Exercicios - Vetores, retas e planos

Prévia do material em texto

Universidade Federal da Bahia - Instituto de Matema´tica - DMAT
MAT A01 - Geometria Anal´ıtica - Turma 10 - 2016/2
Exerc´ıcios de Vetores, Retas e Planos
Professora Simone Moraes
1. Determine uma base B nos seguintes casos:
(a) B deve conter os vetores ~u = (−1, 2, 6) e ~v = (0,−5, 3) e um vetor ortogonal a ambos.
(b) B e´ base ortogonal contendo o vetor ~u = (7,−1, 3).
(c) B e´ base ortonormal orientada positivamente contendo vetores paralelos aos vetores do
item (b).
(d) B = {~u, ~v, ~w} com ~u ‖ ~w1 = (1, 1, 1) e com mesmo sentido de ~u; ~v combinac¸a˜o linear dos
vetores ~w1 = (1, 1, 1) e ~w2 = (0, 1, 2).
2. Determine o vetor ~u, nos seguintes casos:
(a)
{
~u× (~i+ ~k) = 2(~i+~j − ~k)
‖~u‖ = √6. , (b)
{
〈~u, 2~i+ 3~j + 4~k = 9
~u× (−~i+~j − ~k) = −2~i+ 2~k.
3. Mostre que se B = {~u, ~v, ~w1} e B′ = {~u, ~v, ~w2} sa˜o bases de IR3 com orientac¸o˜es opostas e
~w1‖ ~w2, enta˜o ~w1 = λ ~w2 com λ < 0.
Ale´m disso, se ‖ ~w1‖ = ‖ ~w2‖, enta˜o λ = −1.
4. Sejam ~u, ~v e ~w vetores em IR3, determine:
(a) 〈~u, ~v〉+ 〈~v, ~w〉+ 〈~w, ~u〉, sabendo que ‖ ~u ‖= 3
2
, ‖ ~v ‖= 1
2
, ‖ ~w ‖= 2 e ~u+ ~v + ~w = ~0.
(b) A medida, em radianos, do aˆngulo entre os vetores ~u+ ~v e ~u− ~v, sabendo que ‖ ~u ‖= √5
e ‖ ~v ‖= 1 e o aˆngulo entre eles e´ pi
4
.
5. Sejam A, B e C ve´rtices de um tria˜ngulo equ¨ila´tero de lado unita´rio, calcule:
〈−→AB, −−→BC〉+ 〈−−→BC, −→CA〉+ 〈−→CA, −→AB〉.
6. Em cada um dos casos seguintes, determine um vetor ~u em IR3:
(a) ‖ ~u ‖= 3√3 e ~u e´ ortogonal aos vetores ~v = (2, 3,−1) e ~w = (2,−4, 6), e ~u forma um
aˆngulo agudo com o vetor (1, 0, 0).
(b) ~u e´ ortogonal aos vetores ~v = (4,−4, 5) e ~w = (1,−2, 3) e 〈~u, (1, 1, 1)〉 = −1.
(c) comprimento de ~u e´
√
5, e´ ortogonal a (2, 1,−1), e e´ combinac¸a˜o linear dos vetores
~v = (1, 1, 1) e ~w = (0, 1,−1).
(d) ‖ ~u ‖= √2, forma um aˆngulo de pi
4
radianos com o vetor (1,−1, 0), e e´ perpendicular ao
vetor (1, 1, 0).
1
7. Determine, em cada um dos casos abaixo, a projec¸a˜o do vetor ~u na direc¸a˜o do vetor ~v:
(a) ~u = (1,−1, 2) e ~v = (3,−1, 1); (b) ~u = (−1, 1, 3) e ~v = (−2, 1, 2);
(c) ~u = (1, 3, 5) e ~v = (−3, 1, 0).
8. Decomponha o vetor ~w como soma de dois vetores ~w1 e ~w2, nos seguintes casos:
(a) ~w = (−1,−3, 2) com ~w1 paralelo ao vetor (2,−5, 1) e ~w2 e´ perpendicular a este u´ltimo.
(b) ~w = (1, 0, 3) com ~w1 e´ combinac¸a˜o linear dos vetores (1, 1, 1) e (−1, 1, 2) e ~w2 e´ ortogonal
a estes dois u´ltimos.
9. Sejam ~u, ~v e ~w vetores em IR3, mostre que:
(a)
( ‖ ~v ‖ ~u + ‖ ~u ‖ ~v) ⊥ ( ‖ ~v ‖ ~u − ‖ ~u ‖ ~v).
(b) Se ~u ⊥ (~v − ~w) e ~v ⊥ (~w − ~u), enta˜o ~w ⊥ (~u− ~v).
(c) ~u ·~v = 1
4
( ‖ ~u+~v ‖2 − ‖ ~u−~v ‖2 ), e que 〈~u, ~v〉 = 0 se, e somente se, ‖ ~u+~v ‖=‖ ~u−~v ‖ .
(d) As diagonais de um paralelogramo teˆm a mesma medida se, e somente se, o paralelogramo
e´ um retaˆngulo.
10. Mostre que, dados ~u e ~v vetores em IR3, valem:
(a) ‖ ~u+ ~v ‖≤‖ ~u ‖ + ‖ ~v ‖ .
(b) | ‖ ~u ‖ − ‖ ~v ‖ | ≤‖ ~u− ~v ‖ .
(c) |〈~u, ~v〉| =‖ ~u ‖ · ‖ ~v ‖ se, e somente se, ~u e ~v sa˜o paralelos.
11. Calcule a a´rea do:
(a) Paralelogramo ABCD, com
−→
AB = (1, 7,−1) e −−→AD = (−3, 5, 2).
(b) Triaˆngulo 4ABC, com −→AB = (−3, 2, 5) e −−→AD = (2,−4, 1).
12. Seja ~u um vetor na˜o nulo em IR3, considere as equac¸o˜es
〈~x, ~u〉 = k (1)
〈~x, ~u〉 = 0. (2)
Se ~x0 uma soluc¸a˜o particular de (1), mostre que:
(a) O conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o (2) e´ o conjunto de vetores da forma a~v1 + b~v2, com ~v1 e
~v2 vetores fixados, linearmente independentes e ortogonais a ~u.
(b) Se ~x e´ soluc¸a˜o de (1), enta˜o ~x− ~x0 e´ soluc¸a˜o de (2).
(c) Se ~x e´ da forma ~x = ~x0 + a~v1 + b~v2, enta˜o ~x e´ soluc¸a˜o de (1).
(d) ~x0 =
k
‖ ~u ‖2 ~u e´ soluc¸a˜o de (1).
(e) O conjunto soluc¸a˜o de (1) e´ formado pelos vetores ~x = a~v1 + b~v2 +
k
‖ ~u ‖2~u, com a e b
percorrendo IR.
2
13. Sejam A = (1,−3, 7), B = (−5, 2, 3) e C = (4,−8, 1) pontos em IR3.
(a) Escreva equac¸o˜es vetorial e parame´tricas da reta determinada por A e C, obtenha as
equac¸o˜es sime´tricas, se existirem, e determine um ponto D desta reta.
(b) Verifique se A, B e C sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo.
(c) Escreva equac¸o˜es parame´tricas da mediana relativa ao ve´rtice B do triaˆngulo.
(d) Obtenha equac¸o˜es vetorial das bissetrizes interna e externa relativas aos ve´rtice A.
14. Sejam A = (1, 2, 5) e B = (0, 1, 0), determine P sobre a reta AB tal que o comprimento de PB
seja o triplo do comprimento de PA.
15. Sejam ~u, ~v e ~w vetores no espac¸o tais que ‖ ~u ‖= 5, ‖ ~v ‖= 7, ‖ ~w ‖= 3 e o aˆngulo entre ~u e ~v
e´
pi
6
, calcule:
(a) ‖ ~u× ~v ‖ e
∥∥∥∥ 13~u× 34~v
∥∥∥∥.
(b) [~u,~v, ~w], sabendo que ~w e´ ortogonal aos vetores ~u e ~v e B = {~u,~v, ~w} e´ uma base orientada
positivamente.
16. Sejam ~u, ~v e ~w vetores no espac¸o, mostre que:
(a) Se ~u e ~v sa˜o ortogonais, enta˜o ~u×
(
~u× (~u× (~u× ~v))) =‖ ~u ‖4 ~v.
(b) [~u+ ~v,~v + ~w, ~u+ ~w] = 2[~u,~v, ~w].
(c) [~u+ a~v + b~w,~v + c~w, ~w] = [~u,~v, ~w].
17. Encontre equac¸o˜es parame´tricas da reta r, nos seguintes casos:
(a) r e´ paralela a` reta s :
1− x
5
=
3y
4
=
z + 3
6
.
(b) r e´ paralela a` reta que passa pelos pontos B = (1, 0, 4) e C = (2, 1, 3).
(c) r e´ paralela a` reta s :

x = 1− 2t
y = 4 + t
z = −1− t,
t ∈ IR.
18. Passe para a forma sime´trica, quando for poss´ıvel, as equac¸o˜es encontradas no exerc´ıcio 17.
19. Sejam A, B e C pontos quaisquer no espac¸o, com A 6= B, mostre que:
(a) X e´ um ponto da reta AB se, e somente se,
−−→
CX = α
−→
CA+ β
−−→
CB, com α+ β = 1.
(b) X e´ um ponto do segmento AB se, e somente se,
−−→
CX = α
−→
CA+β
−−→
CB, com α ≥ 0, β ≥ 0
e α+ β = 1.
(c) Se ABC e´ um triaˆngulo, X e´ ponto interior ao triaˆngulo se, e somente se,−−→
CX = α
−→
CA+ β
−−→
CB, com α > 0, β > 0 e α+ β < 1.
3
20. Em cada um dos casos seguintes, determine as equac¸o˜es geral, vetorial e parame´tricas do plano
pi:
(a) pi passa pelos pontos P = (−1, 1, 2), Q = (3, 2, 1) e R = (5, 0,−2).
(b) pi passa pelos pontos P = (−1, 3, 1) e Q = (0,−2, 7) e e´ paralelo ao segmento AB com
A = (−3, 2, 5) e B = 7,−5, 2).
(c) pi passa pelas retas r :
x− 3
2
=
5− y
3
= 3z e s : x+ 4 = 3y = 1− z.
(d) pi passa pelas retas r :

x = 1 + 2t
y = 3 + 3t
z = 4t,
t ∈ IR e s : 3− x
5
=
3y
4
=
z − 1
2
e
s : x+ 4 = 3y = 1− z.
21. Em cada um dos casos seguintes, verifique se os planos pi1 e pi1 sa˜o iguais:
(a) pi1 : X = (1, 2−3)+λ(2,−1, 4)+µ
(
−2
3
, 3,
7
3
)
com λ e µ em IR e pi2 :

x = 7 + 2α− β
y = −5 + 3α
z = 1 + 5β,
com α, β ∈ IR.
(b) pi1 : X = (0, 1, 1)+λ(1, 1,−1)+µ(1,−1, 3) com λ pi1 :

x = 3 + α+ β
y = 2 + α
z = 2− α+ β,
com α, β ∈ IR.
22. Em cada um dos casos seguintes, determine a equac¸a˜o geral do plano pi:
(a) pi passa pelos pontos P = (2,−1, 5) e e´ paralelo ao plano pi1 : x− 2y.
(b) pi passa pela origem e´ perpendicular a` reta que passa por P = (3, 2,−4) e Q = (5, 7, 1).
(c) pi ortogonal ao vetor ~v = (1, 1,−1) e conte´m pi1 ∩ pi2, com pi1 : x − y + z + 1 = 0 e
pi2 : x+ y − z − 1 = 0.
23. Sejam pi1 o plano que passa pelos pontos P = (1, 2, 3), Q = (0, 1, 2) e R = (0, 0, 1), pi2 plano
que passa pelo ponto S = (−1, 2− 5) e e´ paralelo aos vetores ~v = (0,−3, 7) e ~w = (−1, 3,−4)
e pi3 plano que tem equac¸a˜o vetorial X = (−5, 6¨, 7) + λ(−4, 1, 3) + µ(5, 2,−3), com λ e µ em
IR, determine:
(a) As equac¸o˜es gerais de pi1, pi2 e pi3.
(b) Mostre que intersecc¸a˜o pi1 ∩ pi2 ∩ pi3 e´ um ponto e determine-o.
24. Determine a projec¸a˜o ortogonal:
(a) Do ponto P = (5,−1, 4) no plano pi : 7x− 3y + 2z − 4 = 0.
(b) Da reta x+ 1 = y + 2 = 3z − 3 no plano pi : x− y + 2 = 0.
(c) Da origem na reta intersecc¸a˜o dos planos pi1 : x + y + z = 1 e pi2 :

x = 1 + λ
y = 1 + µ
z = 1 + λ+ µ,com λ µ ∈ IR.
4
25. Em cada um dos casos seguintes, verifique se a reta r e o plano pi sa˜o perpendiculares:
(a) r :
{
x+ y + z = 1
2x− y − z = 0 e pi passa pelos pontos P = (1, 0, 0), Q = (2, 3, 2) e
R = (5, 7,−11).
(b) r passa pela origem e tem vetor diretor ~v = (−1, 1,−2) e pi : 2x− 2y + 4z = 1.
26. Em cada um dos casos seguintes, determine a posic¸a˜o relativa entre:
(a) As retas r : X = (−1, 0, 0) + t(2,−1, 1), com t ∈ IR, e s :
{
y + z = 3
x+ y − z = 6.
(b) As retas r :

x = 8 + 2t
y = 1− t
z = 9 + 3t,
, com t ∈ IR, e s que passa por P = (3,−4, 4) e
Q = (2,−2, 2).
(c) As retas r :
x+ 1
2
= y = −z e s :
{
x+ y − 3z = 1
2x− y − 2z = 0.
(d) A reta r :

x = 2
y = 1
z = −1 + t,
, com t ∈ IR, e o plano pi : x+ y = 2.
(e) A reta r : X = t(1, 4, 1), com t ∈ IR, e o plano pi : X = (1, 0, 3) + λ(0, 1, 2) + µ(1,−1, 0),
com λ e µ em IR.
(f) A reta r :
{
x− y + z = 0
2x+ y − z = 1 e o plano pi que passa por P = (0, 1, 0) e tem vetor normal
~n = (1, 2,−2)
(g) Os planos pi1 : 2x− y + 2z = 0 e pi2 : −4x+ 2y − 4z + 1 = 0
(h) Os planos pi1 : x− y + 2z − 2 = 0 e pi2 : X = (0, 0, 1) + λ(1, 0, 3) + µ(1, 1, 1), λ e µ em IR.
27. Em cada um dos casos seguintes, determine o aˆngulo entre:
(a) As retas r :

x = −2 + t
y = 3 + 2t
z = 1 + 2t,
com t ∈ IR, e s :
{
3x− 2y + 16 = 0
3x− z = 0.
(b) A reta r :

x = −t
y = 1− t
z = 0,
com t ∈ IR, e o plano pi : y + z = 0.
(c) Os planos pi1 : 2x + y − z = 1 e pi2 que passa pelos pontos P = (1, 0, 3), Q = (5,−2, 1) e
R = (9,−4,−1).
28. Determine:
(a) A reta que passa pelo ponto P = (1,−2, 3) e que forma aˆngulos pi
4
e
pi
6
, respectivamente,
com os eixos x e y.
(b) Um vetor diretor de uma reta paralela ao plano pi1 : x+ y + z = 0 e forma aˆngulo
pi
4
com
o plano pi2 : x− y = 0.
5
(c) Um equac¸a˜o geral do plano que conte´m a reta r :

x = 1 + t
y = −1 + t
z = t,
com t ∈ IR, e forma
aˆngulo
pi
3
com o plano pi : x+ 2y − 3z + 2 = 0.
29. Em cada um dos casos seguintes, determine a distaˆncia entre:
(a) O ponto P = (0,−1, 0) e a reta r :

x = −1 + 2t
y = 1 + t
z = t,
com t ∈ IR.
(b) As retas r :
1− x
2
= 2y = z e s passa por P = (0, 0, 2) e tem vetor diretor ~v = (−4, 1, 2).
(c) As retas r :
x+ 4
3
=
y
4
=
−5− z
2
e s : X = (21,−5, 2) + λ(6,−4,−1) com λ ∈ IR.
(d) O ponto P = (9, 2, 2) e o plano pi : 5y − 12z + 25 = 0.
(e) A reta r :
2− x
3
=
y + 7
2
= −3z e o plano pi : 3x+ 5y − z = 7.
(f) Os planos pi1 :

x = 2λ− µ
y = µ
z = λ,
com λ e µ em IR, e pi2 passa por P =
(
3
2
, 0, 1
)
e tem
vetor normal ~n = (1, 1, 1).
30. Em cada um dos casos seguintes, determine a distaˆncia entre:
(a) Os pontos da reta r : x − 1 = 2y = z que equidistam dos planos pi1 : 2x − 3y − 4z = 3 e
pi2 : −4x+ 3y + 2z = 3.
(b) Os pontos da reta r :
{
x+ y = 2
x− y = z que distam
√
6 do plano pi : x− 2y − z = 1.
(c) Uma equac¸a˜o geral do plano que conte´m a reta r : X = (1, 0, 1) + t(1, 1,−1), com t ∈ IR,
e dista
√
2 do ponto P = (1, 1,−1).
6