Testes de Hipoteses

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TESTES DE HIPÓTESESTESTES DE HIPÓTESES
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Uma hipótese estatística é uma afirmativa a respeito de um 
parâmetro de uma distribuição de probabilidadeparâmetro de uma distribuição de probabilidade.
Por exemplo, podemos formular a hipótese que a produtividade
é diferente de 2,5 peças/hora. Formalmente isso é escrito como:é diferente de 2,5 peças/hora. Formalmente isso é escrito como:
peçashoraH 5,2 :0 =μ
peças/horaH 5,2 :1 ≠μ
Ho é chamada de hipótese nula e H1 de hipótese alternativa. 
Nesse caso, a alternativa formulada é bilateral, mas também 
podem ser estabelecidas alternativas unilaterais tais como:podem ser estabelecidas alternativas unilaterais, tais como:
/hH
horapeçasH
52
/5,2 :0 =μ
peças/horaH 5,2 :1 <μ
O t t d hi ót ã d li õ d t tí ti•Os testes de hipótese são uma das aplicações da estatística 
mais usadas.
•Via de regra, a hipótese nula é feita com base no 
comportamento passado do produto/processo/serviços, 
t lt ti é f l d f ã d lt õ /enquanto a alternativa é formulada em função de alterações / 
inovações recentes.
•No ambiente atual de melhoria contínua, é fácil entender a 
importância dos testes de hipótese: eles permitem confirmar a 
fi á i d did d lh i d t deficácia das medidas de melhoria adotadas.
•Ao testar a hipótese, toma-se uma amostra aleatória do 
sistema em estudo e se calcula o parâmetro desejado. 
Conforme o valor do parâmetro, a hipótese nula será aceita 
j it d ti d di t t tí tiou rejeitada, a partir de procedimentos estatísticos.
Passos para realizar um Teste de Passos para realizar um Teste de 
Hipóteses:Hipóteses:Hipóteses:Hipóteses:
Passo 1 : Definição da Hipótese
O primeiro passo é o estabelecimento das hipóteses: hipótese 
nula e hipótese alternativa 
Hipótese Nula (H0): É um valor suposto para um parâmetro.Se os 
resultados da amostra não forem muito diferentes de Ho, ela não 
poderá ser rejeitada.
Hipótese Alternativa(H1) : É uma hipótese que contraria a hipótese 
nula, complementar de H0, Essa hipótese somente será aceita se os 
resultados forem muito diferentes de H0. 
Passos para realizar um Teste de Passos para realizar um Teste de 
HipóteseHipóteseHipóteseHipótese
Passo 2: Calcular a estatística do Teste
É o valor calculado a partir da amostra, que será usado na 
tomada de decisão. Uma maneira de tomar-se uma decisão é 
comparar o valor tabelado com a estatística do teste.
Para o caso de testes de médias, a estatística do teste é a 
iá l d i d Zvariável padronizada Z:
)n(
)X(Zcal σ
μ−=
E t tí ti
Variabilidade 
das médias)(Estatística 
do teste
Passos para realizar um Teste de Passos para realizar um Teste de 
HipóteseHipóteseHipóteseHipótese
Passo 3: Região Crítica
O l d t tí ti d t t l Z é l l d dO valor da estatística do teste, no caso, o valor Z, é calculado supondo 
que a hipótese nula (H0) é verdadeira. No entanto, o valor calculado 
pode estar associado a uma probabilidade de ocorrência muito baixa. p p
Nesse caso, a hipótese nula deve ser rejeitada e aceitamos a hipótese 
alternativa.
A região crítica é a região onde H0 é rejeitada. A área da região crítica 
é igual ao nível de significância (α), que estabelece a probabilidade de 
rejeitar H0 quando ela é verdadeira.rejeitar H0 quando ela é verdadeira.
Por exemplo, se utilizarmos o nível de significância de 5%, a 
probabilidade de rejeitar H0 quando ela é verdadeira é igual a 5%. Na 
prática, os valores usuais de alfa são α = 0,01 ou 0,05 ou 0,10.
Passos para realizar um Teste de Passos para realizar um Teste de 
HipóteseHipóteseHipóteseHipótese
Unilateral à direita:
H : μ = 50H0: μ = 50
H1: μ > 50
Unilateral à esquerda: q
H0: μ = 50
H1: : μ < 50
Bilateral:
H0: μ = 50
H1:: μ ≠ 50
Passos para realizar um Teste de Passos para realizar um Teste de 
HipóteseHipóteseHipóteseHipótese
Passo 4: Regra de Decisão: 
Se o valor da estatística do teste cair na região crítica, rejeita-
se H0. Ao rejeitar a hipótese nula (H0) existe uma forte evidência de 
sua falsidadesua falsidade.
Ao contrário, quando aceitamos, dizemos que não houve 
evidência amostral significativa no sentido de permitir a rejeição deevidência amostral significativa no sentido de permitir a rejeição de 
H0. 
Passos para realizar um Teste de Passos para realizar um Teste de 
HipóteseHipóteseHipóteseHipótese
Passo 5: Conclusão
Aceitar H0, implica que a hipótese 
nula não pode ser rejeitada!
Rejeitar H0 implica que temos 
evidências estatísticas para rejeitá-la 
i h idcom um risco conhecido : α.
Comparação de médias, variância Comparação de médias, variância 
conhecidaconhecidaconhecidaconhecida
Suponha que X é uma variável aleatória com média μSuponha que X é uma variável aleatória com média μ
desconhecida e variância conhecida. E queremos testar a 
hipótese de que a média é igual a um certo valor especificado 
O t t d hi ót d f l d
2σ
μ0. O teste de hipótese pode ser formulado como segue:
0o :H μ=μ
Para testar a hipótese, toma-se uma amostra aleatória de n
01 :H μ≠μ
p ,
observações e se calcula a estatística
XZ oμ−
Note que o teste é feito usando-se no denominador, uma 
n/
Z oo σ
μ=
n/σ
vez que esse é o desvio padrão da média.
A hipótese Ho é rejeitada se onde é um valor
limite da distribuição normal reduzida tal que a probabilidade
2/0 αZZ > 2/αZ
limite da distribuição normal reduzida tal que a probabilidade
de se obter valores externos a é α.2/Zα±
A probabilidade do valor Zo acontecer segundo a hipótese nula 
é menor do que , logo rejeita-se a hipótese nula Ho.αq , g j p o
Se resultar próximo de , a hipótese H é aceita;X 2/ZZ <oμSe resultar próximo de , a hipótese Ho é aceita;
Se resultar longe de a hipótese H é rejeitada
X 2/ao ZZ <
X ZZ
oμ
μSe resultar longe de , a hipótese Ho é rejeitada.X 2/ao ZZ ≥oμ
Teste de Hipótese para a média Teste de Hipótese para a média --
EXEMPLOEXEMPLOEXEMPLOEXEMPLO
A resistência à tração do aço inoxidável produzido numa usina 
permanecia estável com uma resistência média de 72 kg/mm2 epermanecia estável, com uma resistência média de 72 kg/mm2 e 
um desvio padrão de 2,0 kg/mm2. Recentemente, a máquina foi 
ajustada. A fim de determinar o efeito do ajuste, 10 amostrasajustada. A fim de determinar o efeito do ajuste, 10 amostras 
foram testadas. 
76,2 78,3 76,4 74,7 72,6 78,4 75,7 70,2 73,3 74,2, , , , , , , , , ,
Presuma que o desvio padrão seja o mesmo que antes do ajuste. esu a que o desv o pad ão seja o es o que a tes do ajuste.
Podemos concluir que o ajuste mudou a resistência à tração de 
aço? (Adote um nível de significância de 5%)
Teste de Hipótese para a média Teste de Hipótese para a média --
EXEMPLOEXEMPLOEXEMPLOEXEMPLO
Passo 1 : Definição da Hipótese
Ho: μ 72 kg/mm2Ho: μ = 72 kg/mm2
H1: μ ≠ 72 kg/mm2
σ = 2 kg/mm2σ 2 kg/mm
Passo 2: Calcular a estatística do Teste
Sendo = 75,0 e σ = 2 kg/mm2, temos:X
37275X −− μ 744
63250
3
102
7275 ,
,n
X
Z ocal ==== σ
μ
Isso significa que a média da amostra retirada aleatoriamente da produção está 
a 4,74 desvios-padrão da média alegada em Ho que é 72.
Teste de Hipótese para a médiaTeste de Hipótese para a médiap pp p
Passo 3: Região Crítica
Passo 4: Regra de Decisão 
C l í i 5% é 1 96 d i (Z b l d )Como o valor crítico para 5% é 1,96 desvios (Z tabelado), estamos na 
região de rejeição de Ho. 
Passo 5: Conclusão 
Ho é rejeitada e concluímos que a resistência à tração do aço mudou.j q ç ç
Teste de Hipótese para a médiaTeste de Hipótese para a médiap pp p
Exemplo 1: Um processo deveria produzir bancadas com
0,85 m de altura. O engenheiro desconfia que as bancadas
que estão sendo produzidas são diferentes que o especificadoque estão sendo produzidassão diferentes que o especificado.
Uma amostra de 8 valores foi coletada e indicou .
Sabendo que o desvio padrão é , teste a hipótese do
0,87X =
010,0=σq p , p
engenheiro usando um nível de significância α=0,05.
Solução:
,
ç
1
: 0,85
: 0,85
oH
H
μ
μ
=
≠
o
0,87 0,85Z 5,66
0 010 / 8
−= =
⇒ Rejeita-se Ho0,0255,66 1,96oZ Z= > =
0,010 / 8
α/2 α/2
μ
-1 96 +1 96
=0,850=0,850
=2/Z =2/αZ1,96 +1,96=2/αZ 2/αZ
2/0 αZZ > 2/0 αZZ >2/0 αZZ ≤
Aceita HAceita Ho Rejeita HRejeita HooRejeita HRejeita Hoo
Em alguns casos, o objetivo pode ser rejeitar Ho somente se a 
verdadeira média for maior que μo. Assim, a hipótese 
alternativa unilateral será , e a hipótese nula será 
j it d t
o1 :H μ>μ
> ZZrejeitada somente se .α> ZZo
•Se o objetivo for rejeitar Ho somente quando a verdadeira 
média for menor que μo, a hipótese alternativa será 
e a hipótese nula será rejeitada somente se ou
o1 :H μ<μ
−< ZZ ZZ >
α
e a hipótese nula será rejeitada somente se ou .
á é i i
α−< ZZo αZZo >
•Quando há duas populações com médias desconhecidas, 
digamos e variâncias conhecidas, , o teste 
para verificar a hipótese que as médias sejam iguais é o
1o e μμ 2221 e σσ
para verificar a hipótese que as médias sejam iguais é o 
seguinte:
21o :H μ=μ
211 :H μ≠μ
Nesse caso, a partir de uma amostra aleatória de n1
observações da população 1 e n2 observações da população 2, 
calcula-se:
2
2
2
1
21
o
XXZ
σ+σ
−=
E Ho é rejeitada se .
21 nn
+
2/0 αZZ >o j
No caso da alternativa unilateral a hipótese nula211 :H μ>μNo caso da alternativa unilateral , a hipótese nula 
Ho será rejeitada quando . 
211 :H μ>μ
α> ZZo
E se a alternativa unilateral for , a hipótese nula Ho
será rejeitada quando resultar ou .
211 : μμ <H
−< ZZ αZZo >será rejeitada quando resultar ou .α< ZZo αZZo >
Tabela 1: Teste de Médias, Variância Conhecida
Hi ót E t tí ti C ité iHipótese Estatística Critério para
rejeitar Ho
o
H
H
μμ
μμ
≠
=
:
 :
1
0
2/0 αZZ >oH μμ ≠ :1
o
H
H
μμ
μμ
>
=
:
 :
1
0
n
XZ oo /σ
μ−=
2/0 α
αZZo >
oH μμ > :1
o
o
H
H
μμ
μμ
<
=
:
 :
1
0 αZZo −< ou αZZo >
oH μμ < :1
211
21
 :
 :
μμ
μμ
≠
=
H
Ho
2/0 αZZ >211 μμ
211
21
 :
 :
μμ
μμ
>
=
H
Ho
2
2
2
1
21 XXZo σσ +
−=
αZZo >
211 μμ
211
21
 :
 :
μμ
μμ
<
=
H
Ho
21 nn
+
αZZo −< ou αZZo >
211
Comparação de médias, variância Comparação de médias, variância 
desconhecidadesconhecidadesconhecidadesconhecida
Suponha que X é uma variável aleatória Normal com média p q
μ e variância desconhecidas. Para testar a hipótese de que 
a média é igual a um valor especificado μo , formulamos:
2σ
o1
0o
 :H
 :H
μ≠μ
μ=μ
Esse problema é idêntico àquele da seção anterior, exceto que 
agora a variância é desconhecida. Como a variância é 
desconhecida, é necessário fazer a suposição adicional de que 
a variável tenha distribuição Normal.
Essa suposição é necessária para poder desenvolver a 
estatística do teste; contudo, os resultados ainda serão válidos 
se o afastamento da normalidade não for fortese o afastamento da normalidade não for forte.
Como não é conhecido, usa-se a distribuição t de Student2σ
para construir a estatística do teste:
Xt oμ−
ns
t oo /
=
E a hipótese nula é rejeitada se , onde 
t α / 2 é um valor limite da distribuição t de Student tal que a 
0o :H μ=μ 1n,2/0 tt −α>
α / 2 ç q
probabilidade de se obter valores externos a t α / 2 é α.
A Tabela 2 mostra os testes apropriados para os casos de 
hipóteses unilaterais.
Hi ót E t tí ti C ité i
Tabela 2: Teste de Médias, Variância desconhecida
Hipótese Estatística Critério para
rejeitar Ho 
o
o
H
H
μμ
μμ
≠
=
 :
 :
1
0 
 
 
 
1,2/0 −> ntt α 
 
o
o
H
H
μμ
μμ
>
=
 :
 :
1
0 ns
Xt oo /
μ−= 
 
 
1, −> no tt α 
 
o
o
H
H
μμ
μμ
<
=
 :
 :
1
0 
 
1, −−< no tt α ou 1, −> no tt α 
21 xx − 
211
21
 :
 :
μμ
μμ
≠
=
H
Ho 
 
21
21
0 11
nn
s
xxt
p +
=
221 −+= nngl 
 
gltt ,2/0 α> 
 
 
211
21
 :
 :
μμ
μμ
>
=
H
Ho 
 
2
2
2
1
21
ss
XXto
+
−= 
 
gl
tto ,α> 
 
 
211
21
 :
 :
μμ
μμ
<
=
H
Ho 
21 nn[ ]
1
)/(
1
)/(
)/()/(
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
21
2
1
+
+=
n
ns
n
ns
nsnsgl 
 
 
glo tt ,α−< ou glo tt ,α> 
 11 21 −− nn
 
Teste de hipótese para a médiaTeste de hipótese para a média
(desvio padrão desconhecido)(desvio padrão desconhecido)(desvio padrão desconhecido)(desvio padrão desconhecido)
Um trecho de uma rodoviária estadual, quando é utilizado o 
radar são verificadas em média 7 infrações diárias porradar, são verificadas em média 7 infrações diárias por 
excesso de velocidade. O chefe de polícia acredita que este 
número pode ter aumentado. Para verificar isso, o radar foinúmero pode ter aumentado. Para verificar isso, o radar foi 
mantido por 10 dias consecutivos. Os resultados foram:
8, 9, 5, 7, 8, 12, 6, 9, 6, 10, , , , , , , , ,
Os dados trazem evidência de aumento nas infrações? 
Passo 1 : Definição da HipótesePasso 1 : Definição da Hipótese
Ho: μ = 7 
H 7H1: μ > 7
Teste de hipótese para a médiaTeste de hipótese para a média
(desvio padrão desconhecido)(desvio padrão desconhecido)(desvio padrão desconhecido)(desvio padrão desconhecido)
Passo 2: Calcular a estatística do teste
T 8XTemos = 8. 
Não conhecendo , estimamos por s (desvio-padrão da 
amostra) logo s = 2 10
X σ
amostra), logo, s = 2,10. 
Desvio-padrão foi estimado a partir de uma pequena amostra) 
deve-se usar a estatística t de Student. 
5,1
6660
1
10102
78 ==−=−= Xt ocal μ
Isso significa que a média da amostra retirada aleatoriamente da
666,01010,2ns
Isso significa que a média da amostra retirada aleatoriamente da 
produção está a 1,5 desvios-padrão da média alegada em Ho que 
é 7.
Teste de hipótese para a médiaTeste de hipótese para a média
(desvio padrão desconhecido)(desvio padrão desconhecido)(desvio padrão desconhecido)(desvio padrão desconhecido)
„Passo 3: Região Crítica
O valor tabelado de t 
„Passo 3: Região Crítica
depende do nível de significância 
(5%) e dos graus de liberdade, 
que são função do tamanho daque são função do tamanho da 
amostra: GL = n – 1 = 9. Nesse 
exemplo,exemplo, 
t tabelado = 1,833
Teste de hipótese para a médiaTeste de hipótese para a média
(desvio padrão desconhecido)(desvio padrão desconhecido)(desvio padrão desconhecido)(desvio padrão desconhecido)
Passo 4: Regra de Decisão
O valor calculado de t está dentro da região de aceitação de Ho.
Passo 5: Conclusão
Como aceitamos Ho a conclusão é que e não houve um aumentoComo aceitamos Ho, a conclusão é que e não houve um aumento 
significativo no número de infrações. Veja que, apesar de 8 ser 
maior que 7, a diferença não foi significativa para concluir que o 
número de infrações aumentou. É como se não houvesse provas 
suficientes para condenar o réu.
Exemplo 2: Um empresário desconfia que o tempo médio deExemplo 2: Um empresário desconfia que o tempo médio de 
espera para atendimento de seus clientes é superior a 20 
minutos. Para testar essa hipótese ele entrevistou 20 pessoas e p p
questionou quanto tempo demorou para ser atendido. O 
resultado dessa pesquisa aparecea seguir:
22 20 21 23 22 20 23 22 20 24 
21 20 21 24 22 22 23 22 20 24 
min20 :
min20 :
1 >
=
μ
μ
H
Ho
1 μ
min 8,21=X
min40,1=s
75,5
20/40,1
208,21
/
=−=−=
ns
Xt oo
μ
i729,1 75,5 19,05,00 =>= tt Rejeita-se Ho
Exemplo: Uma máquina empacotadora de pacotes de café 
de certo fabricante deve completá-los, em média, com no 
mínimo 500 g Se coletássemos uma amostra de 16 pacotesmínimo 500 g. Se coletássemos uma amostra de 16 pacotes 
empacotados por esta máquina, a fim de verificarmos se 
esta encontra-se regulada, e obtivéssemos uma média g ,
amostral de 495 g e desvio padrão de 5 g, seria plausível 
concluirmos que a média de peso dos pacotes é inferior a 
500 g, ou seja, a máquina se encontraria desregulada?
Teste de hipótese para comparação de Teste de hipótese para comparação de 
médiasmédias (I d d t )(I d d t )médiasmédias (Independentes)(Independentes)
Existem situações que queremos comparar duas amostras 
independentes, por exemplo, queremos verificar se existe 
diferença significativa entre dois lotes em relação à média dediferença significativa entre dois lotes em relação à média de 
uma característica de qualidade importante.
N t t d t tili difNeste caso, temos duas amostras e utilizaremos a diferença 
entre as médias amostrais. Se esta diferença for significativa, 
dizemos que as populações possuem médias diferentes quanto adizemos que as populações possuem médias diferentes quanto a 
característica utilizada.
Teste de hipótese para comparação de Teste de hipótese para comparação de 
médiasmédias (I d d t )(I d d t )médiasmédias (Independentes)(Independentes)
Passo 1 : Definição da Hipótese
Quando há duas populações normais com médias e variâncias 
desconhecidas, as hipóteses para testar se as médias são iguais 
são as seguintes:são as seguintes:
21 : μμ =
H
Ho
Passo 2: Calcular a estatística do Teste
211 : μμ ≠H
O procedimento do teste irá depender de que . Se essa 
suposição for razoável, então calcula-se a variância combinada
2
2
2
1 σ=σ
E a seguir calcula-se a estatística do teste:
21
11
xxtcal
−= )1()1( 2222112 −+−= snsns
21
11
nn
sp + 221 −+
=
nn
sp
Teste de hipótese para comparação de Teste de hipótese para comparação de 
médiasmédias (I d d t )(I d d t )médiasmédias (Independentes)(Independentes)
Passo 3: Região Crítica
Similar aos demais testes.
Passo 4: Regra de Decisão
Comparar o valor da estatística do teste t l com o valorComparar o valor da estatística do teste tcal com o valor 
tabelado ttab com n1+n2-2 graus de liberdade. 
Ho será rejeitada seHo será rejeitada se 
2nn,2/0 21tt −+α>
Teste de hipótese para comparação de Teste de hipótese para comparação de 
médias (Independentes)médias (Independentes) EXEMPLOEXEMPLOmédias (Independentes) médias (Independentes) -- EXEMPLOEXEMPLO
Um engenheiro desconfia que a qualidade de um material pode 
depender da matéria prima utilizada Há dois fornecedores dedepender da matéria-prima utilizada. Há dois fornecedores de 
matéria-prima sendo usados. Testes com 10 observações de 
cada fornecedor indicaram,cada fornecedor indicaram, 
Use um nível de significância α = 5% e teste a hipótese do
39 1 =X 71 =s 432 =X 92 =s
Use um nível de significância α = 5% e teste a hipótese do 
engenheiro.
21
:
 :
μμ
μμ
≠
=
H
Ho 06,865
21010
9)9(7)9( 222 =⇒=+
×+×= pp ss
211 : μμ ≠H 21010 −+ pp
11,14339 −=−=calt ⇒ Aceito Ho,
10
1
10
106,8 +
cal
Se houver evidências de que , então a estatística a ser 
usada é:
2
2
2
1 σ≠σ
2
2
2
1
21
0
n
s
n
s
xxt
+
−=
e o número de graus de liberdade para t é calculado da forma 
i d
21 nn
aproximada: [ ]
)/()/(
)/()/(
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
21
2
1
+
+=
nsns
nsnsGL
H á j i d O il i
11 21 −
+− nn
tt >Ho será rejeitada se . Os testes unilaterais 
correspondentes aparecem na Tabela 3 . 
να ,2/0 tt >
Hi ót E t tí ti C ité i
Tabela 3: Teste de médias, variância desconhecida
Hipótese Estatística Critério para
rejeitar Ho 
o
o
H
H
μμ
μμ
≠
=
 :
 :
1
0 
 
 
 
1,2/0 −> ntt α 
 
o
o
H
H
μμ
μμ
>
=
 :
 :
1
0 ns
Xt oo /
μ−= 
 
 
1, −> no tt α 
 
o
o
H
H
μμ
μμ
<
=
 :
 :
1
0 
 
1, −−< no tt α ou 1, −> no tt α 
21 xx − 
211
21
 :
 :
μμ
μμ
≠
=
H
Ho 
 
21
21
0 11
nn
s
xxt
p +
=
221 −+= nngl 
 
gltt ,2/0 α> 
 
 
211
21
 :
 :
μμ
μμ
>
=
H
Ho 
 
2
2
2
1
21
ss
XXto
+
−= 
 
gl
tto ,α> 
 
 
211
21
 :
 :
μμ
μμ
<
=
H
Ho 
21 nn[ ]
1
)/(
1
)/(
)/()/(
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
21
2
1
+
+=
n
ns
n
ns
nsnsgl 
 
 
glo tt ,α−< ou glo tt ,α> 
 11 21 −− nn