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Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro - UFRRJ Instituto de Ciências Exatas - ICE Departamento de Matemática - DEMAT Professor: Renan Teixeira Cálculo II - Lista 2 - Integrais Impróprias 1. Calcule as Integrais a) ∫ +∞ 1 1 x3 dx b) ∫ 2 0 1 t3 dt c) ∫ +∞ 1 1 xk dx, para k ∈ IR d) ∫ 0 −∞ eydy e) ∫ +∞ −∞ e−ydy f) ∫ 1 −4 1 3 √ x+ 2 dx g) ∫ 1 0 [lnx]2 dx h) ∫ +∞ 0 lnx√ x5 dx 2. Sejam α e s, s > 0, reais dados. Verifique que: a) ∫ +∞ 0 e−stsen (αt) dt = α s2 + α2 com α 6= 0 b) ∫ +∞ 0 e−st cos(αt) dt = α s2 + α2 c) ∫ +∞ 0 e−steαt dt = α s− α com s > α d) ∫ +∞ 0 e−st dt = 1 s 3. Esboce o gráfico de F (x) = ∫ x −∞ f(t) dt onde a) f(t) = 2, se |t| ≤ 10, se |t| > 1 b) f(t) = 1 t , se |t| ≥ 1 0, se |t| < 1 c) f(t) = 0, se |t| > 11− t2, se |t| ≤ 1 d) f(t) = 0, se t ≤ 0e−t, se t > 0 4. Calcule a) ∫ 1 0 1√ 1− x2 dx b) ∫ 2 0 1√ 2− x dx c) ∫ 2 −1 1 4− x2 dx d) ∫ 1 0 x√ 1− x2 dx 1
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