Prova 3 Álgebra Linear - Gabarito

Prévia do material em texto

Universidade Federal de São Carlos
Departamento de Matemática
Álgebra Linear - Engenharia Ambiental - G1 e G2
AP2 - Segunda Avaliação Presencial - 27/09/2012
1 40
2 60
3 40
4 60
5 40
Total 220
Aluno(a): RA:
Instruções para os Alunos (favor ler atentamente):
• Favor não destacar as folhas de provas em hipótese alguma e não co-
meter rasuras. Folhas rasuradas ou com sinais de haverem sido destacadas
não serão aceitas.
• Escreva seu nome e RA a tinta em todas as folhas de prova, nos locais
designados para essa finalidade. A resolução das questões pode ser feita a
lápis.
• Resolva cada questão no espaço reservado para a resposta. Escreva li-
vremente nos espaços de rascunho. Respostas deixadas no rascunho
não serão corrigidas, mas é recomendável não apagar completamente o
rascunho.
• As questões podem ser resolvidas em qualquer ordem, mas as respostas
devem ser anotadas no respectivo espaço reservado para cada uma delas.
• A resolução de cada questão deve ser elaborada com a devida justificativa.
Questões mal-elaboradas, sem justificativas, contendo apenas fór-
mulas e números, não serão aceitas como corretas! Procure elaborar
sua resolução de forma clara, sucinta e organizada, sem omitir detalhes im-
portantes.
• Este exame não requer o uso de calculadoras, mas seu uso é permitido,
desde que a calculadora não seja vinculada a outro dispositivo eletrônico,
como um telefone celular. Cuidado! não troque uma resposta exata por
uma aproximada, a menos que a questão peça por isso.
• Como será calculada sua nota: os pontos que você marcar serão so-
mados até acumularem um máximo de 220 pontos. Os pontos que ultra-
passarem esse máximo serão ignorados. Sua nota nessa prova será igual ao
total de pontos (não ultrapassando o máximo) dividido por 22 (para que
estejam na escala de 0 a 10).
1. (40 pts.) Considere a base B = {(1, 2, 0), (1, 3, 2), (0, 1, 3)} e a base canônica
C de R3.
(a) Determine a matriz de mudança de base [I]BC . Depois, encontre [v]C sabendo
que [v]B = (−1, 1, 1).
(b) Determine a matriz de mudança de base [I]CB. Sendo [w]C = (2λ, 3λ,−1),
determine λ para que [w]B = (−6, 4,−3).
2. (60 pts.) Seja T : R4 → R3 a transformação linear definida por
T (x, y, z, t) = (x− y + z + t, x+ 2z − t, x+ y + 3z − 3t).
(a) Determine uma base para o subespaço kerT (o núcleo de T em R4).
(b) Determine uma base para o subespaço ImT (a imagem de T em R3).
(c) Com base em (a) e (b), o que você pode afirmar sobre a injetividade e a
sobrejetividade de T?
Dica: Use a matriz canônica de T e lembre-se do Teorema do Núcleo e da
Imagem. Neste caso, esse teorema afirma que dimkerT + dim ImT = dimR4.
3. (40 pts.) Considere o operador linear T : R3 → R3 tal que
T (1, 1, 1) = (1,−2, 1), T (1, 1, 0) = (1, 0, 1), T (1, 0, 0) = (0, 1, 1).
(a) Mostre que T existe e é único com essa propriedade. Dica: observe que
B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} é uma base de R3 e lembre-se de um resultado
fundamental da Álgebra Linear acerca das transformações lineares.
(b) Verifique que T é invertível e encontre uma fórmula para T−1, isto é, deter-
mine T−1(x, y, z) em termos do vetor (x, y, z) ∈ R3. Dica: considere a base B, a
base canônica C de R3 e lembre-se de que T (x, y, z) = [T ]CC
 xy
z

, [T ]CC = [T ]
B
C [I]
C
B
e [T−1]CC = ([T ]
C
C)
−1
.
4. (60 pts.) Considere a matriz A =
 0 12 121
2
0 1
2
1
2
1
2
0

.
(a) Mostre que v1 = (1, 1, 1), v2 = (−1, 0, 1) e v3 = (−1, 1, 0) são autovetores
de A e conclua (justificando) que A é diagonalizável.
(b) Encontre a matriz P que diagonaliza A e escreva a respectiva forma diagonal
D.
(c) Usando (a) e (b), calcule exatamente o valor de A10 (não tente calcular o
produto de A por ela mesma 10 vezes pois isso será extremamente longo e tedioso,
e procure expressar o resultado utilizando potências de 2).
Dica: antes de cacular a potência é boa ideia fazer a seguinte verificação: pri-
meiro calcule P−1, por exemplo, usando Gauss-Jordan, e depois verifique que
A = PDP−1.
5. (40 pts.) Seja W o subespaço de R3 gerado por {(1, 2, 1), (0, 1, 1), (2, 3, 1)}.
(a) Determine o complemento ortogonal W⊥.
(b) Encontre a matriz canônica da projeção sobre W . Em seguida, encontre
projW v, sendo v = (3, 4, 2).
Lembre-se de que W⊥ = {v ∈ V | 〈v,w〉 = 0, ∀w ∈ W}. Este é o conjunto de
todos os vetores do espaço V que são ortogonais a todos os vetores do subespaço
W .
Rascunho.
2
Aluno(a): RA:
Rascunho.
3
Questão 1.
4
Aluno(a): RA:
Questão 2.
5
Questão 2 (continuação).
Questão 3.
6
Aluno(a): RA:
Questão 3 (continuação).
Questão 4.
7
Questão 4 (continuação).
8
Aluno(a): RA:
Questão 5.
9
Aluno(a): RA:
Rascunho.
10