Identidades Trigonometricas

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Identidades Trigonométricas 
 
sen(α + β) = sen(α) cos(β) + sen(β) cos(α) 
sen(α − β) = sen(α) cos(β) − sen(β) cos(α) 
 cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sen(α) sen(β) 
 cos(α − β) = cos(α) cos(β) + sen(α) sen(β) 
tg(α + β) = 
tgα + tgβ
1 − tgα · tgβ
 
 tg(α − β) = 
 tgα− tgβ
1+ tgα · tgβ
 
sen2²(x) + cos² (x) = 1 
tg² (x) + 1 = sec² (x) 
 sen(2x) = 2 cos(x) sen(x) 
cos(2x) = cos² (x) – sen² (x) 
sen² (x) = 
1 − cos (2x) 
2
 
cos² (x) = 
1+ cos (2x) 
2
 
 
Erros comuns 
 
2 sen(x) = sen(2x); x ≠ 0 
sen(α) + sen(β) = sen(α + β) 
sen² (x) = sen(x ² ) 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1. cosx = 0 
2. senx =
1
2
 
3. senx = cosx 
4. senx = sen²x 
5. sen²x + 
3
2
senx = 1 
6. senx ≤
1
2
 
7. |cosx| < 
1
 2
 
 
 
 
 
 
1. cos x = 0 
 
Através do gréfico abaixo é possível avaliar que a função f (x) = cos x passa várias vezes no eixo da 
abscissa. 
 
 
 
 
 
 
Como a func¸a˜o c íc l ica , ou seja, se repete a cada intervalo de 2π, a soluc¸a˜o geral da 
equac¸a˜o sera´: 
 
X={...-
𝜋
2
,
𝜋
2
,
3𝜋
2
,...} cos x = 0 → x=
𝜋 
2
 +k𝜋; ∀𝑘 ∃ N 
 
 
 
1.0 
sen x 
1 
y = 
0.5 2 
–5 5 
–0.5 
–1.0 
2. sen x = 
1
2
 
 
Analogamente como no exercício anterior a função também é cíclica 
 
 
 
 
 
 
 
Aqui temos que ser mais delicados porque as soluções serão de dois múltiplos 
diferentes, por isso precisamos achar as duas soluções particulares. 
 
Se sen x = 
1
2
, logo sen x = 30º ou sen x = 150º, mas vamos utilizar os valores em 
radianos. 
 
 X=
𝜋
6
 e X=
5𝜋
6
, no intervalo [0,2𝜋]. 
 
No gráfico acima é uma representação no plano xy, se formos definir o intervalo [0,2𝜋] 
ficaria do seguinte modo. 
 
 
 
Na figura há apenas 2 interseções que são as soluções particulares que encontramos. 
1.0 
sen x 
1 
y = 
0.5 2 
–5 5 
–0.5 
–1.0 
No círculo trigonométrico seria representado pelo gráfico abaixo, observe a diferença 
que o gráfico no plano cartesiano a variável x é a abscissa e no círculo ela é o ângulo 
em radianos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Sen x = Cos x 
 
 
 
Existem dois pontos onde os gráficos se interceptam, portanto duas soluções 
sen x = cos x. A dica seria usar algebrismo. 
 
 
sin 𝑥 = cos 𝑥 
 
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
 . sin 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 . 
1
cos 𝑥
 
sin 𝑥
cos 𝑥
=
cos 𝑥
cos 𝑥
 
 
sin 𝑥
cos 𝑥
= 1 
sin 𝑥 = cos 𝑥 
Concluindo que x tem que possuir um ângulo de 45º ou de (180º+45º) = 225º, 
em radianos 
𝜋
4 
𝑒 
5𝜋
4
 respectivamente. 
 
4. Sen x = Sen² x 
 
sin 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛²𝑥 
0 = sin² 𝑥 − sin 𝑥 
0 = sin 𝑥(sin 𝑥 − 1) 
 
 
Sinx = 0 ou Sinx – 1 = 0 
 
Na primeira equação as soluções são 0 e 𝜋 
 
Na segunda equação a solução é 
𝜋
2
. 
 
𝑠𝑖𝑛 0 = sin 𝜋 = 0 sin
𝜋
2
= 1 
 
 
 
 
5. 𝐒𝐢𝐧²𝒙+ 
𝟑
𝟐
𝐒𝐢𝐧 𝒙 = 𝟏 
 
 
𝑆𝑖𝑛² 𝑥 +
3
2
𝑆𝑖𝑛 𝑥 = 1 
𝑆𝑖𝑛² 𝑥 +
3
2
𝑆𝑖𝑛 𝑥 − 1 = 0 
Esta equação está na forma de um polinômio de 2º grau. Se mudarmos a 
variável ficará mais visível 
𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥; 𝑦² +
3
2
𝑦 − 1 = 0 
𝑦 = −2 𝑜𝑢 𝑦 = 
1
2
 
sin 𝑥 = −2 𝑜𝑢 sin 𝑥 = 
1
2
 
 
Na primeira equação não possui solução porque a imagem de sin x é 
[-1,1]. Na segunda equação serão duas soluções, 𝑥 = {
𝜋
6
 ; 
5𝜋
6
}. 
 
 
6. Sin x ≥ 
1
2
 
 
 
 
 
Observando o gráfico acima verifica que há um intervalo em que sin x é 
está acima de y = 
1
2
. No exercício [2.] achamos os pontos onde elas se 
interceptam que são 
𝜋
6
;
5𝜋
6
 . Logo a solução é o intervalo 𝜋
6
;
5𝜋
6
 . 
 
 
7. |Cos x| ≤ 
1
 2
 
 
 
 
 
 
 
 
Isto é uma inequação modular, teremos que dividir em duas partes. 
Se cos x ≥ 0, então |cosx| = cos x, logo: 
|cos x|≤
1
 2
 
cos x≤
1
 2
 
 
𝜋
4
< 𝑥 <
7𝜋
4
 
Mas cos x ≥ 0 → {0 ≤ 𝑥 ≤
𝜋
2
 𝑜𝑢 
3𝜋
2
≤ 𝑥 < 2𝜋} 
A solução até agora seria a interseção das duas soluções 
 
𝜋
4
< 𝑥 <
7𝜋
4
 e {0 ≤ 𝑥 ≤
𝜋
2
 𝑜𝑢 
3𝜋
2
≤ 𝑥 < 2𝜋} = 
= {
𝜋
4
< 𝑥 ≤
𝜋
2
 𝑜𝑢 
3𝜋
2
< 𝑥 ≤
7𝜋
4
} 
 
Agora é a segunda parte da resolução: 
Se |Cos x| = - cos x. Logo: 
|𝑐𝑜𝑠𝑥| < 
1
 2
 
−cos 𝑥 <
1
 2
 
cos 𝑥 > −
1
 2
 
 𝑥 <
3𝜋
4
 𝑜𝑢 𝑥 > 
5𝜋
4
 
Mas como cos x< 0 → {
𝜋
2
< 𝑥 <
3𝜋
2
} 
 
Sendo a interseção a solução desta parte. 
 𝑥 <
3𝜋
4
 𝑜𝑢 𝑥 > 
5𝜋
4
 ou {
𝜋
2
< 𝑥 <
3𝜋
2
} = 
= {
𝜋
4
< 𝑥 < 
3𝜋
4
𝑜𝑢 
5𝜋
4
< 𝑥 <
3𝜋
2
} 
 
Unindo a solução das duas partes, teremos: 
{
𝜋
2
< 𝑥 < 
3𝜋
4
𝑜𝑢 
5𝜋
4
< 𝑥 <
7𝜋
4
} 
 
Que é a solução geral da inequação modular pedida.