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Apostila de Resistência dos Materiais - UFF

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o momento torsor 
em cada apoio quando um torque de 120 Nm é aplicado no ponto médio de AB. 
 
r2 
r1 
r1 
τ 
r2 
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Mayra Soares P. L. Perlingeiro 
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Notas de Aula Resistência dos Materiais IX 
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 A barra é estaticamente indeterminada, porque existem dois momentos torsores 
desconhecidos, AT e BT , e apenas uma equação de equilíbrio: 
 
 120TT BA =+ 
 
 Devido aos engastes, o ângulo de torção φ total é nulo e, para equilibrar o momento 
torsor aplicado, os trechos AC e BC do eixo giram em sentidos opostos, tal que 21 φφ = . 
 Tem-se, então: 
 
 
2
2B
1
1A
JG
LT
JG
LT
⋅
⋅=⋅
⋅
 
 
( )
AA4
44
A
1
2
B T59,0T
2032
162032T
J
JT ⋅=⋅⋅
−⋅=⋅= π
π
 
 
 Logo: 
 
 
Nm 5,44T
Nm 5,75T
120T59,0T
B
A
AA
=
=
=⋅+
 
125 mm 
125 mm 
120 N.m
B 
A 
C 
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VI – TENSÕES EM VIGAS 
 
1 – Tensões Normais Devidas ao Momento Fletor 
 
 Seja a viga biapoiada sujeita às cargas P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Os diagramas de esforços solicitantes são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Na parte central, a viga está sujeita apenas ao momento fletor, caracterizando a 
flexão pura. 
 A ação do momento fletor faz com que a viga se curve, conforme mostra a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a 
L 
P P 
a 
P P 
- P 
DEC
P.a DMF
P 
Q = 0 
ρ 
dx 
dθ 
MM
a b
S0 S1
y 
O 
S0 S1 
dx x z 
y 
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 Nota-se que, sob a ação do momento fletor, as seções S0 e S1 giraram, uma em 
relação à outra, de tal forma que as fibras inferiores alongaram-se e as superiores 
encurtaram, indicando a existência de uma região tracionada e outra comprimida. 
 Em algum ponto entre as regiões de tração e compressão, haverá uma superfície em 
que as fibras não sofrem variação de comprimento, denominada superfície neutra. Sua 
interseção com qualquer seção transversal da viga corresponde à linha neutra da seção. 
 O centro de curvatura do eixo longitudinal da viga, após sua deformação, é 
representado na figura pelo ponto O. Chamando de θd ao ângulo entre os planos S0 e S1, e ρ ao raio de curvatura, obtém-se: 
 
 
dx
d1k θρ == 
 
onde k é a curvatura. 
 
 O alongamento (variação do comprimento) da fibra ab, distante y da superfície 
neutra, é assim determinado: 
 
• Comprimento total da fibra ab: ( ) θρ dy ⋅+ 
• Comprimento inicial da fibra ab: dx 
• Alongamento: ( ) ( ) dxydxdxydxdy ⋅=−⋅+=−⋅+ ρρρθρ 
 
 A deformação correspondente é: 
 
 ykyx ⋅== ρε 
 
 E as tensões normais são: 
 
 yEkx ⋅⋅=σ 
 
 Portanto, as tensões variam linearmente com a distância y da linha neutra. Na viga 
em estudo, há tensões de tração abaixo da linha neutra e de compressão acima da linha 
neutra, conforme mostra a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A força longitudinal em dA é: 
 
 dAyEkdAdF x ⋅⋅⋅=⋅= σ 
 
 Como não há força normal resultante atuando na seção, a integral de dAx ⋅σ sobre 
a área da seção é nula: 
 
σ+ 
σ− 
ΜΜ z 
y
dA 
y
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 0dAyEkdAF
AA
x =⋅⋅⋅=⋅= ∫∫σ 
 
onde k e E são constantes. 
 
 Logo: 
 
 ∫ =⋅
A
0dAy → momento estático nulo. 
 
 Assim, a linha neutra passa pelo centróide da seção transversal. 
 
 O momento fletor da força em relação à linha neutra é: 
 
 z
A
2
A
xz IEkdAyEkdAyM ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= ∫∫σ 
 
 Daí: 
 
 
z
z
IE
Mk ⋅= 
 
 Substituindo, obtém-se: 
 
 y
I
M
z
z
x ⋅=σ 
 
 Analogamente: 
 
 z
I
M
y
y
x ⋅−=σ 
 
 
Exercício: Qual maxF , se MPa50x ≤σ ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1,0 m 2,0 m 
F 
+2F/3 
- F/3
+2/3.103 F 
2F/3 F/3 
DMF (N.mm) 
DEC (N) 
180 mm 
25 mm 
85 8525
z
y 
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 mm7,61
45004875
450011548755,12
A
Ay
y
i
ii =+
⋅+⋅=⋅= ∑
∑ 
 472
3
2
3
z mm 107,33,53450012
180252,494875
12
25195I ⋅=⋅+⋅+⋅+⋅= 
 
 50y
I
M
z
z
x ≤⋅=σ 
 
 503,143
107,3
10F3
2
7
3
≤⋅
⋅
⋅⋅
 
 
 N 359.19F ≤ 
 
 Nk 4,19Fmax = 
 
 
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2 – Tensões Cisalhantes Devidas ao Esforço Cortante 
 
 Consideremos uma viga com seção transversal retangular, de largura b e altura h , 
sujeita à carga distribuída q , conforme mostra a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sob a ação do carregamento distribuído, surgem esforços cortantes e momentos 
fletores nas seções transversais e, conseqüentemente, tensões normais e tensões 
cisalhantes. 
 Cortando-se um elemento mn por meio de duas seções transversais adjacentes e de 
dois planos paralelos à superfície neutra, nota-se que, devido à presença do esforço 
cortante, haverá distribuição uniforme das tensões de cisalhamento verticais ao longo da 
largura mn do elemento. 
 Uma vez que o elemento encontra-se em equilíbrio, conclui-se que as tensões de 
cisalhamento verticais são acompanhadas por tensões de cisalhamento horizontais de 
mesma intensidade (na face perpendicular). 
 A existência de tensões de cisalhamento horizontais em vigas pode ser demonstrada 
experimentalmente. 
 A figura mostra uma pilha de tábuas sobrepostas submetida à carga concentrada P 
no meio do vão. Verifica-se que, se não houver atrito

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