UNIDADE 4 - Aula 5 - Distribuição de Probabilidade discreta A Distribuição Binomial

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UNIDADE 4 – NOÇÕES DE PROBABILIDADE 
1. Distribuição de Probabilidade discreta: A 
Distribuição Binomial 
4.1 O MODELO DE BERNOULLI 
 Modelo adequado para experimentos aleatórios em que o 
espaço amostral consta de somente dois resultados: 
 Sucesso, com probabilidade p; ou 
 Fracasso, com probabilidade q=1-p. 
 
 Um experimento dessa natureza é chamado de “experimento 
de Bernoulli” ou “ensaio de Bernoulli”. 
 
 Exemplos: 
 Uma moeda é lançada: o resultado ou é cara (sucesso), ou não 
(fracasso – coroa); 
 Um dado é lançado; ou ocorre a face 5 (sucesso) ou não (fracasso 
– as faces 1, 2, 3, 4 e 6); 
 Uma lâmpada é escolhida ao acaso de um lote contendo 500 
lâmpadas; essa lâmpada acende (sucesso), ou não (fracasso); 
 Uma pessoa é escolhida ao acaso dentre 1.000 é ou não do sexo 
masculino. 
 
 
4.1 O MODELO DE BERNOULLI 
 Dada a constante p, (onde 0<p<1), temos uma 
variável aleatória X que somente assume os 
valores 0 (fracasso) ou 1 (sucesso), de tal forma 
que: 
 p(0) = P (X=0) = 1-p 
 p(1) = P(X=1) = p 
 
 Experimentos que resultam numa v.a. de 
Bernoulli são indicados por: 
X ~ Ber(p) 
 Lê-se: “a variável aleatória X possui distribuição de 
Bernoulli com parâmetro p”. 
 
 
 
4.1 O MODELO DE BERNOULLI 
 A partir das probabilidade de sucesso – P(X=1) – 
e fracasso – P(X=0) – temos que: 
 
E(X) = p; 
Var(X) = p(1-p) 
 
 Ou seja, o valor esperado, a média, ou a 
esperança de X é igual ao valor da probabilidade 
de sucesso. 
 
 A variância de X é igual ao valor da 
probabilidade de sucesso vezes a probabilidade de 
fracasso. 
4.2 A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
 Imagine, agora, que repetimos um ensaio de 
Bernoulli n vezes, ou, de maneira alternativa, 
obtemos uma amostra de tamanho n de uma 
distribuição de Bernoulli. 
 
 Suponha, ainda, que as repetições são 
independentes, isto é, o resultado de um ensaio 
não tem influência nenhuma no resultado de 
qualquer outro ensaio. 
 
 Uma amostra será constituída de uma sequência 
de sucessos e fracassos, ou de 1’s e 0’s. 
4.2 A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
 Exemplo: 
 Se repetirmos um ensaio de Bernoulli cinco vezes 
(n=5), um particular resultado pode ser: 
 FSSFS – (0,1,1,0,1) 
 
 Seja a probabilidade de sucesso P(S) = p e a de 
fracasso P(F) = (1-p), temos então: 
 
(1-p)*p*p*(1-p)*p = p3(1-p)2 
4.2 A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
 Exemplos: 
 
 Uma moeda é lançada três vezes; qual é a 
probabilidade de se obter duas caras? 
 Um dado é lançado 5 vezes; qual a probabilidade de 
se obter a face 5 no máximo três vezes? 
 10 lâmpadas são extraídas, ao acaso, com reposição, 
de um lote contendo 500 lâmpadas; qual a 
probabilidade de que todas sejam defeituosas, 
sabendo que 10% das lâmpadas do lote são 
defeituosas? 
 Cinco pessoas são escolhidas ao acaso entre 1.000, 
qual é a probabilidade de que duas sejam do sexo 
masculino? 
4.2 A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
 Exemplo: 
 
 Uma moeda é lançada três vezes; qual é a 
probabilidade de se obter duas caras? 
 
 Supondo que a moeda é “honesta”, isto é, 
P(sucesso)=P(cara)=1/2. 
 
 Indiquemos o sucesso (cara) por S, e o fracasso 
(coroa), por F. 
 
4.2 A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
 Exemplo: 
 
 Estamos interessados na probabilidade do evento A=duas 
caras (ou dois sucessos S) 
 
A={SSF,SFS,FSS} 
ou 
A= { (1,1,0); (1,0,1); (0,1,1) } 
 
 Temos que P(A) = P(SSF) + P(SFS) + P(FSS) 
 
 Como os ensaios são independentes: 
 P(SSF) = ½ * ½* ½ = 1/8 
 P(SFS) = ½ * ½* ½ = 1/8 
 P(FSS) = ½ * ½* ½ =1/8 
 
 Assim: P(A) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 
 
 
 
 
4.2 A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
 Exemplo: 
 
 Suponha que tivéssemos uma probabilidade de 
sucesso qualquer p, no lugar de p=1/2. A 
probabilidade de fracasso é (1-p). 
 
 Temos que P(A) = P(SSF) + P(SFS) + P(FSS) 
 
 Como os ensaios são independentes: 
 P(SSF) = p * p* (1-p) = p2(1-p) 
 P(SFS) = ½ * ½* ½ = p*(1-p)*p = p2(1-p) 
 P(FSS) = ½ * ½* ½ =(1-p) * p * p = p2(1-p) 
 
 Assim: P(A) = p2(1-p) + p2(1-p) + p2(1-p) = 3* p2(1-p) 
 
 
 
 
4.2 A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
 Uma característica importante dos experimentos 
considerados é que estamos interessados apenas 
no número total de sucessos e não na ordem em 
que eles ocorrem. 
4.2 A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
p 
(1-p) 
Sucesso 
Fracasso 
p 
p p*p*p = p
3 
p*p*(1-p) = p2(1-p) 
p*(1-p)*p = p2(1-p) 
(1-p)*p*p = p2(1-p) 
(1-p)*(1-p)*(1-p) = (1-p)3 
(1-p)*(1-p)*p = p*(1-p)2 
(1-p)*p*(1-p) = p*(1-p)2 
p*(1-p)*(1-p) = p*(1-p)2 
(1-p) 
(1-p) 
(1-p) 
(1-p) 
(1-p) 
(1-p) 
p 
p 
p 
4.2 A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
Número de 
Sucessos 
Probabilidades p=1/2 
0 (1-p)3 1/8 
1 3*p*(1-p)2 3/8 
2 3*p2*(1-p) 3/8 
3 p3 1/8 
4.2 A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
 Esse resultado pode ser generalizado para o caso 
de n realizações independentes de um ensaio 
Bernoulli, com probabilidades de sucesso p e de 
fracasso (1-p). 
 
 Se X é a variável aleatória que representa o nº de 
sucessos nos n ensaios, as probabilidades de X 
assumir os valores 0,1,2,...,n serão dadas por: 
 
𝑃 𝑋 = 𝑥 =
𝑛
𝑥
𝑝𝑥(1 − 𝑝)(𝑛−𝑥) 
4.2 A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
 O símbolo 𝑛𝑥 vem da análise combinatória. 
 
 É a combinação de n elementos tomados x a x. 
 
𝐶𝑥 =
𝑛
𝑥
=
𝑛!
𝑥! 𝑛 − 𝑥 !𝑛
 
 
4.2 A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
 Quando a variável aleatória tiver distribuição 
binomial com parâmetros n e p, escreveremos: 
 
X~Bin(n,p) 
 
 A média e a variância de uma variável aleatória 
binomial, com parâmetros n e p são dadas, 
respectivamente, por: 
 
𝐸 𝑋 = 𝑛 ∗ 𝑝 
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑛 ∗ 𝑝 ∗ 1 − 𝑝 
4.2 A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
 Para finalizar, vamos formalizar os principais 
pontos apresentados aqui: 
 
 Definição: Chama-se de experimento binomial ao experimento: 
 
 A) Que consiste em n ensaios Bernoulli; 
 
 B) Cujos ensaios são independentes; 
 
 C) Para o qual a probabilidade de sucesso em cada ensaio é sempre igual a 
p, com 0<p<1. 
 
4.2 A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
 Definição: A variável aleatória X, corresponde ao nº de sucessos 
num experimento binomial e tem distribuição binomial Bin(n,p), 
com função de distribuição (ou função de probabilidade) igual a: 
 
𝑃 𝑋 = 𝑥 =
𝑛
𝑥
𝑝𝑥(1 − 𝑝)(𝑛−𝑥), 𝑥 = 0,1,2, … , 𝑛 
 
4.3 A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL - EXEMPLOS 
 Suponha que tenha um aluno que precise de 2 questões corretas 
para passar em determinada matéria. 
 A prova dessa matéria será uma prova com 3 questões de múltipla 
escolha. 
 Cada questão possui 5 opções de resposta, e apenas 1 correta. 
 Digamos que esse aluno tenha a “excelente” ideia de não estudar e 
chutar as respostas das questões. 
 Qual a probabilidade desse aluno ser aprovado? 
4.3 A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL - EXEMPLOS 
 Nossa variável aleatória X é o número de questões que o aluno 
acertará. 
 
 Se cada questão possui 5 opções e apenas 1 correta, nossa 
probabilidade de sucesso é p=1/5 = 0,20. 
 Logo, a probabilidade de fracasso é (1-p)=0,8. 
 
 Como são 3 questões, n=3. 
 
 Vamos calcular cada uma das probabilidades, lembrando que 
 𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑛𝑥 𝑝
𝑥(1 − 𝑝)(𝑛−𝑥), 𝑥 = 0,1,2, … , 𝑛 
 
 𝐸𝑟𝑟𝑎𝑟 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑡õ𝑒𝑠: 𝑃 𝑋 = 0 = 30 0,2
0(0,8)(3)= (0,8)(3)= 0,512 
4.3 A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL - EXEMPLOS 
 Vamos calcular cada uma das probabilidades, lembrando que 
 𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑛𝑥 𝑝
𝑥(1 − 𝑝)(𝑛−𝑥), 𝑥 = 0,1,2, … , 𝑛 
 
 𝐴𝑐𝑒𝑟𝑡𝑎𝑟 1𝑞𝑢𝑒𝑠𝑡ã𝑜: 𝑃 𝑋 = 1 = 31 0,2
1(0,8)(3)= 3 ∗ 0,2 ∗ 0,8 2 = 0,384 
 
 𝐴𝑐𝑒𝑟𝑡𝑎𝑟 2 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑡õ𝑒𝑠: 𝑃 𝑋 = 2 = 32 0,2
2(0,8)(1)= 3 ∗ 0,22 ∗ 0,8 1 = 0,096 
 
 𝐴𝑐𝑒𝑟𝑡𝑎𝑟 3 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑡õ𝑒𝑠: 𝑃 𝑋 = 3 = 33 0,2
3(0,8)(0)= 1 ∗ 0,23 ∗ 0,8 0 = 0,008 
 
 O exercício ainda não acabou! 
 
4.3 A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL - EXEMPLOS 
 A pergunta foi “Qual a probabilidade desse aluno ser aprovado?” 
 
 Esse aluno será aprovado se acertar 2 ou mais questões. 
 
 Então, desejamos saber 𝑃 𝑋 ≥ 2 . 
 
 𝑃 𝑋 ≥ 2 = 𝑃 𝑋 = 2 + 𝑃 𝑋 = 3 = 0,096 + 0,008 = 0,104 = 10,4% 
 
 Assim, a probabilidade desse aluno passar, usando essa estratégia, é de 
cerca de 10%. 
4.3 A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL - EXEMPLOS 
 Determinado produto é vendido em caixas com 1000 peças. 
 É uma característica da fabricação produzir 10% defeituosos. 
 Normalmente, cada caixa é vendida por 12,00 unidades monetárias 
(u.m.). 
 Um comprador faz a seguinte proposta: de cada caixa, ele escolhe uma 
amostra de 20 peças: 
 Se tiver 0 defeituoso; ele paga 20,00 u.m.; 
 1 ou 2 defeituosos, ele paga 10,00 u.m.; 
 3 ou mais defeituosos ele paga 8,00 u.m.. 
 Qual alternativa é a mais vantajosa para o fabricante? 
4.3 A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL - EXEMPLOS 
 Para responder essa pergunta, é preciso saber qual o preço médio pago 
pela caixa, de acordo com a proposta feita pelo comprador. 
 
 Se X for a variável aleatória nº de peças defeituosas numa amostra de 20 
peças, tem-se X~Bin(20; 0,10). 
 
 Assim, vamos calcular cada uma das probabilidades, lembrando que 
 𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑛𝑥 𝑝
𝑥(1 − 𝑝)(𝑛−𝑥), 𝑥 = 0,1,2, … , 𝑛 
 
 0 𝑝𝑒ç𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜: 𝑃 𝑋 = 0 = 20
0
0,10(0,9)(20)= 1 ∗ 1 ∗ 0,9 20 = 0,1216 
 1 𝑝𝑒ç𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜: 𝑃 𝑋 = 1 = 20
1
0,11(0,9)(19)= 20 ∗ 0,1 ∗ 0,9 19 = 0,2702 
 2 𝑝𝑒ç𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜: 𝑃 𝑋 = 2 = 20
2
0,12(0,9)(18)= 190 ∗ 0,12 ∗ 0,9 18 = 0,2852 
 3 𝑝𝑒ç𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜: 𝑃 𝑋 ≥ 0 = 1 − 𝑃 𝑋 < 3 = 1 − 𝑃 𝑋 = 2 + 𝑃 𝑋 = 1 + 𝑃 𝑋 = 0 =
 = 1 − 0,1216 + 0,2702 + 0,2852 = 0,323 
4.3 A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL - EXEMPLOS 
 Para sabermos qual proposta é mais vantajosa, precisamos saber qual o 
retorno esperado. 
 
 
 
 
 
 
 
 Dessa maneira, o preço médio pago por uma caixa é 2,432+5,554+2,584 = 
10,57. 
 
 Assim, é mais vantajoso para o fabricante vender suas caixas a 12,00. 
 
 
 
 
 
X 0 1 ou 2 3 ou mais 
P(X=x) 0,1216 0,2702+0,2852=0,5554 0,323 
Preço pago 20 10 8 
Retorno 
Esperado 
2,432 5,554 2,584 
4.4 A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL - EXEMPLOS 
 Um curso de treinamento aumenta a produtividade de uma certa 
população de funcionários em 80% dos casos. 
 Se dez funcionários quaisquer participam desse curso, encontre a 
probabilidade de: 
 A) Exatamente sete funcionários aumentarem a produtividade; 
 
 B) Não mais do que oito funcionários aumentarem a produtividade; 
 
 C) Pelo menos três funcionários não aumentarem a produtividade. 
 
4.4 A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL - EXEMPLOS 
 Um curso de treinamento aumenta a produtividade de uma certa 
população de funcionários em 80% dos casos. 
 Se dez funcionários quaisquer participam desse curso, encontre a 
probabilidade de: 
 A) Exatamente sete funcionários aumentarem a produtividade; 
 
Seja X a variável aleatória nº de funcionários que aumentam a produtividade 
com o curso de treinamento. Tem-se que X~Bin(10;0,8). 
 
Para saber a probabilidade de exatamente sete funcionários aumentarem a 
produtividade, temos que achar P(X=7). 
 
 
4.4 A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL - EXEMPLOS 
 Um curso de treinamento aumenta a produtividade de uma certa 
população de funcionários em 80% dos casos. 
 Se dez funcionários quaisquer participam desse curso, encontre a 
probabilidade de: 
 A) Exatamente sete funcionários aumentarem a produtividade; 
 
Seja X a variável aleatória nº de funcionários que aumentam a produtividade 
com o curso de treinamento. Tem-se que X~Bin(10;0,8). 
 
Para saber a probabilidade de exatamente sete funcionários aumentarem a 
produtividade, temos que achar P(X=7). 
 
𝑃 𝑋 = 7 =
10
7
0,87(1 − 0,8)(10−7)=
10!
7! 10 − 7 !
∗ 0,87 ∗ 0,2 3
= 120 ∗ 0,21 ∗ 0,008 = 0,2016 
 
4.4 A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL - EXEMPLOS 
 Um curso de treinamento aumenta a produtividade de uma certa 
população de funcionários em 80% dos casos. 
 Se dez funcionários quaisquer participam desse curso, encontre a 
probabilidade de: 
 B) Não mais do que oito funcionários aumentarem a produtividade; 
 
Seja X a variável aleatória nº de funcionários que aumentam a produtividade 
com o curso de treinamento. Tem-se que X~Bin(10;0,8). 
 
Para saber a probabilidade de não mais do que oito funcionários 
aumentarem a produtividade, temos que achar P(X≤8). 
 
 
 
 
4.4 A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL - EXEMPLOS 
 Um curso de treinamento aumenta a produtividade de uma certa 
população de funcionários em 80% dos casos. 
 Se dez funcionários quaisquer participam desse curso, encontre a 
probabilidade de: 
 B) Não mais do que oito funcionários aumentarem a produtividade; 
 
Seja X a variável aleatória nº de funcionários que aumentam a produtividade 
com o curso de treinamento. Tem-se que X~Bin(10;0,8). 
 
Para saber a probabilidade de não mais do que oito funcionários 
aumentarem a produtividade, temos que achar P(X≤8). 
 
 
 
 
𝑃 𝑋 ≤ 8 = 𝑃(𝑋 = 𝑥)
8
𝑥=0
 
= 𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 1 + 𝑃 𝑋 = 2 + 𝑃 𝑋 = 3 +
𝑃 𝑋 = 4 + 𝑃 𝑋 = 5 + 𝑃 𝑋 = 6 + 𝑃 𝑋 = 7 + 𝑃 𝑋 = 8 
 
4.4 A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL - EXEMPLOS 
 
 
 
 
P(X=x) 𝒏
𝒙
𝒑𝒙(𝟏 −𝒑)(𝒏−𝒙) Resultado 
P(X=0) 𝟏𝟎
𝟎
𝟎, 𝟖𝟎(𝟎, 𝟐)(𝟏𝟎) 1,02E-07 
P(X=1) 𝟏𝟎
𝟏
𝟎, 𝟖𝟏(𝟎, 𝟐)(𝟗) 4,10E-06 
P(X=2) 𝟏𝟎
𝟐
𝟎, 𝟖𝟐(𝟎, 𝟐)(𝟖) 7,37E-05 
P(X=3) 𝟏𝟎
𝟑
𝟎, 𝟖𝟑(𝟎, 𝟐)(𝟕) 0,00079 
P(X=4) 𝟏𝟎
𝟒
𝟎, 𝟖𝟒(𝟎, 𝟐)(𝟔) 0,00551 
P(X=5) 𝟏𝟎
𝟓
𝟎, 𝟖𝟓(𝟎, 𝟐)(𝟓) 0,02642 
P(X=6) 𝟏𝟎
𝟔
𝟎, 𝟖𝟔(𝟎, 𝟐)(𝟒) 0,08808 
P(X=7) 𝟏𝟎
𝟕
𝟎, 𝟖𝟕(𝟎, 𝟐)(𝟑) 0,20133 
P(X=8) 𝟏𝟎
𝟖
𝟎, 𝟖𝟖(𝟎, 𝟐)(𝟐) 0,30199 
4.4 A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL - EXEMPLOS 
 Um curso de treinamento aumenta a produtividade de uma certa 
população de funcionários em 80% dos casos. 
 Se dez funcionários quaisquer participam desse curso, encontre a 
probabilidade de: 
 B) Não mais do que oito funcionários aumentarem a produtividade; 
 
Assim, 
 
 𝑃 𝑋 ≤ 8 = 𝑃 𝑋 = 𝑥 = 0,62419
8
𝑥=0
 
4.4 A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL - EXEMPLOS 
 Um curso de treinamento aumenta a produtividade de uma certa 
população de funcionários em 80% dos casos. 
 Se dez funcionários quaisquer participam desse curso, encontre a 
probabilidade de: 
 C) Pelo menos três funcionários não aumentarem a produtividade. 
 
 Isso equivale a dizer que, no máximo, 7 funcionários aumentaram. 
 
 
 
 
𝑃 𝑋 ≤ 7 = 𝑃(𝑋 = 𝑥)
7
𝑥=0
 
4.4 A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL - EXEMPLOS 
 
 
 
 
P(X=x) 𝒏
𝒙
𝒑𝒙(𝟏 −𝒑)(𝒏−𝒙) Resultado 
P(X=0) 𝟏𝟎
𝟎
𝟎, 𝟖𝟎(𝟎, 𝟐)(𝟏𝟎) 1,02E-07 
P(X=1) 𝟏𝟎
𝟏
𝟎, 𝟖𝟏(𝟎, 𝟐)(𝟗) 4,10E-06 
P(X=2) 𝟏𝟎
𝟐
𝟎, 𝟖𝟐(𝟎, 𝟐)(𝟖) 7,37E-05 
P(X=3) 𝟏𝟎
𝟑
𝟎, 𝟖𝟑(𝟎, 𝟐)(𝟕) 0,00079 
P(X=4) 𝟏𝟎
𝟒
𝟎, 𝟖𝟒(𝟎, 𝟐)(𝟔) 0,00551 
P(X=5) 𝟏𝟎
𝟓
𝟎, 𝟖𝟓(𝟎, 𝟐)(𝟓) 0,02642 
P(X=6) 𝟏𝟎
𝟔
𝟎, 𝟖𝟔(𝟎, 𝟐)(𝟒) 0,08808 
P(X=7) 𝟏𝟎
𝟕
𝟎, 𝟖𝟕(𝟎, 𝟐)(𝟑) 0,20133 
4.4 A DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL - EXEMPLOS 
 Um curso de treinamentoaumenta a produtividade de uma certa 
população de funcionários em 80% dos casos. 
 Se dez funcionários quaisquer participam desse curso, encontre a 
probabilidade de: 
 C) Pelo menos três funcionários não aumentarem a produtividade. 
 
 Isso equivale a dizer que, no máximo, 7 funcionários aumentaram. 
 
 Assim, 
 
 
 
 
𝑃 𝑋 ≤ 7 = 𝑃(𝑋 = 𝑥)
7
𝑥=0
= 0,3222