3) (0,6 ponto) Mostre, utilizando a definição formal de limites, que: lim(x -> 2) (16 - 10x^3)/(2x - 2) = -24. Mostre, utilizando a definição form...

Para mostrar que o limite de (16 - 10x^3)/(2x - 2) quando x se aproxima de 2 é igual a -24, precisamos usar a definição formal de limites. A definição formal de limites diz que para todo ε > 0, existe um δ > 0 tal que se 0 < |x - 2| < δ, então |(16 - 10x^3)/(2x - 2) + 24| < ε. Começamos escolhendo um ε arbitrário e tentamos encontrar um δ correspondente. |(16 - 10x^3)/(2x - 2) + 24| = |(16 - 10x^3 + 24(2x - 2))/(2x - 2)| = |(24x^2 - 48x + 8)/((x - 1)(x - 2))| Agora, queremos que |(24x^2 - 48x + 8)/((x - 1)(x - 2)) + 24| < ε. Podemos começar escolhendo um δ pequeno o suficiente para que 0 < |x - 2| < δ implique que |x - 2| < 1, o que significa que 1 < x < 3. Então, podemos usar a desigualdade triangular para obter: |(24x^2 - 48x + 8)/((x - 1)(x - 2)) + 24| <= |24x^2 - 48x + 8|/|x - 1||x - 2| + 24 Podemos simplificar a expressão acima usando o fato de que 1 < x < 3: |(24x^2 - 48x + 8)/((x - 1)(x - 2)) + 24| <= (24x^2 - 48x + 8)/(x - 2) + 24 Agora, queremos encontrar um δ tal que se 0 < |x - 2| < δ, então (24x^2 - 48x + 8)/(x - 2) + 24 < ε. Podemos começar escolhendo um δ pequeno o suficiente para que 0 < |x - 2| < δ implique que |24x^2 - 48x + 8| < ε/2. Então, podemos escolher δ de tal forma que: δ <= min{1, ε/(2(49))} Agora, se 0 < |x - 2| < δ, então: |x - 2| < δ <= min{1, ε/(2(49))} Isso implica que: 1 < x < 3 |x - 2| < δ Podemos usar essas informações para mostrar que: |(16 - 10x^3)/(2x - 2) + 24| <= (24x^2 - 48x + 8)/(x - 2) + 24 < ε/2 + 24 < ε Portanto, para todo ε > 0, podemos encontrar um δ > 0 tal que se 0 < |x - 2| < δ, então |(16 - 10x^3)/(2x - 2) + 24| < ε. Isso mostra que o limite de (16 - 10x^3)/(2x - 2) quando x se aproxima de 2 é igual a -24.