GABARITO PROVISÓRIO da 1a PROVA 20162

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GABARITO PROVISÓRIO 
da 1a PROVA FUNDAMENTOS DE ELETROMAGNETISMO 
ENSINO A DISTÂNCIA, METATURMA 2016/2, Prof. Valeri Kokchenev 
 Problema 1. (Problema 1.1 do Alaor) As três esferas vistas na Figura têm diâmetro muito 
menor que a separação entre elas. Duas cargas são fixas e a carga q' está em equilíbrio. 
 Figura 1.13. 
 
A) Qual seja o sinal da carga q' ? 
 
A)____somente positivo_____somente negativo___X,X,X___qualquer 
 
B) Calcule a condução do equilíbrio pela relação x / L. 
 
 RESPOSTA B) 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO do P1.1: 
1/ 2 1 1/ 2 1/ 2 1/ 2/ (1 2 ) 2 2 2 /(1 2 ).x L       
 
 
Problema 2. (Problema 1.8 do Alaor) Todas as cargas nos vértices do cubo (de aresta a) visto na 
Figura têm a mesma carga q negativa/positiva/negativa. Observe que não há carga no vértice 8. 
Encontre o campo elétrico E no centro do cubo e A) coloque o vetor E no desenho. 
B) Calcule o modulo do campo E. 
 
 
 
 
 Figura 1.16. 
1B) 1/ 2 1/ 2 1 1/ 2
1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2
___ 2 1;___ (1/ 2 1) ;___ 2 /(2 1);
___ 2 2 ;___ 2 /(2 1);____1 2 .
X 

  
  
 
2B) 1/ 2 1/ 2 1 1/ 2
1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2
___ 2 1;___(1/ 2 1) ;___ 2 /(2 1);
___ 2 2 ;___ 2 /(2 1);____1 2 .X
 

  
  
 
3B) 1/ 2 1/ 2 1 1/ 2
1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2
___ 2 1;___(1/ 2 1) ;___ 2 /(2 1);
___ 2 2 ;___ 2 /(2 1);____1 2 .X
 

  
  
 
1 2 
 
 
3 
 
 
4 
5 6 
7 
2 2
2 2
0 0 0 0
2
2 2 2
0 0 0 0
1 ) ___ ; ___ ; ___ ; ___ ;
3 4 3 3
_____ ; ____ ; ___ ; ___ .
4 8
q q q q
B X
a a a a
q q q q
a a a a
   
   
 
2 2
2 2
0 0 0 0
2
2 2 2
0 0 0 0
2 ) ___ ; ___ ; ____ ; ___ ;
3 4 3
_____ ; ___ ; ___ ; ___ .
4 3 8
q q q q
B
a a a a
q q q q
X
a a a a
   
   
 
2 2
2 2
0 0 0 0
2
2 2 2
0 0 0 0
3 ) ___ ; ___ ; ___ ; ___ ;
3 4 4 3
_____ ; ____ ; ___ ; ___ .
3 8
q q q q
B
a a a a
q q q q
X
a a a a
   
   
 
 SOLUÇÃO do P1.8: A) a direção do campo entra na/sai da/entra na carga 1 ao longo do 
diagonal do cubo e B) o modulo do campo é 
2
03
q
E
a


 e o campo (causado pela carga 1 numa 
distancia 
3 / 2a
) não é compensado pela carga 8 ausente; 
 
Questão 1 (Halliday, p. 66) Uma superfície esférica fechada de raio a está em campo uniforme E. 
Qual é o fluxo do campo através da superfície? 
 _____
34 a E
_____
2a E
___X___0 _____não é determinado sem informações adicionais ou 
algum outro:________. 
RESPOSTA: Aplicando a lei de Gauss 
0/EdA Q 
 para uma esfera fechada, temos 
2
04 / 0a E Q   
, pois a esfera é vazia e a carga de Gauss 
0Q 
. 
 
Problema 3. (Problema 3.4 do Alaor) Duas cascas esféricas condutores concêntricas de raios (R2 
=) 2a, 3a ou 5a e (R1 = ) a estão carregadas com cargas q1 = q e q2 = - q, respectivamente, como 
se vê na Figura. Aplicando a lei de Gauss, encontre o campo elétrico E(r) em função do raio r nas 
três regiões: I) 0 ≤ r ≤ R1 , II) R1 ≤ r ≤ R2 e III) r ≥ R2. Mostre na Figura A1) as superfícies de 
Gauss SI, SII, e SIII nas três regiões, e também coloque A2) os vetores dos campos elétricos EI, EII 
e EIII. 
 
 
Sabendo E(r), resolve o problema do potencial do campo elétrico V(r) nas três regiões usando 
V1= V(R1) e V2 = V(R2) como pontos de referência. Esboce os gráficos dos módulos B1) do campo 
E(r) e B2) do potencial V(r), colocando neles os valores das grandezas questionadas. 
 
 
SOLUÇÔES A2) e B1) 
I) EI(r)=0, pois a carga total de Gauss na região 
QI = 0; 
 II) 
2
0( ) / 4IIE r q r 
, pois a carga QII = q1 = q ; 
 III) EIII(r)=0, pois a carga QIII = q1 + q2 =0; 
 
 
 
SOLUÇÔES B2) 
 I) Já que EI(r)= -dVI(r)/dr = 0 
(pela formula de gradiente), temos 
VI(r)= const= V1=
0/ 4q a
, como o potencial de uma 
esfera condutora isolada. 
 II) VII(r)= V1 - 
1
0( ) / 4
r
II
R
E r dr q r   
 
 III) VIII(r)= const= V2=
0 2/ 4q R
 
SOLUÇÔES B3) e B4) 
B3) E(R1)= 
2
0/ 4q a
 e para R2 = 2a, 3a ou 5a 
E(R2)=
2
0/16q a
,E(R2)=
2
0/ 36q a
ou 
E(R2)=
2
0/100q a
 
B4) V(R1)=
0/ 4q a
 e para R2 = 2a, 3a ou 5a 
V(R2)= 
0/8q a
, V(R2)= 
0/12q a
ou 
V(R2)= 
0/ 20q a
 
 
 
 
 
Sabendo E(r), use a densidade volumétrica da energia elétrica u(r) associada ao campo elétrico 
e calcule a energia total U12 do sistema. C) Indique a resposta em unidades 2
0 0/ 4U q a 
 
Sabendo a energia total U12 do sistema, encontre a capacitância do capacitor esférico C12 e 
D) indique a resposta em unidades 
0C
= 
02 a
. 
 
 
 
 
SOLUÇÔES do Problema 3.4 do Alaor: 
C) 
( ) ( ) 0I IIIu r u r 
; 
2
0( ) ( ) / 2II IIu r E r 
; 2
1
2
12 4 ( )
R
II
R
U u r r dr 
2
2 1 0 1 2( ) /8q R R R R  
 
2
0( / 4 )[( 1) / 2 ]q a n n  
= U0(n-1)/2n; onde usamos R2 = n R1 
Então, U/U0 = (n-1)/2n = 1/4, 1/3, 2/5 quando n = 2, 3, 5. 
 
D) Já que U12=C12q
2/2, 
12 0 1 2 2 14 /( )C R R R R  
=
04 /( 1)a n n   
= C0 2n/(n-1); 
C/C0 = 2n/(n-1) = 4, 3, 5/2 quando n = 2, 3, 5. 
 
 
Problema 4. Problemas 2.5 e 2.6 do Alaor. A Figura 2.23 mostra uma casca esférica com carga 
distribuída em seu corpo com a densidade volumétrica variando na forma 
( ) /r C r 
 para 
a r b 
, onde C é uma constante. Em seu centro tem-se também uma esfera metálica com 
carga q distribuída (uniformemente) em sua superfície. Quanto deve valer a constante C para que 
o campo seja constante no interior da casca, ou seja, no intervalo 
a r b 
? 
 Figura 2.23 
Uma outra casca esférica semelhante com a carga que é X vezes maior e é distribuída em seu 
corpo com a densidade variando na mesma forma entre o raio interno, Y vezes menor, e o raio 
externo, que é Z vezes maior da casca original. 
 
A) Qual é a razão da constante C´ da segunda casca em relação a casca original? 
 
Variante 1: X=1, Y=3, Z=2, A)9; 
Variante 2: X=2, Y=2, Z=3, A) 8; 
Variante 3: X=3, Y=2 Z= 4, A)12 
 
 
 
 
C) U12 / U0 = ____1/5___X2/5___X1/4___X1/3___1___3/2___2___5/2___3___4___5 
D) C12 / C0 = ____1/5____2/5___1/4___1/3___1___3/2___2___X5/2___X3__X4___5 
A)____ 1____2____3___4____5____6____7____V8___ V9____10___11___V12___13___14 
 
 
 
 
 
Problema 5. (Problema 5.6. do Alaor) Considere um capacitor de armaduras planas da distancia 
(d =) D; 2D ou 4D e da área A, como visto na Figura. 
A) Qual é a capacitância C0 do sistema preenchido com vacum? B) Qual é a energia do 
capacitor U0 com potenciais +V e –V nas suas placas? C) Qual será a capacitância nova C´ 
do sistema após de preenchimento com dielétricos de constante k1 - uma metade do 
espaço, e de constante k2 – outra metade do espaço, como visto na Figura. 
 
Figura 5.19. 
 SOLUÇÂO P5.6: A) 
0 0 ;
A
C
d
 
 B) 2 2
20
0 0
2
2 ;
2
CC V AVU C V
d
   
 pois 
2 ;CV V V V   
 
(veja também a discussão no Fórum semanal 29/08-04/09: “Fórmula 13.3”). 
C) 
11 11 1 0 1 2
1 21
1 2
2
( ) ;
( )
A k k
C C C
d k k
       

Observação: 
0 0
A
C C
d
   
 quando k1 = k2 =1. 
d = D (var. 1);. 
 
-V 
+V 
 d 
A 
 k1 
 k2 
 
SOLUÇÂO P2.6 e P2.5 do Alaor: 
2/ 2 ;C q a 
 
Então, 
2/ ;C C XY 
 
 
Variante 1: X=1, Y=3, Z=2, A)9; 
Variante 2: X=2, Y=2, Z=3, A) 8; 
Variante 3: X=3, Y=2 Z= 4, A)12 
 
2 2 2 2
0 0 0 02 2
0 0
2
1 ) __ __ __ __ __ __ ;
AV AV AV AV AV AV
B X
D D D D D D
   
 
 
1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2
1 22
0 1 2 0 1 2 1 2
( ) 2 ( )
1 )___ ___ _____ ____ ____ .
4 ( ) 2 4 ( )
A k k A k k A A k k A k k
C X k k
D D k k D D k k D k k
    
   
 
0 0 02
0 0 0
1 ) ___ ___ ___ ___ ___ ___ ;
4 2 4 2 4
A A A A D A
A X
D D D D A D
  
  
 
d = 2D (var. 2); 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 
d = 4D (var. 3); 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 
 
0 0 02
0 0 0
2 ) ___ ___ ___ ___ ___ ___ ;
4 2 4 2 4
A A A A D A
A X
D D D D A D
  
   
 
2 2 2 2
0 0 0 02 2
0 0
2 ) __ __ __ __ __ __ ;
4
AV AV AV AV AV AV
B X
D D D D D D
   
 
 
1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2
1 22
0 1 2 0 1 2 1 2
( ) 2 ( )
2 ) ___ ___ _____ ____ ____ .
4 ( ) 2 4 ( )
A k k A k k A A k k A k k
C k k X
D D k k D D k k D k k
    
   
 
2 2 2 2
0 0 0 02 2
0 0
3 ) __ __ __ __ __ __ ;
2
AV AV AV AV AV AV
B X
D D D D D D
   
 
 
1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2
1 22
0 0 1 2 1 2 1 2
( ) ( )
3 ) ___ _____ __ ____ ____ .
4 2 2 ( ) 4 ( )
A k k A A k k A k k A k k
C k k X
D D D k k D k k D k k
    
   
 
0 0 02
0 0 0
3 ) ___ ___ ___ ___ ___ ___ ;
4 4 2 4 2 4
A A A A D A
A X
D D D D A D
  
  