acontece 6 vezes; 
 
O resultado: 
8 acontece 5 vezes; 
9 acontece 4 vezes; 
10 acontece 3 vezes; 
11 acontece 2 vezes; 
12 acontece 1 vez. 
 
EXEMPLO – RESULTADO DA ROLAGEM DE DADOS 
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P
r
o
b
a
b
il
id
a
d
e
 
Resultado do Dado 
EXEMPLO – RESULTADO DA ROLAGEM DE DADOS 
 Suponha que eu role 3 dados de 6 faces, não 
viciados. Eu somo os resultados das três faces. 
 
0,000
0,020
0,040
0,060
0,080
0,100
0,120
0,140
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
P
r
o
b
a
b
il
id
a
d
e
 
Resultado do Dado 
REALCE GAUSSIANO 
 O IBGE possui um documento chamado 
“Introdução ao Processamento Digital de 
Imagens”. 
 
 É um manual que explica como extrair 
informações de imagens de sensoriamento 
remoto. 
 
 Ele “procura descrever os conceitos e técnicas 
digitais mais utilizados para a extração de 
informações das imagens nos vários ramos das 
ciências da terra”. 
 
 
REALCE GAUSSIANO 
 Um dos principais objetivos do processamento 
digital de imagens é a melhoria da qualidade 
visual da imagem para facilitar a interpretação. 
 
 Para isso são utilizadas técnicas denominadas 
genericamente de realces. 
 
 Os realces mais utilizados são produzidos através 
da manipulação do contraste da imagem. 
REALCE GAUSSIANO 
 A maioria das imagens produzem histogramas 
unimodais, com distribuição normal. 
 
 Entretanto, cenas com áreas espectralmente 
muito distintas poderão produzir histogramas 
bimodais ou multimodais. 
REALCE GAUSSIANO 
Fonte: IBGE, 2001, p. 41. 
REALCE GAUSSIANO 
 Os níveis de cinza de uma imagem podem ser 
manipulados com o objetivo de melhorar a 
visualização da cena e aumentar a quantidade de 
informação que pode ser extraída visualmente. 
 
 Essas técnicas são chamadas de realces de contraste. 
 
 O método de realce gaussiano visa enquadrar as 
informações da imagem segundo uma distribuição 
gaussiana. 
 
 Isso é particularmente útil para equiparar imagens 
diferentes em termos de média e desvio-padrão para 
produzir um bom balanceamento das cores da 
imagem. 
REALCE GAUSSIANO 
 
Fonte: Não lembro. 
REALCE GAUSSIANO 
Fonte: Leitner, M.; Ceeh, H.; Weber J.A. (2012) Eliminating spatial distortions in Anger-
type gamma cameras. New Journal of Physics, vol. 14.