Portfólio08 CD2 soluções

Prévia do material em texto

CÁLCULO DIFERENCIAL 2 
PORTFÓLIO 08 
Francisco Genival Beserra da Silva 
AULA 08 
Tópico Único 
Nos exercícios 3 a 6, o campo F é conservativo, encontre o potencial escalar f que satisfaça a condição indicada: 
 Q01⤇06. 
2 3 2F(x,y,z) (y cosx z ,2ysenx 4,3xz 2) e f (0,0,0) 0.    
 
2 3 2 3
2 2
( , , ) cos ( , , ) cos
( , , ) 2 4 ( , , ) 2 4
( , , ) 3 2 ( , , ) 3 2
x
y
z
F x y z y x z F x y z y x z dx
F x y z ysenx F x y z ysenx dy
F x y z xz F x y z xz dz
    
    
    



 
Da primeira função obtemos, 
2 3 2 3cosy x z dx y senx z x c   
 
Segue que, 
2 3( , , ) ( , )F x y z y senx z x g y z  
, derivando F em relação a y temos: 
( , , ) 2 ( , )y yF x y z ysenx g y z 
, substituindo a segunda função obtemos, 
2 4 2 ( , ) ( , ) 4y yysenx ysenx g y z g y z     
, antiderivando em relação a y obtemos 
( , ) 4g y z y c  
, substituindo em 
2 3( , , ) ( , )F x y z y senx z x g y z  
 temos, 
2 3( , , ) 4 ( )F x y z y senx z x y h z   
. Derivando F em relação a z teremos, 
2( , , ) 3zF x y z xz c 
, 
2( , , ) 3 ( )z zF x y z xz h z 
, igualando a terceira função inicial obtemos, 
2 23 2 3 ( ) ( ) 2z zxz xz h z h z    
, 
antiderivando em relação a z, 
( ) 2h z z c 
. 
Substituindo chegamos, 
2 3( , , ) 4 2F x y z y senx z x y z c    
 
Como 
(0,0,0) 0F 
 temos, 
0 0 0c c   
. 
Logo, 
2 3( , , ) 4 2F x y z y senx z x y z   
. 
 
Nos exercícios 9 e 10, calcule o divergente do campo vetorial dado: 
Q02⤇09. 
F x y x y y xy( , ) ( , ); 2 2 2
 
Como, 
31 2
1 2 3
. ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )m
m
f ff f
F p p p p p
x x x x
  
    
   
, segue-se que: 
2 2 2. ( , ) ( ) ( )
. ( , ) 2 2
. ( , ) 4
F x y x y y xy
x y
F x y xy xy
F x y xy
 
   
 
  
 
 
Logo, o divergente do campo vetorial é dado por : 
. ( , ) 4F x y xy 
. 
 
Q03⤇12. Se v é um vetor constante e 
1 2 3r xe ye ze  
, mostre que 
   ( ) .v r 0
 Encontre um potencial vetorial do 
campo 
F x y z v x r( , , ) .
 
Se 
1 2 3r xe ye ze  
, da combinação linear obtemos, 
( , , )r x y z
. 
Se v é constante tomemos: 
1 2 3( , , )v c c c
. 
2 3 1 3 1 2
1 2 3
c c c c c c
v r e e e
x yy z x z
   
, de determinante de matriz temos, 
2 3 1 1 3 2 1 2 3
2 3 1 3 1 2 1 2 3
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
v r zc yc e zc xc e yc xc e
v r zc yc e xc zc e yc xc e
      
      
 
Da combinação linear temos, 
2 3 3 1 1 2( , , )v r zc yc xc zc yc xc    
, daí, 
2 3 3 1 1 2( ) ( ) ( ) ( )
( ) 0 0 0
( ) 0
v r zc yc xc zc yc xc
x y z
v r
v r
  
       
  
    
  
 
CÁLCULO DIFERENCIAL 2 
PORTFÓLIO 08 
Francisco Genival Beserra da Silva 
Se 
( , , ) ( )F x y z v r 
, segue 
2 3 3 1 1 2( , , ) ( , , )F x y z zc yc xc zc yc xc   
. O potencial do campo existe pois 
a demonstração anterior verifica que o mesmo é soloneidal, daí basta encontrar a função tal que, 
F G
. 
Da definição de potencial vetorial e da resolução do exemplo 6 resolvido na aula, 
0 0 0
2 3 1( , , ) ( ( , , ) ( ), ( , , ) ( , , ) , ( ))
z x z
z x z
G x y z f x y z dz x f x y z dx f x y z dz z     
, aplicando obtemos: 
0 0 0
3 1 1 2 2 3
2 2 2
1 2 2
3 1 3
( , , ) ( ( ), , ( ))
( , , ) ( ( ), , ( ))
2 2 2
z x z
z x z
G x y z xc zc dz x yc xc dx zc yc dz z
z c x c z c
G x y z zxc x xyc zyc z
 
 
     
     
  
 
Onde, 
( )x
 é uma função que depende apenas de x e 
( )z
 uma função que depende apenas de z como 
considerado na resolução do exemplo 6 da aula. 
Q04⤇22. Sejam f uma função diferenciável de u e v, 
u g x y z ( , , )
 e 
v h x y z ( , , )
também diferenciáveis, mostre que os 
vetores 
  f g e h,
 são linearmente dependentes. 
Definição: se a equação 
0xA yB zC  
 possui uma solução não nula então A, B e C são linearmente 
dependentes. 
Resta mostrar que 
0f g h   
, possui uma solução não nula, onde 0 representa o vetor nulo. 
Ora, se : 
0 0 0
0 0 0
0 0 0
f g para f g com h
f h para f h com g
h g para h g com f
        
        
        
 
Teremos uma solução não nula para a equação, 
Tomemos, 
0 0 0h g para h g com f        
, daí definimos a 
f
diferenciavel de u e v, 
Como 
( , , )
( , , )
u g x y z
v h x y z


,
( , ) ( , ) ( , )u v x yd f f u v x f u v y 
. 
Segue 
f h g  
 
Definido anteriormente, 
0h g  
, porém 
0h g  
. 
Desta forma, 
0f g h   
com uma solução não nula. 
Portanto: 
( , , )f g h  
 são linearmente dependentes. 
Q05⤇35. Mostre que o produto vetorial de dois campos vetoriais irrotacionais é solenoidal. 
Consideremos os campos irrotacionais: 
 
 
Sendo : 
( , , )
( , , )
F P Q R
G M N L


 Obtemos: 
( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) 0
( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) 0
xF R Q P R Q P
y z z x x y
xG L N M L N M
y z z x x y
      
      
      
      
      
      
 
Observe que:
( , , )FxG QL NR MR PL PN MQ   
 
Daí segue: 
( ) ( ) ( ) ( )
,
x FxG QL NR MR PL PN MQ
x y z
Q L N R M R P L P N M Q
L Q R N R M L P N P Q M
x x x x y y y y z z z z
Q P L M M N N L R Q
L Q R P M N
x y x z y x z y y z
  
      
  
           
          
           
                  
                  
                 
0
P R
z y
 
  
  
 
0
0
xF
xG
 
 