3ª lista

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Produto escalar de dois vetores
The dot product of two vectors v = < v1 , v2 > and u = <u1 , u2> denoted v . O produto escalar de dois vetores v = (v1, v2) e u = (u1, u2) do R2 ao número real 
v1 u1. v2u2. Indicamos este número pelo símbolo v. u, cuja leitura é “v escalar u”.
 v . v = (v1, v2) e u = (u1, u2) →u = < v1 , v2 > . v. u = v1 u1. v2u2
 
NOTE that the result of the dot product is a scalar . Observe que o resultado do produto escalar é um escalar. 
Example 1: Vectors v and u are given by their components as follows Ex: Se v = (2,3) e u = ( 1,5), então v.u = 2.1 + 3.5 = 2 + 15 = 17.
Conseqüências: 
- O produto escalar entre dois vetores é um número real. 
- Se dois vetores são perpendiculares então o produto escalar é nulo: 
- Se o ângulo entre dois vetores é obtuso então o produto escalar é negativo: 
- Se o ângulo entre dois vetores é agudo então o produto escalar é positivo: 
Properties of the Dot Product Propriedades do produto escalar
1. 1. v . v. u = u . u = u. v v 
2. 2. v . v. (u + w) = v . (u+ w) = v. u + v . u + v. w w 
3. 3. v . v = || v || 2 u.u ≥0 e u.u = 0 ↔ u= 0
4. 4. c(v . u) = cv . u (kv) = k(u.v)u = v . 
Módulo de um vetor
O módulo ou comprimento do vetor v=(a,b) é um número real não negativo, definido por:
Obs: O módulo de v é também chamado norma de v e indicado por ou .
Vetor unitário: é um vetor que tem o módulo igual a 1.
v é unitário ↔
Dado um vetor não nulo v, o vetor v’ = é um vetor unitário de mesma direção e sentido de v, denominado versor de v.
Exercícios
1 – Dados u = (-3,0), v = (1, -2), w = (-3,-3) e z = (0,0), calcular:
u . v + v . w + w . z				b) (u+v) . (2w –z)
2 – Calcular o modulo dos seguintes vetores:
u = (4,3)				b) v = (-2,1)
3 – Dados u = (3,7) e v = (1,-4), calcular:
					b) 
4 – Dados u = (6, -8) e v= (-4,-3), calcular:
 (u . v)	
5 – Entre os vetores seguintes, quais são unitários?
			b) 		 c) (-1, 0)
6 – Calcular os valores de a para os quais o vetor u = seja unitário.
7 – Dado u = (a,-2), calcular os valores de a para que se tenha .
8 – Dados u = (a+1, 2) e v = (-3, a), calcular o valor de a para que se tenha u . v = 0.
9 – Determinar o versor de v nos casos:
v = (10, 0)		b) v = (0, -6)		c) v = (4,3)
Distância entre dois pontos
Dado o plano cartesiano, vamos estabelecer a distância entre os pontos A e B.
Podemos observar que os pontos possuem coordenadas, sendo o ponto A(xa,ya) e B(xb,yb), note a formação do triângulo retângulo ABC.
Verificamos que a distância entre os pontos A e B é a hipotenusa do triângulo retângulo, que pode ser calculada aplicando o Teorema de Pitágoras. Com o auxílio da álgebra e de conhecimentos geométricos podemos generalizar e construir uma fórmula que determine a distância entre dois pontos no plano, conhecendo suas coordenadas. 
Cateto BC: yb – ya 
Cateto AC: xb – xa 
Hipotenusa AB: distância (D) 
Pelo Teorema de Pitágoras temos: “o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”
Exemplo 1: Dados os pontos A (2,-3) e B (4,5), determine a distância entre eles. 
xa: 2 
xb: 4 
ya: -3 
yb: 5
Exercícios
1) Uma formiga está sobre uma mesa e o ponto inicial que ela se encontra é o ponto P(2, 3). Ela caminha em linha reta e para no ponto Q(-6, -3). Calcular a distância que a formiga andou.
2) Duas circunferências são tangentes externamente. O centro de uma circunferência está no ponto C1(3, 5) e o centro da outra está no ponto C2(0, 1). Calcule a soma dos raios dessas circunferências.
3) Dado um triângulo ABC, com vértices A(0,0), B(12, 5) e C(3, 4). Calcule o seu perímetro.
4 – Calcular o valor de y de modo que o ponto (1,y) seja eqüidistante dos pontos (1,0) e (0,2).