TESTES DE CONHECIMENTO CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA TODAS AS AULAS ESTACIO 2010 1 EAD

Prévia do material em texto

TESTES DE CONHECIMENTO 
 
AULA 1 
 
 
1. 
 
 
Dados os vetores u ( 4, -x ) e v ( 2, 3 ), qual é o valor de x , 
sabendo que os vetores são ortogonais ? 
 
 
3/2 
 
-8/3 
 
-3/2 
 
 
8/3 
 
2/5 
 
 
 
Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre 
os vetores : (AB) + 3(BC) - (AC) ? 
 
 
(14,-8) 
 
(14,7) 
 
(-14,-8) 
 
(-14,8) 
 
 
(14,8) 
 
 
 
Explicação: Tem que ser calculado em primeiro lugar os vetores e posteriormente efetuar a adição, tendo 
em vista que no enunciado dá pontos e não vetores 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre 
os vetores : 3(AB) + 3(BC) - 5(AC) ? 
 
 
(2,2) 
 
(1,1) 
 
(0,1) 
 
 
(0,0) 
 
(1,0) 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Determine o valor de x para que os vetores u=(x,2) e v=(9,6) sejam paralelos 
 
 
Nenhuma das anteriores 
 
x=1 
 
x=2 
 
x=4 
 
 
x=3 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Em relação aos conceitos de vetores, marque (V) para verdadeiro e (F) para falso 
e assinale a alternativa correta. ( ) Um vetor é uma grandeza matemática que 
possui módulo, direção e sentido; ( ) O módulo é o tamanho do vetor; ( ) O 
sentido é o mesmo da reta suporte que contem o vetor; ( ) A direção é para onde 
o vetor está apontando. 
 
 
F,V,F,F. 
 
 
V,V,F,F. 
 
V,F,V,F. 
 
V,F,V,V. 
 
V,V,V,V. 
 
 
 
Explicação: 
A questão apresenta conceitos teóricos fundamentais de vetores e grandezas vetoriais 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Encontre o valor de m de modo que os vetores u=(m, 2, 4) e v = (2, 3,5) sejam 
ortogonais. 
 
 
-15 
 
-26 
 
13 
 
 
-13 
 
-30 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Considerando os pontos A(0, -3), B(-5, 2) ,C(-2, 7) e D(-1, -4), calcule 5(AD) ⃗-
1/3 (BC) ⃗+5(DC) ⃗. 
 
 
(-11, -145/3) 
 
(-11, 154/3) 
 
 
(-11, 145/3) 
 
(9, 145/3) 
 
(-9, 145/3) 
 
 
 
Explicação: 
A(0, -3), B(-5, 2) ,C(-2, 7) e D(-1, -4), calcule 5(AD) ⃗-1/3 (BC) ⃗+5(DC) ⃗ 
AD = D - A = (-1, -1) -> 5AD = (-5,-5) 
BC = C - B = (3, 5) -> 1/3BC = (1, 5/3) 
DC = C - D = (-1, 11) -> 5DC = (-5, 55) 
5(AD) ⃗-1/3 (BC) ⃗+5(DC) ⃗ = (-5,-5) - (1, 5/3) + (-5, 55) = (-11, 145/3) 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Dados os vetores u = (2, -1, 4) e v = (2 + m, -1, 3 + 2n), determinar, 
respectivamente, os valores de m e n para que os vetores sejam iguais. 
 
 
1 e 2/3 
 
-1 e 0 
 
-1 e 1/2 
 
 
0 e 1/2 
 
2/3 e -2 
 
 
 
Explicação: 
2 + m = 2 
3 + 2n = 4 
 
AULA 2 
 
 
 
1. 
 
 
 
 
(0, 30) 
 
(-5, 30) 
 
 
(-5, -30) 
 
(5, 30) 
 
(5, -30) 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine o vetor →ABA→B dado os pontos A(-1, -2, -3) e B(0, 1, 2) 
 
 
(0, 1, 2) 
 
 
(1, 3, 5) 
 
(1, 2, 0) 
 
(-1, 0, 1) 
 
(1, 0, 5) 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Calcular o ângulo entre os vetores u = (1,1,4) e v = (-1,2,2). 
 
 
 
45° 
 
47° 
 
53° 
 
35° 
 
60° 
 
 
 
Explicação: 
Fazer a = u . v / (|u| . |v|) 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre 
os vetores: 2(AB)+3(BC) +5(AC) ? 
 
 
(-7,-4) 
 
(0,0) 
 
(7,-4) 
 
 
(7,4) 
 
(-7,4) 
 
 
 
Explicação: Tem que ser calculado em primeiro lugar os vetores e posteriormente efetuar a adição, tendo 
em vista que no enunciado dá pontos e não vetores 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Dados os vetores u = i - 4j+ k e v = 2i + 2j- k o vetor u + v é: 
 
 
 
 
(3,-2,0) 
 
(3,-2,4) 
 
(3,-2,1) 
 
(3,0,0) 
 
(3,-2,2) 
 
 
 
Explicação: Operar cada vetor respeitando a sua componente 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
O valor de x para que os pontos (1,3), (-2,4), e (x,0) do plano sejam colineares 
é: 
 
 
 
10 
 
11 
 
9 
 
5 
 
8 
 
 
 
Explicação: 
Para que os pontos (1,3), (-2,4), e (x,0) sejam colineares, devem formar vetores paralelos entre si, ou 
seja, com suas coordenadas proporcionais, logo 
(-2-1)/(x-1) = (4-3)/(0-3) -> (x-1)/3 = 3/1 -> x-1 = 9 -> x = 10 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Calcule as coordenadas dos dois pontos, que dividem o segmento de 
extremidades (0, 2) e (6, 11), em três segmentos congruentes. 
 
 
 
(2 ,5) e (4, 8) 
 
(4 ,3) e (7, 8) 
 
s.r 
 
(3 ,5) e (4, 6) 
 
(4 ,5) e (7, 9) 
 
 
 
Explicação: 
xk = (6-0)/3 = 2; yk = (11-2)/3 = 3 
P1 = (0 + 2.1, 2 + 3.1) = (2, 5) 
P1 = (0 + 2.2, 2 + 3.2) = (4, 8) 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
O Produto Misto dos Vetores 
→u=2→i+→j−2→k,→v=3→i−→j,→w=4→i+→j−3→ku→=2i→+j→−2k→,v→=3i→
 
 
 
-3 
 
4 
 
 
1 
 
-2 
 
-1 
 
 
 
Explicação: 
[u,v,w] = ∣∣ 
∣∣21−23−1041−3∣∣ 
∣∣ 
 
AULA 3 
 
 
 
1. 
 
 
 
Dados os vetores u ( 2, x ) e v ( 1, -1 ), qual é o valor de 
x , sabendo que os vetores são ortogonais? 
 
 
-2 
 
-3 
 
 
2 
 
4 
 
3 
 
 
 
Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Dados os Vetores u ( 3, 2 ) e v ( 4, x ), qual é o valor de 
x , sabendo que os vetores são ortogonais? 
 
 
-4 
 
0 
 
 
-6 
 
6 
 
4 
 
 
 
Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Determine os valores de x e y para que os vetores u=(2, 5, y) e v=(x, 10, 8) 
sejam paralelos. 
 
 
x=2 e y=2 
 
x=2 e y=4 
 
x=4 e y=2 
 
x=4 e y=-4 
 
 
x=4 e y=4 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
O valor de x para que os vetores u=(x,2,0) e v=(9,6,0) sejam paralelos é: 
 
 
2 
 
0 
 
 
3 
 
6 
 
9 
 
 
 
Explicação: 
Dois vetores são paraleleos quando suas coordenadas são proporcionais 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
 
Dados os vetores u ( 1, 2 ) e v ( 3, x ), qual é o valor de 
x , sabendo que os vetores são ortogonais? 
 
 
-5/8 
 
 
-3/2 
 
2/8 
 
5/8 
 
3/8 
 
 
 
Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Sabendo-se que u = (a, b, c) é versor de v = (1,2,2), qual o valor de a 
 
 
1 
 
-1 
 
 
1/3 
 
2/3 
 
0 
 
 
 
Explicação: 
u = v / |v| 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Dois helicópteros voam no mesmo sentido, em direções oposta.um parte de um 
heliporto A localizado no ponto( 60, 80, 1),o outro parte de um heliporto B 
localizado em (120, 160,1), com coordenadas em KM. se eles voam em direção a 
um heliporto localizado no ponto médio do segmento AB.Ache as coordenadas do 
ponto de encontro dos helicópteros. 
 
 
(0, 0, 0 ) 
 
 
(90, 120, 1) 
 
 
(0, 120, 0 ) 
 
(-90, -120, -1) 
 
( 120, 0, 0 ) 
 
 
 
Explicação: O ponto médio é a media das coordenadas dos pontos A e B. 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Em relação a um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas no espaço o 
vetor x = (2, 0, - 4), corresponde ao vetor: 
 
 
(C) x = 2i - 4j 
 
(E) x = 2i + 0k - 4j 
 
 
(D) x = 2i - 4k 
 
(A) x = - 2i 
 
(B) x = 2i - 4 
 
 
 
Explicação: Sendo x = (2, 0, - 4) a forma canônica é 2i + 0j - 4k = 2i - 4k 
 
AULA 4 
 
 
1. 
 
 
Dado os vetores A (1,2,3) e B (4,5,6), calcule o produto escalar A.B 
 
 
 
32 
 
-33 
 
25 
 
30 
 
-20 
 
 
 
Explicação: 
A.B=(1,2,3).(4,5,6)=1.4+2.5+3.6=4+10+18=32 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
O produto escalar entre u=(1,0, 1) e v=(0,1,0) é igual a 
 
 
1 
 
2 
 
3 
 
-1 
 
 
0 
 
 
 
Explicação: 
Aplicação envolvendo produto escalar. 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Dados os vetores u= -i -3j -2k e v= -4i -2j+xk, qual é o valor de x , sabendo 
que os vetores são ortogonais? 
 
 
4 
 
-4 
 
 
5 
 
-5 
 
3 
 
 
 
Explicação: 
O Produto escalar entre os vetores tem de ser igual a zero. Assim: 
u.v=0 => (-1,-3,-2).(-4,-2,x)=0 => 4+6-2x=0 => x=5 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Calcular a área do triângulo cujos os vértices são: A ( -2,3,1) , B( 1,2,3) e C ( 3,-
1,2). considere a raiz quadrada de 3 igual a 1,7. 
 
 
 
5.95 u.a 
 
7,6 u.a 
 
6,7 u.a 
 
 
9,95 u.a 
 
3,5 u.a 
 
 
 
Explicação: 
Calcular o módulo do produto vetorial entre AB e AC dividido por 2. Assim temos: 
AB=B-A=(3,-1,2) 
AC=C-A=(5,-4,1) 
 ij k 
ABxAC = 3 -1 2 = -i+10j-12k+5k+8i-3j = 7i+7j-7k = (7,7,-7. 
 5 -4 1 
 
Então a área do tiângulo será dada por: !ABxAC! / 2 = !(7,7,-7)! / 2 = V7² + 7² + (-7)² / 2 = 
V49+49+49 / 2 = V147 /2 = V3. 7² / 2 = 7 V3 /2 = 7 x 1,7 / 2 = 11,9 / 2 = 5,95 ua (unidades de 
área) 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Sejam os vetores u = (3, 2, 1) e v = (-1, -4, -1), calcular o produto 0.u. 
 
 
 
0 
 
5 
 
4 
 
-6 
 
6 
 
 
 
Explicação: 0.u = (0,0,0).(3,2,1) = 0.(3) + 0.(2) + ).(1) = 0. 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
O volume do Paralelepípedo com um vértice na origem e arestas u= 2i + 2j + 5k, 
 v= 10i e w= 6i + 10j é: 
 
 
 
570 
 
550 
 
575 
 
 
500 
 
555 
 
 
 
 
 
7. 
 
Considere os vetores →uu→=(1,-2,3) 
e →vv→=(1,1,3). Um vetor →ww→ é o produto 
 
vetorial entre os vetores →uu→ e →vv→ . O 
vetor →ww→ é: 
 
 
 
(-9,0,3) 
 
(3,0,9) 
 
(-9,3,0) 
 
(-9,3,3) 
 
(1,0,3) 
 
 
 
Explicação: 
 i j k 
Temos que: w=uxv= 1 -2 3 = -6i+3j+k+2k-3i-3j = -9i + 0j + 3k = (-9 , 0 , 3) 
 1 1 3 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Dado os vetores A (5,4,-3) e B (2,-2,3) qual o valor aproximado do ângulo entre 
eles 
 
 
90º 
 
 
104º 
 
115º 
 
95º 
 
110º 
 
 
 
Explicação: 
cosØ = u.v / (|u|.|v|), onde Ø é o ângulo entre os vetores u e v 
 
AULA 5 
 
 
1. 
 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (5,-2, 0 ) que tem a direção do 
vetor (1, 1, 1 ) 
 
 
x =5 y= -2+t z=t 
 
 
x =5+t y= -2+t z=t 
 
x =5+t y= -2 z=t 
 
x =5+t y= t z=t 
 
x =5+t y= -2+t z=2t 
 
 
 
Explicação: 
Substituir cada ponto e cada componente do vetor nos seus respectivos lugares. Temos que: 
(x,y,z) = (5,-2,0) + t(1,1,1) => x=5+t , y=-2+t e z=t. 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-
2,-2, 0 ) que tem a direção do vetor (1, 0, 1) 
 
 
 
X= -2+t y = -2 z = t 
 
X= -2+t y = 2 z = t 
 
X= -2+t y = -2 z = -t 
 
X= 2+t y = 2 z = t 
 
X= 2+t y = -2 z = t 
 
 
 
Explicação: 
Os pontos são coeficiente de x é o vetor coeficiente de t. 
Temos que: (x,y,z) = (-2,-2,0) + t(1,0,1) 
Daí as equações paramétricas serão: x=-2+t , y-2 , z=t 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-
1,0, 1 ) que tem a direção do vetor (1, 1, 1) 
 
 
X= -1+t y = t z = -1+t 
 
X= 1+t y = t z = 1+t 
 
 
X= -1+t y = t z = 1+t 
 
X= -1+t y = -t z = 1+t 
 
X= -1+t y = t z = 1-t 
 
 
 
Explicação: 
 
Temos que: (x,y,z) = (-1,0,1) + t(1,1,1) => x=-1+t , y=t e z=1+t 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (1,2, 1 ) que 
tem a direção do vetor (3,0, 2) 
 
 
x= 1+3t y=2 z=t 
 
 
x= 1+3t y=2 z=1+2t 
 
x= 1+3t y=2 z=1 
 
x= 1+3t y=2t z=1+2t 
 
x= 1 y=2 z=1+2t 
 
 
 
Explicação: 
Substituir cada ponto e cada componente do vetor nos seus respectivos lugares. 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Os pontos a(a,2) e B(0,b) pertencem a reta (r): 2x+y-6=0. Qual a distÂncia 
entre os pontos A e B? 
 
 
8V5 
 
3V5 
 
V5 
 
 
2V5 
 
4V5 
 
 
 
Explicação: 
A pertence a r -> 2a+2-6=0 ->a=2 -> A(2,2) 
B pertence a r -> 2.0+b-6=0 -> b=6 -> B(0,6) 
Logo: d(A,B) = V(0-2)² + (6-2)² = V4 + 16 = V20 = 2V5 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Calcular a distância entre os pontos P1=(1;0;1) e P2=(2,-1,0) 
 
 
2 
 
 
√33 
 
5 
 
3 
 
4 
 
 
 
Explicação: 
 
√3 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-
1,-2, 0 ) que tem a direção do vetor (1, 0, 1) 
 
 
X= -1+t y = -2 z = -t 
 
X= 1+t y = -2 z = t 
 
X= -1-t y = -2 z = t 
 
 
X= -1+t y = -2 z = t 
 
X= -1+t y = 2 z = t 
 
 
 
Explicação: 
 
Temos que: (x,y,z) = (-1,-2,0) + t(1,0,1) => x=-1+t 
 y=-2 
 z=t 
 
 
 
 
 
8. 
 
Obter a equação paramétrica da reta que 
 
passa pelo ponto P (2,-3) e tem direção do 
vetor v = (5,4). 
 
 
 
Resp.: x = 5 + 2t e y = -3 + 4t 
 
Resp.: x = 2 + t e y = -3 + t 
 
 
Resp.: x = 2 + 5t e y = -3 + 4t 
 
Resp.: x = 2 + 5t e y = 4 - 3t 
 
Resp.: x = 5t e y = 2 + 4t 
 
AULA 6 
 
 
1. 
 
 
A equação do plano que contém os pontos A(0,1,2 ) B( 1,-1,4) e C(2,2,2) está na opção 
 
 
2x + 8y =2 
 
2x + 2j + 2k =0 
 
x + y + 2z - 1 =0 
 
3x + 7y - 5z -4 =0 
 
 
-2x + 2y + 5z -12 = 0 
 
 
 
Explicação: 
produto vetorial de dois vetores quaisquer de um plano determina um vetor normal a esse plano. Depois 
substituir um dos pontos para achar a variavel independente desse plano. 
LEMBRAR: o vetor v = (a,b,c) é ortogonal ao plano de equação ax + by + cz + d = 0 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Qual o volume do cubo determinado pelos vetores i, j e k? 
 
 
0 
 
3 
 
-1 
 
 
1 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
O produto misto entre os vetores u = ( 1, 2, 3 ), v = ( 2, 5, 0 ) e w = ( -2, 0, 2 ) 
é igual a: 
 
 
-28 
 
 
32 
 
0 
 
34 
 
48 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
 Qual a equação do plano pi que passa pelo ponto A=(2,-1,3) e tem n=(3,2,-4) 
como vetor normal. 
 
 
 
2x-y+3z+8=0 
 
 
3x+2y-4z+8=0 
 
2x+y-3z-8=0 
 
 3x+2y-4z-8=0 
 
2x-y+3z-8=0 
 
 
 
Explicação: Determinar a equação geral do plano usando um ponto e o vetor normal. 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Considere o vetor u = (0,4,3). O módulo de tal vetor é igual a: 
 
 
4 
 
3 
 
 
5 
 
2 
 
1 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Qual deve ser o valor de m para que os vetores a=(m,2,-1), b=(1,-1,3) e c=(0,-
2,4) sejam coplanares? 
 
 
m=3/2 
 
m=3/4 
 
m=4 
 
m=2 
 
 
m=3 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Qual é a equação do plano que 
contém o ponto A (-3, -4, 0) e é 
ortogonal 
ao (-1,-2,-6) ? 
 
 
x - 2 y - 6 z - 11 = 0 
 
-x - 2 y - 6 z + 11 = 0 
 
-x + 2 y - 6 z - 11 = 0 
 
x - 2 y - 6 z +11 = 0 
 
 
-x - 2 y - 6 z - 11 = 0 
 
 
 
Explicação: 
-1 x - 2 y - 6 z + [+ 1 (-3)+ 2 (-4) +6 (0) ] = 0 -> -x-2y-6z-11 = 0 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Se o ponto P do eixo das abscissas pertence ao plano determinado pela equação: 
2x + 5y - 10z - 20 = 0. Podemos afirmar que: 
 
 
 
P( 10, 0, 0 ) 
 
P( 0, 0, -2 ) 
 
P( 0, 0, 2 ) 
 
P( 0, 4, 0 ) 
 
P( 5, 0, 0 ) 
 
 
 
Explicação: 
Se P pertence eixo das abscissas, P = (x,0,0). Substituindo na equação do plano, 2x-20=0 -> x = 10 
 
AULA 7 
 
 
1. 
 
 
Num dado sistema cartesiano os pontos A(0,5), B (3,-2) e C(-3,-2) definem uma região 
geométrica. Podemos afirmar que a figura tem o formato de: 
 
 
Um triângulo escaleno 
 
Um triângulo equilátero 
 
 
Um triângulo isósceles 
 
Um triângulo escaleno reto 
 
Um triângulo retângulo 
 
 
 
Explicação: 
Vetores no plano - distância entre pontos no plano. 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Dados os vetores u = (2x-1 , 3) e v = ( 3, -4) , determine o valor de x para que 
u e v sejam perpendiculares. 
 
 
3,5 
 
3 
 
 
2,5 
 
4,5 
 
4 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Qual a equação da circunferência de centro C(3, 4) e que passa pelo ponto P(4, 
2)? 
 
 
(x−3)2+(y−4)2=sqrt5(x−3)2+(y−4)2=sqrt5 
 
 
(x + 3)^2 +(y + 4)^2 = 5 
 
(x−4)2+(y−3)2=5(x−4)2+(y−3)2=5 
 
(x−4)2+(y−3)2=sqrt5(x−4)2+(y−3)2=sqrt5 
 
 
(x−3)2+(y−4)2=5(x−3)2+(y−4)2=5 
 
 
 
Explicação: 
(x-xc)² + (y-yc)² = |PC|² 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Encontre o centro e o raio da circunferência cuja equação é: x^2 + y^2 - 2x - 4y 
= 20. 
 
 
 
r = 5 e C(1,2) 
 
r = 4 e C(2,4) 
 
r = 4 e C(-2,-4) 
 
r = 3 e C(0,1) 
 
r = 4 e C(-1, -2) 
 
 
 
Explicação: 
Da expressão dada, completa-se o quadrado 
: (x−1)²−1+(y−2)²−4=20(x−1)²−1+(y−2)²−4=20 
 (x−1)²+(y−2)²=25(x−1)²+(y−2)²=25 
Logo, da expressão acima, teremos: 
C(1,2);r=5C(1,2);r=5 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Dados os vetores u = ( 1,2,3) e v = (m-3, 
2,-3), podemos afirmar que 
o valor de m para que o produto escalar u.vseja igual a zero , é: 
 
 
7 
 
6 
 
5 
 
4 
 
 
8 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Determine o lugar geométricodos pontos P(x,y) do plano dos quais as tangentes 
traçadas do ponto à circunferência (x-3)2 + (y-2)2 =16 têm comprimento 3. 
 
 
umpar de retas paralelas 
 
 
uma circunferência de raio 5 
 
um par de retas concorrentes. 
 
uma parábola de vértice (3,2) 
 
uma elipse de centro na origem 
 
 
 
Explicação: 
O raio da circunferência dada e a tangente formaram um triangulo retangulo de catetos 3 e 4, e a 
distancia dos pontos ao centro da circunferencia será a hipotenusa desse triangulo 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Na elaboração de um projeto, alunos de engenharia 
construíram um diagrama de forças que atuam sobre o 
objeto em análise. Os alunos identificaram a 
atuação de cinco forças distintas, representadas 
vetorialmente por �1 = (√2, −√2), �2 = (−√3, 
√3), �3 = (0 , 3), �4 = (2, −√3) e �5 = (1, −2). O 
vetor com maior intensidade é: 
 
 
 
F2 
 
 
F3 
 
F5 
 
F4 
 
F1 
 
 
 
Explicação: 
F3 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Dados dois vetores de módulos 8 cm e 22 cm, a resultante entre eles terá o 
módulo compreendido entre: 
 
 
5 cm e 20 cm 
 
21 cm e 26 cm 
 
25 cm e 40 cm 
 
 
14 cm e 30 cm 
 
8 cm e 22 cm 
 
AULA 8 
 
 
 
1. 
 
 
Determine as coordenadas do ponto médio do segmento AB, sendo A = (-1, 
4, 2) e B = (-3, -2, 0). 
 
 
(1, 3, -1) 
 
(-1, 2, 1) 
 
 
(-2, 1, 1) 
 
(1, -4, 2) 
 
(-1, 3, 1) 
 
 
 
 
2. 
 
 
Sobre os segmentos orientados pode-se afirmar: 
 
 
 
O módulo, a direção e o sentido de um vetor v ⃗ não é o módulo, a direção e o sentido de 
qualquer um dos seus representantes. 
 
O ângulo entre os vetores não-nulos u ⃗ e v ⃗., é o ângulo Ɵ formado por duas semi-retas de 
origens diferentes. 
 
 
O vetor w ⃗, quando multiplicado por um escalar (α), o vetor resultante é paralelo a w ⃗. 
 
Mesmo sendo um vetor nulo, seu módulo é igual ao vetor unitário. 
 
Os vetores classificados como coplanares pertencem a planos diferentes. 
 
 
 
 
3. 
 
 
Dados os vetores u=2i -3j , v=i-j e w =-2i+j , determine 3u-v/2-w /2 
 
 
(13,9) 
 
(13/2, -8) 
 
 
(13/2, -9) 
 
(13, -9) 
 
(13/2, 8) 
 
 
 
Explicação: Substituir cada vetor na equação oferecida 
 
 
 
 
4. 
 
 
Determine a equação das parábola com foco em F = (3 , 2) e diretriz r : x - 4 
= 0 
 
 
x = y2 
 
x = 4 
 
x = y 
 
x = y2 + 3y + 4 
 
 
x = (-y2 + 4y + 3) / 2 
 
 
 
Explicação: 
Utilizando a definição de parábola como lugar geométrico dos 
pontos cuja distância ao foco é igual à distância até a diretriz, 
temos d(X,F)=d(X,P) 
= 
onde, elevando os dois membros da igualdade ao quadrado, 
obtemos: 
x2-6x+9+y2-4y+4=x2-8x+16 
ou seja, 2x=3-y2+4y de onde x= 
 
 
 
 
5. 
 
 
Dedução da equação da parábola no plano cartesiano num caso especial: F = 
(2,0) e d: x= -2 
 
 
x = y2 / 4 
 
 
x = y2 / 8 
 
x = y2 / 32 
 
x = y2 / 2 
 
x = y2 / 16 
 
 
 
Explicação: 
Parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz 
 
 
 
 
6. 
 
 
Ache a equação cartesiana da parábola que tem diretriz no eixo x e vértice 
em . 
 
 
y = -x2 / 6 + 4x / 9 
 
y = 4x² 
 
y = -x2 / 6 
 
 
y = -x2 / 6 + 4x / 9 - 97 / 54 
 
y = -x2 / 6 - 97 / 54 
 
 
 
Explicação: 
A parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz 
 
AULA 9 
 
 
 
1. 
 
 
(IFB - 2017). Considerando uma elipse com centro na origem, focos num dos 
eixos coordenados e passando pelos pontos (5, 0) e (0, 13), determine os focos 
da elipse. 
 
 
(0, 13) e (0, -13) 
 
 
(0, 12) e (0, - 12) 
 
(5, 0) e (-5, 0) 
 
(13, 0) e ( -13, 0) 
 
(12, 0) e (-12, 0) 
 
 
 
Explicação: 
De acordo com os dados, o eixo maior fica no eixo y, onde a = 13 e b = 5, logo c² = 13² - 5² -> c = 12 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Sabendo que a distância focal de uma elipse é 16 e o eixo menor é igual a 12, 
qual o comprimento do eixo maior? 
 
 
 
20 
 
16 
 
18 
 
10 
 
12 
 
 
 
Explicação: 
a² = b² + c² 
a² = 16² + 12² 
a = 20 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Sabe-se que o diâmetro de uma circunferência é 6 e seu centro tem coordenadas 
C(-2,0), a equação reduzida desta circunferência é: 
 
 
(E) (x + 2)^2 + y^2 = 36 
 
 
(B) (x + 2)^2 + y^2 = 9 
 
(D) (x - 2)^2 + (y - 0)^2 = 36 
 
(C) (x + 2)^2 + y^2 = 3 
 
(A) (x - 2)^2 = 3 
 
 
 
Explicação: 
Sendo o diâmetro 6, então r =3 Tendo-se C(-2, 0) e r = 3, a equação será: (x - (- 2))^2 + (y - 0)^2 = 
3^2 = (x + 2)^2 + y^2 = 9 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Determine o valor de a, sabendo que os 
vetores →u=2→i+3→j+4→ku→=2i→+3j→+4k→ 
3j→+ ak→ são ortogonais 
 
 
2/4 
 
 
7/4 
 
1 
 
5 
 
2 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Considere a equação geral do plano 3x + 2y - z + 1 = 0. Para que o ponto A(4, -
2, m) pertença a este ponto, o valor de m tem que ser igual a: 
 
 
NRA 
 
-9 
 
15 
 
-15 
 
 
9 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Chama-se Produto Escalar de dois vetores →uu→ = x1→ii→ + y1→jj→+ z1→kk→ 
e →vv→ = x2→ii→ + y2→jj→+ z2→kk→ denotado por →uu→.→vv→ : 
 
 
ao vetor →ww→ dado por →ww→ = (x1 + x2)→ii→ + (y1 + y2 )→jj→ + (z1 + z2)→kk→ 
 
ao número real k dado por k = √(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2 
 
 
ao número real k, dado por : k = x1x2 + y1y2 + z1z2 
 
ao vetor →ww→ dado por →ww→ = x1x2→ii→ + y1y2 →jj→ + z1z2 →kk→ 
 
ao número real k, dado por: k = x+1x−1x+1x-1 = y+1y−1y+1y-1= z+1z−1z+1z-1 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Determine o centro e o raio da circunferência de equação x²+y²-4x+6y-3=0. 
 
 
 
(2,-3) e 4 
 
(3,4) e 6 
 
 
(3,-2) e 4 
 
(-1,3) e 5 
 
(3,-1) e 5 
 
 
 
Explicação: 
Temos que: -2a=-4 -> a=2 
 -2b=6 -> b=-3 , daí: o centro é O(2,-3) 
a²+b²-r²=-3 -> 2²+(-3)² - r²= -3 -> 4+9-r²=-3 -> -r²=-16 -> r=4 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Calcule a área da região delimitada pela 
circunferência x2 + y2 + 6x - 8y + 7 = 0. 
 
 
8 pi 
 
s.r 
 
12 pi 
 
 
18 pi 
 
16 pi 
 
 
 
Explicação: 
Devemos determinar o raio da circunferência para podermos definir sua área. Temos então, utilizando as 
relações que envolvem a fórmula geral da circunferência: 
-2a=6 -> a=-3 
-2b=-8 -> b=4 
a²+b²-r²=7 -> (-3)²+4²-r²=7 -> 9+16-r²=7 -> r²=18. 
Logo, a área da circunferência será: S= pi r² -> S=18pi 
 
Aula 10 
 
 
1. 
 
 
Encontre a área do triângulo de vértices A(1, 2, 5) B(3, 4, -1) e C(-
2, -1, 4) 
 
 
5x (2)1/2 
 
20 x(2)1/2 
 
10 
 
20 
 
 
10 x (2) 1/2 
 
 
 
 
2. 
 
 
Consideremos num sistema de coordenadas cartesianas um ponto P=(2,0) e 
uma reta r de equação x-1=0.Qual é o lugar geométrico dos pontos do plano 
cujas distâncias ao ponto P e à reta r são iguais ? 
 
 
Uma parábola cuja equação é y = 2x2 -3 
 
 
Uma parábola cuja equação é y2 =2x-3 
 
Uma circunferência de equação x2+y2 =3 
 
Duas semiretas cujas equações são x-y=1,5 e x+y=1,5,com x>1,5 
 
Uma circunferência com centro no ponto (3,0) e raio 1,5 
 
 
 
 
3. 
 
 
Qual volume do paralelepípedo formado pelos vetores u=(3,5,7) , v=(2,0,-1) 
e w=(0,1,3) ? 
 
 
16 unidades de volume 
 
15 unidades de volume 
 
 
13 unidades de volume 
 
17 unidades de volume 
 
14 unidades de volume 
 
 
 
 
4. 
 
 
Marque a alternativa que mostra a equação geral do plano determinado pelos 
pontos: A(0,2,-1), B(1,-1,-1) e C(1,0,2). 
 
 
-9x-3y+z+=0 
 
-9x-8y+z+7=0 
 
-9x-3y+z+9=0 
 
 
-9x-3y+z+7=0 
 
-5x-3y+z+7=0 
 
 
 
 
5. 
 
 
Dada à hipérbole de equação 5x2 - 4y2- 20x - 8y - 4 = 0, determine o centro 
da hipérbole. 
 
 
(-2,-1) 
 
(-2,1) 
 
(1,2) 
 
 
(2, -1) 
 
(2,1) 
 
 
 
Explicação: 
Escrevendo a hipérbole da maneira convencional teríamos 5[x2 - 4x + 4 - 4] - 4[y2 + 2y + 1] = 0 e daí, 
5(x - 2)2 - 4(y + 1)2 = 20 e dividindo ambos os membros por 20 passamos a ter: (x - 2)2 / 4 + (y + 1)2 / 
5 = 1. Então o centro é C(2, - 1)6. 
 
 
Uma parábola é um conjunto de pontos no plano cujas distâncias a um ponto fixo e a 
uma reta fixa são iguais. 
O ponto e a reta citados, na definição acima, são chamados: 
 
 
 
foco e diretriz 
 
foco e eixo 
 
centro e eixo 
 
vértice e eixo 
 
centro e diretriz