gabarito prevestibular gabarito comentado livro 6 mt 2013

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1 
 
LIVRO 6 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS 
 
MATEMÁTICA I 
 
1. (Uesc 2011) Sendo m o número de anagramas da palavra 
UESC e n o número de anagramas do número 2011, o valor do 
determinante da matriz 
m n
M
15 m-n
 
  
 
 é 
(A) − 216 
(B) 36 
(C) 72 
(D) 108 
(E) 216 
RESPOSTA: D 
COMENTÁRIO: Temos que 
  4m P 4! 24
 e 
  (2)4
4!
n P 12.
2!
 
Desse modo, 
   
        
24 12 24 12
M .
15 24 12 15 12
 
Portanto, 
       
24 12
detM 24 12 15 12 9 12 108.
15 12
 
 
2. (Udesc 2011) Sejam 
A
 a matriz quadrada de ordem 
2
 
definida por 
2sen 2x sen(x )
A 2
sen(x) 1
π
π
  
      
  
 e 
f
 a função 
definida por 
Tf(x) det(A A ) . 
 O gráfico da função 
f
, 
para 
 x , ,π π 
 é: 
(A) 
 
(B) 
 
(C) 
 
(D) 
 
(E) 
 
RESPOSTA: E 
COMENTÁRIO: Temos que 
  
             
  
2sen 2x sen(x ) 2cos2x senx
A .2
senx 1
senx 1
 
 
Daí, 
 
   
T 2cos2x senxA
senx 1
 
 
e, assim, 
 
   
 
T 4cos2x 0A A .
0 2
 
 
Então, 
 
   T
4cos2x 0
f(x) | det(A A ) | | 8cos2x | .
0 2
 
 
Portanto, 
      
   
  
  
1 cosx 1 1 cos2x 1
8 8cos2x 8
0 | 8cos2x | 8
0 f(x) 8,
 
 
isto é, a imagem de f é o intervalo [0,8]. 
 
Por outro lado, sabendo que o período (P) de uma função da 
forma 
g(x) acos(mx),
 em que 
{a, m} ,
 é dado por 


2
P ,
| m |
 temos que o período da função f é 

  
2
3,14.
| 2 |
 
Assim, o gráfico da função f, para 
  x [ , ],
 é o da. 
 
2 
 
3. (Epcar (Afa) 2011) Sendo 
2 3 4 a
0 0 2 0
70
3 1 1 b
1 0 2 c



, o valor de 
4 3 2 a
2 0 0 0
1 1 3 b
7 1 0 b 3c

 
 é: 
(A) 280 
(B) 0 
(C) –70 
(D) –210 
(E) 210 
RESPOSTA: D 
COMENTÁRIO: A nova matriz foi obtida de A da seguinte 
forma: 
1. Foram trocadas as posições das colunas 1 e 3, (o 
determinante fica multiplicado por -1). 
2. A nova quarta linha foi multiplicada por 3 (o determinante 
fica multiplicado por 3). 
3. Somou-se a terceira linha com a quarta linha, originando 
uma nova quarta linha (determinante não se altera). 
Logo, o novo determinante será (-1).3.70 = - 210. 
 
4. (Eewb 2011) O determinante da matriz 
4x4A
 onde os 
elementos da primeira linha são 4, 3, 5 e 1; os elementos da 
segunda linha são 0, 3, 0 e 2; os da terceira linha são 2, 7, 0 e 0 
e os da quarta linha, 8, 6, 10 e 2, 
(A) - 5 
(B) 0 
(C) 5 
(D) 15 
(E) -5 
RESPOSTA: B 
COMENTÁRIO: 
 
Todo o determinante com filas paralelas e proporcionais vale 
zero. 
 
5. (Ita 2010) Sobre os elementos da matriz 
 
1 2 3 4
1 2 3 4
4x4
x x x x
y y y y
A M ( )
0 0 0 1
1 0 0 0
 
 
  
 
 
 
 
 
sabe-se que (x1, x2, x3, x4) e (y1, y2, y3, y4) são duas progressões 
geométricas de razão 3 e 4 e de soma 80 e 255, 
respectivamente, Então, det(A
–1
) e o elemento (A
–1
)23 valem, 
respectivamente, 
(A) 
1
72 e 12. 
(B) 
1
72
 e -12. 
(C) 
1
72
 e 12. 
(D) 
1 1
e .
72 12
 
(E) 
1 1
e .
72 12 
RESPOSTA: C 
COMENTÁRIO: x1 + 3x1
 
 + 9x1 + 27x1 = 80  40 x1 
 
= 80 x1 
 
= 2 
y1 
 
+ 4y1+ 16y1 + 64y1 = 255  85y1 = 255 y1 = 3 
então A = 
2 6 18 54
3 12 48 192
0 0 0 1
1 0 0 0
 
 
 
 
 
 
 e det(A ) = 1.(-1)
4+1
., 6 18 54
12 48 2
0 0 1
 
= -72 
 1 3 2 1 2323
2 18 54
1
( 1) 3 48 192 ( ) 12
72
1 0 0
     

a a
 
 
6. (Fgv 2010) Uma matriz 4 x 4 que admite inversa é 
(A) 
 
 
 
 
 
1 2 3 4
4 3 2 1
2 4 6 8
5 6 7 8
 
 
 
 
 
  
(B) 
 
 
 
 
 
1 2 3 4
1 4 5 16
2 6 8 20
5 6 11 8
 
 
 
 
 
  
(C) 
 
 
 
 
 
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
4 4 4 4
 
 
 
 
 
  
(D) 
 
 
 
 
 
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
 
 
 
 
 
  
(E) 
 
 
 
 
 
-1 2 3 4
1 - 6 7 8
9 10 -11 12
13 14 15 -16
 
 
 
 
 
  
RESPOSTA: E 
COMENTÁRIO: a) Não admite inversa, pois a linhas 1 e 3 são 
proporcionais e seu determinante vale zero. 
b) Não admite inversa, pois a terceira linha é uma combinação 
linear das duas primeiras. Seu determinante também é zero 
c) Não admite inversa, pois as linhas da matriz são 
proporcionais, seu determinante vale zero. 
d) Não admite inversa, pois a terceira linha é igual ao dobro da 
segunda menos a primeira, seu determinante vale zero. 
e) Seu determinante é – 36416 (diferente de zero). Logo, 
admite inversa. 
 
7. (Uece 2010) Se n é um número inteiro positivo e X é a matiz 
1 0 0
1 2 0
1 1 3
 
 
 
  
, então o valor do determinante da matriz Y = X
n
 é 
(A) 2
n
 
(B) 3
n
 
(C) 6
n
 
(D) 9
n
 
(E) 7
n
 
RESPOSTA: C 
COMENTÁRIO: O determinante da matriz dada é 1.2.3 = 6 
Então, o determinante de x 
n
 será 6
n
. 
3 
 
8. (Mackenzie 2010) Dadas as matrizes A = (aij)3x3 tal que 
ij
ij
a 10,se i j
a 0,se i j
 

  
e B = (bij)3x3 tal que 
ij
ij
b 3,se i j
b 0,se i j
 

 
, 
o valor de det(AB) é 
(A) 27 x 10
3
 
(B) 9 x 10
3
 
(C) 27 x 10
2
 
(D) 3
2
 x 10
2
 
(E) 27 x 10
4
 
RESPOSTA: A 
COMENTÁRIO: 
3
3
10 0 0
A 0 10 0 det(A) 10
0 0 10
3 0 0
B 0 3 0 det(B) 3
0 0 3
 
   
 
 
 
   
 
 
 
det(A.B) = det(A).det(B) = 10
3
.3
3
= 27.10
3 
 
 
9. Se A é uma matriz 2 x 2 inversível que satisfaz A
2
 = 2A, então o 
determinante de A será: 
(A) 0 
(B) 1 
(C) 2 
(D) 3 
(E) 4 
RESPOSTA: E 
COMENTÁRIO: Se A
2
 = 2A, temos: 
 det (A
2
) = det (2A) 
 de A . det A = 2
2
 . det A 
 (det A)
2
 = 4 . det A 
 Sendo det A  0 , pois a é invertível, vem det A = 4. 
 
10. Se 
1
z x y 
r q p
c b a
 det 









 , então o valor do 











3z 3y 3x 
z2ry 2qx 2p
2c- 2b- 2a- 
 det
 é igual a 
(A) 0 
(B) 4 
(C) 8 
(D) 12 
(E) 16 
RESPOSTA: D 
COMENÁRIO: 
 
 
 
 
11. (Uerj 2012) Uma família comprou água mineral em 
embalagens de 20 L, de 10 L e de 2 L. Ao todo, foram 
comprados 94 L de água, com o custo total de 
R$65,00
. 
Veja na tabela os preços da água por embalagem: 
 
Volume da embalagem 
(L) 
Preço 
(R$) 
20 10,00 
10 6,00 
2 3,00 
 
Nessa compra, o número de embalagens de 10 L corresponde 
ao dobro do número de embalagens de 20 L, e a quantidade 
de embalagens de 2 L corresponde a n. 
O valor de n é um divisor de: 
(A) 32 
(B) 65 
(C) 77 
(D) 81 
(E) 48 
RESPOSTA: C 
COMENTÁRIO: Sejam x,y e z, respectivamente, os números de 
embalagens de 20 L, 10L e 2 L. 
Do enunciado e da tabela, obtemos 
 
     
 
     
   
   

 
 
20x 10y 2z 94 20x z 47
10x 6y 3z 65 22x 3z 65
y 2x y 2x
60x 3z 141
22x 3z 65 .
y 2x
 
Adicionando as duas primeiras equações do último sistema, 
vem: 
    38x 76 x2.
 
 
Logo, da segunda equação do sistema, encontramos 
       3z 65 22x 3z 65 22 2 z 7.
 
Portanto, como 
 z n 7
 e 
 77 7 11,
 segue que n é um 
divisor de 77. 
 
12. (Fatec 2011) Sejam a e b números reais tais que o sistema, 
nas incógnitas x e y, 
 
 
   
 
   
  
3
x.cosa y.sen a sen
5
admita uma única solução.
7
x.cosb y.sen b cos
5
π
π
 
Nessas condições, pode-se afirmar que, sendo k um número 
inteiro, 
(A) b a k. .2
π
  
(B) b a k. .π  
(C) 
2
b a k. .
3
π
  
(D) b a k.r.2
π
   
(E) 
2
b a k. .
2 3
π π
   
RESPOSTA: B 
COMENTÁRIO: 
4 
 

 
 
  
 
cosa sena
0
cosb senb
cosa.senb cosb.sena 0
sen(b a) 0
b a 0 k.
b a k.
π
π
 
 
13. (G1 - ifsc 2011) O sistema 2x 2y 2z 2 0
 2x y 3z 6
 kx y 5z 9
   

  
   
é possível e 
determinado, quando o valor de k for: 
(A) k 3 . 
(B) K = 5. 
(C) K = 3.. 
(D) k 5 . 
(E) K = 0.. 
Resposta: [D] 
O determinante dos coeficientes deverá ser diferente de zero. 
 
             
2 2 2
2 1 3 0 10 6k 4 2k 6 20 0 4k 20 k 5
k 1 5
 
14. (G1 - epcar (Cpcar) 2011) Certo dia, Isabela e Ana Beatriz 
saíram para vender pastéis na praia. Elas tinham juntas 460 
pastéis. No final do dia, verificou-se que Isabela conseguiu 
vender 
3
5
 dos pastéis que levara e Ana Beatriz 
5
8
dos pastéis 
que levara. 
Ao final do dia, o número de pastéis que restou para Ana 
Beatriz era a metade do número de pastéis que restou para 
Isabela. 
 
Se Ana Beatriz, levou x pastéis para vender, então, a soma dos 
algarismos de x é 
(A) 6 
(B) 7 
(C) 8 
(D) 9 
(E) 10 
RESPOSTA: B 
COMENTÁRIO: Isabela tinha y pastéis e Ana Beatriz tinha x 
pastéis, então: x + y = 460. 
 
Isabela vendeu 
3y
5
, restando-lhe 
2y
5
. 
Ana Beatriz vendeu 
5x
8
, restando-lhe 
3x
8
. 
Portanto, 
   
3x 1 2y 15
y x.
8 2 5 8
 
Fazendo 
   
15x
x 460 x 160
8
. 
Somando os algarismos, temos: 1 + 6 + 0 = 7. 
 
15. (Mackenzie 2011) Relativas ao sistema 
kx 4ky 0
,k
3x ky 8
 

 
, 
considere as afirmações I, II e III abaixo. 
 
I. Apresenta solução única para, exatamente, dois valores 
distintos de k. 
II. Apresenta mais de 1 solução para um único valor de k. 
III. É impossível para um único valor de k. 
 
Dessa forma, 
(A) somente I está correta. 
(B) somente II e III estão corretas. 
(C) somente I e III estão corretas. 
(D) somente III está correta. 
(E) I, II e III estão corretas. 
RESPOSTA: B 
COMENTÁRIO: 
      2
k 4k
0 k 12k 0 k 0 e k 12
3 k
 (o sistema 
possui solução única) 
 
Se k = 0 temos . 
 
 

0 0 0 8
x e y pode ser qualquer real, logo o 
3x 8 3
sistema possui infinitas soluções.
 
Se k = 12 temos . 
    
 
    
12x 48y 0(: 4) 3x 12y 0
 (sistema impossível)
3x 12y 8 3x 12y 8
 
 
I) Falsa. Possui solução única para infinitos valores de k. 
II) Verdadeira, se k = 0 o sistema apresenta infinitas soluções. 
III) Verdadeira, é impossível se k = 12 
 
16. (Epcar (Afa) 2011) Três amigos Samuel, Vitória e Júlia, foram 
a uma lanchonete. 
 
 Samuel tomou 1 guaraná, comeu 2 esfirras e pagou 5 
reais. 
 Vitória tomou 2 guaranás, comeu 1 esfirra e pagou 4 
reais. 
 Júlia tomou 2 guaranás, comeu 2 esfirras e pagou k reais. 
 
Considerando-se que cada um dos três pagou o valor exato do 
que consumiu, é correto afirmar que 
(A) o guaraná custou o dobro da esfirra. 
(B) os três amigos, juntos, consumiram 16 reais. 
(C) cada esfirra custou 2 reais. 
(D) Júlia pagou 8 reais pelo que consumiu. 
RESPOSTA: C 
COMENTÁRIO: Vamos considerar x o preço do guaraná e y o 
preço da esfirra. 
 

   
x 2y 5
4x 2y 8
 
 
Somando as equações, temos: 
- 3x = - 3 
x = 1 e y = 2. 
 
Logo, o preço de cada esfirra é de R$2,00. 
 
17. (Unesp 2011) Uma família fez uma pesquisa de mercado, nas 
lojas de eletrodomésticos, à procura de três produtos que 
desejava adquirir: uma TV, um freezer e uma churrasqueira. 
Em três das lojas pesquisadas, os preços de cada um dos 
produtos eram coincidentes entre si, mas nenhuma das lojas 
tinha os três produtos simultaneamente para a venda. A loja A 
vendia a churrasqueira e o freezer por R$ 1.288,00. A loja B 
vendia a TV e o freezer por R$ 3.698,00 e a loja C vendia a 
churrasqueira e a TV por R$ 2.588,00. 
A família acabou comprando a TV, o freezer e a churrasqueira 
nestas três lojas. O valor total pago, em reais, pelos três 
produtos foi de 
(A) 3.767,00. 
(B) 3.777,00. 
(C) 3.787,00. 
(D) 3.797,00. 
(E) 3.807,00. 
5 
 
RESPOSTA: C 
COMENTÁRIO: Sendo, x o preço da TV, y o preço do freezer e z 
o preço da churrasqueira, podemos escrever o sistema: 
 

 
  
y z 1288
x y 3698
x z 2588
 
Somando as equações, temos: 2.(x + y + z) = 7574. Logo, x + y + 
z = 3.787. 
 
18. (Uesc 2011) Uma empresa turística pretende alugar alguns 
ônibus para levar 260 pessoas em excursão. 
Para minimizar a despesa com esse aluguel, foi feita uma 
pesquisa de preços junto a uma empresa de transportes que, 
para o período desejado, disponibilizou 5 ônibus de 40 lugares 
e 8 ônibus de 50 lugares, mas apenas 6 motoristas. 
Sabendo-se que o aluguel do ônibus maior custa 
R$2000,00
, 
e o aluguel do ônibus menor,
R$1300,00
, pode-se concluir que 
a menor despesa com aluguel de ônibus, nessa empresa de 
transportes, será, em reais, igual a 
(A) R$ 8500,00 
(B) R$ 9200,00 
(C) R$ 9900,00 
(D) R$ 10600,00 
(E) R$ 11900,00 
RESPOSTA: B 
COMENTÁRIO: Seja o par ( X, Y), em que X e Y representam, 
respectivamente, o número de ônibus de 50 lugares e o 
número de ônibus de 40 lugares. 
Como serão disponibilizados 6 motoristas e 260 pessoas 
serão transportadas, temos que 
(x, y) {(5,1), (4, 2), (3, 3), (2, 4)}.
 
 
Portanto, a menor despesa com aluguel é obtida em(2,4), , ou 
seja, 
   2 2000 4 1300 R$ 9.200,00.
 
 
19. (Upe 2011) Os elementos 
 a,b,c
, todos reais e positivos, 
estão, nesta ordem, em progressão geométrica. Sabendo que 
ax by 1
cx ay 1
 

 
 é possível e indeterminado, é correto afirmar 
que necessariamente 
(A) a será o único termo não nulo no conjunto
 a,b,c
. 
(B) se 
abc 0
então os elementos 
 a,b,c
estão, nesta 
ordem, também em progressão aritmética. 
(C) 2a 0 ou c 0 , mas 2a bc 0  
(D) 2a 0 ou c = 0, mas 2a bc 0  
(E) pelo menos dois elementos no conjunto 
 a,b,c
são 
diferentes de zero. 
RESPOSTA: B 
COMENTÁRIO> Considerando o sistema 
 

 
ax by 1
cx ay 1
, 
multiplicando a primeira equação por -1 e somando com a 
segunda, temos (a-c) . x + (b – a) . y = 0. Com isso, concluímos 
que para o sistema ser possível e indeterminado deveremos 
ter a = c e b = a, portanto, (a.b,c) formam uma P.A de razão 
zero. 
Se a = b = c = 0, o sistema será impossível. 
 
20. (Unicamp 2011) Recentemente, um órgão governamental de 
pesquisa divulgou que, entre 2006 e 2009, cerca de 5,2 
milhões de brasileiros saíram da condição de indigência. Nesse 
mesmo período, 8,2 milhões de brasileiros deixaram a 
condição de pobreza. Observe que a faixa de pobreza inclui os 
indigentes. 
O gráfico a seguir mostra os percentuais da população 
brasileira enquadrados nessas duas categorias, em 2006 e 
2009. 
 
 
 
Após determinar a população brasileira em 2006 e em 2009, 
resolvendoum sistema linear, verifica-se que 
(A) o número de brasileiros indigentes passou de 19,0 
milhões, em 2006, para 13,3 milhões, em 2009. 
(B) 12,9 milhões de brasileiros eram indigentes em 2009. 
(C) 18,5 milhões de brasileiros eram indigentes em 2006. 
(D) entre 2006 e 2009, o total de brasileiros incluídos nas 
faixas de pobreza e de indigência passou de 36% para 
28% da população. 
RESPOSTA: C 
COMENTÁRIO: Se X e Y, respectivamente, denotam a 
população brasileira, em milhões, em 2006 e 2009, então: 
        
  
      
26%x 21%y 8,2 26%x 21%y 8,2 x 185
.
10%x 7%y 5,2 30%x 21%y 15,6 y 190
 
Portanto, 
 10% 185 milhões 18,5
 milhões de 
brasileiros eram indigentes em 2006. 
 
21. (Ufrgs 2011) Rasgou-se uma das fichas onde foram 
registrados o consumo e a despesa correspondente de três 
mesas de uma lanchonete, como indicado abaixo. 
 
 
 
Nessa lanchonete, os sucos têm um preço único, e os 
sanduíches também. O valor da despesa da mesa 3 é 
(A) R$ 5,50. 
(B) R$ 6,00. 
(C) R$ 6,40. 
(D) R$ 7,00. 
(E) R$ 7,20. 
RESPOSTA: A 
COMENTÁRIO: Sejam X e Y respectivamente, o preço de um 
suco e o preço de um sanduíche. 
De acordo com o consumo e a despesa de cada mesa, temos 
que 
 

 
2x 3y 14
.
4x 5y 25
 
Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos 
    2x 2y 11 x y 5,50,
 ou seja, o valor da despesa da 
mesa 3 é R$ 5,50. 
 
22. (Upe 2011) Considerando o sistema 5x 3y 4z 3
15x 9y 8z 6
20x 12y 16z 12
  

  
   
analise as afirmativas abaixo e conclua. 
6 
 
(A) O sistema é impossível. 
(B) O sistema é possível e indeterminado. 
(C) O sistema é possível e determinado. 
(D) O sistema admite como solução única x = 4, y = 8, z = -11 
(E) O sistema admite como solução, para qualquer valor de x 
a terna (x, x, 5x) 
Resposta: F V F F F. 
COMENTÁRIO: 
Escalonando o sistema, temos:   

  
   
5x 3y 4z 3
4z 3
0 0 0 0
 
Como o número de equações é menor que o número de 
incógnitas, conclui-se que o sistema é possível e 
indeterminado. 
 
(F) o sistema é possível e indeterminado; 
(V) o sistema é possível e indeterminado; 
(F) o sistema é possível e indeterminado; 
(F) basta substituir o terno ordenado no sistema escalonado; 
(F) basta substituir o terno ordenado no sistema escalonado. 
 
23. (Espcex (Aman) 2011) Para que o sistema linear 
2x y 5
ax 2y b
 

 
 
seja possível e indeterminado, o valor de a + b é: 
(A) –1 
(B) 4 
(C) 9 
(D) 14 
(E) 19 
RESPOSTA: D 
COMENTÁRIO: Para que o sistema seja possível e 
indeterminado, deve-se ter 
 
   
2 1 5
a 4
a 2 b
 e 
b 10.
 
 
Por conseguinte, 
   a b 4 10 14.
 
 
24. (Fuvest 2011) Uma geladeira é vendida em n parcelas iguais, 
sem juros. Caso se queira adquirir o produto, pagando-se 3 ou 
5 parcelas a menos, ainda sem juros, o valor de cada parcela 
deve ser acrescido de R$ 60,00 ou de R$ 125,00, 
respectivamente. Com base nessas informações, conclui-se 
que o valor de n é igual a 
(A) 13 
(B) 14 
(C) 15 
(D) 16 
(E) 17 
RESPOSTA: A 
COMENTÁRIO: Sejam n número de parcelas e v o valor de cada 
parcela, então: 
n.v = (n - 3).(v + 60) ou n.v = (n - 5) .(v + 125). 
Desenvolvendo as equações e resolvendo o sistema 
 
 

 
60n 3v 180
125n 5v 625
 , temos: n = 13 
 
25. (Pucsp 2011) Vítor e Valentina possuem uma caderneta de 
poupança conjunta. Sabendo que cada um deles dispõe de 
certa quantia para, numa mesma data, aplicar nessa 
caderneta, considere as seguintes afirmações: 
 
 - se apenas Vítor depositar nessa caderneta a quarta 
parte da quantia de que dispõe, o seu saldo duplicará; 
 - se apenas Valentina depositar nessa caderneta a 
metade da quantia que tem, o seu saldo triplicará; 
 - se ambos depositarem ao mesmo tempo as respectivas 
frações das quantias que têm, mencionadas nos itens 
anteriores, o saldo será acrescido de R$ 4947,00. 
 
Nessas condições, se nessa data não foi feito qualquer saque 
de tal conta, é correto afirmar que 
(A) Valentina tem R$ 6590,00. 
(B) Vítor tem R$ 5498,00. 
(C) Vítor tem R$ 260,00 a mais que Valentina. 
(D) o saldo inicial da caderneta era R$ 1649,00. 
(E) o saldo inicial da caderneta era R$ 1554,00. 
RESPOSTA: D 
COMENTÁRIO: S = saldo da poupança 
x = valor de Vítor 
y = valor de Valentina 
 
    
 
   
 
x x
S 2S S
4 4
y y
S 3S 2S
2 2
 
 
Portanto, 
 
 
 

x x
4947
4 2
S 2.S 4947
S 1649
 
 
26. (Unicamp simulado 2011) Uma empresa deve enlatar uma 
mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará. 
Sabe-se que o quilo de amendoim custa R$5,00, o quilo de 
castanha de caju, R$20,00 e o quilo de castanha-do-pará, 
R$16,00. Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o 
custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de R$5,75. 
Além disso, a quantidade de castanha de caju em cada lata 
deve ser igual a um terço da soma das outras duas. 
 
Nesse caso, as quantidades de cada ingrediente por lata são 
(A) 270 g de amendoim, 125 g de castanha de caju e 105 de 
castanha-do-pará. 
(B) 270 g de amendoim, 172,5 g de castanha de caju e 57,5 g 
de castanha-do-pará. 
(C) 250 g de amendoim, 125 g de castanha de caju e 125 g de 
castanha-do-pará. 
(D) 228 g de amendoim, 100 g de castanha de caju e 72 g de 
castanha-do-pará. 
RESPOSTA: C 
COMENTÁRIO: x é a quantidade de amendoim 
y é a quantidade de castanha de caju 
z é a quantidade de castanha-do-pará. 
x y z 0,5
5x 20y 16z 5,75
x 3y z 0
  

  
   
, resolvendo o sistema temos: 
 
x = 0,25kg = 250g 
y = 0,125kg = 125g 
z = 0,125kg = 125g 
 
27. (G1 - cftmg 2011) Em um determinado mês, o salário de uma 
funcionaria excedeu em R$ 600,00 as horas extras. Se ela 
recebeu um total de R$ 880,00, então, o valor de seu salário 
foi de 
(A) R$ 460,00 
(B) R$ 540,00 
(C) R$ 660,00 
(D) R$ 740,00 
(E) 820,00 
RESPOSTA: D 
COMENTÁRIO: Sejam x = salário e y = horas extras. 
7 
 


 


x - y 600
x y 880
2x 1480
x 740
 
 
28. (Espcex (Aman) 2011) Os números das contas bancárias ou 
dos registros de identidade costumam ser seguidos por um ou 
dois dígitos, denominados dígitos verificadores, que servem 
para conferir sua validade e prevenir erros de digitação. 
Em um grande banco, os números de todas as contas são 
formados por algarismos de 0 a 9, na forma 
abcdef xy,
 em 
que a sequência 
(abcdef)
 representa, nessa ordem, os 
algarismos do número da conta e x e y, nessa ordem, 
representam os dígitos verificadores. 
Para obter os dígitos x e y, o sistema de processamento de 
dados do banco constrói as seguintes matrizes: 
 
1 2 1
A 0 1 0
0 2 1
 
 
  
  
 x
B y
z
 
 
  
  
 (a b)
C (c d)
(e f )
 
 
  
  
 
 
Os valores de x e y, são obtidos pelo resultado da operação 
matricial 
 A B C,
 desprezando-se o valor de Z Assim, os 
dígitos verificadores correspondentes à conta corrente de 
número 
356281
 são 
(A) 34 
(B) 41 
(C) 49 
(D) 51 
(E) 54 
RESPOSTA: E 
COMENTÁRIO: Para o número 356281 a matriz C é dada por 
    
   
  
   
      
3 5 2
C 6 2 4 .
8 1 7
 
 Logo, 
      
     
    
     
          
   

 
  


 
 
1 2 1 x 2
A B C 0 1 0 y 4
0 2 1 z 7
x 2y z 2
y 4
2y z 7
x 5
y 4.
z 1Portanto, os dígitos verificadores correspondentes à conta 
corrente de número 356281 são 54. 
 
29. (Ita 2011) O sistema 
x 2y 3z a
y 2z b
3x y 5cz 0
  

 
   
 
(A) é possível, 
a,b,c . 
 
(B) é possível quando 
7b
a ou c 1.
3
 
 
(C) é impossível quando 
c 1, a,b .  
 
(D) é impossível quando 
7b
a , c .
3
  
 
(E) é possível quando 
7b
c 1 e a .
3
 
 
RESPOSTA: B 
COMENTÁRIO: 
D= 
       
 
1 2 3
0 1 2 5c 12 9 2 5c 5
3 1 5c
 
 
Se -5c + 5  0  c  1 o sistema será possível e determinado. 
Se c = 1, temos: 
  

 
   
x 2y 3z a
y 2z b
3x y 5z 0
 , multiplicando a primeira equação por -1 e 
somando com a segunda temos: 
  

 
    
x 2y 3z a
y 2z b
0 2y 14z 3a
, multiplicando a segunda equação por sete 
e somando com a terceira temos: 
  

  
    
x 2y 3z a
0 y 2z b
0 0 0 7b 3a
 se c = 1 e a = 7b/3 o sistema será possível 
e indeterminado e se c = 1 e a  7b/3 
 
O sistema será impossível. 
 
30. (Unesp 2011) Uma pessoa necessita de 5 mg de vitamina E 
por semana, a serem obtidos com a ingestão de dois 
complementos alimentares 
α
 e 
β
. Cada pacote desses 
complementos fornece, respectivamente, 1 mg e 0,25 mg de 
vitamina E. Essa pessoa dispõe de exatamente 
R$47,00
 
semanais para gastar com os complementos, sendo que cada 
pacote de 
α
 custa 
R$5,00
 e de 
β
 
R$4,00
. 
O número mínimo de pacotes do complemento alimentar 
α
 
que essa pessoa deve ingerir semanalmente, para garantir os 5 
mg de vitamina E ao custo fixado para o mesmo período, é de: 
(A) 3. 
(B) 
5
3
16 
(C) 5,5. 
(D) 
3
6
4 . 
(E) 8. 
RESPOSTA: A 
COMENTÁRIO: Sejam X e Y, respectivamente, as quantidades 
de pacotes dos complementos 

 e 

 que serão ingeridos. 
      
 
    
x 0,25y 5 16x 4y 80
.
5x 4y 47 5x 4y 47
 
 
Adicionando-se as duas equações, vem que 
    11x 33 x 3.
 
Portanto, deverão ser ingeridos 3 pacotes do complemento 
.
 
 
31. (G1 - cftmg 2011) Um restaurante serve um prato especial 
com dois tipos de comida A e B, cujas quantidades de 
carboidratos e gorduras por porção encontram-se indicadas na 
tabela abaixo. 
 
COMIDAS CARBOIDRATOS (g) GORDURAS (g) 
A 20 2 
B 5 1 
 
O nutricionista prepara esse prato de forma que contenha 60g 
de carboidrato e 8 g de gordura. Se x e y são os números de 
porções A e B, respectivamente, usadas pelo nutricionista, 
então, a solução desse problema é um par ordenado que 
pertence ao gráfico da função 
(A) Y = -3x + 1 
(B) Y = 5x - 6 
(C) Y = 4x 
(D) Y = x - 2 
RESPOSTA: B 
8 
 
COMENTÁRIO: De acordo com o problema, temos: 
 

 
20x 5y 60
2x y 8
 
Resolvendo o sistema, temos x = 2 e y = 4, que verificam a 
equação do item [B]. 
 
32. (Ufu 2011) Por causa de hábitos alimentares inadequados, um 
cardiologista nota que os seus pacientes com hipertensão são 
cada vez mais jovens e fazem uso de medicamentos cada vez 
mais cedo. Suponha que Pedro, Márcia e João sejam 
pacientes, com faixas etárias bem distintas e que utilizam um 
mesmo hipertensivo em comprimidos. Sabe-se que João utiliza 
comprimidos de 2 mg, Márcia de 4 mg e Pedro de 10 mg. Além 
disso, mensalmente, Pedro toma o triplo de comprimidos de 
Márcia e os três consomem 130 comprimidos, totalizando 780 
miligramas da droga. 
 
Com base nestas informações, é correto afirmar que Márcia, 
mensalmente, ingere 
(A) 50 comprimidos 
(B) 20 comprimidos 
(C) 60 comprimidos 
(D) 30 comprimidos 
RESPOSTA: B 
COMENTÁRIO: Sejam j, m e P, e respectivamente, o número 
de comprimidos que João, Márcia e Pedro tomam 
mensalmente. Logo, temos: 
    
  
       
    
2j 4m 10p 780 m 20
j 17m 390
j m p 130 j 50 .
j 4m 130
p 3m p 60
 
 
33. (G1 - ifsc 2011) Um cinema recebeu
R$663,00
(seiscentos e 
sessenta e três reais) pela venda de ingressos (entrada), 
durante uma única sessão. 
Nessa sessão, o número de ingressos vendidos para adultos foi 
o triplo do número de ingressos vendidos para crianças. O 
ingresso para adulto custava 
R$12,00
(doze reais) e o das 
crianças 
R$3,00
(três reais). Considere que x seja o número 
de ingressos vendidos para os adultos e y, o número de 
ingressos vendidos para as crianças. 
 
 
 
Assinale a alternativa que expressa corretamente a equação 
que permite determinar o número de ingressos vendidos para 
crianças, bem como para os adultos. 
(A) 
x y 3
12x 3y 663
 

  
(B) 
x 3y
x y 663


  
(C) 
x y 3
x y 663
 

  
(D) 
x 3y
12x 3y 663


  
(E) 
x 3y
3x 12y 663


  
RESPOSTA: D 
COMENTÁRIO: Número de adultos: x = 3y; 
Número de crianças: y; 
 
De acordo com o enunciado, temos: 


 
x 3y
12x 3y 663
 
 
34. (G1 - epcar (Cpcar) 2011) Considere três números naturais a, 
b e c, nessa ordem. A soma desses números é 888, a diferença 
entre o primeiro e o segundo é igual ao terceiro. O terceiro 
deles excede o segundo em 198 
O valor da diferença entre o primeiro e o terceiro é tal que 
excede 90 em 
(A) 23 
(B) 33 
(C) 43 
(D) 53 
RESPOSTA: B 
COMENTÁRIO: Escrevendo o sistema de acordo com o texto: 
  

 
  
a b c 888
a b c
c b 198
 
Resolvendo o sistema, temos: a = 444, b = 123 e c = 321. 
Fazendo (a – c) – 90, temos (444 – 321) – 90 = 33. 
 
35. (Fgv 2010) Em um quadrado mágico, como o indicado na 
figura, a soma dos números em cada linha, em cada coluna e 
em cada diagonal assume o mesmo valor. 
 
A 24 B 
18 C D 
25 E 21 
 
Se as letras A, B, C, D e E representam números, então D + E é 
igual a 
(A) 43. 
(B) 44. 
(C) 45. 
(D) 46. 
(E) 47. 
RESPOSTA: D 
COMENTÁRIO: 
 
43 + A = 21 + A + C  c = 22 
43 + A = A + B  B = 19 
25 + B + C = 66 
B + D + 21= 66  D = 26 
25 + E + 21 = 66  E = 20 
Logo, D + E = 26 + 20 = 46 
 
 
 
9 
 
36. (Ibmecrj 2010) Seja o sistema linear nas incógnitas x, y e z 
 
2
x y kz 1
2x k z 1
x y 2z 0
  

  
   
 
 
Assinale a afirmativa correta: 
(A) para k = 1, possui mais de uma solução. 
(B) para k = 3, não possui solução. 
(C) para k = 2, possui infinitas soluções. 
(D) para k = 2, não possui solução. 
(E) para k = 2, possui uma única solução. 
RESPOSTA: D 
COMENTÁRIO: 
2
1 1 k
2 0 k 0 2k 4 0 k 2
1 1 2
     
 
Fazendo k = 2, temos: 
x y 2z 1
2x 4z 1
x y 2z 0
  

  
   
 
Observado a primeira e terceira equações, entendemos que 
para k -2 o sistema é impossível. 
 
37. (Fgv 2010) Para que o sistema linear 
 
 
2x k! y 2
1 k! x 21y 3
  

  
de 
solução (x, y) não seja possível e determinado, o parâmetro k

IN tem de ser igual a 
(A) 2. 
(B) 3. 
(C) 4. 
(D) 5. 
(E) 6. 
RESPOSTA: B 
COMENTÁRIO: 
 
     

 
    
  
2
2 k!
0 k!.(1 k!) 42 0
(1 k)! 21
k! 7(não convém)
k! k! 42 0
k! 6 k 3
 
 
38. (Pucrj 2010) Maria comprou duas bicicletas por um total de 
R$ 670,00. Vendeu uma das bicicletas com lucro de 10% e a 
outra com prejuízo de 5%. No total, ela ganhou R$ 7,00. Quais 
foram os preços de compra? 
(A) R$ 370,00 e R$ 300,00 
(B) R$ 270,00 e R$ 400,00 
(C) R$ 277,00 e R$ 400,00 
(D) R$ 200,00 e R$ 470,00 
(E) R$ 377,00e R$ 293,00 
RESPOSTA: B 
COMENTÁRIO: 
x y 670
x 270 e y 400
0,1x _0,05y 7
 
  

 
 
39. (Pucpr 2010) Como está aproximando-se o término do 
desconto do IPI para a linha branca dos eletrodomésticos, uma 
determinada loja de departamentos, para vender uma 
geladeira, uma máquina de lavar e uma secadora, propôs a 
seguinte oferta: a geladeira e a máquina de lavar custam 
juntas R$ 2.200,00; a máquina de lavar e a secadora, R$ 
2.100,00; a geladeira e a secadora, R$ 2.500,00. 
 
Quanto pagará um cliente que comprar os três produtos 
anunciados? 
(A) R$ 2.266,00 
(B) R$ 6.800,00 
(C) R$ 3.200,00 
(D) R$ 3.400,00 
(E) R$ 4.800,00 
RESPOSTA: D 
COMENTÁRIO: x é o preço da geladeira 
y é o preço da máquina de lavar 
z é o preço da secadora 
x y 2200
y z 2100
x z 2500
 

 
  
somando as equações, temos: 
2x + 2y + 2x = 6800  x + y + z = 3400 
 
40. (Enem 2ª aplicação 2010) Algumas pesquisas estão sendo 
desenvolvidas para se obter arroz e feijão com maiores teores 
de ferro e zinco e tolerantes à seca. Em média, para cada 100 g 
de arroz cozido, o teor de ferro é de 1,5 mg e o de zinco é de 
2,0 mg. Para 100 g de feijão, é de 7 mg o teor de ferro e de 3 
mg o de zinco. Sabe-se que as necessidades diárias dos dois 
micronutrientes para uma pessoa adulta é de 
aproximadamente 12,25 mg de ferro e 10 mg de zinco. 
Disponível em: http://www.embrapa.br. Acesso em: 29 abr. 2010 
(adaptado). 
 
Considere que uma pessoa adulta deseja satisfazer suas 
necessidades diárias de ferro e zinco ingerindo apenas arroz e 
feijão. Suponha que seu organismo absorva completamente 
todos os micronutrientes oriundos desses alimentos. 
Na situação descrita, que quantidade a pessoa deveria comer 
diariamente de arroz e feijão, respectivamente? 
(A) 58 g e 456 g 
(B) 200 g e 200 g 
(C) 350 g e 100 g 
(D) 375 g e 500 g 
(E) 400 g e 89 g 
RESPOSTA: C 
COMENTÁRIO: Sejam a e f, respectivamente, os números de 
porções de 100 gramas de arroz e de feijão que deverão ser 
ingeridas. 
De acordo com o enunciado, obtemos o sistema 
      
  
        
1,5a 7f 12,25 6a 28f 49 a 3,5
.
2a 3f 10 6a 9f 30 f 1
 
Portanto, as quantidades de arroz e feijão que deverão ser 
ingeridas são, respectivamente, 
 3,5 100 350 g
 e 
 1 100 100 g.
 
 
41. (G1 - cftmg 2010) Uma loja de ferramentas apresentou os 
seguintes pacotes promocionais para chaves de fenda e de 
boca: 
pacote 1 
preço: R$ 31,00 
 
pacote 2 
preço: R$ 44,00 
 
 
10 
 
Nessa promoção, o preço de uma chave de boca somado ao 
de uma chave de fenda, em reais, é igual a 
(A) 17 
(B) 21 
(C) 22 
(D) 34 
RESPOSTA: A 
COMENTÁRIO: X é o preço de cada chave de fenda e y é o 
preço de cada chave de boca. Considerando as figuras, temos: 
         
 
   
9x 3y 933x y 31 3
2x 3y 442x 3y 44
 
Somando as equações, temos x= 7 e y = 10. 
7 + 10 = 17 
 
42. (Uerj 2010) Um conjunto de 100 copos descartáveis, dispostos 
em um suporte, será usado em uma festa. 
 
 
 
Considere, agora, as seguintes informações: 
 
 sempre se tenta retirar apenas 1 copo de cada vez desse 
suporte; 
 quando se tenta retirar 1 copo, e exatamente 2 saem 
juntos, 1 deles é desperdiçado; 
 quando se tenta retirar 1 copo, e exatamente 3 saem 
juntos, 2 deles são desperdiçados; 
 quando se tenta retirar 1 copo, nunca saem 4 ou mais de 
4 juntos; 
 foram retirados todos os copos desse suporte, havendo 
desperdício de 35% deles. 
 a razão entre o número de vezes em que foram retirados 
exatamente 2 copos juntos e o número de vezes em que 
foram retirados exatamente 3 juntos foi de 
3
2
. 
O número de vezes em que apenas 1 copo foi retirado do 
suporte é igual a: 
(A) 30 
(B) 35 
(C) 40 
(D) 45 
RESPOSTA: C 
COMENTÁRIO: x retiradas de 1 copo 
y retiradas de 2 copos → y copos desperdiçados 
z retiradas de 3 copos → 2z copos desperdiçados 
 
Então temos o seguinte sistema: 
x 2y 3z 100
y 2z 35
y 3
z 2

   

 

 

 
Resolvendo o sistema temos z = 10, y = 15 e x = 40 
Resposta: 40 retiradas de apenas um copo 
43. (Fgv 2010) No início de dezembro de certo ano, uma loja tinha 
um estoque de calcas e camisas no valor total de R$ 140 
000,00, sendo R$ 80,00 o valor (preço de venda) de cada calça 
é R$ 50,00 (preço de venda) o de cada camisa. 
Ao longo do mês, foram vendidos 30% do número de calças 
em estoque e 40% do número de camisas em estoque, 
gerando uma receita de R$ 52 000,00. 
Com relação ao estoque inicial, a diferença (em valor absoluto) 
entre o número de calcas e o de camisas é: 
(A) 1450 
(B) 1500 
(C) 1550 
(D) 1600 
(E) 1650 
RESPOSTA: B 
COMENTÁRIO: X = número de camisas (50) 
Y = número de calças (80) 
5x 8y 14000( 3) 15x 24y 42000
20x 24y 52000 20x 24y 52000
       
 
    
 
Resolvendo, temos x = 2000 e y = 500 
x – y = 2000 = 500 = 1500 
 
44. (G1 - cps 2010) Um técnico em edificações realizou um 
trabalho em y dias, fazendo x horas por dia. Se trabalhasse 
duas horas a mais por dia, teria terminado o serviço dois dias 
antes, e se trabalhasse quatro horas a mais por dia, teria 
terminado o serviço três dias antes. Os valores de x e y são tais 
que 
(A) y é o dobro de x. 
(B) y é 1,5 de x. 
(C) a sua diferença é 3. 
(D) a sua soma é 9. 
(E) x é a terça parte de y. 
RESPOSTA: B 
COMENTÁRIO: De acordo com o texto temos: 
                x y x 2 y 2 x y xy 2x 2y - 4 2x 2y 4.
 
                 x y x 4 y 3 x y xy 3x 4y 12 3x 4y 12
. 
 
Resolvendo um sistema com as equações acima, temos: 
       
 
      
2x 2y 4( 2) 4x 4y 8
3x 4y 12 3x 4y 12
 
Temos: x = 4 e y = 6 
Logo, Y = 1,5 . x 
 
45. (Fgv 2010) O sistema linear abaixo, nas incógnitas x e y: 
x 3y m
2x py 2
 

 
 
Será impossível quando: 
(A) Nunca 
(B) p ≠ –6 e m = 1 
(C) p ≠ –6 e m ≠ 1 
(D) p = –6 e m = 1 
(E) p = –6 e m ≠ 1 
RESPOSTA: E 
COMENTÁRIO: Se D = 0  SPI ou SI 
1 3
0 p 6 0 p 6
2 p
       

 
 
Fazendo p = -6, temos: 
x 3y m
2x 6y 2
 

 
 
 
Resolvendo temos 0 = -2m + 2 
Logo, o sistema será SI quando – 2m + 2 for diferente de zero, 
ou seja, quando m  1. 
 
11 
 
46. (Uece 2010) Se x, y e z constitui a solução do sistema linear 
 
x y z 1
x 2y 3z 2
x 4y 5z 4
  

   
    
 
 
então o produto x. y. z é igual a 
(A) – 4. 
(B) – 8. 
(C) – 2. 
(D) – 6. 
RESPOSTA: A 
COMENTÁRIO: Escalonando os sistemas temos: 
 
x = 2, y = 1 e z = -2 
 
Logo, x.y.z = -4 
 
47. (Espcex (Aman) 2012) A figura abaixo é formada por um 
dispositivo de forma triangular em que, nos vértices e nos 
pontos médios dos lados, estão representados alguns valores, 
nem todos conhecidos. Sabe-se que a soma dos valores 
correspondentes a cada lado do triângulo é sempre 24. 
 
 
 
Assim, o valor numérico da expressão x – y – z é 
(A) -2 
(B) -1 
(C) 2 
(D) 5 
(E) 10 
Resposta:[A] 
COMENTÁRIO: De acordo com o enunciado, segue que 
x y 5 24 x y 19
y z 15 24 y z 9 .
x z 10 24 x z 14
     
 
     
      
 
Tomando a matriz ampliada do sistema, vem 
1 1 0 19
0 1 1 9 .
1 0 1 14
 
 
 
 
 
 
Somando a 3ª linha com a 1ª multiplicada por -1, obtemos 
1 1 0 19
0 1 1 9 .
0 1 1 5
 
 
 
   
 
Somando a 3ª linha com a 2ª multiplicada por 1, encontramos 
1 1 0 19
0 1 1 9 .
0 0 2 4
  
 
 
 
 
 
Assim, 
z 2, y 7 
 e X = 12. 
Portanto, segue que 
x y z 12 7 2 2.      
 
 
48. (Ufsm 2012) Na peça "Um xadrez diferente", que encenava a 
vida de um preso condenado por crime de “colarinho branco”, 
foi utilizado como cenário um mosaico formado por 
retângulos de três materiais diferentes, nas cores verde, 
violeta e vermelha. Considere que x, y e z são, 
respectivamente, as quantidades, em quilos, dos materiais 
verde, violeta e vermelho utilizados na confecção do painel e 
que essas quantidades satisfazem o sistema linear 
 
x 3y 2z 250
2x 5y 3z 420
3x 5y 2z 430
  

  
   
 
 
Sobre a solução desse sistema e a quantidade dos materiais 
verde, violeta e vermelho utilizada no painel, afirma-se: 
I. O sistema tem solução única e x + y + z = 120, isto é, a 
soma das quantidades dos três materiais empregados é 
120 quilos. 
II. O sistema não tem solução, é impossível determinar a 
quantidade de cada material empregado. 
III. O determinante da matriz dos coeficientes a qual está 
associada ao sistema é diferente de zero e x = 2y e y = 3z. 
IV. O determinante da matriz dos coeficientes a qual está 
associada ao sistema é zero. O sistema tem solução, 
porém, para determinar a quantidade dos materiais 
utilizados, é necessário saber previamente a quantidade 
de um desses materiais. 
 
Está(ão) correta(s) 
(A) apenas I. 
(B) apenas II. 
(C) apenas III. 
(D) apenas I e III. 
(E) apenas IV. 
Resposta: [E] 
COMENTÁRIO: Escalonando o sistema, temos: 
 
Portando, o determinante dos coeficientes é zero, e, para 
determinar a quantidade dos materiais utilizados, é necessário 
saber previamente a quantidade de um desses materiais. 
Portanto, a única afirmação correta é a IV. 
 
49. (Acafe 2012) Dado o sistema de equação abaixo, analise as 
afirmações a seguir. 
 
v x y z w 0
v x y z w 0
v x y z w 0
3v x y z w 0
2v 2x 3y 2z aw 0
    

    
    
     

    
 
 
I. O sistema é homogêneo. 
II. O sistema será possível e indeterminado para qualquer 
valor de a. 
III. O sistema não admite a solução trivial. 
IV. O sistema será possível e determinado para a = - 2. 
 
 
12 
 
Assinale a alternativa correta. 
(A) Apenas I e II são verdadeiras. 
(B) Apenas I, III e IV são verdadeiras. 
(C) Apenas a afirmação IV é verdadeira. 
(D) Todas as afirmações são verdadeiras. 
Resposta: [A] 
COMENTÁRIO: 
I. Verdadeira. Como os termos independentes de todas as 
equações são iguais a zero, segue que o sistema linear é 
homogêneo. 
II. Verdadeira. Aplicando a Regra de Chió no determinante da 
matriz dos coeficientes do sistema, obtemos: 
 
 


 
   
 
  

 
1 1 1 1 1
2 0 2 2
1 1 1 1 1
0 2 0 2
.1 1 1 1 1
2 2 2 4
3 1 1 1 1
0 1 0 a 2
2 2 3 2 a
 
 Como as colunas 1 e 3 são iguais, segue que esse 
determinante é igual a zero para qualquer valor de a. 
Portanto, como o sistema é homogêneo, temos que o 
mesmo é possível e indeterminado para qualquer valor de 
a. 
III. Falsa. Todo sistema linear homogêneo admite a solução 
trivial. 
IV. Falsa. Como mostrado em (II). 
 
50. (Udesc 2012) Um Pet Shop tem cães, gatos e passarinhos à 
venda, totalizando 38 cabeças e 112 patas. Sabe-se que 
nenhum destes animais apresenta algum tipo de deficiência 
física e que a metade do número de passarinhos mais o 
número de cães supera em duas unidades o número de gatos. 
Se o preço de venda de cada cão, gato e passarinho é, 
respectivamente, 500, 90 e 55 reais, então, ao vender todos 
estes animais, o Pet Shop terá arrecadado: 
(A) 4770 reais 
(B) 3950 reais 
(C) 6515 reais 
(D) 5250 reais 
(E) 5730 reais 
Resposta: [A] 
Sejam c,g e p, respectivamente, o número de cães, o número 
de gatos e o número de passarinhos. 
Se a metade do número de passarinhos mais o número de cães 
supera em duas unidades o número de gatos, então 
      
p
c g 2 p 2c 2g 4.
2
 
Por outro lado, como existem 112 patas, temos que 
      4(c g) 2p 112 p 2c 56 2g
 
Assim, 
      2g 4 56 2g 4g 52 g 13.
 
Além disso, como o total de cabeças é 38, vem 
        c g p 38 p 38 13 c 25 c.
 
Portanto, 
          p 2c 2g 4 25 c 2c 2 13 4 c 5
 
e, dessa forma, 
  p 25 5 20.
 
Por conseguinte, ao vender todos os animais o Pet Shop terá 
arrecadado 
     5 500 13 90 20 55 R$ 4.770,00.
 
 
51. (Ufsj 2012) No quadro de alimentos que devem compor uma 
dieta alimentar específica, o total de carboidratos, proteínas e 
lipídios a ser ingerido diariamente deve ser de 117 gramas. A 
prescrição é que a quantidade de proteínas ingerida seja 
1
4
 
da quantidade de carboidratos e que a quantidade de lipídios 
equivalha a 30% da quantidade de carboidratos e proteínas. 
Considerando essa dieta, é INCORRETO afirmar que o 
consumo diário de 
(A) carboidratos é superior ao consumo diário de proteínas. 
(B) lipídios e carboidratos é de 101 gramas. 
(C) carboidratos excede o de proteínas em 54 gramas. 
(D) proteínas e lipídios é de 45 gramas. 
Resposta: [B] 
COMENTÁRIO: Sejam, c,p e 
,
 respectivamente, as 
quantidades ingeridas de carboidratos, proteínas e lipídios. 
De acordo com as informações, vem 
 
c p 117
c p 117
1
p c c 4p
4
3
3 p
(c p) 2
10
3
5p p 117
2
c 4p
3
p
2
p 18 g
c 72 g.
27 g
   
   
  
 
  
   

 



 

 


 
 
Portanto, como 
 c 99 g,
 é incorreto afirmar que o 
consumo diário de lipídios e carboidratos é de 101 gramas. 
 
52. (Ufrgs 2012) Inovando na forma de atender aos clientes, um 
restaurante serve alimentos utilizando pratos de três cores 
diferentes: verde, amarelo e branco. Os pratos da mesma cor 
custam o mesmo valor. Na mesa A, foram consumidos os 
alimentos de 3 pratos verdes, de 2 amarelos e de 4 brancos, 
totalizando um gasto de R$ 88,00. Na mesa B, foram 
consumidos os alimentos de 2 pratos verdes e de 5 brancos, 
totalizando um gasto de R$ 64,00. Na mesa C, foram 
consumidos os alimentos de 4 pratos verdes e de 1 amarelo, 
totalizando um gasto de R$ 58,00. 
 
Comparando o valor do prato branco com o valor dos outros 
pratos, verifica-se que esse valor é 
(A) 80% do valor do prato amarelo. 
(B) 75% do valor do prato amarelo. 
(C) 50% do valor do prato verde. 
(D) maior que o valor do prato verde. 
(E) a terça parte do valor da soma dos valores dos outros 
pratos. 
Resposta: [A] 
COMENTÁRIO 
3v 2a 4b 88 v 12
2v 5b 64 Resolvendo o sistema, temos : a 10.
4v 1a 58 b 8
    
 
    
    
 
Portanto, o valor do prato branco é 80% do valor do prato 
amarelo. 
 
53. (Ufsj 2012) A respeito do sistema 
 
x y az 1
3x y 2z 6
2x 2y 2z b
  

  
   
 
 
é CORRETO afirmar que 
(A) se a

1, o sistema tem solução única. 
(B) se b = 2, o sistema tem infinitas soluções. 
(C) se a = 1 e b = 2, o sistema não tem solução. 
(D) se a = 1, o sistema tem infinitas soluções. 
Resposta: [A] 
Calculando o determinante dos coeficientes, temos: 
13 
 

     

1 1 a
D 3 1 2 6a 6
2 2 2
 
Se 
  6a 6 0
 o sistema será possível e determinado, logo se 
a 1
 o sistema terá solução única. 
 
54. (Espm 2012) Sendo x e y números reais e (3x + 2y)
2
 + (x – 2y + 
8)
2
 = 0, o valor de y
x
 é: 
(A) 1/9 
(B) 1/8 
(C) –8 
(D) 9 
(E) 8 
Resposta: [A] 
COMENTÁRIO 
Para que a soma dos quadrados de dois números reais seja 
zero,será necessário que estes dois números sejam iguais a 
zero. 
 
Resolvendo o sistema temos: x = –2 e y = 3. 
Logo, y
x
 = 3
-2
 = 1/9. 
 
55. (Uepa 2012) Em um Shopping Center, uma pessoa verificou o 
valor por unidade de CD de diferentes gêneros musicais 
(samba e forró) nas lojas A e B, conforme indicado na tabela 
abaixo: 
 
 Samba Forró 
Loja A R$ 18,00 R$ 21,00 
Loja B R$ 17,00 R$ 20,00 
 
Se essa pessoa decidisse comprar x unidades de CD do gênero 
samba e y unidades de CD do gênero forró, na loja A, ela 
gastaria R$ 138,00. Mas, se ela comprasse as mesmas 
quantidades de CDs x e y na loja B ela gastaria R$ 131,00. 
Então a soma x + y é igual a: 
(A) 8 
(B) 7 
(C) 6 
(D) 5 
(E) 4 
Resposta: [B] 
COMENTÁRIO: Com as informações do problema, podemos 
escrever o seguinte sistema linear: 
 

 
18x 21y 138 (i)
17x 20y 131 (ii)
 
Fazendo (i) – (ii), temos: x + y = 7. 
 
56. (Espm 2012) Carlinhos possui certa quantidade de bolinhas de 
gude e algumas latinhas onde guardá-las. Ao colocar 4 
bolinhas em cada lata, sobraram 2 bolinhas, mas quando 
colocou 5 bolinhas em cada lata, a última ficou com apenas 2 
bolinhas. Podemos afirmar que todas as latas ficariam com o 
mesmo número de bolinhas se ele tivesse: 
(A) 36 bolinhas 
(B) 42 bolinhas 
(C) 49 bolinhas 
(D) 55 bolinhas 
(E) 63 bolinhas 
Resposta: [D] 
COMENTÁRIO: Vamos considerar x bolinhas e y latinhas. De 
acordo com o sistema, temos: 
 
 

  
x 4y 2
x 5.(y 1) 2
 temos y = 5 e x = 22. 
Temos, então, 5 latas e 22 bolinhas. 55 é a resposta correta, 
pois é o único múltiplo de 5. 
 
57. (Unisinos 2012) Numa loja, todas as calças têm o mesmo 
preço, e as camisas também, sendo o preço de uma calça 
diferente do de uma camisa. Ricardo comprou 1 calça e 2 
camisas e pagou R$240,00. Roberto comprou 2 calças e 3 
camisas e pagou R$405,00. Qual o preço, em reais, de uma 
calça e uma camisa, respectivamente? 
(A) 70 e 95. 
(B) 75 e 90. 
(C) 80 e 85. 
(D) 85 e 80. 
(E) 90 e 75. 
Resposta: [E] 
COMENTÁRIO: Preço da calça: x 
Preço da camisa: y 
Com as informações do problema, escrevemos o sistema. 
 

 
x 2y 240
2x 3y 405
 
Resolvendo o sistema temos: x = 90 e y = 75 
Portanto, o valor da calça será R$90,00 e o da camisa R$75,00. 
 
58. (Unesp 2013) Uma coleção de artrópodes é formada por 36 
exemplares, todos eles íntegros e que somam, no total da 
coleção, 113 pares de patas articuladas. Na coleção não há 
exemplares das classes às quais pertencem o caranguejo, a 
centopeia e o piolho-de-cobra. 
Sobre essa coleção, é correto dizer que é composta por 
exemplares das classes Insecta e 
(A) Arachnida, com maior número de exemplares da classe 
Arachnida. 
(B) Diplopoda, com maior número de exemplares da classe 
Diplopoda. 
(C) Chilopoda, com igual número de exemplares de cada uma 
dessas classes. 
(D) Arachnida, com maior número de exemplares da classe 
Insecta. 
(E) Chilopoda, com maior número de exemplares da classe 
Chilopoda. 
Resposta: [D] 
COMENTÁRIO 
[Resposta do ponto de vista da disciplina de Biologia] 
A questão pode ser resolvida por meio de um sistema linear 
composto por duas equações: sejam x e y, respectivamente, o 
número de insetos e de aracnídeos na coleção, e 6x e 8y o 
número respectivo de patas. Então: 
 
   
      
  
      
   
x y 36 x 36 y 
 6 36 y 8y 226
6x 8y 2266x 8y 226
216 6y 8y 226 2y 10 y 5
Substituindo: x 36 5 x 31.
 
Logo, na coleção há 5 aracnídeos e 31 insetos. 
[Resposta do ponto de vista da disciplina de Matemática] 
Considerando as classes do Filo Arthropoda, nesta coleção 
estariam presentes somente representantes das classes Insecta 
e Arachnida. 
Considerando que x é o número de aracnídeos (8 patas) e y o 
número de insetos (6 patas), podemos escrever: 
      
 
  
x y 36( 6) 6x 6y 216 (I) 
 
8x 6y 226 (II)8x 6y 226
 
Fazendo (II) – (I), temos: 
2x = 10 
x = 5 (aracnídeos) e y = 31 (insetos). 
59. (Epcar (Afa) 2013) Irão participar do EPEMM, Encontro 
Pedagógico do Ensino Médio Militar, um Congresso de 
Professores das Escolas Militares, 87 professores das 
 

  
3x 2y 0
x 2y 8 0
14 
 
disciplinas de Matemática, Física e Química. Sabe-se que cada 
professor leciona apenas uma dessas três disciplinas e que o 
número de professores de Física é o triplo do número de 
professores de Química. 
Pode-se afirmar que 
(A) se o número de professores de Química for 16, os 
professores de Matemática serão a metade dos de Física. 
(B) o menor número possível de professores de Química é 
igual a 3. 
(C) o número de professores de Química será no máximo 21. 
(D) o número de professores de Química será maior do que o 
de Matemática, se o de Química for em quantidade maior 
ou igual a 17. 
Resposta: [C] 
COMENTÁRIO: 
M = número de professores de Matemática 
F = o número de professores de Física 
Q = número de professores de Química 
 
De acordo com o problema, temos: 
F 3 Q
M F Q 87
M 3Q Q 87
M 87 4 Q
 

  
  
  
 
 
Como 87 – 4Q > 0, temos –4Q > –87 
 Q < 21,75 
Portanto, o número de professores de Química será no 
máximo 21. 
 
60. (Upe 2013) Em uma floricultura, é possível montar arranjos 
diferentes com rosas, lírios e margaridas. Um arranjo com 4 
margaridas, 2 lírios e 3 rosas custa 42 reais. No entanto, se o 
arranjo tiver uma margarida, 2 lírios e uma rosa, ele custa 20 
reais. Entretanto, se o arranjo tiver 2 margaridas, 4 lírios e 
uma rosa, custará 32 reais. Nessa floricultura, quanto custará 
um arranjo simples, com uma margarida, um lírio e uma rosa? 
(A) 5 reais 
(B) 8 reais 
(C) 10 reais 
(D) 15 reais 
(E) 24 reais 
Resposta: [D] 
Sejam X,Y e Z, respectivamente, os preços unitários das 
margaridas, lírios e rosas. 
De acordo com as informações, obtemos o sistema 
4x 2y 3z 42 x 2y z 20
x 2y z 20 4x 2y 3z 42
2x 4y z 32 2x 4y z 32
x 2y z 20
6y z 38
z 8
x 2
y 5.
z 8
      
 
      
       
   

   
   
 


 
 
 
Portanto, o resultado pedido é 
 
x y z 2 5 8 R$ 15,00.     
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA II 
 
61. (Fuvest 2010) Tendo em vista as aproximações log10 2  0,30, 
log10 3  0,48, então o maior número inteiro n, satisfazendo 
10
n

12
418
, é igual a 
(A) 424 
(B) 437 
(C) 443 
(D) 451 
(E) 460 
RESPOSTA: D 
COMENTÁRIO: 10
n

12
418
 
log10
n 
 log12
418 
 n log10 
 418.log(2
2
.3)  n  
418(log2
2
 + log3)  n  418(2log2 + log3)  
n  418(2.0,30+0,48)  n 451,44 
Logo o maior inteiro é 451. 
 
62. (Unesp 2012) Em 2010, o Instituto Brasileiro de Geografia e 
Estatística (IBGE) realizou o último censo populacional 
brasileiro, que mostrou que o país possuía cerca de 190 
milhões de habitantes. Supondo que a taxa de crescimento 
populacional do nosso país não se altere para o próximo 
século, e que a população se estabilizará em torno de 280 
milhões de habitantes, um modelo matemático capaz de 
aproximar o número de habitantes (P), em milhões, a cada ano 
(t), a partir de 1970, é dado por: 
 
0,019 (t 1970)P(t) 280 190 e     
 
 
 
Baseado nesse modelo, e tomando a aproximação para o 
logaritmo natural 
 
14
In 1,9
95
 
  
 
 
 
a população brasileira será 90% da suposta população de 
estabilização aproximadamente no ano de: 
(A) 2065. 
(B) 2070. 
(C) 2075. 
(D) 2080. 
(E) 2085. 
RESPOSTA:B 
COMENTÁRIO: Para que a população brasileira seja 90% da 
suposta população de estabilização, deveremos ter 
   
 
     
 
    
  
 
0,019(t 1970) 0,019(t 1970)
0,019(t 1970)
14
0,9 280 280 190 e e
95
14
n e n
95
0,019(t 1970) 1,9
1,900
t 1970
0,019
t 2070.
 
 
63. (Uff 2011) O índice de Theil, um indicador usado para medir 
desigualdades econômicas de uma população, é definido por 
A
G
M
T n ,
M
 
  
 
 
sendo 
N
1 2 N
A i
i 1
x x x1
M x
N N
  
 
 e 
N
NN
G i 1 2 N
i 1
M x x x x ,

    
 
respectivamente, as médias aritmética e geométrica das 
rendas 
1 2 Nx , x , , x
 (consideradas todas positivas e 
medidas com uma mesma unidade monetária) de cada um dos 
N
 indivíduos da população. 
15 
 
Com base nessas informações, assinale a afirmativa incorreta. 
(A) A GT n(M ) n(M ).  
(B) 
A
i
M
n 0
x
 
 
 
 para todo 
ix 0, i 1, ,N. 
 
(C) 
i
A
x
M
N

para todo i = 1, ..., N. 
(D) Se 
1 2 Nx x x ,  
 então 
T 0.
 
(E) 
N
A A A A
i 1 i 1 2 N
M M M M1 1
T n n n n .
N x N x x x
        
             
        

 
RESPOSTA: B 
COMENTÁRIO: Devemos mostrar que existe pelo menos um Xi 
de modo que 
 
  
A
i
M
n 0.
x
 
Com efeito, sem perda de generalidade, podemos supor que 
  1 2 Nx x x .
 Assim, 
 1 A Nx M x
 e, portanto, 
 
    
A A
N N
M M
1 n 0.
x x
 
 
64. (Fuvest 2011) Seja x > 0 tal que a sequência a1 = log2x, a2 = 
log4(4x), a3 = log8(8x) forme, nessa ordem, uma progressão 
aritmética. Então, a1 + a2 + a3 é igual a 
(A) 
13
2 
(B) 
15
2 
(C) 
17
2 
(D) 
19
2 
(E) 
21
2 
RESPOSTA: B 
COMENTÁRIO: Como a1 , a2 ,a3 é uma P.A, temos: 
a1 + a3 = 2. a2 
 2 8 4log x log 8x 2.log 4x
 
Escrevendo tudo na base 2, temos: 
 2 22
2 2
log (8x) log (8x)
log x
log 8 log 4
 
 
Aplicando as propriedades dos logaritmos: 
 
 
2 22 2
2
2. log 4 log x)log 8 log x
log x
3 2
 
 
Calculando os logaritmos e desenvolvendo a equação, temos: 
 
log2x = 3  x = 8 
 
Fazendo x = 8, temos: 
 
a1 = log28 = 3 
a2 = log432 = 
5
2
 
a3 = lgo864 = 2 
Somando a1 + a2 + a3 = 3 + 
5
2
 + 2 =
15
2
 
 
65. (G1 - cftmg 2010) Considerando a equação 2
x
 = 5 e que log2 = 
0,3, o valor mais próximo de x é 
(A) 2,2 
(B) 2,3 
(C) 2,4 
(D) 2,5 
RESPOSTA: B 
COMENTÁRIO: 2
x
 = 5 (aplicando o logaritmo dos dois lados, 
temos) 
Log2
X
 = log (10/2) 
x.log2 = log 10 – log2 
x.0,3 = 1 – 0,3 
0,3x = 0,7 
X = 2,3333333.... 
 
66. (Ufrgs 2010) Sabendo-se que os números 1 + log a, 2 + log b, 3 
+ log c formam uma progressão aritmética de razão r, é 
correto afirmar que os números a, b, c formam uma 
(A) progressão geométrica de razão 10
r-1
. 
(B) progressão geométrica de razão 10
r
 -1. 
(C) progressão geométrica de razão log r. 
(D) progressão aritmética de razão 1 + log r. 
(E) progressão aritmética de razão 10
1+log r
. 
RESPOSTA: A 
COMENTÁRIO: r = 2 + logb – (loga + 1) 
r = 1 + logb – loga 
r – 1 = log(b/a) 
b/a = 10
 r-1 
 
r = 3 + logc – (logb + 2) 
r = 1 + logc – logb 
r – 1 = log(c/b) 
c/b = 10
 r-1 
 
logo a,b e c formam uma P.G de razão 10
 r – 1
 
 
67. (Fgv 2010) Considere o gráfico das funções reais f(x) = 2 log x 
e g(x) = log 2x, nos seus respectivos domínios de validade. 
A respeito dos gráficos de f e g, é correto afirmar que 
(A) não se interceptam. 
(B) se interceptam em apenas um ponto. 
(C) se interceptam em apenas dois pontos. 
(D) se interceptam em apenas três pontos. 
(E) se interceptam em infinitos pontos. 
RESPOSTA: B 
COMENTÁRIO: Igualando as funções, temos: 
 
2logx = log(2x) 
logx
2
 = log(2x) 
x
2
 – 2x = 0 
x.(x – 2 ) = 0 
 
x = 0 (não satisfaz a condição de existência) e x = 2. 
Logo, as funções se interceptam em apenas um ponto de 
abscissa x = 2. 
 
68. (Mackenzie 2010) Considerando a solução (x, y) do sistema 
4 2
2 4
log x log y 5
log x log y 0
 

 
, com x

1, o valor de logx 
x
y
 
 
 
 é 
(A) 1 
(B) 4 
(C) –1 
(D) 
1
2 
(E) 
1
4 
RESPOSTA: C 
COMENTÁRIO: Mudando os logaritmos para a base 2, temos: 
2 2
2 2
1
log x log y 5
2
1
log x log y 0 (x2)
2

 

  

  2 2
2 2
1
log x log y 5
2
2.log x log y 0

 


 
 
2 2 2 2
5 1
,log x 5 x 4 e log 4 log y 5 log y 4 y 16
2 2
        
 
 
16 
 
Logo 
x 4 4
x 4 1
log log log 1
y 16 4
   
 
 
69. Mackenzie-SP, adaptada) O valor da expressão log1/2 32 + 
log0,1 10
10
 é igual a: 
(A) -13/2 
(B) 19/2 
(C) -7/2 
(D) 7/2 
(E) -1/2 
RESP: A 
 
70. (PUC – SP) o logaritmo, em uma base x, do número y = 5 + x/2 
é 2. Então, x vale: 
(A) 3/2 
(B) 4/3 
(C) 2 
(D) 5 
(E) 5/2 
RESP: E 
 
71. Sendo logx 1/729 = -6, é correto afirmar que: 
(A) X = -5 
(B) X = 3 
(C) X = 4 
(D) X = -3 
(E) X = -4 
RESP: B 
 
72. Sendo a e b dois números reais tais que log2 (log3 a) = 1 e log3 
(log2 b) = 0, temos a + b igual a: 
(A) 5 
(B) 6 
(C) 11 
(D) 1 
(E) 17 
RESP: C 
73. (Ulbra – RS) Se log x = 4, então o valor de log 
x
10.000
 é: 
(A) -2 
(B) -1 
(C) 10
-1
 
(D) 10
-2
 
(E) 10
4
 
RESP: A 
 
74. (unisa-SP) Seja m a solução 
4 x25
 = 125, o valor de log2 m/12 
é: 
(A) -2 
(B) -1 
(C) 0 
(D) 3 
(E) 6 
RESP: B 
 
75. Se logx-1 (2x + 1) = 2, o valor de logx 
x 4
 é igual a: 
(A) 1/4 
(B) 2/4 
(C) 3/4 
(D) 4/4 
(E) 5/4 
RESP: C 
 
76. (Insper 2013) Se N é o menor número natural para o qual 
(2
N
)
N
 tem pelo menos 30 dígitos, então N é 
(Utilize a aproximação: log 2 = 0,30.) 
(A) 7. 
(B) 8. 
(C) 9. 
(D) 10. 
(E) 11. 
Resposta: [D] 
Se 
N N(2 )
 tem pelo menos 30 dígitos, então 2N N 29 N 29
2
2
2
(2 ) 10 log2 log10
N log2 29 log10
0,3 N 29
N 96,7
N 10.
  
   
  
 
 
 
Portanto, o menor valor de N é 10. 
 
77. (Insper 2012) Considere N o menor número inteiro positivo tal 
que log(log(logN)) seja um inteiro não negativo. O número N, 
representado no sistema de numeração decimal, possui 
(A) 2 algarismos. 
(B) 3 algarismos. 
(C) 10 algarismos. 
(D) 11 algarismos. 
(E) 100 algarismos. 
Resposta: [D] 
Para que 
log(log(logN))
seja um inteiro não negativo, 
devemos ter: 
     10log(logN) 1 logN 10 N 10 ,
 com onze algarismos. 
 
78. (Uesc 2011) Trabalhando-se com log3 = 0,47 e log2 = 0,30, 
pode-se concluir que o valor que mais se aproxima de log 146 
é 
(A) 2,03 
(B) 2,08 
(C) 2,19 
(D) 2,58 
(E) 2,64 
Resposta: [C] 
Com as aproximações fornecidas, temos que 4 2
4 2 2
log144 log146 log150
300
log2 3 log146 log
2
log2 log3 log146 log3 10 log2
4 log2 2 log3 log146 log3 2 log10 log2
4 0,3 2 0,47 log146 0,47 2 0,30
2,14 log146 2,17.
 
  
    
       
      
 
 
 
79. (Uft 2010) Considere a equação: lo g2.x.log2 x – 3.log2 x = 0, 
x > 0 no conjunto dos números reais. A soma dos valores de x 
que satisfazem esta equação é: 
(A) 0 
(B) 2 
(C) 8 
(D) 9 
(E) 2/3 
Resposta: [D] 
(log2x)
2
 – 3log2x = 0 
Resolvendo a equação na incógnita x temos:log2 x = 0 

 x = 1 log2 x = 3

 x = 8 
somando, 8 + 1 = 9 
 
80. (Pucpr 2010) Sabendo que log20 = 1,3 e log5 = 0,7 , é correto 
afirmar que log5 20 corresponde a: 
(A) Exatamente 2. 
(B) Exatamente 0,6. 
(C) Maior ou igual a 0,5 e menor que 0,6. 
(D) Um valor entre 1,8 e 1,9. 
(E) Nenhuma das alternativas anteriores. 
17 
 
Resposta: [D] 
Log520 = 
log20 1,3
1,857
log5 0,7
 
(entre 1,8 e 1,9). 
 
81. (Uece 2010) Se os números m, p e q são as soluções da 
equação x
3
 – 7x
2
 + 14x – 8 = 0 então o valor da soma log2m + 
log2p + log2q é 
(A) 1. 
(B) 2. 
(C) 3. 
(D) 4. 
Resposta: [C] 
Utilizando a relação do produto temos m.p.q = 
( 8)
1
 

8 
log2m + log2p + log2q = log2(m.p.q) = log28 = 3 
 
82. (Fuvest 2010) Tendo em vista as aproximações log10 2 ≈ 0,30, 
log10 3 ≈ 0,48, então o maior número inteiro n, satisfazendo 
10
n

12
418
, é igual a 
(A) 424 
(B) 437 
(C) 443 
(D) 451 
(E) 460 
Resposta: [D] 
COMENTÁRIO: 
10
n

12
418
 
log10
n 
 log12
418 
 n log10 
 418.log(2
2
.3)  n  
418(log2
2
 + log3)  n  418(2log2 + log3)  
n  418(2.0,30+0,48)  n 451,44 
Logo o maior inteiro é 451. 
 
83. (Fgv 2010) Adotando o valor 0,30 para 2 log , a raiz da 
equação 2
3x – 6
 = 5
1–x
, arredondada para duas casas decimais, 
é: 
(A) 1,32 
(B) 1,44 
(C) 1,56 
(D) 1,65 
(E) 1,78 
Resposta: [C] 
COMENTÁRIO 
log 2
3x – 6
 = log 5
1–x
 
(3x – 6). log2 = (1 – x). log5 
(3x – 6) . 0.3 = (1 - x). (log 10 – log2) 
(3x – 6) . 0.3 = (1 - x) . 0,7 
1,6x = 2,5 
x = 1,56 (aproximação com duas casas decimais 
 
84. (Fgvrj 2012) O número N de habitantes de uma cidade cresce 
exponencialmente com o tempo, de modo que, daqui a t anos, 
esse número será N = 20000(1 + k)
t
, onde k é um número real. 
Se daqui a 10 anos 
a população for de 24 000 habitantes, daqui a 20 anos ela será 
de: 
(A) 28 000 habitantes 
(B) 28 200 habitantes 
(C) 28 400 habitantes 
(D) 28 600 habitantes 
(E) 28 800 habitantes 
Resposta: [E] 
N(10) = 20.000(1 + K)
10
 = 24 000

(1 + K)
10
 = 1,2 
N(20) = 20000.(1+K)
20
 = 20 000
 
2
10
1 k  
 
=20 000.1,2
2
 = 28 
800 
 
 
85. (Fgv 2012) Considere a função f(x) = log1319x
2
 
Se n = f(10) + f(11) + f(12), então 
(A) n < 1. 
(B) n = 1. 
(C) 1 < n < 2. 
(D) n = 2. 
(E) n > 2. 
Resposta: [E] 
COMENTÁRIO: 
Sabendo que 
c
a alog b c log b, 
 
alog a 1
 e 
a alog b log c b c,  
 com a, b e c reais positivos e 
a 1,
 
vem 
2 2 2
1319 1319 1319
2
1319
1319
n f(10) f(11) f(12)
log 10 log 11 log 12
log (10 11 12)
2 log 1320.
  
  
  
 
 
Portanto, 
1319 1319n 2 log 1320 2 loglog 1319 2.    
 
 
MATEMÁTICA III 
 
86. (Fuvest 2012) Em um tetraedro regular de lado a, a distância 
entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual 
a 
(A) a 3 
(B) a 2 
(C) 
a 3
2 
(D) 
a 2
2 
(E) 
a 2
4 
RESPOSTA: D 
COMENTÁRIO: 
 
 
22 2 2 2
2 2a a 3 3a a 2.a a 2d d d d
2 2 4 4 4 2
  
               
 
 
87. (Ufrgs 2011) A superfície total do tetraedro regular 
representado na figura abaixo é 
9 3
. Os vértices do 
quadrilátero PQRS são os pontos médios de arestas do 
tetraedro, como indica a figura. 
 
 
 
 
 
18 
 
O perímetro do quadrilátero é 
(A) 4. 
(B) 4 2 . 
(C) 6. 
(D) 5 3 . 
(E) 6 3 . 
RESPOSTA: C 
COMENTÁRIO: Considere a figura abaixo. 
 
Como P e S são, respectivamente, os pontos médios das 
arestas AV e AB e do tetraedro, segue que PS é base média 
do triângulo AVB, isto é, 
   
VB
PS VB 2 PS.
2
 
Por outro lado, como o tetraedro é regular, temos que as 
quatro faces do tetraedro são triângulos equiláteros e, 
portanto, 
  PS SR RQ QP.
 
Além disso, como a superfície total do tetraedro é 
9 3,
 vem 
que 

   
2(2 PS) 3 3
4 9 3 PS .
4 2
 Daí, o perímetro pedido é 
   
3
4 PS 4 6.
2
 
 
88. (Espcex (Aman) 2011) Na figura abaixo, está representado um 
sólido geométrico de 9 faces, obtido a partir de um cubo e 
uma pirâmide. Sabendo que todas as arestas desse sólido têm 
medida , então as medidas da altura (distância do ponto V à 
face ABCD) e da superfície total desse sólido são, 
respectivamente, 
 
 
(A) e 
(B) e 
(C) e 
(D) e 
(E) e 
RESPOSTA: B 
COMENTÁRIO: Considere a figura abaixo, em que O é o centro 
da base da pirâmide. 
 
 
Como segue que 
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo obtemos 
 
Desse modo, a distância do ponto V à face ABCD é 
 
A superfície total do sólido é dada por 
 
 
89. (Ifsp 2011) A base de uma pirâmide hexagonal regular está 
inscrita em um círculo que é a base de um cilindro reto de 
altura 
6 3
cm. Se esses sólidos têm o mesmo volume, então 
a medida, em centímetros, da altura da pirâmide é 
(A) 9π 
(B) 12 π 
(C) 15 π 
(D) 18 π 
(E) 24 π 
RESPOSTA: B 
COMENTÁRIO: 
 
 
A aresta da base da pirâmide tem a mesma medida do raio da 
circunferência. 
Logo, temos 
    
2
21 6.r . 3 .h .r .6 3 h 12
3 4
 
 
90. (Insper 2011) Dois faraós do antigo Egito mandaram construir 
seus túmulos, ambos na forma de pirâmides quadrangulares 
regulares, num mesmo terreno plano, com os centros de suas 
bases distando 120m As duas pirâmides têm o mesmo volume, 
mas a área da base de uma delas é o dobro da área da base da 
outra. Se a pirâmide mais alta tem 100m de altura, então a 
distância entre os vértices das duas pirâmides, em metros, é 
igual a 
(A) 100. 
(B) 120. 
(C) 130. 
(D) 150. 
(E) 160. 
RESPOSTA: C 
 
  
 
2 2
2
2( 3 4)
 
  
 
2 2
2
2( 3 5)
 
  
 
3 2
2
 
  
 
2 3 5
4
 
  
 
2
2
2( 3 5)
 
  
 
3
2
 
  
 
2 3 4
4
19 
 
COMENTÁRIO: Sejam A1 e A2, as áreas das bases das 
pirâmides. 
Como os volumes são iguais, temos 
        1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2
1 1
A O V A O V A O V A O V .
3 3
 
 
Dado que 
 1 2A 2 A ,
 vem 
      2 1 1 2 2 2 2 2 1 12 A O V A O V O V 2 O V .
 
 
Assim, a pirâmide mais alta tem a base menor e, portanto, 
  2 2 1 1O V 100 m O V 50 m.
 
 
Como o terreno é plano, segue que 
1 1V P O P,
 sendo P o pé da 
perpendicular baixada de V1 sobre O2V2. Daí, 
 1 1 2VP O O 120 m
 e 
  2V P 100 50 50 m.
 
 
Finalmente, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo 
1 2V PV ,
 obtemos 
   
2 2 2
1 2 1 2V V 50 120 V V 130 m.
 
 
91. (Ita 2010) Sejam A, B, C e D os vértices de um tetraedro 
regular cujas arestas medem 1 cm. Se M e o ponto médio do 
segmento 
AB
 e N e o ponto médio do segmento 
CD
, então 
a área do triangulo MND, em cm
2
, e igual a 
(A) 
2
.
6 
(B) 
2
.
8 
(C) 
3
.
8 
(D) 
3
.
8 
(E) 
3
.
9 
RESPOSTA: B 
COMENTÁRIO: 
MD = MC = 
3
2
 
ND = ½ 
2 2
23 1 (MN)
2 2
   
      
 
MN = 
2
2
 
Logo a área pedida é A = 
1 2 1
2 2 2
=
2
8
cm
2 
 
 
 
92. (Fuvest 2010) Uma pirâmide tem como base um quadrado de 
lado 1, e cada uma de suas faces laterais é um triângulo 
equilátero. Então, a área do quadrado, que tem como vértices 
os baricentros decada uma das faces laterais, é igual a 
(A) 
5
9 
(B) 
4
9 
(C) 
1
3 
(D) 
2
9 
(E) 
1
9 
RESPOSTA: D 
COMENTÁRIO: O baricentro divide a mediana na razão 2 para 
1 
Secção transversal = quadrado (maior) destacado 
 
2
sec sec
sec
base
sec
A A2k 4 4
A
A 3k 1 9 9
1 2
Área pedida A
2 9
 
      
 
 
 
 
93. (Ufmg 2010) Em uma indústria de velas, a parafina é 
armazenada em caixas cúbicas, cujo lado mede a. 
Depois de derretida, a parafina é derramada em moldes em 
formato de pirâmides de base quadrada, cuja altura e cuja 
aresta da base medem, cada uma, 
a
2
. 
Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que, 
com a parafina armazenada em apenas uma dessas caixas, 
enche-se um total de 
(A) 6 moldes. 
(B) 8 moldes. 
(C) 24 moldes. 
(D) 32 moldes. 
RESPOSTA: C 
COMENTÁRIO: Volume do cubo = a
3
 
Volume da pirâmide = 
2 31 a a a
.
3 2 2 24
 
  
 
 
Número de moldes = 
3
3
Volume do cubo a
24
Volume da pirâmide a
24
 
 
20 
 
 
 
 
94. (Ueg 2012) Em uma festa, um garçom, para servir 
refrigerante, utilizou uma jarra no formato de um cilindro 
circular reto. Durante o seu trabalho, percebeu que com a 
jarra completamente cheia conseguia encher oito copos de 
300ml cada. Considerando-se que a altura da jarra é de 30cm, 
então a área interna da base dessa jarra, em cm, é 
(A) 10 
(B) 30 
(C) 60 
(D) 80 
RESPOSTA: A 
COMENTÁRIO: 
 

   


b
3
3
b
2
b
A área da base
1mL 1cm
Volume da jarra 8 30mL 2400mL 2400cm
A .30 2400
A 80cm
 
 
95. (Ufpr 2012) As duas latas na figura abaixo possuem 
internamente o formato de cilindros circulares retos, com as 
alturas e diâmetros da base indicados. Sabendo que ambas as 
latas têm o mesmo volume, qual o valor aproximado da altura 
h? 
 
 
(A) 5 cm. 
(B) 6 cm. 
(C) 6,25 cm. 
(D) 7,11 cm. 
(E) 8,43 cm. 
RESPOSTA: D 
COMENTÁRIO: 
VI = VII 
 
 


2 2.6 .h .8 .4
64.4
h
36
h 7,11 cm
π π
 
 
96. (Uftm 2011) Um paralelepípedo reto-retângulo, de volume V1, 
e um cilindro circular reto, de raio R = 0,5 m e volume V2, têm 
a mesma altura h = 4 m. 
 
 
 
Se 
1
2
V 2
V


, então a medida x da aresta da base do 
paralelepípedo é igual a 
(A) 5 2. 
(B) 
5 2
.
2 
(C) 
2
.
2 
(D) 
2
.
4 
(E) 
10
.
4 
RESPOSTA: C 
COMENTÁRIO: 
    
2
2
2
x .h 2 1 2
x x
2 2.(0,5) .h ππ
 
 
97. (Uesc 2011) Um reservatório com formato de um cilindro 
circular reto de altura H, completamente vazio, começa a ser 
abastecido de água a uma razão de k litros por minuto, ficando 
completamente cheio em T horas. 
Dentre os gráficos, o que melhor representa h(t), nível da água 
no reservatório a cada instante t, é 
(A) 
 
(B) 
 
 
21 
 
(C) 
 
 
 
(D) 
 
RESPOSTA: E 
COMENTÁRIO: Sabendo que a vazão é a razão entre o volume 
e o tempo, segue que 
 
   

2
2
r h t
k h(t) k .
t r
 
Portanto, como h e t são diretamente proporcionais, segue 
que o gráfico que melhor representa h(t) é o da alternativa (E). 
 
98. (Ufu 2011) Durante uma feira de exposição de animais, um 
tratador de cavalos é encarregado de levar água a alguns 
animais em uma baia. É colocado um tanque vazio na baia na 
forma de um paralelepípedo retangular com a = 80 cm, b = 2 
m e c = 50 cm, conforme ilustra a figura. O tratador transporta 
água de um reservatório para o tanque, em um balde de 
formato cilíndrico com base de 40 cm de diâmetro e 50 cm de 
altura. Estima-se que a cada vez que vai ao reservatório, ele 
enche o balde e, no caminho, derrame 5% de seu conteúdo. 
Para que o nível de água no tanque atinja a metade de sua 
capacidade, o número mínimo de vezes que o tratador deverá 
buscar água no reservatório é igual a 
 
(Utilize π = 3,1). 
 
 
(A) 6 
(B) 5 
(C) 7 
(D) 8 
(E) 9 
RESPOSTA: C 
COMENTÁRIO: Se Vt denota a capacidade total do tanque, 
então: 
     3tV abc 80 200 50 800.000cm .
 
Assim, a metade da capacidade do tanque corresponde a: 
  3t
V 800000
400.000cm .
2 2
 
 
Daí, se Vb é a capacidade do balde, temos: 
     2 2 3bV r h 3,1 20 50 62.000cm .
 
 
Por conseguinte, o número de vezes que o tratador deverá 
buscar água no reservatório é: 


400.000
7.
0,95 62000
 
 
99. (Ufrgs 2011) Um tipo de descarga de água para vaso sanitário 
é formado por um cilindro com altura de 2 m e diâmetro 
interno de 8 cm. 
Então, dos valores abaixo, o mais próximo da capacidade do 
cilindro é 
(A) 7L. 
(B) 8L. 
(C) 9L. 
(D) 10L. 
(E) 11L. 
RESPOSTA: D 
COMENTÁRIO: Se a altura do cilindro mede 2m = 20dm e o 
diâmetro 8m = 0,8dm então a capacidade do cilindro é dada 
por 
 
         
2
30,8 20 3,14 0,16 20 10,048dm 10 L.
2
 
 
100. (G1 - ifal 2011) Arquimedes, para achar o volume de um 
objeto de forma irregular, mergulhou-o num tanque cilíndrico 
circular reto contendo água. O nível da água subiu 10 cm sem 
transbordar. Se o diâmetro do tanque é 20 cm, então o 
volume do objeto é: 
 
 
(A) 1.000π 
(B) 2.000π 
(C) 3.000 π 
(D) 4.000 π 
(E) 5.000 π 
RESPOSTA: A 
COMENTÁRIO: O volume do objeto é dado por 
 
      
2
320 10 1.000 cm .
2
 
 
101. (Epcar (Afa) 2011) Uma vinícola armazena o vinho produzido 
em um tanque cilíndrico (reto) com sua capacidade máxima 
ocupada. Esse vinho será distribuído igualmente em barris 
idênticos também cilíndricos (retos) e vendidos para vários 
mercados de uma cidade. 
Sabe-se que cada mercado receberá 2 barris de vinho, com 
altura igual a 
1
5
da altura do tanque e com diâmetro da base 
igual a 
1
4
do diâmetro da base do tanque. Nessas condições, a 
quantidade x de mercados que receberão os barris (com sua 
capacidade máxima ocupada) é tal que x pertence ao intervalo 
(A) 0 < x < 20 
(B) 20  x < 40 
(C) 40  x < 60 
(D) 60  x < 80 
(E) 80  x < 100 
22 
 
RESPOSTA: C 
COMENTÁRIO: Considerando VT o volume do tanque e VB o 
volume do barril: 

 
   
2
T
2 2
T
B
V r .h
Vr h .R .h
V = .
4 5 80 80
π
π
π
 
Portanto, x = 80 barris e 40 mercados. 
 
102. (Cesgranrio 2011) Um sólido totalmente maciço é composto 
pela união de dois cilindros circulares retos de mesmo 
diâmetro. As densidades do cilindro menor e do cilindro maior 
valem, respectivamente, 8.900 kg/m
3
 e 2.700 kg/m
3
 
 
 
 
Considerando-se π = 3, a massa desse sólido, em toneladas, 
vale 
(A) 97,2 
(B) 114,5 
(C) 213,6 
(D) 310,8 
(E) 320,4 
RESPOSTA: D 
COMENTÁRIO: O volume do cilindro menor é 
   2 32 2 24 m
 
e o do maior 
   2 32 3 36 m .
Portanto, como a massa é o 
produto do volume pela densidade, segue que: 
    8900 24 2700 36 310.800kg 310,8 ton.
 
 
103. (Insper 2011) Um quadrado de lados medindo 1cm sofre uma 
rotação completa em torno de um eixo paralelo a um de seus 
lados. A distância desse eixo a um dos vértices do quadrado é 
xcm como mostra a figura. 
 
 
O gráfico que melhor representa a área total S do sólido 
gerado por essa rotação, em cm
2
 em função de x para x ≥ 0, é 
(A) 
 
 
 
 
 
 
(B) 
 
(C) 
 
(D) 
 
 
 
(E) 
 
RESPOSTA: E 
COMENTÁRIO: Através da rotação do quadrado em torno do 
eixo, obtemos o seguinte sólido. 
 
A área da base do sólido é dada por       2 2 2[(x 1) x ] (2x 1)cm .
 
A soma das áreas laterais externa e interna é 
            22 (x 1) 1 2 x 1 2 (2x 1)cm .
 
Logo, a área total do sólido é 
              2S(x) 2 (2x 1) 2 (2x 1) 8 x 4 cm .
 
Observando que a área total é dada por uma função afim, 
basta calcular 
      S(0) 8 0 4 4
 e 
      S(1) 8 1 4 12
 
para deduzir que o gráfico que melhor representa a área total 
S do sólido é o da alternativa (E). 
 
23 
 
104. (Uece 2010) Um fabricante de latas de alumínio com a forma 
de cilindro circular reto vai alterar as dimensões das latas 
fabricadas de forma que volume seja preservado. Se a medida 
do raio da base das novas latas é o dobro da medida do raio da 
base das antigas, então a medida da nova altura é 
(A) a metade da medida da altura das latas antigas. 
(B) um terço da medida da altura das latas antigas. 
(C) um quarto da medida da altura das latas antigas. 
(D) dois terços da medida da altura das latas antigas. 
RESPOSTA: C 
COMENTÁRIO: 
 
 
V1= π.R
2
.H e V2 = π.(2R)
2
.h 
Como V1 = V2 
 
temos: 
π.R
2
.H = π.(2R)
2
.h 
 H = 4h 
 H/4 = h
 
Portanto a nova altura será ¼ da anterior. 
 
105. (Ufc 2010) Em um contêiner de 10 m de comprimento, 8 m de 
largura e 6 m de altura, podemos facilmente empilhar 12 
cilindros de 1 m de raio e 10 m de altura cada, bastando dispô-
los horizontalmente, em três camadas de quatro cilindros 
cada. Porém, ao fazê-lo, um certo volume do contêiner 
sobrará como espaço vazio. Adotando 3,14 como aproximação 
para p , é correto afirmar que a capacidade volumétrica desse 
espaço vazio é: 
(A) inferior à capacidade de um cilindro. 
(B) maior que a capacidade de um cilindro mas menor que a 
capacidade de dois cilindros. 
(C) maior que a capacidade de dois cilindros mas menor que 
a capacidade de três cilindros. 
(D) maior que a capacidade de três cilindros mas menor que 
a capacidade de quatro cilindros. 
(E) maior que a capacidade de quatro cilindros. 
RESPOSTA: D 
COMENTÁRIO: Volume do contêiner:= 10.8.6= 480m
3
 
Volume de um cilindro = 3,14 .1
2
 . 10 = 31,40m
3
 
Espaço vazio = 480 – 12.31,40 = 103,2 m
3
 
Volume de 3 cilindros = 3. 31,40 = 94,20 m
3
 
Volume de 4 cilindros= 4. 31,40 = 125,60 m
3
 
94,20 < 103,2 < 125,60 
 
106. (Enem 2ª aplicação 2010) O administrador de uma cidade, 
implantando uma política de reutilização de materiais 
descartados, aproveitou milhares de tambores cilíndricos 
dispensados por empresas da região e montou kits com seis 
tambores para o abastecimento de água em casas de famílias 
de baixa renda, conforme a figura seguinte. Além disso, cada 
família envolvida com o programa irá pagar somente R$ 2,50 
por metro cúbico utilizado. 
 
 
 
Uma família que utilizar 12 vezes a capacidade total do kit em 
um mês pagará a quantia de 
(considere π ≅ 3) 
(A) R$ 86,40. 
(B) R$ 21,60. 
(C) R$ 8,64. 
(D) R$ 7,20. 
(E) R$ 1,80. 
RESPOSTA: B 
COMENTÁRIO: Como 40cm = 0,4 m, segue que o volume de 
um tambor é dado por 
 
        
2
2 30,4r h 3 1 0,12 m .
2
 
Assim, o volume de água contido em um kit é 
  36 0,12 0,72 m .
 
Por conseguinte, o valor a ser pago por uma família que 
utilizar 12 vezes a capacidade total do kit em um mês é de 
  2,5 12 0,72 R$ 21,60.
 
 
107. (Cesgranrio 2010) 
 
Uma placa metálica quadrada é dobrada de modo a formar 
um cilindro (sem fundo e sem tampa), como ilustrado. 
O volume no interior desse cilindro é 18 litros. Ao ter sua 
temperatura aumentada de 40 ºC, a placa dilata de forma que 
sua área aumenta de 72 mm
2
. Considerando-se 
π
= 3, o 
coeficiente de dilatação linear do material do qual a placa é 
constituída vale, em ºC
– 1
, 
(A) 5,0  10
-6
 
(B) 2,5  10
-6
 
(C) 5,0  10
-7
 
(D) 2,5  10
-7
 
(E) 5,0  10
-8
 
RESPOSTA: B 
COMENTÁRIO: 
 
18L = 18dm
3 
 e 72mm
2
 = 72.10
-4 
dm
2
 
.r 
2
 .2.r = 18 (fazendo  = 3) 
18 r
3
 = 18  r = 1dm logo a área do quadrado é 36dm
2
 
iΔA A .2α t ,onde é o coeficiente de dilatação linear.  
72.10
-4-
 = 36.2.40  α =2,5.10
-6
 
O
C
-1 
 
 
2r
2r 2r
r
24 
 
108. (Enem 2ª aplicação 2010) Um fabricante de creme de leite 
comercializa seu produto em embalagens cilíndricas de 
diâmetro da base medindo 4 cm e altura 13,5 cm. O rótulo de 
cada uma custa R$ 0,60. Esse fabricante comercializará o 
referido produto em embalagens ainda cilíndricas de mesma 
capacidade, mas com a medida do diâmetro da base igual à da 
altura. 
 
Levando-se em consideração exclusivamente o gasto com o 
rótulo, o valor que o fabricante deverá pagar por esse rótulo é 
de 
(A) R$ 0,20, pois haverá uma redução de 
2
3
 na superfície da 
embalagem coberta pelo rótulo. 
(B) R$ 0,40, pois haverá uma redução de 
1
3
 na superfície da 
embalagem coberta pelo rótulo. 
(C) R$ 0,60, pois não haverá alteração na capacidade da 
embalagem. 
(D) R$ 0,80, pois haverá um aumento de 
1
3
 na superfície da 
embalagem coberta pelo rótulo. 
(E) R$ 1,00, pois haverá um aumento de 
2
3
 na superfície da 
embalagem coberta pelo rótulo. 
RESPOSTA: B 
COMENTÁRIO: 
Sejam 
1r 2cm
 e 
1h 13,5cm,
 respectivamente, o raio da 
base e a altura do cilindro cujo rótulo custa R$ 0,60. 
Se V1 e 
1A
 denotam, respectivamente, a capacidade e a 
área do rótulo, então 
     2 31V 2 13,5 54 cm
 e 
       21A 2 2 13,5 54 cm .
 
 
Sejam r2 E h2, respectivamente, o raio da base e a altura da 
nova embalagem. Como 
 2 2h 2 r
 e as capacidades das 
embalagens são iguais, temos que 
        2 31 2 2 2 2V V 54 r 2r r 27 3.
 
Além disso, a área lateral da nova embalagem é 
       22A 2 3 6 36 cm .
 
Supondo que o custo da embalagem seja diretamente 
proporcional à área lateral da mesma, obtemos 
   

1 1
0,6
c k A k ,
54
 sendo K a constante de proporcionalidade 
e C1 o custo da primeira embalagem. 
 
Portanto, 
     

2 2
0,6
c k A 36 R$ 0,40
54
 e 

 

2
1
c 36 2
,
c 54 3
 ou 
seja, o valor que o fabricante deverá pagar por esse rótulo é 
de R$ 0,40, pois haverá uma redução de 
   1 2 1 1 1
2 1
c c c c c
3 3
 
na superfície da embalagem coberta pelo rótulo. 
 
109. (Enem 2010) Alguns testes de preferência por bebedouros de 
água foram realizados com bovinos, envolvendo três tipos de 
bebedouros, de formatos e tamanhos diferentes. Os 
bebedouros 1 e 2 têm a forma de um tronco de cone circular 
reto, de altura igual a 60 cm, e diâmetro da base superior igual 
a 120 cm e 60 cm, respectivamente. O bebedouro 3 é um 
semicilindro, com 30 cm de altura, 100 cm de comprimento e 
60 cm de largura. Os três recipientes estão ilustrados na 
figura. 
 
 
 
Considerando que nenhum dos recipientes tenha tampa, qual 
das figuras a seguir representa uma planificação para o 
bebedouro 3? 
(A) 
 
(B) 
 
(C) 
 
(D) 
 
(E) 
 
RESPOSTA: E 
COMENTÁRIO: A superfície do bebedouro 3 é constituída por 
dois semicírculos e por um retângulo. 
 
110. (G1 - cps 2010) Para evitar o desperdício de água potável em 
sua casa, o Sr. João construiu um sistema de captação de água 
de chuva. Essa água será armazenada em uma cisterna 
cilíndrica cujas dimensões internas são três metros de altura e 
dois metros de diâmetro, conforme esquema na figura. 
 
25 
 
 
 
Volume de um cilindro 
V = 

. r
2
 . h, 
emque r é o raio da base e h é a altura 
Adote: 

 = 3 
 
Poucos dias após o término da construção da cisterna, quando 
ela ainda estava totalmente vazia, choveu dois dias seguidos, o 
que deixou o Sr. João muito feliz e ele pôde observar que: 
 no primeiro dia, o índice pluviométrico foi de 36 mm/m
2
, 
o que fez o nível da água na cisterna atingir a marca de 72 
cm; 
 no segundo dia, o índice foi de 30 mm/m
2
. 
 
Considere que: 
 não foi retirada água da cisterna nesse período; 
 no interior da cisterna entrou apenas a água da chuva; 
 o índice pluviométrico e a altura da água na cisterna são 
grandezas diretamente proporcionais. 
 
Sendo assim, o Sr. João determinou que o volume de água 
captado e armazenado na cisterna após esses dois dias de 
chuva é, em litros, 
 
Lembre que: 
1 m
3
 = 1 000L 
(A) 980. 
(B) 1 860. 
(C) 2 100. 
(D) 3 030. 
(E) 3 960. 
RESPOSTA: E 
COMENTÁRIO: 36-----------72 
30 -----------x x = 60cm 
 
Altura total em 2 dias 72 + 60 = 132 cm = 1,32 m 
 
Volume: V = .2
2
.1,32 
 V = 3.1
2
.1.32 
 V = 3,96m
3
 
 V= 3960 L 
 
111. (Enem 2ª aplicação 2010) Uma fábrica de tubos acondiciona 
tubos cilíndricos menores dentro de outros tubos cilíndricos. A 
figura mostra uma situação em que quatro tubos cilíndricos 
estão acondicionados perfeitamente em um tubo com raio 
maior 
 
 
 
Suponha que você seja o operador da máquina que produzirá 
os tubos maiores em que serão colocados, sem ajustes ou 
folgas, quatro tubos cilíndricos internos. Se o raio da base de 
cada um dos cilindros menores for igual a 6 cm, a máquina por 
você operada deverá ser ajustada para produzir tubos 
maiores, com raio da base igual a 
(A) 12cm 
(B) 12 2cm 
(C) 24 2cm 
(D)  6 1 2 cm 
(E)  12 1 2 cm 
RESPOSTA: D 
COMENTÁRIO: Considere a figura, em que O é o centro da 
base do cilindro cujo raio queremos calcular. 
 
 
 
O lado do quadrado ABCD é igual ao diâmetro da base dos 
cilindros menores. Logo, 
  AB 2 6 12cm.
 Além disso, como 

BD
OB ,
2
 segue que 
 
  
AB 2 12 2
OB 6 2 cm.
2 2
 
Portanto, o raio da base do cilindro maior é dado por 
     OQ OB BQ 6 2 6 6( 2 1)cm.
 
 
112. (Enem 2010) Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, 
precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se 
encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona 
Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, 
também cilíndricos. 
 
 
 
Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja 
colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher 
os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona 
Maria deverá 
(A) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 
20 vezes maior que o volume do copo. 
(B) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 
20 vezes maior que o volume do copo. 
26 
 
(C) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 
10 vezes maior que o volume do copo. 
(D) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 
vezes maior que o volume do copo. 
(E) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 
vezes maior que o volume do copo. 
RESPOSTA: A 
COMENTÁRIO: Volume do copinho = 

.2
2
.4 = 16

cm
3
 
Volume de 20 copinhos pela metade = 
1
2
20. 16

cm
2
 = 160

cm
3
 
Volume da leiteira =

.4
2
.20 = 320

cm
3
 
 
113. (Enem 2ª aplicação 2010) Certa marca de suco é vendida no 
mercado em embalagens tradicionais de forma cilíndrica. 
Relançando a marca, o fabricante pôs à venda embalagens 
menores, reduzindo a embalagem tradicional à terça parte de 
sua capacidade. 
Por questões operacionais, a fábrica que fornece as 
embalagens manteve a mesma forma, porém reduziu à 
metade o valor do raio da base da embalagem tradicional na 
construção da nova embalagem. Para atender à solicitação de 
redução da capacidade, após a redução no raio, foi necessário 
determinar a altura da nova embalagem. 
Que expressão relaciona a medida da altura da nova 
embalagem de suco (a) com a altura da embalagem tradicional 
(h)? 
(A) 
h
a
12
 
(B) 
h
a
6
 
(C) 
2h
a
3
 
(D) 
4h
a
3
 
(E) 
4h
a
9
 
RESPOSTA: D 
COMENTÁRIO: Sejam V e V’, respectivamente, a capacidade 
da embalagem tradicional e a capacidade da nova embalagem. 
Portanto, de acordo com o enunciado, temos 
 
              
2
21 r 1 4hv ' v a r h a .
3 2 3 3
 
 
114. (Enem 2010) Para construir uma manilha de esgoto, um 
cilindro com 2 m de diâmetro e 4 m de altura (de espessura 
desprezível), foi envolvido homogeneamente por uma camada 
de concreto, contendo 20 cm de espessura. 
Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$ 10,00 e 
tomando 3,1 como valor aproximado de π, então o preço 
dessa manilha é igual a 
(A) R$ 230,40. 
(B) R$ 124,00. 
(C) R$104,16. 
(D) R$ 54,56. 
(E) R$ 49,60. 
RESPOSTA: D 
COMENTÁRIO: 
 
Volume do concreto é V. Logo: 
V = Volume do cilindro maior – volume do cilindro menor 
V = .(1,2)
2
 .4 - .1
2
.4 
V = 1,76.3,1 
V= 5,456m
3
 
Logo, o preço da manilha será 5,456 . 10 = R$ 54,56 
115. (Unemat 2010) Para projetar um reservatório cilíndrico de 
volume 81 πm
3
, dispõe-se de uma área circular de 6 m de 
diâmetro. Considerando π = 3,14, a altura deverá ser de: 
(A) 6 m 
(B) 9 m 
(C) 12 m 
(D) 
81
m
6
 
(E) 3πm 
RESPOSTA: B 
COMENTÁRIO:   2.3 .h 81 h 9m  
 
 
116. (Enem 2010) No manejo sustentável de florestas, é preciso 
muitas vezes obter o volume da tora que pode ser obtida a 
partir de uma árvore. Para isso, existe um método prático, em 
que se mede a circunferência da árvore à altura do peito de 
um homem (1,30 m), conforme indicado na figura. A essa 
medida denomina-se "rodo" da árvore. O quadro a seguir 
indica a fórmula para se cubar, ou seja, obter o volume da tora 
em m
3 
a partir da medida do rodo e da altura da árvore. 
 
 
 
Um técnico em manejo florestal recebeu a missão de cubar, 
abater e transportar cinco toras de madeira, de duas espécies 
diferentes, sendo 
 3 toras da espécie I, com 3 m de rodo, 12 m de 
comprimento e densidade 0,77 toneladas/m
3
; 
 2 toras da espécie II, com 4 m de rodo, 10 m de 
comprimento e densidade 0,78 toneladas/m
3
. 
 
Após realizar seus cálculos, o técnico solicitou que enviassem 
caminhões para transportar uma carga de, aproximadamente, 
(A) 29,9 toneladas. 
(B) 31,1 toneladas. 
(C) 32,4 toneladas. 
(D) 35,3 toneladas. 
(E) 41,8 toneladas. 
RESPOSTA: A 
COMENTÁRIO: 
 
 
 
 
 
 
117. (Enem 2ª aplicação 2010) João tem uma loja onde fabrica e 
vende moedas de chocolate com diâmetro de 4 cm e preço de 
R$ 1,50 a unidade. Pedro vai a essa loja e, após comer várias 
moedas de chocolate, sugere ao João que ele faça moedas 
 
Volume ( m
3
 ) Massa (toneladas) 
Espécie I 3.3
2
.12.0,06=19,44 0,77.19,44 = 14,96 
Espécie II 2.4
2
.10.0,06 = 19,2 0,78.19,2 = 14,97 
27 
 
com 8 cm de diâmetro e mesma espessura e cobre R$ 3,00 a 
unidade. 
Considerando que o preço da moeda depende apenas da 
quantidade de chocolate, João 
(A) aceita a proposta de Pedro, pois, se dobra o diâmetro, o 
preço também deve dobrar. 
(B) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 
12,00. 
(C) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 
7,50. 
(D) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 
6,00. 
(E) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 
4,50. 
RESPOSTA:D 
COMENTÁRIO: Sejam r e h, respectivamente, o raio e a 
espessura das moedas de chocolate fabricadas atualmente. 
Logo, o volume V de chocolate de uma moeda é 
   2V r h.
 
 
De acordo com a sugestão de Pedro, o volume V’de chocolate 
empregado na fabricação de uma moeda com 8cm de 
diâmetro seria 
         2 2
V
V' (2r) h 4 r h 4V.
 
Supondo que o preço p da moeda seja diretamente 
proporcional ao volume de chocolate, segue que 
  p k V R$ 1,50,
 em que K é a constante de 
proporcionalidade. Assim, o preço p’ da moeda sugerida por 
Pedro deveria ser de 
      p' k V' k 4V 4 1,50 R$ 6,00.
 
 
118. (G1 - cftmg 2010) Um aluno gira um retângulo em torno do 
eixo que contém um de seus lados e calcula o volume V do 
sólido obtido. Depois, ele traça a diagonal do retângulo e o 
separa em dois triângulos,como mostra a figura. 
 
 
 
Ao girar cada um dos triângulos, em torno do mesmo eixo de 
rotação, os volumes dos sólidos obtidos são 
(A) 
1 2
V e V
3 3 
(B) 
1 3
V e V
4 4 
(C) 
1 4
V e V
5 5 
(D) 
1 5
V e V
6 6 
RESPOSTA: A 
COMENTÁRIO: 
 
 

 
    
2
2
1
2 1
V .R .h
1 1
V .R .h .V
3 3
V 2
V V V V V
3 3
π
π
 
 
119. (Unicamp 2011) Depois de encher de areia um molde 
cilíndrico, uma criança virou-o sobre uma superfície 
horizontal. Após a retirada do molde, a areia escorreu, 
formando um cone cuja base tinha raio igual ao dobro do raio 
da base do cilindro. 
 
 
 
A altura do cone formado pela areia era igual a 
(A) 
3
4
da altura do cilindro. 
(B) 
1
2
da altura do cilindro. 
(C) 
2
3
da altura do cilindro. 
(D) 
1
3
da altura do cilindro. 
RESPOSTA: A 
COMENTÁRIO: Como o volume de areia é o mesmo, segue 
que: 
            
  
2 2 2 2
con con cil cil con cil
con cil
1 1
r h r h (2R) h R h
3 3
3
h h .
4
 
 
120. (Ufpb 2011) A prefeitura de certo município realizou um 
processo de licitação para a construção de 100 cisternas de 
placas de cimento para famílias da zona rural do município. 
Esse sistema de armazenamento de água é muito simples, de 
baixo custo e não poluente. A empreiteira vencedora 
estipulou o preço de 40 reais por m
2
 construído, tomando por 
base a área externa da cisterna. O modelo de cisterna pedido 
no processo tem a forma de um cilindro com uma cobertura 
em forma de cone, conforme a figura abaixo. 
 
28 
 
 
 
Considerando que a construção da base das cisternas deve 
estar incluída nos custos, é correto afirmar que o valor, em 
reais, a ser gasto pela prefeitura na construção das 100 
cisternas será, no máximo, de: 
Use: π = 3,14 
(A) 100.960 
(B) 125.600 
(C) 140.880 
(D) 202.888 
(E) 213.520 
RESPOSTA: E 
COMENTÁRIO: 
 
Área de uma cisterna = Área da sup. lateral do cone + área da 
superfície lateral do cilindro + área do círculo. 
Área da Cisterna = .2.2,5 + 2. .2.2 + .2
2
 
Área da cisterna = 17.m
2
 
Área de 100 cisternas 1700.m
2
 
Valor das cisternas 40.1700.3,14 = 213.520 reais. 
 
121. (Upe 2011) Ao se planificar um cone reto, sua superfície 
lateral é igual a um quarto de um círculo com área igual a 12 
π. Nessas condições, a área de sua base é igual a 
(A) π 
(B) 2π 
(C) 3 π 
(D) 4 π 
(E) 5 π 
RESPOSTA: C 
COMENTÁRIO: Considerando 12
π
 como sendo a área da 
superfície lateral, r o raio da base e g sua geratriz temos: 
.r.g 12 r.g 12
2 .r
g 4.r
g 2
   

 
  

 
Logo, 
r.4r. 12 r 3  
. 
Portanto, a área da base será A = 
2
. 3 3  
. 
 
122. (Insper 2011) Considere o sólido gerado pela rotação 
completa do triângulo acutângulo ABC de área S em torno de 
um eixo que passa pelo lado BC que tem comprimento 
.
 
 
 
 
O volume desse sólido é igual a 
(A) 
24 S
.
3
π
 
(B) 
22 S
.
3
π
 
(C) 
4 S
.
3
π
 
(D) 
2 S
.
3
π
 
(E) 
S
.
3
π
 
 RESPOSTA: A 
COMENTÁRIO: Uma rotação completa do triângulo ABC em 
torno da reta suporte do lado BC gera o sólido abaixo, 
constituído de dois cones. 
 
Como a área do triângulo do triângulo ABC é S, segue que 

   
r 2S
(ABC) S r .
2
 
 
Portanto, o volume pedido é dado por 
             
   
 
      


2 2 2
2
2
2
1 1 1
r x r ( x) r (x x)
3 3 3
1
r
3
1 2S
3
4 S
.
3
 
 
123. (Uece 2010) A superfície lateral de um cone circular reto, 
quando planificada, torna-se um setor circular de 12 cm de 
raio com um ângulo central de 120 graus. A medida, em 
centímetros quadrados, da área da base deste cone é 
(A) 144 π. 
(B) 72 π. 
(C) 36 π. 
(D) 16 π. 
RESPOSTA: D 
COMENTÁRIO: 
29 
 
 
 
2
2
2 .12
2 .R
3
R 4
A .4
a 16 cm

 

 
 
 
 
124. (Enem 2ª aplicação 2010) Um arquiteto está fazendo um 
projeto de iluminação de ambiente e necessita saber a altura 
que deverá instalar a luminária ilustrada na figura 
 
 
 
Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área circular 
de 28,26m
2
, considerando π ≅ 3,14, a altura h será igual a 
(A) 3 m. 
(B) 4 m. 
(C) 5 m. 
(D) 9 m. 
(E) 16 m. 
RESPOSTA: B 
COMENTÁRIO: Se a área a ser iluminada mede 28,26m
2
 e 
r
 é 
o raio da área circular iluminada, então 
      2
28,26
r 28,26 r r 3 m.
3,14
 
Portanto, como g = 5m e r = 3m, segue que h = 4m. 
 
125. (Fgv 2010) A figura indica a planificação da lateral de um cone 
circular reto: 
 
 
 
O cone a que se refere tal planificação é 
(A) 
 
(B) 
 
(C) 
 
(D) 
 
(E) 
 
RESPOSTA: B 
COMENTÁRIO: 
 252
o
 = 
252 7
180 5
 

 
 
7
2 .R .10 R 7
5

   
e g = 10 (raio do setor) 
 
 
 
126. (G1 - cftsc 2010) Considere as sentenças abaixo: 
 
I. O determinante da matriz 
3 7
A
1 2
 
  
 
é - 13. 
 
II. As retas r: 2x + y = 4 e s: 2y + 4x = 9 são paralelas. 
 
III. Um copo de sorvete possui forma cônica com raio da 
base medindo 3 cm e altura 7 cm. Sabendo que a fórmula 
para calcular o volume desse copo é dada por 
21V r h
3
 
, então seu volume será de 14 cm³. 
 
Considerando as proposições apresentadas, assinale a 
alternativa correta: 
(A) Apenas as proposições I e III são verdadeiras. 
(B) Apenas as proposições II e III são verdadeiras. 
(C) Apenas as proposições I e II são verdadeiras. 
(D) Apenas a proposição II é verdadeira. 
(E) Apenas a proposição III é verdadeira. 
RESPOSTA: C 
COMENTÁRIO: I – (verdadeira), DET(A) = 3.(-2) – 1.7 = -13 
II –(verdadeira) 
r
s
2
m 2
1
4
m 2
2

  

  
 logo r e s são paralelas 
III – (falsa) V = 
21 .3 .7 21
3
  
 
 
127. (Ufpr 2010) Com base nos estudos de geometria, identifique 
as afirmativas a seguir como verdadeiras (V) ou falsas (F). 
( ) Dois ângulos são opostos pelo vértice se, e somente se, os 
 lados de um deles são as respectivas semirretas opostas 
 aos lados do outro. 
( ) A razão entre dois ângulos suplementares é igual a 
2
7
. O 
 complemento do menor vale 140 graus. 
30 
 
( ) A hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles que gira 
 em torno de um dos catetos, gerando um sólido cujo 
 volume é 
3cm , é 2 cm.
3

, é 2 cm. 
( ) Se três retas são, duas a duas, reversas e não paralelasa 
 um mesmo plano, então, por qualquer ponto de uma 
 das retas, passa uma reta que se apoia nas outras duas. 
( ) Se um polígono regular possui, a partir de um dos seus 
 vértices, tantas diagonais quantas são as diagonais de 
 um hexágono, então esse polígono é um dodecágono. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta, de 
cima para baixo. 
(A) V - F - V - F - V. 
(B) F - V - F - V - F. 
(C) F - V - V - F - V. 
(D) V - V - V - V - V. 
(E) V - F - F - F - F. 
RESPOSTA: A 
COMENTÁRIO: (verdadeiro) definição de ângulos opostos pelo 
vértice. 
(falsa) 2x + 7x = 180  x = 20
o
 e 2x = 40
o
. O complemento de 
40
o 
(menor) é 50
O
 
(Verdadeiro) 
 
 
V = 
 

21 1 .1
3 3
 
 
(falso) definição de retas reversas. 
(verdadeiro) d = 
6.(6 3)
9
2
n 3 9 n 12


   
 
 
128. (Ita 2012) A superfície lateral de um cone circular reto é um 
setor circular de 120º e área igual a 3π cm
2
. A área total e o 
volume deste cone medem, em cm
2
 e cm
3
, respectivamente 
(A) 
2 2
4 e 
3
π
π 
(B) 
2
4 e 
3
π
π 
(C) 4 e 2π π 
(D) 
2 2
3 e 
3
π
π 
(E) e 2 2π π 
RESPOSTA: A 
COMENTÁRIO: Considere a figura abaixo. 
 
 
Sabendo que a área do setor circular VAB é 
23 cm ,π
 segue 
que 
  
  

2
VA 120
3 VA 3cm.
360
π
π
 
O comprimento do arco 
AB
 é dado por 
   
2ˆAVB VA 3 2 cm.
3
π
π
 
 
Desse modo, como o comprimento do arco 
AB
 corresponde 
ao comprimento da base cone, obtemos 
   2 r 2 r 1cm,π π
 
em que r é o raio da base do cone. 
Portanto, a área total do cone é 
     2 2 23 r 3 1 4 cm .π π π π π
 
Como VA é a geratriz do cone, temos que 
      
22 2 2 2 2h VA r h 3 1 h 2 2cm,
 
sendo h a altura do cone. 
Por conseguinte, temos que o volume desse cone mede 
       2 2 3
1 1 2 2
r h 1 2 2 cm .
3 3 3
π
π π
 
 
 
129. (Uff 2011) Para ser aprovada pela FIFA, uma bola de futebol 
deve passar por vários testes. Um deles visa garantir a 
esfericidade da bola: o seu “diâmetro” é medido em dezesseis 
pontos diferentes e, então, a média aritmética desses valores 
é calculada. Para passar nesse teste, a variação de cada uma 
das dezesseis medidas do “diâmetro” da bola com relação à 
média deve ser no máximo 1,5%. Nesse teste, as variações 
medidas na Jabulani, bola oficial da Copa do Mundo de 2010, 
não ultrapassaram 1%. 
 
Se o diâmetro de uma bola tem aumento de 1%, então o seu 
volume aumenta x %. 
Dessa forma, é correto afirmar que 
(A) x  [5,6). 
(B) x  [2,3). 
(C) x = 1. 
(D) x  [3,4). 
(E) x  [4,5). 
RESPOSTA: D 
COMENTÁRIO: O volume (V) de uma esfera, em função do seu 
diâmetro (D), é dado por 

  3V D .
6
 
Se o diâmetro tem aumento de 1%, então o volume dessa 
esfera passa a valer 
 
       3 3
V
V' (1,01 D) 1,030301 D 1,030301 V.
6 6
 
Portanto, 
  
    
1,030301 V V 0,030301 V
x% 100% 3,03% [3, 4).
V V
 
 
130. (Fuvest 2011) A esfera ε, de centro O e raio r > 0, é tangente 
ao plano α. O plano β é paralelo a α e contém O. Nessas 
condições, o volume da pirâmide que tem como base um 
hexágono regular inscrito na intersecção de ε com β e, como 
vértice, um ponto em α, é igual a 
(A) 
33r
4 
(B) 
35 3r
16 
(C) 
33 3r
8 
31 
 
(D) 
37 3r
16 
(E) 
33r
2 
RESPOSTA: E 
COMENTÁRIO: 
 
V = 
b
1
A .h
3
 
V = 
31 6.r 3
. .r
3 4
 
V=
3r 3
2
 
 
131. (Espm 2011) Um reservatório de água é constituído por uma 
esfera metálica oca de 4 m de diâmetro, sustentada por 
colunas metálicas inclinadas de 60° com o plano horizontal e 
soldadas à esfera ao longo do seu círculo equatorial, como 
mostra o esquema abaixo. 
 
Sendo , a altura h da esfera em relação ao solo é 
aproximadamente igual a: 
(A) 2,40 m 
(B) 2,80 m 
(C) 3,20 m 
(D) 3,40 m 
(E) 3,60 m 
RESPOSTA: C 
COMENTÁRIO: Considere a figura abaixo. 
 
 
Queremos calcular 
 
Temos que e 
Logo, 
 
Do triângulo ABC, vem que 
 
Portanto, 
 
132. (Ufsm 2011) Um fabricante decidiu produzir luminárias no 
formato de uma semiesfera com raio de 20 cm. A parte 
interior, onde será alojada a lâmpada, receberá uma pintura 
metalizada que custa R$ 40,00 o metro quadrado; já a parte 
externa da luminária receberá uma pintura convencial que 
custa R$ 10,00 o metro quadrado. Desconsiderando a 
espessura da luminária e adotando o valor de π = 3,14 o custo, 
em reais, da pintura de cada luminária é 
(A) 3,14. 
(B) 6,28. 
(C) 12,56. 
(D) 18,84. 
(E) 25,12. 
RESPOSTA: C 
COMENTÁRIO: 
 
Área de cada uma das partes (interna e externa): 
 2A 2.3,14.(0,2) 0,2512
 
Logo, o valor total será: 
0,2512( 40 + 10 ) = R$ 12,56. 
 
133. (Pucsp 2011) Um artesão dispõe de um bloco maciço de 
resina, com a forma de um paralelepípedo retângulo de base 
quadrada e cuja altura mede 20 cm. Ele pretende usar toda a 
resina desse bloco para confeccionar contas esféricas que 
serão usadas na montagem de 180 colares. Se cada conta tiver 
um 1 cm de diâmetro e na montagem de cada colar forem 
usadas 50 contas, então, considerando o volume do cordão 
utilizado desprezível e a aproximação π = 3, a área total da 
superfície do bloco de resina, em centímetros quadrados é 
(A) 1250. 
(B) 1480. 
(C) 1650. 
(D) 1720. 
(E) 1850. 
RESPOSTA: C 
COMENTÁRIO: 
 
Número de esferas = 
 180 50 9000
 
Volume total das esferas = 
 
     
3
34 19000 4500cm
3 2
π
 
(considerando 
 3π
) 
Volume do bloco = 
 x x 20
 
Logo, 



2
2
20x 4500
x 225
x 15cm
 
 
134. (Ufrgs 2010) Um reservatório tem forma de um cilindro 
circular reto com duas semiesferas acopladas em suas 
extremidades, conforme representado na figura a seguir. 
 
O diâmetro da base e a altura do cilindro medem, cada um, 
4dm, e o volume de uma esfera de raio r é 
34 r .
3
π
 
 
Dentre as opções a seguir, o valor mais próximo da capacidade 
do reservatório, em litros, é 
(A) 50. 
3 1,73
32 
 
(B) 60. 
(C) 70. 
(D) 80. 
(E) 90. 
RESPOSTA: D 
COMENTÁRIO: V= V(cilindro) + V(esfera) 
2 34V .2 .4 .2
3
   
 
32
V 16
3

  
 
80
V
3


(fazendo  = 3) 
V= 80dm
3
 = 80L 
 
 
135. (Ufpr 2010) Para testar a eficiência de um tratamento contra 
o câncer, foi selecionado um paciente que possuía um tumor 
de formato esférico, com raio de 3 cm. Após o início do 
tratamento, constatou-se, através de tomografias, que o raio 
desse tumor diminuiu a uma taxa de 2 mm por mês. Caso essa 
taxa de redução se mantenha, qual dos valores abaixo se 
aproxima mais do percentual do volume do tumor original que 
restará após 5 meses de tratamento? 
(A) 29,6% 
(B) 30,0% 
(C) 30,4% 
(D) 30,8% 
(E) 31,4% 
RESPOSTA: A 
COMENTÁRIO: Seja R raio do tumor e x o número de meses. 
Logo R(x) = 3 – 0,2x, após 5 meses o raio será: 
R(5) = 3 – 0,2 . 5 = 2 cm 
 
Volume inicial = 
34 .3
36
3

 
 
Volume final = 
34 .2 32
3 3
 

 
P = 32
3 29,6%
36



 
 
136. (Ufpa 2011) Uma rasa é um paneiro utilizado na venda de 
frutos de açaí. Um típico exemplar tem forma de um tronco de 
cone, com diâmetro de base 28cm, diâmetro de boca 34cm e 
altura 27cm. Podemos afirmar, utilizando π = 3,14, que a 
capacidade da rasa, em litros, é aproximadamente(A) 18 
(B) 20 
(C) 22 
(D) 24 
(E) 26 
RESPOSTA: B 
COMENTÁRIO: O raio da base mede 
 
28
r 14cm
2
 e o raio de 
boca 
 
34
R 17cm.
2
 
 
Portanto, como a altura do paneiro mede 
h 27cm,
 segue 
que a capacidade da rasa é dada por 

          
  


2 2 2 2
3
3,14
h (R R r r ) 27 (17 17 14 14 )
3 3
3,14 9 723
20.431,98cm
20 L.
 
 
137. (Ufrgs 2011) Na figura abaixo, estão representados um cubo 
de aresta 3 e uma pirâmide triangular de altura 9. Os pontos A, 
B e C são vértices da pirâmide e do cubo, e V pertence ao 
prolongamento de BG. 
 
O volume comum aos dois sólidos é 
(A) 
15
2 . 
(B) 8. 
(C) 
17
2 . 
(D) 9. 
(E) 
19
2 . 
RESPOSTA: E 
COMENTÁRIO: Considere a figura abaixo. 
 
Como as pirâmides VPGQ e VABC são semelhantes, temos 
que 
  
VG 6 2
k,
9 3VB
 
sendo K a razão de semelhança. 
Desse modo,
 
     
3
[VPGQ] 2 8
[VPGQ] [VABC].
[VABC] 3 27
 
 
O volume da pirâmide VABC é dado por 
  

  

1 AB BC
[VABC] VB
3 2
1 3 3
9
3 2
27
.
2
 
Portanto, o volume pedido é 
   
 
 

8
[VABC] [VPGQ] [VABC] [VABC]
27
19
[VABC]
27
19 27
27 2
19
.
2
 
33 
 
 
138. (Espcex (Aman) 2011) A figura abaixo representa a 
planificação de um tronco de cone reto com a indicação das 
medidas dos raios das circunferências das bases e da geratriz. 
A medida da altura desse tronco de cone é 
 
(A) 13 cm 
(B) 12 cm 
(C) 11 cm 
(D) 10 cm 
(E) 9 cm 
RESPOSTA: B 
COMENTÁRIO: Considere a figura abaixo. 
 
Sabemos que e 
Logo, como segue que 
 
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo 
encontramos 
 
que é a altura procurada. 
 
139. (Uerj 2011) Um sólido com a forma de um cone circular reto, 
constituído de material homogêneo, flutua em um líquido, 
conforme a ilustração abaixo. 
 
Se todas as geratrizes desse sólido forem divididas ao meio 
pelo nível do líquido, a razão entre o volume submerso e o 
volume do sólido será igual a: 
(A) 
1
2 
(B) 
3
4 
(C) 
5
6 
(D) 
7
8 
RESPOSTA: D 
COMENTÁRIO: Seja g uma geratriz do cone emerso e G uma 
geratriz do sólido. Segue que 
 
g 1
k,
G 2
 
Com K sendo a constante de proporcionalidade. 
 
Assim, se V é o volume emerso e V é o volume do sólido, 
temos 
 
       
3
3v v 1 1 Vk v .
V V 2 8 8
 
Seja VS o volume submerso. 
    s
V 7V
V V v V .
8 8
 
Portanto, a razão pedida é 
 s
7V
V 78 .
V V 8
 
 
140. (Udesc 2011) Considere um tronco de pirâmide regular, cujas 
bases são quadrados com lados medindo 4cm e 1cm Se o 
volume deste tronco é 35cm
3
 então a altura da pirâmide que 
deu origem ao tronco é: 
(A) 5cm 
(B) 
5
3 cm 
(C) 
20
3 cm 
(D) 20cm 
(E) 30cm 
RESPOSTA: C 
COMENTÁRIO: Considere a figura. 
 
Como a pirâmide menor e a maior são semelhantes, vem que 
   
        
3 3
v h 1 1
,
V H 4 64
 
 
sendo V o volume da pirâmide menor e V o volume da 
pirâmide que deu origem ao tronco. 
Além disso, como o volume do tronco é 35cm
3
, temos 
       3
V 320
V v 35 V 35 V cm .
64 9
 
Portanto, 
    2
1 320 20
4 H H cm.
3 9 3
 
 
141. (Pucrs 2010) O metrônomo é um relógio que mede o tempo 
musical (andamento). O metrônomo mecânico consiste num 
pêndulo oscilante, com a base fixada em uma caixa com a 
forma aproximada de um tronco de pirâmide, como mostra a 
foto. 
 
Na representação a seguir, a é o lado da base maior, b é o lado 
da base menor e V é o volume do tronco de pirâmide 
ABCDEFGH. Se a = 4b e p é o volume total da pirâmide ABCDI, 
então: 
34 
 
 
(A) 
3
V p
4
 
(B) 
3
V p
16
 
(C) 
15
V p
16
 
(D) 
15
V p
64
 
(E) 
63
V p
64
 
RESPOSTA: E 
COMENTÁRIO: 
3
V(EFGHI) b
p a
 
   
 
3
V(EFGHI) b
p 4b
 
   
V(EFGHI) = 
p
64
 
Logo V = p – 
p
64
 = 
63
p
64
 
 
142. (Uerj 2010) A figura abaixo representa um recipiente cônico 
com solução aquosa de hipoclorito de sódio a 27%. O nível 
desse líquido tem 12 cm de altura. 
 
 
Para o preparo de um desinfetante, diluiu-se a solução inicial 
com água, até completar o recipiente, obtendo-se a solução 
aquosa do hipoclorito de sódio a 8%. 
Esse recipiente tem altura H, em centímetros, equivalente a 
(A) 16 
(B) 18 
(C) 20 
(D) 22 
RESPOSTA: B 
COMENTÁRIO: A solução inicial ocupa um volume igual a 
 2 3
1
r 12 cm ,
3
 em que r é o raio do cone menor definido pelo 
nível do líquido. O recipiente tem volume igual a 
 2 3
1
R H cm ,
3
 em que R é o raio do recipiente e H é a sua 
altura. 
Como os cones são semelhantes, segue que: 
  
r 12 12R
r .
R H H
 
 
Por outro lado, do enunciado vem: 
 
              

 

 
 
2
2 2 2
3 3
3
3
1 1 12R
27% r 12 8% R H 27 12 8 R H
3 3 H
3 12
H
2
3 12
H
2
H 18cm.
 
 
143. (Ita 2012) Um cone circular reto de altura 1 cm e geratriz 
2 3
3
 é interceptado por um plano paralelo à sua base, sendo 
determinado, assim, um novo cone. Para que este novo cone 
tenha o mesmo volume de um cubo de aresta 
1 3
243
π 
 
 
 cm, é 
necessário que a distância do plano à base do cone original 
seja, em cm, igual a 
(A) 
1
4 
(B) 
1
3 
(C) 
1
2 
(D) 
2
3 
(E) 34 
RESPOSTA: D 
COMENTÁRIO: Seja V o volume do cone determinado pelo 
plano. 
Sabendo que o volume desse cone é igual ao volume do cubo 
de aresta 
 
  
1 3
cm,
243
π
 obtemos 
  
      
31 3
3v cm .
243 243
π π
 
Considere a figura abaixo. 
 
 
 
Como 
AO 1cm
 e 

2 3
AB cm,
3
 do Teorema de Pitágoras 
aplicado no triângulo AOB segue que 
 
     
 
3
2 22 3 4 1OB 1 1 .
3 3 3
 
O volume do cone maior é dado por 
        
2 31 1 1V OB AO 1 cm .
3 3 3 9
π
π π
 
Daí, como os cones são semelhantes, vem 
   
       
   
3 3
v AO' AO' 1243 AO' cm.
V AO 1 3
9
π
π
 
Portanto, o resultado pedido é 
    
1 2
O'O AO AO' 1 cm.
3 3