Lista7 Derivadas

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CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Prof.o Andre´ Guerino Castoldi
Lista 7: Regras de derivac¸a˜o.
1. Derive a func¸a˜o.
(a) f(x) = 4
(b) f(x) = 5x− 1
(c) f(x) = 12x+ 4
(d) f(x) =
√
30
(e) f(x) = −4x10
(f) f(x) = x3 − 4x+ 6
(g) f(x) = 1, 4x4 − 2, 5t2 + 6, 7
(h) g(x) = x2(1− 2x)
(i) h(x) = (x− 2)(2x+ 3)
(j) y = x−
2
5
(k) f(x) = − 12
x5
(l) y = x
5
3 − x 23
(m) f(x) = (3x+ 1)2
(n) f(x) =
√
x− x
(o) y =
√
x(x− 1)
(p) y = 3ex + 43√x
(q) y =
√
x+x
x2
(r) y = x
2+4x+3√
x
(s) y =
(√
x+ 13√x
)2
(t) y = ex+1 + 1
2. Encontre uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva no ponto dado.
(a) y = 4
√
x, (1, 1)
(b) y = x4 = 2x2 − x, (1, 2)
(c) y = x4 + 2ex, (0, 2)
(d) y = x2 − x4, (1, 0)
3. Encontre a primeira e a segunda derivada da func¸a˜o dada.
(a) f(x) = 2x− 5x 34
(b) f(x) = ex − x3
(c) f(x) = 10x10 + 5x5 − x
(d) f(x) =
√
x+ 3
√
x
4. A equac¸a˜o do movimento de uma part´ıcula e´ s = t3 − 3t, onde s e´ medido em metros e t em
segundos.
(a) Determine a velocidade e a acelerac¸a˜o como func¸o˜es de t.
(b) Determine a acelerac¸a˜o depois de 2 s.
(c) Determine a acelerac¸a˜o quando a velocidade for 0.
5. Determine os pontos sobre a curva y = 2x3+3x2−12x+1 cuja reta tangente e´ horizontal (paralela
ao eixo x).
6. Encontre a derivada de f(x) = (1 + 2x2)(x − x2) de duas formas: usando a regra do produto e
efetuando primeiro a multiplicac¸a˜o. As respostas sa˜o iguais?
7. Encontre a derivada da func¸a˜o
F (x) =
x4 − 5x3 +√x
x2
de duas formas: usando a regra do quociente e simplificando antes. Mostre que suas respostas sa˜o
iguais. Qual me´todo voceˆ prefere?
8. Derive a func¸a˜o.
(a) f(x) = (x3 + 2x)ex
(b) g(x) =
√
xex
(c) f(x) = e
x
x2
(d) y = e
x
1+x
(e) f(x) = 3x−12x+1
(f) f(x) = 2x
4+x2
(g) h(u) = (u−√u)(u+√u)
(h) g(v) = (v3 − 2v)(v−4 + v−2)
(i) f(y) = ( 1
y2
− 3
y4
)(y + 5y3)
(j) f(x) = (1− ez)(z + ez)
(k) f(x) = x
3
1−x2
(l) y = x+1
x3+x−2
(m) y = t
2+2
t4−3t2+1
(n) y = t
(t−1)2
(o) f(x) = 2x
2+
√
x
(p) f(x) = x−
√
x
x1/3
(q) f(x) = 1−xe
x
x+ex
9. (a) A curva y = 1
1+x2
e´ chamada bruxa de Maria Agnesi. Encontre um equac¸a˜o da reta
tangente a essa curva no ponto (−1, 12).
(b) A curva y = x
1+x2
e´ chamada serpentina. Encontre um equac¸a˜o da reta tangente a essa
curva no ponto (3; 0, 3).
10. Encontre as equac¸o˜es de retas tangentes a` curva y = x−1x+1 que sejam paralelas a` reta y =
1
2x− 1.
11. Derive as seguintes func¸o˜es trigonome´tricas.
(a) f(x) = 3x2 − 2 cosx
(b) f(x) =
√
xsenx
(c) f(x) = senx+ 12cotgx
(d) y = 2 secx− cossecx
(e) g(t) = t3 cos t
(f) g(t) = 4 sec t+ tg t
(g) f(x) = cossecx+ excotgx
(h) f(x) = ex(cosx+ x)
(i) y = sen θ cos θ
(j) y = x2−tgx
(k) f(θ) = sec θ1+sec θ
(l) y = cosx1−senx
(m) y = tsen t1+t
(n) y = 1−secxtgx
(o) f(x) = xexcossecx
(p) f(x) = x2senxtgx