UNIDADE 5 - Aula 4 - Inferência Estatística Distribuição Amostral de uma Proporção

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UNIDADE 5 – NOÇÕES DE INFERÊNCIA 
4. Inferência Estatística: Distribuição Amostral de uma 
Proporção 
5.1 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE UMA PROPORÇÃO 
 Suponha que p = 30% dos estudantes de uma 
escola sejam mulheres. 
 
 Colhemos uma amostra aleatória simples de n = 
10 estudantes e calculamos = proporção 
estimada de mulheres na amostra. 
 
 Qual a probabilidade de que difira de p em 
menos de 0,01? 
 
pˆ
pˆ
5.1 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE UMA PROPORÇÃO 
 Vamos considerar uma população em que a 
proporção de elementos portadores de certa 
característica é p. 
 
 Logo, podemos definir uma variável aleatória X, 
da seguinte maneira: 
 
 
 
 Logo, 



=
ticacaracterís daportador for não indivíduo o se,0
 ticacaracterís daportador for indivíduo o se,1
X
)1()(,)( 2 ppXVarpXE −==== σµ
5.1 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE UMA PROPORÇÃO 
 Se retirarmos uma amostra aleatória simples 
dessa população, e indicando por Yn o total de 
indivíduos portadores de certa característica na 
amostra, já vimos que 
Yn~Bin(n,p) 
 
 Vamos definir por a proporção de indivíduos 
portadores da característica na amostra, isto é 
pˆ
n
Yp n=ˆ
5.1 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE UMA PROPORÇÃO 
 Vimos que a distribuição binomial pode ser 
aproximada pela distribuição normal. 
 
 Pelo Teorema do Limite Central, terá distribuição 
aproximadamente normal, com média p e variância 
dada por , ou seja, 
 
 
 
X
n
pp )1( −





 −
n
pppNp )1(;~ˆ
5.1 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE UMA PROPORÇÃO 
 Suponha que p = 30% dos estudantes de uma 
escola sejam mulheres. Colhemos uma amostra 
aleatória simples de n = 10 estudantes e 
calculamos = proporção estimada de mulheres 
na amostra. 
 
 Qual a probabilidade de que difira de p em 
menos de 0,01? 
 
pˆ
pˆ
5.1 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE UMA PROPORÇÃO 
 Suponha que p = 30% dos estudantes de uma 
escola sejam mulheres. Colhemos uma amostra 
aleatória simples de n = 10 estudantes e 
calculamos = proporção estimada de mulheres 
na amostra. 
 
 Qual a probabilidade de que difira de p em 
menos de 0,01? 
 
 
pˆ
pˆ
?)01,0|ˆ(| =<− ppP
5.1 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE UMA PROPORÇÃO 
 Suponha que p = 30% dos estudantes de uma 
escola sejam mulheres. Colhemos uma amostra 
aleatória simples de n = 10 estudantes e 
calculamos = proporção estimada de mulheres 
na amostra. 
 
 Qual a probabilidade de que difira de p em 
menos de 0,01? 
 
 
pˆ
pˆ
)01,0ˆ01,0()01,0|ˆ(| <−<−=<− ppPppP
5.1 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE UMA PROPORÇÃO 
 p = 30%; n = 10 
 
 Qual a probabilidade de que difira de p em 
menos de 0,01? 
 
 
 Temos que, 
 
 E, também, 
 
pˆ
)01,0ˆ01,0()01,0|ˆ(| <−<−=<− ppPppP





 −−
n
ppNpp )1(;0~ˆ
.021,010/)7,0)(3,0()ˆ( ==pVar
5.1 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE UMA PROPORÇÃO 
 p = 30%; n = 10 
 
 Qual a probabilidade de que difira de p em 
menos de 0,01? 
 
 
 Temos que, 
 
 E, também, 
 
pˆ
)01,0ˆ01,0()01,0|ˆ(| <−<−=<− ppPppP





 −−
n
ppNpp )1(;0~ˆ
.021,010/)7,0)(3,0()ˆ( ==pVar
( )021,0;0~ˆ Npp −
5.1 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE UMA PROPORÇÃO 
 p = 30%; n = 10; 
 
 Qual a probabilidade de que difira de p em 
menos de 0,01? 
 
 
 Transformando para Z, temos: 
 
pˆ
)01,0ˆ01,0()01,0|ˆ(| <−<−=<− ppPppP






=
−=
−
=
−
=
07,0
021,0
01,0
07,0
021,0
01,0
)ˆ(
ˆ
pDP
ppZ
( )021,0;0~ˆ Npp −
5.1 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE UMA PROPORÇÃO 
 p = 30%; n = 10; 
 
 Qual a probabilidade de que difira de p em 
menos de 0,01? 
 
 
pˆ
)07,007,0()01,0ˆ01,0( <<−=<−<− ZPppP
( )021,0;0~ˆ Npp −
5.1 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE UMA PROPORÇÃO 
 p = 30%; n = 10; 
 
 Qual a probabilidade de que difira de p em 
menos de 0,01? 
 
 
 Olhando na tabela da Normal, temos que 
pˆ
)07,007,0()01,0ˆ01,0( <<−=<−<− ZPppP
( )021,0;0~ˆ Npp −
056,0)07,007,0( =<<− ZP
5.2 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A PROPORÇÃO 
 O intervalo de confiança para a proporção é dado 
por: 
 
 





 −
±=
n
ppZpIC )1(
5.3 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A PROPORÇÃO - 
EXEMPLO 
 Suponha que em n = 400 ensaios obtemos k = 80 
sucessos. Calcule um intervalo de confiança de 
90% para p. 
 
 
 
 
5.3 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A PROPORÇÃO - 
EXEMPLO 
 Suponha que em n = 400 ensaios obtemos k = 80 
sucessos. Calcule um intervalo de confiança de 
90% para p. 
 
 
 
 
 
8,0)ˆ1(
2,0
400
80ˆ
=−
==
p
p
5.3 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A PROPORÇÃO - 
EXEMPLO 
 Suponha que em n = 400 ensaios obtemos k = 80 
sucessos. Calcule um intervalo de confiança de 
90% para p. 
 
 
 
 
 
8,0)ˆ1(
2,0
400
80ˆ
=−
==
p
p
5.3 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A PROPORÇÃO - 
EXEMPLO 
 Suponha que em n = 400 ensaios obtemos k = 80 
sucessos. Calcule um intervalo de confiança de 
90% para p. 
 
 
 
 
 
8,0)ˆ1(
2,0
400
80ˆ
=−
==
p
p






±=
400
)8,0(2,064,12,0IC
5.3 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A PROPORÇÃO - 
EXEMPLO 
 Suponha que em n = 400 ensaios obtemos k = 80 
sucessos. Calcule um intervalo de confiança de 
90% para p. 
 
 
 
 
 
( )033,02,0
400
)8,0(2,064,12,0 ±=





±=IC
5.4 TAMANHO DE UMA AMOSTRA 
 Em nossas considerações anteriores fizemos a suposição 
que o tamanho da amostra, n, era conhecido e fixo. 
 
 Podemos, em certas ocasiões, determinar um erro de 
estimação e calcular o tamanho da amostra a ser escolhida, 
com determinado grau de confiança. 
 
 Vimos, no começo do semestre, que o tamanho da amostra é 
determinado por 3 fatores: 
 
 amostral erro
confiança de nível adevariabilid ×
=n
5.4 TAMANHO DE UMA AMOSTRA 
 Agora, já sabemos que a variabilidade é dada por σ2 , o 
valor associado ao nível de confiança é Z, e chamemos o 
erro (diferença entre o valor da população e o valor da 
amostra) por ε. 
 
 Logo, 2
22
amostral erro
confiança de nível adevariabilid
ε
σ Zn =×=
5.5 TAMANHO DE UMA AMOSTRA - EXEMPLO 
 Suponha que numa pesquisa de mercado estima-se que no 
máximo 60% das pessoas entrevistadas preferirão a marca 
A de um produto. Essa informação é baseada em pesquisas 
anteriores. Se quisermos que o erro amostral de (a 
diferença entre e p) seja menor do que ε=0,03, com um 
grau de confiança de 95%, precisamos de uma amostra de ? 
 
 
pˆ
pˆ
5.5 TAMANHO DE UMA AMOSTRA - EXEMPLO 
 Suponha que numa pesquisa de mercado estima-se que no 
máximo 60% das pessoas entrevistadas preferirão a marca 
A de um produto. Essa informação é baseada em pesquisas 
anteriores. Se quisermos que o erro amostral de (a 
diferença entre e p) seja menor do que ε=0,03, com um 
grau de confiança de 95%, precisamos de uma amostra de ? 
 
 
pˆ
pˆ
2
22
ε
σ Zn =
5.5 TAMANHO DE UMA AMOSTRA - EXEMPLO 
 Suponha que numa pesquisa de mercado estima-se que no 
máximo 60% das pessoas entrevistadas preferirão a marca 
A de um produto. Essa informação é baseada em pesquisas 
anteriores. Se quisermos que o erro amostral de (a 
diferença entre e p) seja menor do que ε=0,03, com um 
grau de confiança de 95%, precisamos de uma amostra de ? 
 
 
pˆ
pˆ
024.1
)03,0(
)96,1)(4,0)(6,0(
2
2
==n
5.6 TAMANHO DE UMA AMOSTRA - CONSIDERAÇÕES 
 Para utilizar a quantidade anterior devemos conhecer p, 
como nem sempre isso é viável, seguem alguns 
procedimentos: 
 
 (i)Utilizar p(1-p)= 0,25, que fornecerá tamanho de n máximo; 
 (ii)Utilizar um valor indicado pelo pesquisador. 
 (iii)Utilizara proporção amostral calculada a partir de uma 
amostra bem definida, como um valor estimado para p. 
	Unidade 5 – Noções de Inferência
	5.1 Distribuição Amostral de uma Proporção
	5.1 Distribuição Amostral de uma Proporção
	5.1 Distribuição Amostral de uma Proporção
	5.1 Distribuição Amostral de uma Proporção
	5.1 Distribuição Amostral de uma Proporção
	5.1 Distribuição Amostral de uma Proporção
	5.1 Distribuição Amostral de uma Proporção
	5.1 Distribuição Amostral de uma Proporção
	5.1 Distribuição Amostral de uma Proporção
	5.1 Distribuição Amostral de uma Proporção
	5.1 Distribuição Amostral de uma Proporção
	5.1 Distribuição Amostral de uma Proporção
	5.2 Intervalo de Confiança para a Proporção
	5.3 Intervalo de Confiança para a Proporção - Exemplo
	5.3 Intervalo de Confiança para a Proporção - Exemplo
	5.3 Intervalo de Confiança para a Proporção - Exemplo
	5.3 Intervalo de Confiança para a Proporção - Exemplo
	5.3 Intervalo de Confiança para a Proporção - Exemplo
	5.4 Tamanho de uma Amostra
	5.4 Tamanho de uma Amostra
	5.5 Tamanho de uma Amostra - Exemplo
	5.5 Tamanho de uma Amostra - Exemplo
	5.5 Tamanho de uma Amostra - Exemplo
	5.6 Tamanho de uma Amostra - Considerações