Definição Limites

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MA111 - Cálculo I
Aula 4 - Definição Precisa de Limite
Marcos Eduardo Valle
Introdução
Na aula 3, vimos como o problema da tangente e da velocidade
estão relacionados ao conceito de limite de uma função.
Inicialmente, escrevemos
lim
x→a f (x) = L
se pudermos tornar os valores de f (x) arbitrariamente próximos
de L tomando x suficientemente próximo, mas diferente, de a.
Essa afirmação é vaga. O que significa arbitrariamente próximo?
Formalizando Conceitos:
Dizemos que podemos tornar os valores de f (x) arbitrariamente
próximos de L se pudermos fazer |f (x)− L| arbitrariamente
pequeno.
Formalmente, a afirmação acima corresponde à:
|f (x)− L| < � para qualquer � > 0.
Similarmente, a frase “x suficientemente próximo de a” é
formalizada através da proposição
existe δ > 0 tal que 0 < |x − a| < δ.
Definição precisa de Limite:
Definição 1 (Limite)
Seja f uma função definida sobre um intervalo aberto que contém
o número a, exceto possivelmente o próprio a. Dizemos que o
limite de f (x) quando x tende a a é L, e escrevemos
lim
x→a f (x) = L,
se, para todo � > 0, existe um δ > 0 tal que
0 < |x − a| < δ =⇒ |f (x)− L| < �.
Definição 2 (Limite a Esquerda e a Direita)
Seja f uma função definida sobre um intervalo aberto que contém
o número a, exceto possivelmente o próprio a.
• Escrevemos
lim
x→a−
f (x) = L,
se para todo � > 0, existe um δ > 0 tal que
a− δ < x < a =⇒ |f (x)− L| < �.
• Escrevemos
lim
x→a+
f (x) = L,
se para todo � > 0, existe um δ > 0 tal que
a < x < a+ δ =⇒ |f (x)− L| < �.
Definição 3 (Limites Infinitos)
Seja f uma função definida sobre um intervalo aberto que contém
o número a, exceto possivelmente o próprio a.
• Escrevemos
lim
x→a f (x) = +∞,
se para todo M > 0, existe um δ > 0 tal que
0 < |x − a| < δ =⇒ f (x) > M.
• Escrevemos
lim
x→a f (x) = −∞,
se para todo M > 0, existe um δ > 0 tal que
0 < |x − a| < δ =⇒ f (x) < −M.
Exemplos
Exemplo 4
Mostre, usando a definição de limite, que
a) lim
x→3
(4x − 5) = 7.
b) lim
x→0+
√
x = 0.
c) lim
x→3
x2 = 9.
d) lim
x→0
1
x2
= +∞.
e) Se lim
x→a f (x) = L e limx→a g(x) = M, então
lim
x→a
[
f (x) + g(x)
]
= L+M.
Considerações Finais
O limite de uma função é usado para estudar o comportamento
da função próximo de um ponto que, muitas vezes, não pertence
ao domínio da função.
Na aula de hoje formalizamos o conceito de limite de uma função.
Vimos também alguns exemplos de como mostramos que o limite
de uma função f (x) quando x tende a a é L.
Na próxima aula, veremos que não precisamos recorrer sempre à
definição de um limite; podemos usar suas propriedades!
Muito grato pela atenção!