Elementos de Álgebra Diego1 EA 2015

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Universidade Estadual de Campinas 
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica 
Disciplina: MA673 – Elementos de Álgebra 
Responsável: Professor Fernando Eduardo Torres Orihuela 
 
 
 
 
 
 
 
 
Monografia 1: O gênero e condutor de um semigrupo gerado por 
dois naturais coprimos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aluno: Diego Mariano Valero, RA: 076011 
Orientador: Professor Fernando Eduardo Torres Orihuela. 
 
Campinas, 30 de abril de 2015. 
 
 
 
 
 
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RESUMO 
 
Primeira monografia proposta no programa da disciplina 
de graduação MA673 (Elementos de Álgebra), elaborada 
durante o primeiro semestre de 2015, sob orientação do 
professor Fernando Eduardo Torres Orihuela. Será apresentado 
neste trabalho um breve resumo teórico sobre semigrupos 
numéricos, com foco em especial aos semigrupos de dimensão 
dois, ou seja, aqueles gerados por dois naturais coprimos. Para 
análise de combinações lineares, o uso do software Microsoft 
Excel é proposto como auxiliar didático. Alguns exemplos são 
apresentados e várias sugestões são deixadas para verificação 
do leitor. 
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ÍNDICE 
 
1 SOBRE SEMIGRUPOS NUMÉRICOS..........................................................................4 
2 SEMIGRUPO GERADO POR DOIS NATURAIS COPRIMOS.................................5 
3 EXEMPLOS......................................................................................................................6 
4 USO DIDÁTICO DO SOFTWARE EXCEL..................................................................7 
5 SUGESTÃO AO LEITOR................................................................................................9 
6 PESQUISA BIBLIOGRÁFICA REALIZADA............................................................10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1) SOBRE SEMIGRUPOS NUMÉRICOS 
 
A referência bibliográfica [1] define muito bem um semigrupo numérico. 
Acompanhe: 
Um subconjunto 𝐻 do conjunto ℕ0 ∶= ℕ ∪ {0} dos inteiros não negativos é chamado 
semigrupo numérico se as seguintes condições são satisfeitas: 
- Zero pertence a 𝐻 e se 𝑎 e 𝑏 pertencem a 𝐻 então 𝑎 + 𝑏 também pertence a 𝐻. 
- O complementar de H em ℕ0 é um conjunto finito. 
A partir desse ponto, por semigrupo subentende-se semigrupo numérico. 
Escreve-se 𝐻 como sendo: 
𝐻 = {0 = 𝑛0 < 𝑛1 < 𝑛2 < 𝑛3 < 𝑛4 < ⋯}. 
Cada um dos 𝑛𝑖 com 𝑖 ≥ 1 recebe o nome de não lacuna e 𝑛1 é conhecido por multiplicidade. 
O conjunto 𝐿 = 𝐿(𝐻) ∶= ℕ0\𝐻 se escreve como: 
𝐿 = {1 = 𝑙1 < 𝑙2 < 𝑙3 < ⋯ < 𝑙𝑔−1 < 𝑙𝑔}, 
e cada um dos 𝑙𝑖 é chamado de lacuna. 
O número positivo 𝑔 ∶= 𝑔(𝐻) = #𝐿 é chamado de gênero de H. 
Observe que se 𝐻 é um semigrupo e 1 ∈ 𝐻 então 𝐻 = 𝑁0, e portanto, 𝐿 = ∅. 
Assim, se 1 ∈ 𝐻 tem-se que 𝑔 = 0. 
É de interesse deste trabalho estudar apenas os semigrupo tais que 𝑔 > 1, e sendo assim, 1 ∉
𝐻 o que implica que 1 ∈ 𝐿, ou seja, 𝑙1 = 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2) SEMIGRUPO GERADO POR DOIS NATURAIS COPRIMOS 
A referência bibliográfica [2] nos mostra como gerar um semigrupo a partir de dois 
naturais coprimos. Acompanhe: 
Definição: Chamamos de números primos entre si (ou coprimos), um conjunto de 
números onde o único divisor comum a todos eles é o número 1. 
Sejam 𝑎 e 𝑏 dois números naturais coprimos. Logo 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = 1. 
Seja ainda 𝐻 = 〈𝑎, 𝑏〉 o conjunto de todas as combinações lineares entre os inteiros 
positivos e 𝑎 e 𝑏, ou seja: 
𝐻 = {𝑎𝑥 + 𝑏𝑦|𝑥, 𝑦 ∈ ℤ≥0}. 
Nessas condições, 𝐻 é um semigrupo numérico gerado por dois naturais coprimos. 
O maior inteiro que não pertence a H é chamado de número de Frobenius de 𝐻, e é denotado por: 
𝑓 = 𝑓 (𝐻). 
O número 𝑐 = 𝑓 + 1 é conhecido como condutor de 𝐻, e é denotado por: 
𝑐 = 𝑐(𝐻) 
Os inteiros não negativos que não pertencem a 𝐻 são chamados de lacunas de 𝐻. 
 
O número de lacunas de 𝐻 é chamado de gênero de 𝐻, denotado por: 
𝑔 = 𝑔(𝐻). 
 
Propriedade 2.1 - Relação entre 𝑔, 𝑓 e 𝑐 demonstradas nas aulas de MA673: 
𝑓 + 1 ≤ 2𝑔 
Equivalente: 
𝑐 ≤ 2𝑔 
 
Propriedade 2.2 – Válidas para semigrupos de dimensão dois. Resultado publicado e demonstrado 
na referência bibliográfica [3]. 
Sejam 𝑎 e 𝑏 dois naturais coprimos. Segue que: 
𝑓(〈 𝑎, 𝑏 〉) = (𝑎 − 1) (𝑏 − 1) – 1 
𝑔(〈 𝑎, 𝑏 〉) = (𝑎 − 1)(𝑏 − 1) / 2 
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3) EXEMPLOS 
 Basta escolher dois números naturais coprimos. 
 
Exemplo 3.1 - H gerado por 2 e 11. 
Notação: 
𝐻 = 〈2,11〉 
Significado: 
𝐻 = {2𝑥 + 11𝑦|𝑥, 𝑦 ∈ ℤ≥0}. 
Temos, portanto: 
𝐻 = {0,2,4,6,8, 10⃗⃗⃗⃗ , 11, … } 
Lacunas: 
𝐿 = {1,3,5,7,9} 
Gênero de 𝑯: 
𝒈 = 𝟓 
Número de Frobenius de 𝐻 
𝑓 = 9 
Condutor de 𝑯: 
𝒄 = 𝟏𝟎 
 
Exemplo 3.2 - H gerado por 3 e 13. 
Notação: 
𝐻 = 〈3,13〉 
Significado: 
𝐻 = {3𝑥 + 13𝑦|𝑥, 𝑦 ∈ ℤ≥0}. 
Temos, portanto: 
𝐻 = {0,3,6,9,12,13,15,16,18,19,21,22, 24⃗⃗⃗⃗ , 25, … } 
Lacunas: 
𝐿 = {1,2,4,5,7,8,10,11,14,17,20,23} 
Gênero de 𝑯: 
𝒈 = 𝟏𝟐 
Número de Frobenius de 𝐻 
𝑓 = 23 
Condutor de 𝑯: 
𝒄 = 𝟐𝟒 
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4) USO DIDÁTICO DO SOFTWARE EXCEL 
 O software Microsoft Excel pode ser útil para gerar tabelas com algumas das infinitas 
combinações lineares que geram um semigrupo. Vamos usar os exemplos anteriores para mostrar 
como é fácil observar as lacunas e, portanto, o gênero e o condutor do semigrupo estudado. 
 
Exemplo 4.1 - H gerado por 2 e 11. 
Significado: 
𝐻 = {2𝑥 + 11𝑦|𝑥, 𝑦 ∈ ℤ≥0}. 
Algumas combinações lineares: 
 
É fácil observar que: 
𝐻 = {0,2,4,6,8, 10⃗⃗⃗⃗ , 11, … } 
Lacunas: 
𝐿 = {1,3,5,7,9} 
Gênero de 𝑯: 
𝒈 = 𝟓 
Número de Frobenius de 𝐻 
𝑓 = 9 
Condutor de 𝑯: 
𝒄 = 𝟏𝟎 
 
 
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Exemplo 4.2 - H gerado por 3 e 13. 
Significado: 
𝐻 = {3𝑥 + 13𝑦|𝑥, 𝑦 ∈ ℤ≥0}. 
Algumas combinações lineares: 
 
É fácil observar que: 
𝐻 = {0,3,6,9,12,13,15,16,18,19,21,22, 24⃗⃗⃗⃗ , 25, … } 
Lacunas: 
𝐿 = {1,2,4,5,7,8,10,11,14,17,20,23} 
Gênero de 𝑯: 
𝒈 = 𝟏𝟐 
Número de Frobenius de 𝐻 
𝑓 = 23 
Condutor de 𝑯: 
𝒄 = 𝟐𝟒 
 
 
 
 
 
 
 
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5) SUGESTÃO AO LEITOR 
 
Abaixo apresentamos algumas sugestões para o leitor que se interessou pelo método apresentado e 
deseja produzir sua própria tabela de combinações lineares a fim de observar as lacunas e, portanto, 
o gênero e o condutor de um semigrupo numérico a ser estudado. 
 
Tabela 1 – Alguns semigrupos de dimensão dois. 
Geradores Lacunas Gênero Frobenius Condutor 
〈2,9〉 1, 3, 5, 7 4 7 8 
〈3,5〉 1, 2, 4, 7 4 7 8 
〈2,11〉 1, 3, 5, 7, 9 5 9 10 
〈2,13〉 1, 3, 5, 7, 9, 11 6 11 12 
〈3,7〉 1, 2, 4, 5, 8, 11 6 11 12 
〈4,5〉 1, 2, 3, 6, 7, 11 6 11 12 
〈2,15〉 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 7 13 14 
〈3,8〉 1, 2, 4, 5, 7, 10, 13 7 13 14 
〈2,17〉 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 8 15 16 
〈2,19〉 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 9 17 18 
〈3,10〉 1, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 14, 17 9 17 18 
〈4,7〉 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 13, 17 9 17 18 
〈2,21〉 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 10 19 20 
〈3,11〉 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 13, 16, 19 10 19 20 
〈5,6〉 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 13, 14, 19 10 19 20 
〈2,23〉 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21 11 21 22 
〈2,25〉 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23 12 23 24 
〈3,13〉 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 14, 17, 20, 23 12 23 24 
〈4,9〉 1, 2, 3,5, 6, 7, 10, 11, 14, 15, 19, 23 12 23 24 
〈5,7〉 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 16, 18, 23 12 23 24 
 
Para semigrupos de dimensões maiores, consulte a tabela completa na referência [4]. 
 
 
 
 
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6) PESQUISA BIBLIOGRÁFICA REALIZADA 
 
[1] R. Marcuz, Sobre semigrupos numéricos. 
Dissertação de Mestrado defendida em 2007, IMECC. Disponível na Biblioteca Digital 
UNICAMP. 
 
[2] J. Ramírez, O. Rodseth, Numerical Semigroups: Apery and Hilbert series. 
 
[3] J. J. Sylvester (1884), Mathematical questions with their solutions. Educational Times 41. 
 
[4] http://w3.impa.br/~nivaldo/algebra/semigroups/index.html 
Acesso em 23/04/2015.