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1 Cálculo Numérico Prof: SILVIO LUIZ CASTRO SILVA E-MAIL: silvioluiz10@gmail.com FACULDADE DE ROSEIRA - FARO 2 Introdução à Calculo Numérico Erros Numéricos Raízes de Equações Sistemas de Equações Lineares Interpolação Polinomial Integração e Diferenciação Numéricas Cálculo Numérico – Programa da Matéria 3 Cálculo Numérico -Técnicas de Ensino Aulas Expositivas; Aulas Práticas em Laboratório de Informática; Atividades individuais ou em grupo. 4 Cálculo Numérico - Recursos Didáticos Quadro branco; Datashow; Laboratório de Informática; Calculadora (Alunos) 5 Cálculo Numérico – Avaliação P1 – PROVA 1; P2 – TRABALHO – Construção de uma Catapulta Trebuchet, onde realizaremos uma competição de lançamentos; Ep – Exercícios Propostos MF = (P1 + P2+Ep)/3 6 Cálculo Numérico – Bibliografias RUGGIERO, M. A. G. & LOPES, V. L. R. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2.ed. São Paulo, Pearson Makron Books, 1996. BARROS, I. Q. Introdução ao Cálculo Numérico. São Paulo, Edgard Blucher, 1972. 7 Cálculo Numérico I - INTRODUÇÃO FACULDADE DE ROSEIRA - FARO 8 O Cálculo Numérico corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses métodos se aplicam principalmente a problemas que não apresentam uma solução exata, portanto precisam ser resolvidos numericamente. Cálculo Numérico: Definição 9 “Busca solucionar problemas técnicos representados por modelos matemáticos” Cálculo Numérico – Introdução 10 Os problemas de engenharia, normalmente, representam uma situação física da natureza. Tais problemas são transformados em equações ou modelos matemáticos, que serão resolvidos por métodos analíticos ou numéricos . Cálculo Numérico: Introdução 11 Exemplo de Cálculo Solução Exata: Calcular quantos metros de fita deverá ser comprada para representar a diagonal de um quadrado. Cálculo Numérico – Introdução 45° H2 = L2 + L2 Lados medindo 1 metro H2 = 12 + 12 H2 = 2 2H metros 12 Exemplo de Cálculo Solução Exata: Calcular as RAÍZES da equação abaixo: Cálculo Numérico – Introdução Função -10,0000 -5,0000 0,0000 5,0000 10,0000 15,0000 20,0000 -6,000 -4,000 -2,000 0,000 2,000 4,000 6,000 X f( x) Função 06xx 2 Fórmula de “Bhaskara ” x’ = -3 .......... f(x’)=f(-3)=0 X’’ = 2 .......... f(x’’)=f(2)=0 X’ X’’ x 13 Exemplo de Cálculo Solução Aproximada Calcular o valor da variável x para a equação abaixo: Cálculo Numérico – Introdução x f(x) 1,143 0,0068 1,144 0,0047 1,145 0,0026 1,146 0,0004 1,147 -0,0017 1,148 -0,0039 Equação -0,10 -0,05 0,00 0,05 0,10 0,15 1,08 1,1 1,12 1,14 1,16 1,18 Fu nç ão - f (i) xe2x)x(f x f(x) 1,010 0,2644 1,110 0,0756 1,210 -0,1435 1,310 -0,3962 1,410 -0,6860 1,510 -1,0167 Incremento = 0,001 Incremento = 0,1 xe2x 14 Exemplo de Modelos Matemáticos. • Suponha que você esta em cima de um edifício que não sabe a altura, mas precisa determiná-la. Tudo que tem em mãos é uma bola de metal e um cronômetro. O que fazer? Cálculo Numérico: Introdução 15 Como já conhecemos a equação didática do movimento uniformemente variado fica mais fácil. Cálculo Numérico: Introdução 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0t + 𝑔𝑡2 2 s= Posição Final s0=Posição Inicial v0=Velocidade Inicial t=Tempo percorrido g=aceleração da gravidade 16 Imagine que a bolinha foi solta do topo do edifício e marcou-se no cronômetro que ela levou 2 segundos para atingir o solo. Cálculo Numérico: Introdução 𝑠 = 0 + 0 ∗ 2 + 9,8 ∗ 22 2 = 19,6𝑚 s= Posição Final = ? s0=0 v0=0 t=2 segundos g=9,8m/s² 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0t + 𝑔𝑡2 2 17 Com uma modelagem didaticamente simples a resposta é confiável? Onde estão os erros? Erros de modelagem: Resistência do ar Velocidade do vento Forma do objeto, etc. Cálculo Numérico: Introdução 18 Erros de resolução Precisão dos dados de entrada Ex.: tempo, gravidade Operações numéricas efetuadas Forma como os dados são armazenados Erro de truncamento (troca de uma série infinita por uma série finita) Cálculo Numérico: Introdução 19 Cálculo Numérico II - ERROS FACULDADE DE ROSEIRA - FARO 20 Erros: Introdução Cálculo Numérico – Erros • A noção de erro está presente em todas as áreas das ciências que realizam mensurações, medições, pois valores observados nunca são exatos, mas sim um intervalo. Dessa forma, as operações sobre valores não exatos propagam esses erros para os resultados. • Por outro lado, os próprios métodos numéricos, métodos de aproximação de resultados, buscam minimizar os erros, procurando resultados o mais próximos possíveis dos resultados exatos. 21 Cálculo Numérico – Erros Erros: Existência Em um processo de medição existem várias fontes de erros: Operador Instrumento Utilizado Procedimento de Medição Condições Ambientais Questionário 22 Cálculo Numérico – Erros Erros: Existência • Exemplo de Medição: Medição do comprimento de uma barra de 100 mm. Régua de Aço Valor de 1 divisão = 0,5 mm Paquímetro Valor de 1 divisão = 0,02 mm Resultados das Medições Régua Paquímetro 100 100,02 99,5 100,02 99 99,98 Resultados Médio 99,5 100,02 Desvio Padrão 0,5 0,02 Resultados Finais 100 ± 0,5 100 ± 0,02 23 Cálculo Numérico – Erros Erros: Propagação Dados de Entrada Dados Valores A 50 ± 3 B 21 ± 1 • Exemplo de Operações Matemáticas com Valores Sujeitos a Erros: Quando efetuamos operações sobre números sujeitos a erro, esses erros se propagam aos resultados das operações Multiplicação Dados Valores Resultados MAX – A 53 1166 MAX - B 22 MIN – A 47 940 MIN – B 20 Valor de A Valor de B Resultado 50 21 1050 +116 1050 -110 Soma Dados Valores Resultados MAX – A 53 75 MAX - B 22 MIN – A 47 67 MIN – B 20 Valor de A Valor de B Resultado 50 21 71 ± 4 24 Cálculo Numérico – Erros Erro Absoluto Definimos como Erro Absoluto – EA = |x - 𝒙 | a diferença entre o valor exato (esperado) de um número x e de seu valor aproximado (medido) 𝑥 . Exemplo ) 𝑥 =5,3 e x=5,4 𝐸𝐴x = 5,4 − 5,3 = 0,1 25 Cálculo Numérico – Erros Erro Relativo Definimos como Erro Relativo - ER a divisão do Erro Absoluto de x, EAx, pelo valor de x. Exemplo 1) 𝑥 =2112,9 para que 𝐸𝐴x = 0,1, 𝐸𝑅x = 𝐸𝐴x 𝑥 = 0,1 2112,9 ≈ 0,000047 Exemplo 2) 𝑦 =5,3 para que 𝐸𝐴y = 0,1, 𝐸𝑅y = 𝐸𝐴y 𝑦 = 0,1 5,3 ≈ 0,02 Com o Erro Relativo, em uma comparação de resultados, podemos verificar qual o resultado é mais preciso, pois a ordem de grandeza de x influência no resultado obtido. Dessa forma, verificamos que o valor de x tem maior precisão que o valor de y 26 Cálculo Numérico – Erros Erro Percentual Podemos também transformar o Erro Relativo - ER em Erro Percentual – EP. Essa transformação é realizada multiplicando o erro relativo por 100. Exemplo de Erros Percentuais:1) 𝐸𝑅x = 0,000047 𝐸𝑃x = 𝐸𝑅x ∗ 100% = 0,0047% 2) 𝐸𝑅x = 0,02. 𝐸𝑃x = 𝐸𝑅x ∗ 100% = 2% 27 Cálculo Numérico – Erros Exercícios Propostos 1) Calcular os Erros 1) Suponha que tenhamos um valor aproximado de 0,00004 para um valor exato de 0,00005. Calcular os erros absoluto, relativo e percentual para este caso. 28 Cálculo Numérico – Erros Exercícios Propostos 1) Calcular os Erros Resolução do Exemplo de Erros: Suponha que tenhamos um valor aproximado de 0,00004 para um valor exato de 0,00005. Calcular os erros absoluto, relativo e percentual para este caso. EA=0,00001 ER=0,25 EP=25% 29 Cálculo Numérico III - Zeros de Equações FACULDADE DE ROSEIRA - FARO 30 Cálculo Numérico Zeros de Equações • Muitas modelagens matemáticas de problemas exigem o cálculo de equações do tipo f(x)=0, isto é, a determinação de raízes. • Uma raiz real é um número real x quando f(x)= 0. • Graficamente, as raízes são representados pelos pontos onde as abcissas interceptam o eixo “x”. f(x) x x’ x” f(x) x x’ x” x”’ 31 Cálculo Numérico Zeros de Equações: Como obter localizar • Para equações de grau <=2 existem fórmulas que determinam as raízes em função dos coeficientes. Já para funções de mais alto grau e no caso de funções mais complicadas, é praticamente impossível se achar os zeros exatamente. Dessa forma conseguimos através de alguns métodos resolver essas equações de forma aproximada. Esses métodos consistem em duas fazes: Fase 1: Localizar o intervalo que contém a raiz Fase 2: Refinamento, através de aproximações dentro do intervalo encontrado na fase 1, melhorá-las sucessivamente até se obter uma aproximação de acordo com a precisão solicitada. 32 Cálculo Numérico Zeros de Equações: Fase 1: Isolamento • Existe pelo menos uma raiz no intervalo [a,b] que é zero de f(x) se f(a)*f(b)<0. Graficamente f(x) x x’ x” f(a) f(b) f(x) x x’ f(a) f(b) Observação: Quando f’(x) existir e preservar o sinal em [a,b], então esse intervalo contém apenas uma única raiz. 33 Cálculo Numérico Zeros de Equações: Fase 1: Isolamento • Uma forma de isolar as raízes de f(x) é tabelar f(x) para vários valores de x e analisar as mudanças de sinal de f(x) e o sinal da derivada f’(x). Observação: Como f(x) é um polinômio de grau 3 podemos afirmar que em cada intervalo contém um único zero de f(x). -25 3 13 11 3 -5 -7 3 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 f(x)=x3 - 9x + 3 x f(x) f'(x) -4 -25 39 -3 3 18 -2 13 3 -1 11 -6 0 3 -9 1 -5 -6 2 -7 3 3 3 18 34 Cálculo Numérico Zeros de Equações: Fase 1: Isolamento • Para f(a)*f(b)>0 podemos ter várias situações no intervalo [a,b], conforme os gráficos: Graficamente f(x) x f(a) f(b) f(x) x f(a) f(b) • A análise gráfica de funções é fundamental para se obter boas aproximações para as raízes. 35 Cálculo Numérico Zeros de Equações: Fase 1: Isolamento -25 3 13,39230485 11 3 -5 -7,392304845-7 3 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 • Uma outra forma para analisarmos uma função é a partir de f(x) obtermos duas equações equivalentes g(x)=h(x), esboçar seus respectivos gráficos no mesmo eixo cartesiano e procurar por intersecções entre as curvas. Exemplo: f(x)=x3-9x+3, onde, x3=9x-3, tal que g(x)=x3 e h(x)=9x-3 -64,0 -27,0 -5,2 -1,0 0,0 1,0 5,2 8,0 27,0 -5,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 f(x)=x3-9x+3 g(x)=x3 e h(x)=9x-3 36 Cálculo Numérico Zeros de Equações: Fase 1: Isolamento Método da Bissecção: Exercício Para Fixação Localizar, graficamente, o intervalo das raízes das funções abaixo: a) x/2 – tg(x)=0, OBS: Usar a calculadora em radianos b) 2x-3x=0 c) X3+x-1000=0 37 Cálculo Numérico Zeros de Equações: Fase 1: Isolamento Método da Bissecção: Resolução dos Exercícios Para Fixação Localizar, graficamente, o intervalo das raízes das funções abaixo: a) x/2 – tg(x)=0 x f(x) -4 -0,84218 -3 -1,64255 -2 -3,18504 -1 1,057408 0 0 1 -1,05741 2 3,18504 3 1,642547 4 0,842179 38 Cálculo Numérico Zeros de Equações: Fase 1: Isolamento Método da Bissecção: Resolução dos Exercícios Para Fixação Localizar, graficamente, o intervalo das raízes das funções abaixo: b) 2x-3x=0 x f(x) -4 12,0625 -3 9,125 -2 6,25 -1 3,5 0 1 1 -1 2 -2 3 -1 4 4 39 Cálculo Numérico Zeros de Equações: Fase 1: Isolamento Método da Bissecção: Resolução dos Exercícios Para Fixação Localizar, graficamente, o intervalo das raízes das funções abaixo: c) X3+x-1000=0 x f(x) 5 -870 6 -778 7 -650 8 -480 9 -262 10 10 11 342 12 740 13 1210 40 Cálculo Numérico Zeros de Equações: Fase 1: Isolamento Método da Bissecção: Exercício Para Fixação Localizar, graficamente, o intervalo das raízes positivas das equações pela intersecções das equações g(x)=h(x): e=2,718 a) 2 cos(x) = ex/2 b) xe-x=e-3 41 Cálculo Numérico Zeros de Equações: Fase 1: Isolamento Método da Bissecção: Resolução do Exercício Para Fixação Localizar, graficamente, o intervalo das raízes positivas das equações pela intersecções das equações g(x)=h(x): e=2,718 a) 2 cos(x) = ex/2 -5,0 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 x f(x ) g(x) h(x) 42 Cálculo Numérico Zeros de Equações: Fase 1: Isolamento Método da Bissecção: Resolução do Exercício Para Fixação Localizar, graficamente, o intervalo das raízes positivas das equações pela intersecções das equações g(x)=h(x): e=2,718 b) xe-x=e-3 0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x f(x ) g(x) h(x) 43 Cálculo Numérico III - Zeros de Equações Método Bissecção FACULDADE DE ROSEIRA - FARO 44 Cálculo Numérico Zeros de Equações: Fase 2: Refinamento da Solução • O refinamento consiste em um processo iterativo, isto é, uma seqüência de operações que são executados passo a passo, algumas das quais são repetidas em ciclos. INÍCIO DADOS INICIAIS CÁLCULOS INICIAIS K=1 CALCULAR A NOVA APROXIMAÇÃO ESTA APROXIMAÇÃO ATENDE A PRECISÃO REQUERIDA K=K+1 CÁLCULOS FINAIS FIM NÃO SIM 45 Cálculo Numérico Zeros de Equações: Fase 2: Refinamento da Solução -25 3 13,39230485 11 3 -5 -7,392304845-7 3 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 • Existem várias técnicas para a aproximação das soluções de forma iterativa, veremos a seguir alguns desses métodos: f(x)=x3-9x+3 Método da Bissecção: Seja uma função continua f(x) no intervalo [a,b] e tal que f(a)*f(b)<0. O objetivo desse método é reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até se atingir a precisão requerida: (b-a)<ε, usando para isso a sucessiva divisão de [a,b] ao meio. 2 ba x i Onde: b’=xi, quando f(x)>0 a’=xi, quando f(x)<0 46 Cálculo Numérico Zeros de Equações: Fase 2: Refinamento da Solução Método da Bissecção: Características 1) Permite isolar raízes reais 2) O limite de erro é obtido diretamente 3) Possui baixa velocidade de convergência, mas a convergência é garantida. 47 Método da Bissecção: Exemplo – Refinamento do intervalo [-4,-3], ε=0,5 f(x)=x3-9x+3 Iteração a f(a) b f(b) (b-a)<ε xn+1=(a+b)/2 f(xn+1) 0 -4 -25 -33 1 -3,5 -8,375 1 -3,5 -8,375 -3 3 0,5 -3,25 -2,07813 2 -3,25 -2,07813 -3 3 0,25 -3,125 0,607422 3 -3,25 -2,07813 -3,125 0,6074219 0,125 -3,1875 -0,698 48 Método da Bissecção: Exercício para FixaçãoExemplo – Refinamento do intervalo [-4,-3], ε=0,5 f(x)=x3-9x+3 Iteração a f(a) b f(b) (b-a)<ε xn+1=(a+b)/2 f(xn+1) 0 -4 -25 -3 3 1 -3,5 -8,375 1 -3,5 -8,375 -3 3 0,5 -3,25 -2,07813 2 -3,25 -2,07813 -3 3 0,25 -3,125 0,607422 3 -3,25 -2,07813 -3,125 0,6074219 0,125 -3,1875 -0,698 Exercício para Fixação Continuar o método da bissecção para o intervalo [-4, -3] e com uma precisão de ε=0,01 49 Método da Bissecção: Exemplo – Refinamento do intervalo [-4,-3], ε=0,5 f(x)=x3-9x+3 Resolução Exercício para Fixação Continuar o método da bissecção para a precisão: ε=0,01 Iteração a f(a) b f(b) (b-a)<ε xn+1=(a+b)/2 f(xn+1) 0 -4 -25 -3 3 1 -3,5 -8,375 1 -3,5 -8,375 -3 3 0,5 -3,25 -2,07813 2 -3,25 -2,07813 -3 3 0,25 -3,125 0,607422 3 -3,25 -2,07813 -3,125 0,6074219 0,125 -3,1875 -0,698 4 -3,1875 -0,698 -3,125 0,6074219 0,0625 -3,15625 -0,03604 5 -3,15625 -0,03604 -3,125 0,6074219 0,03125 -3,140625 0,287991 6 -3,15625 -0,03604 -3,14063 0,2879906 0,015625 -3,1484375 0,126551 7 -3,15625 -0,03604 -3,14844 0,1265512 0,007813 -3,15234375 0,045399 50 Método da Bissecção: Exercício para Fixação Uma empresa que realiza a reciclagem possui um forno para fundir o alumínio coletado. Sabendo que o forno aquece de acordo com a função f(x)=ex + x - 3, onde x representa o tempo em horas e f(x) a temperatura do forno em °C. Para que horas o forno tem que ser programado para ligar automaticamente? Sabendo-se que a atividade produtiva começa as 8:00 horas da manhã com o forno aquecido a 150 °C. Resolver pelo método da bissecção com precisão de ε=0,05 e calcular seu respectivos erros. 51 Método da Bissecção: Resolução Exercício para Fixação Primeiramente como queremos encontrar o valor f(x)=150. Dessa forma f(x)= ex + x - 3 = 150 e f(x)= ex + x – 153, onde o valor de x resultará no tempo necessário para aquecer o forno até 150°C. ISOLAMENTO x f(x)= ex + x - 153 0 -152 1 -149,2817182 2 -143,6109439 3 -129,9144631 4 -94,40184997 5 0,413159103 6 256,4287935 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250 300 0 1 2 3 4 5 6 7 Gráfico - f(x) 52 Resolução Exercício para Fixação Refinamento da solução Raiz- Intervalo [4,5] Critério de Parada (b-a) <0,05 Iteração a f(a) b f(b) (b-a)<ε xn+1=(a+b)/2 f(xn+1) 0 4 -94,4018 5 0,413159 1 4,5 -58,4829 1 4,5 -58,4829 5 0,413159 0,5 4,75 -32,6657 2 4,75 -32,6657 5 0,413159 0,25 4,875 -17,1508 3 4,875 -17,1508 5 0,413159 0,125 4,9375 -8,64124 4 4,9375 -8,64124 5 0,413159 0,0625 4,96875 -4,18428 5 4,96875 -4,18428 5 0,413159 0,03125 4,984375 -1,9034 Com a solução sabemos que o forno precisa de 4,984375 horas (4h 59m 4s) para se aquecer até 150°C. Dessa forma, como o expediente se inicia as 8:00h teremos que ligar o forno as (8 - 4,984375=3,015625) = 3h 1m 56s . 53 Resolução Exercício para Fixação Cálculos dos Erros de Tempo Com o tempo aproximado de 𝑥 = 4,984375 e uma exatidão de ε=0,05 podemos calcular os seguintes erros: Erro Absoluto do Tempo: 𝐸𝐴x = x − 4,984375 < 0,05 Erro Relativo do Tempo: 𝐸𝑅x = 𝐸𝐴x 𝑥 = 0,05 4,984375 < 0,010. Erro Percentual do Tempo: 𝐸𝑃x = 𝐸𝑅x ∗ 100% = 0,010 ∗ 100% < 1,00% 54 Resolução Exercício para Fixação Cálculos dos Erros de Temperatura Com a função original podemos verificar a temperatura aproximada calculada. f(x)= ex + x - 3 = 150 Com 𝑥 = 4,984375 e uma exatidão de ε=0,05 podemos calcular a temperatura aproximada de 𝐟 𝑥 = 148,09660 que nos gera os seguintes erros de temperatura: Erro Absoluto: 𝐸𝐴ᴨ = x − x = 150 − 148,09660 = 1,90 Erro Relativo: 𝐸𝑅x = 𝐸𝐴x 𝑥 = 1,90 148,09660 = 0,013. Erro Percentual: 𝐸𝑃x = 𝐸𝑅x ∗ 100% = 0,013 ∗ 100% = 1,30% 55 Método da Bissecção: Exercício para Fixação Um engenheiro precisa calcular a profundidade, yn, da água de uma canal trapezoidal com talude 1:1, z=1, executado em concreto não muito liso e contendo as seguintes características. Resolver pelo método da bissecção com precisão de ε=0,05 n=0,014 - Coeficiente de Minning R=0,196m – Raio Hidráulico I=0,004mm-1 – Declive do fundo b=0,30m – Largura do fundo Q=0,423m³s-1 – Vazão do Canal Sabendo-se que a vazão do canal pode ser calculada por: 𝑄 = 𝐴 1 𝑛 𝑅 2 3 𝐼 1 2 onde 𝐴 = 𝒚𝒏(𝒃 + 𝒛𝒚𝒏) 56 Método da Bissecção: Resolução do Exercício para Fixação Primeiramente transformamos a equação: 𝑄 = 𝐴 1 𝑛 𝑅 2 3 𝐼 1 2 onde 𝐴 = 𝒚𝒏(𝒃 + 𝒛𝒚𝒏) 𝑓 𝑦𝑛 = 𝑄 − 𝒚𝒏(𝒃 + 𝒛𝒚𝒏) 1 𝑛 𝑅 2 3 𝐼 1 2 57 Método da Bissecção: Resolução do Exercício para Fixação Agora realizamos o isolamento da raiz da função: 𝑓 𝑦𝑛 = 𝑄 − 𝒚𝒏(𝒃 + 𝒛𝒚𝒏) 1 𝑛 𝑅 2 3 𝐼 1 2 Características n= 0,014 R= 0,196 m I= 0,004 1/mm b 0,3 m Q= 0,423 m³/s z= 1 ISOLAMENTO x f(yn) -2 -4,759646547 -1 -0,644015466 0 0,423 1 -1,55860015 2 -6,588815917 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 Gráfico - f(x) 𝒇 𝑦𝑛 = 𝟎, 𝟒𝟐𝟑 − 𝒚𝒏(𝟎, 𝟑 + 𝟏𝒚𝒏) 𝟏, 𝟓𝟐𝟒𝟑𝟎𝟕𝟖𝟏 𝒇 𝐱 = 𝟎, 𝟒𝟐𝟑 − 𝒚𝒏(𝟎, 𝟑 + 𝟏𝒚𝒏) 𝟏 𝟎, 𝟎𝟏𝟒 𝟎, 𝟏𝟗𝟔 𝟐 𝟑 𝟎, 𝟎𝟎𝟒 𝟏 𝟐 58 Método da Bissecção: Resolução do Exercício para Fixação Agora realizamos o refinamento da solução pelo método da bissecção: Solução: A profundidade da água é de 0,39m para uma precisão de ε=0,05 𝑓 𝑦𝑛 = 𝑄 − 𝒚𝒏(𝒃 + 𝒛𝒚𝒏) 1 𝑛 𝑅 2 3 𝐼 1 2 Raiz- Intervalo [a,b] Critério de Parada (b-a)< 0,05 Iteração a f(a) b f(b) (b-a)<ε xn+1=(a+b)/2 f(xn+1) 0 0 0,423 1 -1,5586 1 0,5 -0,18672 1 0 0,423 0,5 -0,18672 0,5 0,25 0,213408 2 0,25 0,213408 0,5 -0,18672 0,25 0,375 0,03716 3 0,375 0,03716 0,5 -0,18672 0,125 0,4375 -0,06883 4 0,375 0,03716 0,4375 -0,06883 0,0625 0,40625 -0,01435 5 0,375 0,03716 0,40625 -0,01435 0,03125 0,390625 0,011779 𝒇 𝑦𝑛 = 𝟎, 𝟒𝟐𝟑 − 𝒚𝒏(𝟎, 𝟑 + 𝟏𝒚𝒏) 𝟏, 𝟓𝟐𝟒𝟑𝟎𝟕𝟖𝟏 59 Resolução Exercício para Fixação Cálculos dos Erros de Altura Com a altura aproximada de 𝑥 = 0,39 e uma exatidão de ε=0,05 podemos calcular os seguintes erros: Erro Absoluto: 𝐸𝐴y = y − 0,39 < 0,05 Erro Relativo: 𝐸𝑦 = 𝐸𝐴y 𝑦 = 0,05 0,39 < 0,128 Erro Percentual: 𝐸𝑃x = 𝐸𝑅x ∗ 100% = 0,128 ∗ 100% < 12,82% Método da Bissecção: Exercício para Fixação Um pendulo suspenso no teto de uma sala balança-se de acordo com a seguinte expressão. 𝑑 = 80 + 90 cos 𝜋 3 𝑡 , t ≥ 0 Onde: d(cm) representa a distância até a parede de referência e depende do número de segundos t desde que o pêndulo foi posto em movimento. Calcule o instante de tempo t em que o pêndulo toca a parede da sala. Resolver pelo método da bissecção com precisão de ε=0,05 60 d 61 Método da Bissecção: Resolução Exercício para Fixação De acordo com a equação o pêndulo toca na parede quando d=0. dessa forma f(t)=0. 𝑓 𝑡 = 𝑑 = 80 + 90 cos 𝜋 3 𝑡 ⇒ 𝑓 𝑡 = 80 + 90cos 𝜋 3 𝑡 Vamos agora isolar a raiz: ISOLAMENTO x f(x) 0 170 1 125 2 35 3 -10 4 35 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 00,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 Gráfico - f(x) 62 Método da Bissecção: Resolução do Exercício para Fixação Agora realizamos o refinamento da solução pelo método da bissecção: Solução: O tempo aproximado para o pêndulo tocar a parede, com precisão de ε=0,05, é de 2,55 segundos 𝑓 𝑡 = 80 + 90cos 𝜋 3 𝑡 Raiz- Intervalo [a,b] Critério de Parada (b-a)< 0,5 Iteração a f(a) b f(b) (b-a)<ε xn+1=(a+b)/2 f(xn+1) 0 2 35 3 -10 1 2,5 2,057714 1 2,5 2,057714 3 -10 0,5 2,75 -6,93332 2 2,5 2,057714 2,75 -6,93332 0,25 2,625 -3,14916 3 2,5 2,057714 2,625 -3,14916 0,125 2,5625 -0,71855 4 2,5 2,057714 2,5625 -0,71855 0,0625 2,53125 0,627086 5 2,53125 0,627086 2,5625 -0,71855 0,03125 2,546875 -0,05645 63 Resolução Exercício para Fixação Cálculos dos Erros de Tempo Com o tempo aproximado de 𝑡 = 2,55e uma exatidão de ε=0,05 podemos calcular os seguintes erros: Erro Absoluto: 𝐸𝐴t = t − 2,55 < 0,05 Erro Relativo: 𝐸Rt = 𝐸𝐴t 𝑡 = 0,05 2,55 < 0,020 Erro Percentual: 𝐸𝑃x = 𝐸𝑅x ∗ 100% = 0,02 ∗ 100% < 2,00% 64 Método da Bissecção: Exercício para Fixação Continuar o método da bissecção para encontrar as outras duas reizes com precisão: ε=0,05 f(x)=x3-9x+3 x f(x) -4 -25 -3 3 -2 13 -1 11 0 3 1 -5 2 -7 3 3 4 31 65 Cálculo Numérico Zeros de Equações: Fase 2: Refinamento da Solução Método da Bissecção: Exercício Para Fixação Localizar aproximadamente pelo método da bisseccão a raiz positiva da equação, com ε=0,001 f(x)=4 cos x – ex = 0, com e = 2,718 f(x) -10,000 -8,000 -6,000 -4,000 -2,000 0,000 2,000 4,000 6,000 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x f(x ) ε1 66 Cálculo Numérico Zeros de Equações: Fase 2: Refinamento da Solução Método da Bissecção: Exercício Para Fixação Localizar aproximadamente pelo método da bisseccão a raiz da função, com ε=0,001 e verificar o resultada através da fórmula de “bhaskara” f(x)=X2+2x-5 f(x) -8,000 -6,000 -4,000 -2,000 0,000 2,000 4,000 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x f(x ) ε1 ε2 67 Cálculo Numérico Zeros de Equações: Fase 2: Refinamento da Solução Método da Bissecção: Exercício Para Fixação Localizar aproximadamente pelo método da bisseccão a raiz da função, com ε=0,001 f(x)=2X-tg x Localizar aproximadamente pelo método da bisseccão os três zeros das equação no intervalo [1,12], com ε=0,001 Log x = cos x 68 Cálculo Numérico III - Zeros de Equações Método do Ponto Fixo (MPF) FACULDADE DE ROSEIRA - FARO 69 Cálculo Numérico Zeros de Equações: Função de Iteração Método do Ponto Fixo (MPF): Seja uma função continua f(x) no intervalo [a,b] e tal que f(a)*f(b)<0. O MPF consiste em transformar f(x) em uma função de iteração para f(x), onde x=φ(x), isto é, f(φ(x)) e a partir de uma aproximação x0 gerar a seqüência xk com xk+1=φ(xk). Exemplo: Para a função x2 + x – 6 = 0 temos duas raízes f(x) -10 -5 0 5 10 15 20 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x f(x) 70 Cálculo Numérico Zeros de Equações: Função de Iteração Método do Ponto Fixo (MPF): Exemplo: Para a função x2 + x – 6 = 0 temos várias funções de iteração, entre as quais: a) φ1(x) = 6 - x2 b) φ2(x) = (6-x)1/2 c) φ3(x) = 6/(x+1) d) φ4(x) = 6/x – 1 71 Cálculo Numérico Zeros de Equações: Iteração Método do Ponto Fixo (MPF): Exemplo: As funções de iteração podem ser divergentes ou convergentes, Exemplo: Funções Iterativas x 0 = 1,5 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 X=φ1 6-x2 3,75 -8,0625 -59,0039 -3475,461 -12078823 -1,46E+14 -2,13E+28 X=φ2 (6-x)1/2 2,12132 1,96944 2,00763 1,99809 2,00048 1,99988 2,00003 X=φ3 6/x - 1 3,00000 1,00000 5,00000 0,20000 29,00000 -0,79310 -8,56522 X=φ4 6/(x+1) 2,40000 1,76471 2,17021 1,89262 2,07425 1,95170 2,03273 72 Cálculo Numérico Zeros de Equações: Critério de Parada Método do Ponto Fixo (MPF): Exemplo: As funções de iteração são iteradas até que a precisão requerida seja atingida, f(x) < ε: f(x)=x2 + x - 6 Critério de Parada f(x) < ε Função Iterativa x0 = 1,5 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 φ2 (6-x)1/2 2,12132 1,96944 2,00763 1,99809 2,00048 1,99988 2,00003 1,99999 2,00000 f(x) 0,621 -0,152 0,038 -0,010 0,002 -0,001 0,0001 -0,00004 0,00001 Função Iterativa x0 = 1,5 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 φ4 6/(x+1) 2,40000 1,76471 2,17021 1,89262 2,07425 1,95170 2,03273 1,97842 2,01449 f(x) 2,160 -1,121 0,880 -0,525 0,377 -0,239 0,1647 -0,10745 0,07268 73 Raizes da Função -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 φ1(x) y=x φ2(x) φ3(x) φ4(x) Cálculo Numérico Zeros de Equações: Análise Gráfica Método do Ponto Fixo (MPF): Analisando graficamente a raiz da equação x=φ(x) é a abcissa do ponto de intersecção da reta y=x e da curva y = φ(x) ε1 ε2 74 Cálculo Numérico III - Zeros de Equações Método de Newton-Raphson FACULDADE DE ROSEIRA - FARO 75 Cálculo Numérico Zeros de Equações: Função de Iteração Método de Newton-Raphson Esse método consiste em utilizar uma função de iteração no seguinte formato: )(' )( 1 k k kk xf xf xx Com essa função de iteração conseguimos agilizar a convergência O critério de parada é dado por: |)(| xf 76 Cálculo Numérico Zeros de Equações: Função de Iteração Método de Newton-Raphson Exemplo: Para a função x2 + x – 6 = 0 temos duas raízes x’1=-3 e x”2=2 12 62 1 x xx xxk f(x)=x2 + x – 6 )(' )( 1 k k kk xf xf xx 77 Cálculo Numérico Zeros de Equações: Função de Iteração Método de Newton-Raphson Exemplo: Localizar as raízes da função x2 + x – 6 = 0, com x0=1,5 Critério de Parada ε= 0,001 Iteração xn |f(xn)|<ε 0 1,50000 -2,25000 1 2,06250 0,31641 2 2,00076 0,00381 3 2,00000 0,00000 12 62 1 x xx xxk 78 Cálculo Numérico Zeros de Equações: Fase 2: Refinamento da Solução Método de Newton-Rapshon: Exercício Para Fixação Aplique o método de Newton-Rapshon à equação, com ε=0,001 f(x)=X3-2x2-3x+10, com x0=-3 79 Cálculo Numérico Zeros de Equações: Fase 2: Refinamento da Solução Método de Newton-Rapshon: Resolução do Exercício Para Fixação Aplique o método de Newton-Rapshon à equação, com ε=0,001 f(x)=X3-2x2-3x+10, com x0=-3 343 1032 2 23 1 xx xxx xxk Critério de Parada ε= 0,001 Iteração xn |f(xn)|<ε 0 -3,00000 -26,00000 1 -2,27778 -5,36094 2 -2,03046 -0,52519 3 -2,00043 -0,00727 4 -2,00000 0,00000 Método de Newton Raphson: Exercício para Fixação Um pendulo suspenso no teto de uma sala balança-se de acordo com a seguinte expressão. 𝑑 = 80 + 90 cos 𝜋 3 𝑡 , 3 ≥ t ≥ 0 Onde: d(cm) representa a distância até a parede de referência e depende do número de segundos t desde que o pêndulo foi posto em movimento. Calcule o instante de tempo t em que o pêndulo toca a parede da sala. Resolver pelo método de Newton Raphson com precisão de ε=0,001. Determinar os Erros 80 d 81 Método de Newton Raphson: Resolução Exercício para Fixação De acordo com a equação o pêndulo toca na parede quando d=0. dessa forma f(t)=0. 𝑓 𝑡 = 𝑑 = 80 + 90 cos 𝜋 3 𝑡 ⇒ 𝑓 𝑡 = 80 + 90cos 𝜋 3 𝑡 Vamos agora isolara raiz: ISOLAMENTO X f(x) 0 170 1 125 2 35 3 -10 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 Gráfico - f(x) 82 Método de Newton Raphson: Resolução Exercício para Fixação Determinação da função de iteração 𝑓 𝑡 = 80 + 90 cos 𝜋 3 𝑡 , 𝑦 = cos 𝑢 ⇒ 𝑦′ = −𝑢′ sin 𝑢 )(' )( 1 k k kk xf xf xx 33 90 3 90cos80 1 tsen t xx kk 85 Cálculo Numérico Zeros de Equações: Fase 2: Refinamento da Solução Método de Newton-Rapshon: Exercício Para Fixação Aplique o método de Newton-Rapshon à equação, com ε=0,001 f(x)=X3-9x+3 com x0=0,5 86 Cálculo Numérico IV - SISTEMAS LINEARES FACULDADE DE ROSEIRA - FARO 87 Cálculo Numérico Sistemas Lineares Sistema Linear 3x + 2y - 5z = -8 4x - 3y +2z = 4 7x + 2y - 3z = 2 0x + 0y + z = 3 • Exemplo de Sistema Linear: Coeficientes Termos Independentes Sistema Linear com m=4 Equações e n=3 Variáveis Variáveis ( X, Y, Z) 88 Cálculo Numérico Sistemas Lineares • Se um sistema de equações possuir pelo menos uma solução, dizemos que ele é POSSÍVEL ou COMPATÍVEL. • Se um sistema de equações não possuir solução, dizemos que ele é IMPOSSÍVEL ou INCOMPATÍVEL. • Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui apenas uma solução, dizemos que ele é DETERMINADO. • Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui mais de uma solução, dizemos que ele é INDETERMINADO. • Se os termos independentes de todas as equações de um sistema linear forem todos nulos, ou seja: • b1 = b2 = b3 = ... = bn = 0, dizemos que temos um sistema linear HOMOGÊNEO. 89 Cálculo Numérico Sistemas Lineares Tipos de Equações Lineares Equações lineares de uma variável: 2x + 8 = 36 solução única x = 14 Equações lineares com duas variáveis: x + y = 10 A solução não é única, já que poderemos ter um número infinito de pares ordenados que satisfazem à equação, ou seja: x=1 e y=9 [par ordenado (1,9)], x =4 e y =6 [par ordenado (4,6)] 90 Cálculo Numérico Sistemas Lineares Sistema Linear x + y + 2z = 7 3x + 2y -z = 11 x + 2z = 4 3x - y - z = 2 • Exemplo de Solução de Sistema Linear: O terno ordenado (2, 3, 1) é solução do Sistema Linear abaixo: Solução 2 + 3 + 2*1 = 7 3*2 + 2*3 -1 = 11 2 + 2*1 = 4 3*2 - 3 - 1 = 2 91 Cálculo Numérico Sistemas Lineares Sistema Linear - A 2x + 3y = 12 3x - 2y = 5 • Dois sistemas são EQUIVALENTES quando possuem a mesma solução, Exemplo: Sistema Linear - B 5x - 2y = 11 6x + y = 20 São equivalentes, pois ambos admitem o par ordenado (3, 2) como solução. Verifique! 92 Cálculo Numérico Sistemas Lineares: Método de Eliminação de GAUSS Sistema Linear Original a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 • O método consiste em transformar o sistema linear original num sistema linear equivalente com estrutura triangular superior Sistema Linear Equivalente a’11x1 + a’12x2 + a’13x3 = b’1 a’22x2 + a’23x3 = b’2 a’33x3 = b’3 15x - 3y = 22 5x + 2y = 32 15x - 3y = 22 -9y =-74 Equivalentes y=74/9 e x=28/9 93 Cálculo Numérico Sistemas Lineares: Método de Eliminação de GAUSS • O método de eliminação de Gauss para solução de sistemas de equações lineares, também conhecido como escalonamento, baseia-se em três transformações elementares, a saber: T1 - um sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições de duas equações quaisquer do sistema. Exemplo: 2x + 3y = 10 5x - 2y = 6 5x - 2y = 6 2x + 3y = 10 94 Cálculo Numérico Sistemas Lineares: Método de Eliminação de GAUSS T2 - um sistema de equações não se altera, quando multiplicamos ambos os membros de qualquer uma das equações do sistema, por um número real não nulo. Exemplo: 3x + 2y - z = 5 2x + y + z = 7 x - 2y + 3z = 1 3x + 2y - z = 5 2x + y + z = 7 3x - 6y + 9z = 3 Multiplicado por 3 95 Cálculo Numérico Sistemas Lineares: Método de Eliminação de GAUSS T3: um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos uma equação qualquer por outra obtida a partir da adição membro a membro desta equação, com outra na qual foi aplicada a transformação T2. Exemplo: 15x - 3y = 22 5x + 2y = 32 15x - 3y = 22 -15x -6y = -96 15x - 3y = 22 0 - 9y = - 74 Equação 2 = Soma das equações 1 e 2 Equação 2 multiplicada por -3 96 Cálculo Numérico Sistemas Lineares: Método de Eliminação de GAUSS 9 74 y Exemplo: Resolução de Sistema Linear com o Método de Eliminação de GAUSS: 15x - 3y = 22 5x + 2y = 32 15x - 3y = 22 -15x -6y = -96 15x - 3y = 22 0 - 9y = - 74 Equação 2 = Soma das equações 1 e 2 Equação 2 multiplicada por -3 9 28 45 140 15x9 )743x22(3 15 ) 9 74 x3(22 x 9 74 y 97 Cálculo Numérico Sistemas Lineares: Método de Eliminação de GAUSS 32 22 25 315 Exemplo: Resolução de Sistema Linear com o Método de Eliminação de GAUSS com a escolha de um pivô: 15x - 3y = 22 5x + 2y = 32 15 370 22 30 315 Pivô = 15 Multiplicador = 5/15 Linha 2 = Linha 2 – Linha 1 x Multiplicador 15 370 22 y3 y3x15 Voltando as variáveis 9 74 45 370 3x15 370 y 9 28 45 140 15x9 )743x22(3 15 ) 9 74 x3(22 x Eliminar 98 Multiplicando a 2° equação por (-3), a 1° equação por (2) Cálculo Numérico Sistemas Lineares: Método de Eliminação de GAUSS Exemplo: Resolução de Sistema Linear com o Método de Eliminação de GAUSS: 3x + 2y - z = 5 2x + y + z = 7 x - 2y + 3z = 1 Multiplicando a 3° equação por (-2), somando o resultado obtido com a 2° equação e substituindo a 3° equação pelo resultado 3x + 2y - z = 5 2x + y + z = 7 0 + 5y -5z= -2 6x + 4y - 2z= 10 -6x -3y - 3z= -21 0 + 5y -5z= -2 Somando a 2° equação com a 1° equação, e substituindo a 2° equação pelo resultado obtido 6x + 4y - 2z= 10 0 + 1y - 5z= -11 0 + 5y -5z= -2 99 Cálculo Numérico Sistemas Lineares: Método de Eliminação de GAUSS Exemplo Cont.: Resolução de Sistema Linear com o Método de Eliminação de GAUSS: Multiplicando a 2° equação por (-5), somando o resultado obtido com a 3° equação e substituindo a 2° equação pelo resultado Permutando as posições da 2° e 3° equações 6x + 4y - 2z= 10 0 + 1y - 5z= -11 0 + 5y -5z= -2 6x + 4y - 2z= 10 0 + 0 +20z = 53 0 + 5y -5z= -2 6x + 4y - 2z= 10 5y -5z= -2 20z = 53 z = 53/20 5y -5z= -2 5y -5(53/20)= -2 Y=(-2+5(53/20)) / 5 Y=49/20 6x + 4y - 2z= 10 6x + 4(49/20) – 2(53/20)= 10 6x + 196/20 – 106/20 = 10 6x = 10 - 196/20 + 106/20 6x = (200-196+106)/20 X=11/12 100 Cálculo Numérico Sistemas Lineares: Método de Eliminação de GAUSS 1 - Exemplo de Aplicação de Sistemas Lineares para a Solução de Problemas: Em uma cooperativa de reciclagem foram vendidos as seguintes quantidades de produtos: Alumínio Vidro Papelão Valor Arrecadado 100 kg 200 kg 50 kg R$: 30,00 150 kg 130 kg 10 kg R$: 15,00 110 kg 129 kg 100 kg R$: 100,00 Qual o valor recebido por quilo decada produto: Alumínio, Vidro e Papelão? 101 Cálculo Numérico Sistemas Lineares: Método de Eliminação de GAUSS 1 - Resolução: Aplicação de Sistemas Lineares para a Solução de Problemas: Em uma cooperativa de reciclagem foram vendidos as seguintes quantidades de produtos: Alumínio Vidro Papelão Valor Arrecadado 100 kg 200 kg 50 kg R$: 30,00 150 kg 130 kg 10 kg R$: 15,00 110 kg 129 kg 100 kg R$: 100,00 Alumínio = 2 reais Vidro = 1 Real Papelão = 0,14 Centavos Modelagem Matemática 100x + 200y + 50z = 30 150x + 130y + 10z = 15 110x + 129y + 100z = 100 102 Cálculo Numérico Sistemas Lineares: Método de Eliminação de GAUSS 2 - Exemplo de Aplicação de Sistemas Lineares para a Solução de Problemas: Em uma companhia de Saneamento Básico possui três tipos de Caixas de Esgoto: pequena, média e grande. Cada caixa pode atender um número de famílias de acordo com sua classificação, abaixo: Pequena Média Grande Tipos de Famílias 3 8 17 A: de 1 a 3 pessoas 2 5 14 B: de 4 a 7 pessoas 1 4 10 C: de 8 a 15 pessoas Quantas famílias, de cada classe, podem ser atendidas sabendo-se que a companhia dispõem de 40 caixas pequenas, 80 caixas medias e 5 caixas grandes. 103 Cálculo Numérico Sistemas Lineares: Método de Eliminação de GAUSS 2 - Resolução: Aplicação de Sistemas Lineares para a Solução de Problemas: Uma companhia de Saneamento Básico possui três tipos de Caixas de Esgoto: pequena, média e grande. Cada caixa pode atender um número de famílias de acordo com sua classificação, abaixo: Pequena Média Grande Tipos de Famílias 3 8 17 A: de 1 a 3 pessoas 2 5 14 B: de 4 a 7 pessoas 1 4 10 C: de 8 a 15 pessoas Quantas famílias, de cada classe, podem ser atendidas sabendo-se que a companhia dispõem de 40 caixas pequenas, 80 caixas medias e 5 caixas grandes. Modelagem Matemática 3A + 2B + 1C = 40 8A + 5B + 4C = 80 17A + 14B + 10C = 5 104 Cálculo Numérico Sistemas Lineares: Método de Eliminação de GAUSS 2 - Resolução Cont.: Aplicação de Sistemas Lineares para a Solução de Problemas: Quantas famílias, de cada classe, podem ser atendidas sabendo-se que a companhia dispõem de 40 caixas pequenas, 80 caixas medias e 5 caixas grandes. Modelagem Matemática 3A + 2B + 1C = 40 8A + 5B + 4C = 80 17A + 14B + 10C = 5 3A + 2B + 1C = 40 x (-8) 8A + 5B + 4C = 80 x (3) 17A + 14B + 10C = 5 Multiplicar a equação 1 por -8 Multiplicar a equação 2 por -3 -24A - 16B - 8C = -320 24A +15B + 12C = 240 17A + 14B + 10C = 5 Somar as equações 1 e 2 e substituir a equação 2 pelo resultado -24A - 16B - 8C = -320 0 - 1B + 4C = -80 17A + 14B + 10C = 5 Alterar as posições das equações 2 e 3 105 Cálculo Numérico Sistemas Lineares: Método de Eliminação de GAUSS 2 - Resolução Cont.: Aplicação de Sistemas Lineares para a Solução de Problemas: Quantas famílias, de cada classe, podem ser atendidas sabendo-se que a companhia dispõem de 40 caixas pequenas, 80 caixas medias e 5 caixas grandes. -24A - 16B - 8C = -320 x (17) 17A + 14B + 10C = 5 x (24) 0 - 1B + 4C = -80 Multiplicar a equação 1 por -17 Multiplicar a equação 2 por -24 -408A - 272B - 136C = -5440 408A +336B + 240C = 120 0 - 1B + 4C = -80 Somar as equações 1 e 2 e substituir a equação 2 pelo resultado -408A - 272B - 136C = -5440 0 + 64B + 104C = -5320 0 - 1B + 4C = -80 x (64) Multiplicar a equação 3 por 64 -408A - 272B - 136C = -5440 0 + 64B + 104C = -5320 0 - 64B + 256C = -5120 Somar as equações 2 e 3 e substituir a equação 3 pelo resultado 106 Cálculo Numérico Sistemas Lineares: Método de Eliminação de GAUSS 2 - Resolução Cont.: Aplicação de Sistemas Lineares para a Solução de Problemas: Quantas famílias, de cada classe, podem ser atendidas sabendo-se que a companhia dispõem de 40 caixas pequenas, 80 caixas medias e 5 caixas grandes. -408A - 272B -136C = -5440 0 + 64B +104C = -5320 0 0 +360C = -10440 Analisar o valor de C 360C = -10440 C=-10440/360 C=-29 Analisar o valor de B através do valor de C 64B + 104 x -29 = -5320 64B +3016 = -5320 64B= -5320 + 3016 64B= - 2304 B= -2304/64 B=-36 Analisar o valor de A através dos valores de B e C 107 Cálculo Numérico Sistemas Lineares: Método de Eliminação de GAUSS 2 - Resolução Cont.: Aplicação de Sistemas Lineares para a Solução de Problemas: Quantas famílias, de cada classe, podem ser atendidas sabendo-se que a companhia dispõem de 40 caixas pequenas, 80 caixas medias e 5 caixas grandes. -408A - 272B -136C = -5440 -408A – 272 x (-36) -136 x (-29) = -5440 -408A + 9792 + 3944 = -5440 -408A = -5440 -9792 – 3944 -408A = -19176 A = -19176/-408 A = 47 A = 47 47 Famílias - A 1 a 3 pessoas B = -36 36 Famílias - B 4 a 7 pessoas C = -29 29 Família - C 8 a 15 pessoas 108 Cálculo Numérico Sistemas Lineares: Método de Iterativo de GAUSS-SEIDEL Sistema Linear Original a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 • O método consiste em transformar as equações em funções iterativas. Funções Iterativas X1=1/a11 x (b1 - a12x2 - a13x3) X2=1/a22 x (b2 - a11x1 - a13x3) X3=1/a33 x (b3 - a11x1 - a12x2) Sistema Linear Original 5x1 + 1x2 + 1x3 = 5 3x1 + 4x2 + 1x3 = 6 3x1 + 3x2 + 6x3 = 0 Funções Iterativas X1=1/5 x (5 - 1x2 - 1x3) X2=1/4 x (6 - 3x1 - 1x3) X3=1/6 x (0 - 3x1 - 3x2) 109 Cálculo Numérico Sistemas Lineares: Método de Iterativo de GAUSS-SEIDEL • Para a iteração das funções geradas levasse em consideração valores iniciais para as variáveis da primeira função x01 = 0, x 0 2=0 e x03=0, e utilizasse os valores encontrados das variáveis para as funções seguintes. Funções Iterativas X1=1/5 x (5 - 1x2 - 1x3) X2=1/4 x (6 - 3x1 - 1x3) X3=1/6 x (0 - 3x1 - 3x2) Iteração 1 X1=1/5 x (5 – 1 x 0 – 1 x 0) = 1 X2=1/4 x (6 – 3 x 1 – 1 x 0) = 0,75 X3=1/6 x (0 – 3 x 1- 3 x 0,75) = -0,875 • Resolver o Sistema Linear acima para a precisão: ε = 0,05 110 Cálculo Numérico Sistemas Lineares: Método de Iterativo de GAUSS-SEIDEL ni1 xmáx d d k i k k r • O processo iterativo é repetido até que o valor das variáveis estejam suficientemente próximas dos respectivos valores das variáveis da iteração anterior de acordo com a precisão desejada, Máximo Erro relativo (xk) < ε. ni1xxmáxd 1ki k i k Distância Distância relativa 111 Cálculo Numérico Sistemas Lineares: Método de Iterativo de GAUSS-SEIDEL Iteração 1 X1=1/5 x (5 – 1 x 0 – 1 x 0) = 1 X2=1/4 x (6 – 3 x 1 – 1 x 0) = 0,75 X3=1/6 x (0 – 3 x 1- 3 x 0,75) = -0,875 • Para a primeira iteração utilizaremos o valor zero (0) para as variáveis x0 das funções iterativas. Funções Iterativas X1=1/5 x (5 - 1x2 - 1x3) X2=1/4 x (6 - 3x1 - 1x3) X3=1/6 x (0 - 3x1 - 3x2) Valores Iniciais para as variáveis x01 = 0, x 0 2=0 e x 0 3=0 Distância k=0 dk=MAX(x11 = |0-1|, x 1 2=|0-0,75| e x 1 3=|0-(-0,875)|) dk=MAX(x11 = 1, x 1 2=0,75 e x 1 3=0,875) = 1 Distância Relativa k=1 dr k= 1/1=1 dr k>ε, então continuamos as iterações 112 Cálculo Numérico Sistemas Lineares: Método de Iterativo de GAUSS-SEIDEL • Caso a Distância Relativa não seja menor que a precisão desejada, continuamos a iteração com os valores anteriormente calculados. Funções Iterativas X1=1/5 x (5 - 1x2 - 1x3) X2=1/4 x (6 - 3x1 - 1x3) X3=1/6 x (0 -3x1 - 3x2) Iteração 2 X1=1/5 x (5 – 1 x 0,75 – 1 x -0,875) = 1,025 X2=1/4 x (6 – 3 x 1,025 – 1 x -0,875) = 0,95 X3=1/6 x (0 – 3 x 1- 3 x 0,95) = -0,9875 Valores das variáveis x1, para a 2° iteração x11 = 1, x 1 2=0,75 e x 1 3=-0,875 Máximo Erro Relativo de x1 dk=MAX(x21 = |1-1,025|, x 2 2=|0,75-0,95| e x 2 3=|-0,875-(-0,975)|) dk=MAX(x21 = 0,025, x 2 2=0,20 e x 2 3=0,1)= 0,20 Distância Relativa k=1 dr k= 0,20/1,025=0,1951 dr k>ε, então continuamos as iterações 113 Cálculo Numérico Sistemas Lineares: Método de Iterativo de GAUSS-SEIDEL • Caso a Distância Relativa não seja menor que a precisão desejada, continuamos a iteração com os valores anteriormente calculados. Funções Iterativas X1=1/5 x (5 - 1x2 - 1x3) X2=1/4 x (6 - 3x1 - 1x3) X3=1/6 x (0 - 3x1 - 3x2) Iteração 2 X1=1/5 x (5 – 1 x 0,95 – 1 x -0,9875) = 1,0075 X2=1/4 x (6 – 3 x 1,025 – 1 x -0,875) = 0,9912 X3=1/6 x (0 – 3 x 1- 3 x 0,95) = -0,9993 Valores das variáveis x1, para a 2° iteração x21 = 1,025, x 2 2=0,95 e x 2 3=-0,9875 Máximo Erro Relativo de x1 dk=MAX(x31 = |1,025-1,0075|, x 3 2=|0,95-0,9912| e x 3 3=|-0,9875-(-0,9993)|) dk=MAX(x31 = 0,0175, x 3 2=-0,0412 e x 3 3=0,0118)= 0,0412 Distância Relativa k=1 dr k= 0,0412/1,0075=0,0409 dr k<ε = 0,0409<0,05, então alcançamos o critério de parada 114 Cálculo Numérico Sistemas Lineares: Método de Iterativo de GAUSS-SEIDEL • Com o critério de parada alcançado obtemos os valores aproximados das variáveis do Sistema Linear Valores aproximados das variáveis x1 = 1,0075 x2 =0,9912 x3=-0,9993 115 Cálculo Numérico Sistemas Lineares: Método de Eliminação de GAUSS Exercícios para Fixação: Resolver os Sistema Linear abaixo com o Método de Eliminação de GAUSS e Iterativo GAUSS-SEIDEL: Sistema I : Resposta: S = { (3, 5) } 4x - 2y = 2 2x + 3y = 21 Sistema II : Resposta: S = { (-1, 2, 4) } 2 a + 5b + .3c = 20 5 a + 3b - 10c = -39 a + b + c = 5 Sistema III : Resposta: S = { (2, 3, 5) } x + y - z = 0 x - 2y + 5z = 21 4x + y + 4z = 31 116 Cálculo Numérico Sistemas Lineares: Método de Eliminação de GAUSS Exercícios para Fixação: Resolver os Sistema Linear abaixo com o Método Iterativo GAUSS-SEIDEL: Sistema I : Resposta: S = { (3, 5) } 4x - 2y = 2 2x + 3y = 21 Sistema II : Resposta: S = { (-1, 2, 4) } 2 a + 5b + .3c = 20 5 a + 3b - 10c = -39 a + b + c = 5 Sistema III : Resposta: S = { (2, 3, 5) } x + y - z = 0 x - 2y + 5z = 21 4x + y + 4z = 31 117 Cálculo Numérico V - INTERPOLAÇÃO FACULDADE DE ROSEIRA - FARO 118 Cálculo Numérico Interpolação Polinomial • A interpolação é um método matemático para se determinar valores intermediários em um conjunto de dados tabelado, exemplo: Temperatura (°C) 20 25 30 35 Calor Específico 0,99907 0,99852 0,99818 0,99828 Suponhamos que se queira determinar o calor específico para a temperatura de 32,5°C INPERPOLAR consiste em definir uma função g(x) que se aproxima a função original f(x) para se obter valores aproximados 119 Cálculo Numérico Interpolação Polinomial • Exemplo de interpolação: Temperatura (°C) X 20 25 30 Calor Específico f(x) 0,99907 0,99852 0,99818 Encontrar um polinômio de grau ≤2 que interpola os pontos da tabela. Resolução do Sistema Linear p2(x)=a0+a1x+a2x 2 p2(x0)=f(x0)=a0+20a1+400a2=0,99907 p2(x1)=f(x0)=a0+25a1+625a2=0,99852 p2(x2)=f(x2)=a0+30a1+900a2=0,99818 Resolvendo o sistema linear temos: a0=1,003370 a1=-0,00030 a2=0,000004 120 Cálculo Numérico Interpolação Polinomial Temperatura (°C) - X 20 25 30 Calor Específico - f(x) 0,99907 0,99852 0,99818 • Exemplo de interpolação: Polinômio de grau ≤2 que interpola os pontos da tabela. Polinômio p2(x)=1,003370+-0,00030x+0,000004x 2 Calor Específico 0,9978 0,998 0,9982 0,9984 0,9986 0,9988 0,999 0,9992 15 20 25 30 35 40 Temperatura Calor Específico - f(x) g(x) 121 Cálculo Numérico Interpolação Polinomial • Exercício para Fixação: Encontre o polinômio de grau ≤ 3 que represente os dados da tabela abaixo: x 0,1 0,2 0,3 0,4 f(x) 5 13 -4 -8 Qual o valor obtido para x=0,4? 122 Cálculo Numérico Interpolação Polinomial • Exercício para Fixação: Encontre o polinômio de grau ≤ 2 que represente os dados da tabela abaixo: x -1 0 2 f(x) 4 1 -1 Qual o valor obtido para x=1? 123 Cálculo Numérico Interpolação Polinomial: Forma Lagrange • A forma de Lagrange consiste na seguinte fórmula: n kj 0j jk n kj 0j j k )xx( )xx( )x(L )x(Ly)x(Ly)x(Ly)x(p 2211002 124 Cálculo Numérico Interpolação Polinomial: Forma Lagrange x -1 0 2 f(x) = y 4 1 -1 • Exemplo de Interpolação pela Forma de Lagrange: n kj 0j jk n kj 0j j k )xx( )xx( )x(L )x(Ly)x(Ly)x(Ly)x(p 2211002 3 x2x )21)(01( )2x)(0x( )xx)(xx( )xx)(xx( )x(L 2 2010 21 0 2 2xx )20)(10( )2x)(1x( )xx)(xx( )xx)(xx( )x(L 2 2101 20 1 6 xx )02)(12( )0x)(1x( )xx)(xx( )xx)(xx( )x(L 2 1202 10 2 6 xx )1( 2 2xx 1 3 x2x 4)x(p 222 2 125 Cálculo Numérico Interpolação Polinomial: Forma Lagrange • Exercício para Fixação: Encontre o polinômio que represente os dados da tabela abaixo pela Forma de Lagrange: x -1 0 2 f(x) 4 1 -1 Qual o valor obtido para x=0,5? 126 Cálculo Numérico Interpolação Polinomial: Forma Lagrange • Exercício para Fixação: Encontre o polinômio que represente os dados da tabela abaixo pela Forma de Lagrange: x 1 2 3 f(x) 0 0,6931 1,0986 Qual o valor obtido para x=0,5?
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