UNIDADE 5 - Aula 6 - Formulação geral de um teste estatístico

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UNIDADE 5 – NOÇÕES DE INFERÊNCIA 
1. Formulação geral de um teste estatístico. 
5.1 FORMULAÇÃO GERAL DE UM TESTE ESTATÍSTICO 
 Um dos problemas a serem resolvidos pela 
Inferência Estatística é o de testar uma 
hipótese. 
 
 A hipótese estatística é uma afirmação sobre 
uma população, usualmente sobre um 
parâmetro desta, desejamos saber se os 
resultados de uma amostra contrariam ou não tal 
afirmação. 
 
 Posto de outra forma, a finalidade desses testes é 
avaliar afirmações sobre os valores de 
parâmetros populacionais. 
5.1 FORMULAÇÃO GERAL DE UM TESTE ESTATÍSTICO 
 Quando estudamos os estimadores, vimos que 
estatísticas amostrais como médias e proporções 
podem servir de estimativas pontuais dos 
correspondentes parâmetros populacionais. 
 
 Vimos também que, em razão da variabilidade 
inerente à amostragem aleatória, as estatísticas 
amostrais tendem a aproximar, no lugar de igualar, 
os parâmetros da população. 
 
 Daí, o ponto capital do teste de hipótese é se a 
diferença entre o valor alegado de um parâmetro 
populacional e o valor de uma estatística amostral 
pode ser razoavelmente atribuído à variabilidade 
amostral ou se a discrepância é grande demais pra ser 
encarada assim. 
 
 
5.1 FORMULAÇÃO GERAL DE UM TESTE ESTATÍSTICO 
 Considere a seguinte situação: 
 
 O fornecedor garante que não haverá mais de 6% de 
peças defeituosas em cada remessa. 
 
 Inspeciona-se uma amostra de 142 peças de uma 
grande remessa, encontrando-se 8% defeituosas. 
 
 Os testes nos ajudarão a verificar se o fornecedor está 
mentindo ou não. 
 
 
 
 
5.1 FORMULAÇÃO GERAL DE UM TESTE ESTATÍSTICO 
 O primeiro passo para isso consiste em formular 
duas hipóteses sobre a afirmação. 
 Uma hipótese a ser testada é que a percentagem real 
de peças defeituosas em todo o lote é maior que 6%. 
 Outra hipótese seria a de que a afirmação do 
fornecedor é verdadeira. 
 
 Mas, se a afirmação do fornecedor é verdadeira, qual 
será a razão de uma amostra ter acusado 8% de 
defeituosas? 
 
 Uma possibilidade é que a variação amostral tenha 
sido responsável. 
5.1 FORMULAÇÃO GERAL DE UM TESTE ESTATÍSTICO 
 De maneira mais formal, vamos colocar da 
seguinte forma: 
 
 A hipótese de que a afirmação é verdadeira é 
chamada de hipótese nula (H0 – “H zero”). 
 
 A hipótese de que a afirmação é falsa é chamada de 
hipótese alternativa(H1 – “H um” ou HA). 
 
 
5.1 FORMULAÇÃO GERAL DE UM TESTE ESTATÍSTICO 
 No exemplo, a hipótese nula é que a verdadeira 
percentagem de defeituosas é de 6% (pois foi o 
que o fornecedor disse). 
 
 Podemos reescrevê-la da seguinte maneira: 
 H0: p=6% 
 
 Nossa alternativa é que a percentagem de 
defeituosas, p, é maior que 6%: 
 H1 > 6% 
5.1 FORMULAÇÃO GERAL DE UM TESTE ESTATÍSTICO 
 Se, após nossa análise, a decisão é aceitar H0, a 
implicação é que a diferença entre a percentagem 
observada de defeituosas na amostra (8%) e a 
percentagem alegada pelo fornecedor para todo o 
lote (6%) e mais provavelmente devida à variação 
casual na amostra. 
 
 Por outro lado, a decisão de rejeitar H0 implicaria 
que a variação entre o valor observado e o valor 
alegado é grande demais para ser devida apenas 
ao acaso. 
5.1 FORMULAÇÃO GERAL DE UM TESTE ESTATÍSTICO 
 O segundo passo no processo de teste de 
significância consiste em identificar a 
distribuição amostral adequada, pois ela 
descreverá completamente a variação. 
 
 No exemplo, como estamos lidando com 
proporções amostrais e com um grande tamanho 
de amostra (n=142), a distribuição amostral 
adequada é a distribuição normal com média p e 
desvio 𝜎𝑝 = 𝑝(1 − 𝑝) 𝑛 
5.1 FORMULAÇÃO GERAL DE UM TESTE ESTATÍSTICO 
 Assim, se a afirmação do fornecedor é verdadeira, 
nossa proporção amostral de 8% provém de uma 
distribuição amostral com média de 6% e desvio 
padrão de (0,06)*(0,94)/142 = 0,02 
 
 Podemos ver que a discrepância de 2% está a um 
desvio padrão do valor esperado, supondo que 
0,06 seja a verdadeira proporção populacional: 
 
𝑍 =
𝑝 − 𝑝
𝜎𝑝
=
0,08 − 0,06
0,02
= +1,0 
5.1 FORMULAÇÃO GERAL DE UM TESTE ESTATÍSTICO 
 Quando avaliamos o valor de Z=1 na distribuição 
normal, temos que: 
0,06 0,08 
Z=1 
5.1 FORMULAÇÃO GERAL DE UM TESTE ESTATÍSTICO 
 Quando avaliamos o valor de Z=1 na distribuição 
normal, temos que: 
0,06 
(Z=0) 
0,08 
(Z=1) 
0,1587 
5.1 FORMULAÇÃO GERAL DE UM TESTE ESTATÍSTICO 
 Quando avaliamos o valor de Z=1 na distribuição 
normal, temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 A probabilidade de se obter uma diferença 
superior a 8% com uma amostra de 142 extraída 
de uma população com proporção de 6% é de 16%. 
0,06 0,08 
Z=1 
0,1587 
5.1 FORMULAÇÃO GERAL DE UM TESTE ESTATÍSTICO 
 Quando avaliamos o valor de Z=1 na distribuição 
normal, temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 A probabilidade de se obter uma proporção de peças 
defeituosas superior a 8% com uma amostra de 142 
extraída de uma população com proporção de 6% é de 
16%. 
0,06 0,08 
Z=1 
0,1587 
5.1 FORMULAÇÃO GERAL DE UM TESTE ESTATÍSTICO 
 Em outras palavras, se pegarmos 100 amostras, é 
possível que em 16 delas, seja possível observar 
8% ou mais de peças defeituosas. 
 
 Isso parece sugerir que o valor de 8% pode ter 
ocorrido apenas ao acaso. 
 
 Assim, não temos evidência significativa para 
dizer que que o fornecedor estava errado. 
 
 
5.1 FORMULAÇÃO GERAL DE UM TESTE ESTATÍSTICO 
 Por outro lado, se tivéssemos uma proporção 
amostral de 19% (no lugar de 8%), então 
 
𝑍 =
𝑝 − 𝑝
𝜎𝑝
=
0,19 − 0,06
0,02
= +6,5 
5.1 FORMULAÇÃO GERAL DE UM TESTE ESTATÍSTICO 
 Por outro lado, se tivéssemos uma proporção 
amostral de 19% (no lugar de 8%), então 
 
𝑍 =
𝑝 − 𝑝
𝜎𝑝
=
0,19 − 0,06
0,02
= +6,5 
0 6,5 
5.1 FORMULAÇÃO GERAL DE UM TESTE ESTATÍSTICO 
 Por outro lado, se tivéssemos uma proporção 
amostral de 19% (no lugar de 8%), então 
 
𝑍 =
𝑝 − 𝑝
𝜎𝑝
=
0,19 − 0,06
0,02
= +6,5 
0 6,5 
~ 0 
5.1 FORMULAÇÃO GERAL DE UM TESTE ESTATÍSTICO 
 Parece muito pouco provável que tal estatística 
amostral provenha de uma população com o 
parâmetro alegado de 6%. 
 
 Em tal caso, estaríamos inclinados a rejeitar H0. 
 
5.1 FORMULAÇÃO GERAL DE UM TESTE ESTATÍSTICO 
 É claro que nem todas as situações são tão óbvias 
que podem ser tratadas “a olho” como a presente. 
 
 É preciso um método mais rigoroso para abordar 
o problema. 
 
 A questão é: 
 onde podemos traçar a linha divisória entre o que 
pode ser razoavelmente considerado como variação 
casual e o que deve ser considerado como variação 
significativa? 
5.1 FORMULAÇÃO GERAL DE UM TESTE ESTATÍSTICO 
 Para responder essa pergunta, consideremos o 
seguinte: 
 Aproximadamente 5% das estatísticas amostrais 
produzem um Z maior que +1,65. 
0 +1,65 
5% 
5.1 FORMULAÇÃO GERAL DE UM TESTE ESTATÍSTICO 
 Para responder essa pergunta, consideremos o 
seguinte: 
 Aproximadamente 5% das estatísticas amostrais produzem 
um Z maior que +1,65. 
 
 Assim, embora o valor amostral esperado seja 6%, 5% das 
estatísticas amostrais possíveis terão valores que excedem 
𝑝 + 1,65𝜎𝑝 
 
 Logo, se aceitarmos Z=1,65 como linha divisória, há um 
risco de 5% de rejeitar H0, quando ela de fato é verdadeira. 
 
 Outra possibilidade consistiria em usar Z=2,33 como nosso 
“valor crítico”, pois então haveria apenas cerca de 1% de 
chancede observar uma estatística amostral tão extrema 
quanto aquela quando H0 é verdadeira. 
5.1 FORMULAÇÃO GERAL DE UM TESTE ESTATÍSTICO 
 Comumente, os valores críticos escolhidos para os 
testes de significância são os que dão os riscos de 
5%, 2,5% e 1% de rejeitar H0 quando ela é 
verdadeira. 
 
 Esses valores de 5%, 2,5% e 1% são chamados de 
nível de significância do teste e são designados 
pela letra 𝛼 (alfa). 
 
 Então, o nível de significância de um teste é a 
probabilidade de uma hipótese nula ser rejeitada, 
quando verdadeira. 
5.1 FORMULAÇÃO GERAL DE UM TESTE ESTATÍSTICO 
 O terceiro passo num teste estatístico consiste em 
escolher um nível de significância aceitável. 
 
 Isso indicará um valor crítico correspondente que 
servirá de padrão de comparação. 
 
 Iremos comparar esse valor crítico ao valor de Z 
calculado (que vamos chamar de estatística do 
teste). 
 
 Se o valor da estatística do teste for menor que o 
valor crítico, aceita-se H0. 
5.1 FORMULAÇÃO GERAL DE UM TESTE ESTATÍSTICO 
 A essência de um teste de significância consiste, então, em 
particionar uma distribuição amostral – com base na 
suposição de H0 ser verdadeira – em uma região de 
aceitação e uma região de rejeição. 
 
 Escolhe-se um valor crítico com base no nível de 
significância, que indica a probabilidade de erro que o 
analista está disposto a aceitar. 
 
 Calcula-se uma estatística do teste (no caso do exemplo, o 
Z) com base nos dados amostrais e compara-se com o valor 
crítico. 
 
 Se o valor da estatística do teste for maior que o valor 
crítico, o teste sugere que H0 deve ser rejeitada (isto é, que 
não é só a variabilidade amostral que responde pelo alto 
valor encontrado). 
 
 
5.1 FORMULAÇÃO GERAL DE UM TESTE ESTATÍSTICO 
Distribuição amostral baseada no parâmetro alegado 
Região Crítica ou de Rejeição 
Zalfa = valor crítico 
Região de 
Aceitação 
𝛼% 
Nível de significância 
5.1 FORMULAÇÃO GERAL DE UM TESTE ESTATÍSTICO 
Distribuição amostral baseada no parâmetro alegado 
Região Crítica ou de Rejeição 
Região de 
Aceitação 
𝛼% 
Nível de significância 
Zalfa = valor crítico 
5.1 FORMULAÇÃO GERAL DE UM TESTE ESTATÍSTICO 
Distribuição amostral baseada no parâmetro alegado 
Região Crítica ou de Rejeição 
Região de 
Aceitação 
𝛼% 
Nível de significância 
Zalfa = valor crítico 
Se você calcular Z e ele estiver neste 
intervalo (ou seja, Z < Zalfa), isso quer dizer 
que a estatística do teste está dentro da 
região de aceitação e podemos aceitar H0. 
Rejeita H0 se a estatística 
do teste está neste 
intervalo. 
5.1 FORMULAÇÃO GERAL DE UM TESTE ESTATÍSTICO 
 Passo a passo: 
 
 Passo 1: Fixe qual a hipótese nula, H0, a ser testada e qual a hipótese 
alternativa (H1); 
 
 Passo 2: Use a teoria estatística e as informações disponíveis para 
decidir qual estatística será usada para julgar a hipótese (média, 
variância, proporção, etc.). Não se esqueça de levantar as propriedades 
dessa estatística. 
 
 Passo 3: Fixe o nível de significância (𝛼) e use esse valor pra construir 
a região crítica. 
 
 Passo 4: Use as informações fornecidas pela amostra para encontrar o 
valor da estatística do teste (Z, t, 𝜒2, etc.) que definirá a decisão. 
 
 Passo 5: Se o valor da estatística do teste pertencer à região crítica 
(Z>Zalfa), rejeite H0; caso contrário, não rejeite. 
5.1 FORMULAÇÃO GERAL DE UM TESTE ESTATÍSTICO 
 Voltando ao exemplo do início: 
 
 O fornecedor garante que não haverá mais de 6% de 
peças defeituosas em cada remessa. 
 
 Inspeciona-se uma amostra de 142 peças de uma 
grande remessa, encontrando-se 8% defeituosas. 
 
 
5.1 FORMULAÇÃO GERAL DE UM TESTE ESTATÍSTICO 
 Passo 1: Fixe qual a hipótese nula, H0, a ser testada e 
qual a hipótese alternativa (H1); 
 H0: p=0,06 
 H1: p>0,06 
 
 
5.1 FORMULAÇÃO GERAL DE UM TESTE ESTATÍSTICO 
 Passo 1: Fixe qual a hipótese nula, H0, a ser testada e 
qual a hipótese alternativa (H1); 
 H0: p=0,06 
 H1: p>0,06 
 Passo 2: Use a teoria estatística e as informações 
disponíveis para decidir qual estatística será usada para 
julgar a hipótese (média, variância, proporção, etc.). Não 
se esqueça de levantar as propriedades dessa estatística. 
 Como estamos lidando com proporções amostrais e 
com um grande tamanho de amostra (n=142), a 
distribuição amostral adequada é a distribuição 
normal com média p e desvio 𝜎𝑝 = 𝑝(1 − 𝑝) 𝑛 . 
 Logo, 𝑝~𝑁(0,06; 0,022) 
 
5.1 FORMULAÇÃO GERAL DE UM TESTE ESTATÍSTICO 
 Passo 3: Fixe o nível de significância (𝛼) e use esse valor 
pra construir a região crítica. 
 Usemos 𝛼=5%, então Zalfa=+1,65. 
 Ou seja, a região crítica é dada por todos aqueles 
valores de Z que são maiores que Zalfa=+1,65. 
 
5.1 FORMULAÇÃO GERAL DE UM TESTE ESTATÍSTICO 
 Passo 3: Fixe o nível de significância (𝛼) e use esse valor 
pra construir a região crítica. 
 Usemos 𝛼=5%, então Zalfa=+1,65. 
 Ou seja, a região crítica é dada por todos aqueles 
valores de Z que são maiores que Zalfa=+1,65. 
 
 Passo 4: Sob H0, use as informações fornecidas pela 
amostra para encontrar o valor da estatística do teste 
(Z, t, 𝜒2, etc.) que definirá a decisão. 
𝑍 =
𝑝 − 𝑝
𝜎𝑝
=
0,08 − 0,06
0,02
= +1,0 
 
 
5.1 FORMULAÇÃO GERAL DE UM TESTE ESTATÍSTICO 
 Passo 3: Fixe o nível de significância (𝛼) e use esse valor pra 
construir a região crítica. 
 Usemos 𝛼=5%, então Zalfa=+1,65. 
 Ou seja, a região crítica é dada por todos aqueles valores de 
Z que são maiores que Zalfa=+1,65. 
 
 Passo 4: Sob H0, use as informações fornecidas pela amostra 
para encontrar o valor da estatística do teste (Z, t, 𝜒2, etc.) 
que definirá a decisão. 
𝑍 =
𝑝 − 𝑝
𝜎𝑝
=
0,08 − 0,06
0,02
= +1,0 
 
 Passo 5: Se o valor da estatística do teste pertencer à região 
crítica (Z>Zalfa), rejeite H0; caso contrário, não rejeite. 
 
 Como Z < Zalfa (+1,0 < +1,65), não podemos rejeitar H0. Assim, é 
possível que o fornecedor esteja certo e que o valor acima de 6% 
que observamos aconteceu por acaso.