Avaliação da fadiga à flexão em pontes hiperestáticas com duas longarinas retas em concreto armado

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DANIEL HIGOR LEITE BRAZ 
 
 
 
 
 
 
AVALIAÇÃO DA FADIGA À FLEXÃO EM PONTES 
HIPERESTÁTICAS COM DUAS LONGARINAS RETAS EM 
CONCRETO ARMADO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NATAL-RN 
2016
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
Daniel Higor Leite Braz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Avaliação da fadiga à flexão em pontes hiperestáticas com duas longarinas retas em concreto 
armado 
 
Trabalho de Conclusão de Curso na modalidade 
Monografia, submetido ao Departamento de Engenharia 
Civil da Universidade Federal do Rio Grande do Norte 
como parte dos requisitos necessários para obtenção do 
Título de Bacharel em Engenharia Civil. 
 
Orientador: Prof. Dr. José Neres da Silva Filho 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Natal-RN 
2016 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Catalogação da Publicação na Fonte 
Universidade Federal do Rio Grande do Norte - Sistema de Bibliotecas 
Biblioteca Central Zila Mamede / Setor de Informação e Referência 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Daniel Higor Leite Braz 
 
Avaliação da fadiga à flexão em pontes hiperestáticas com duas longarinas retas em concreto 
armado 
 
Trabalho de conclusão de curso na modalidade 
Monografia, submetido ao Departamento de Engenharia 
Civil da Universidade Federal do Rio Grande do Norte 
como parte dos requisitos necessários para obtenção do 
título de Bacharel em Engenharia Civil. 
 
 
 
 
 
Aprovado em dia, mês e ano: 17 de novembro de 2016 
 
 
___________________________________________________ 
Prof. Dr. José Neres da Silva Filho – Orientador 
 
 
___________________________________________________ 
Prof. Dr. Petrus Gorgônio Bulhões da Nóbrega – Examinador interno 
 
 
___________________________________________________ 
Prof. Dr. Rodrigo Barros – Examinador externo 
 
 
 
 
 
 
Natal-RN 
 2016 
 
 
DEDICATÓRIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aos meus pais, Adauto e Márcia. 
 
 
 
 
AGRADECIMENTOS 
 
 
A Deus, por estar sempre comigo. 
Aos meus pais, Adauto e Márcia Braz, meus alicerces. 
Aos meus amigos, pela companhia e apoio que extrapolam anos. 
 
Ao professor Dr. José Neres da Silva Filho, pelas orientações, correções, disponibilidade e por ser 
um exemplo de profissional. Trabalhar com o senhor foi uma verdadeira honra. 
Ao professor Dr. Rodrigo Barros, por ser sempre acessível e prestativo. Um exemplo admirável de 
profissional e, especialmente, de educador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Daniel Higor Leite Braz 
 
 
 
RESUMO 
 
Avaliação da fadiga à flexão em pontes hiperestáticas com duas longarinas retas de concreto 
armado 
 
 
O objetivo deste trabalho é avaliar o comportamento estrutural de longarinas de pontes 
hiperestáticas de concreto armado submetidas a carregamentos estáticos e cíclicos, representados 
pelos trens-tipos normatizados. Para isso, são propostos quatro modelos de ponte, com diferentes 
relações de balanço/vão. Considerando as recomendações normativas brasileira e europeia, são 
feitos o dimensionamento e análise da fadiga das vigas de cada modelo. Dos resultados obtidos, 
constata-se que o fator de fadiga médio das armaduras longitudinais é crescente com o aumento da 
proporção entre balanço e vão. A proporção ótima, com menor taxa de armadura média, pela 
NBR, e segundo menor fator de fadiga médio, é a de 1/4. Das comparações conclui-se que o 
Eurocode é mais conservador que a NBR, em termos de dimensionamento e fadiga das armaduras. 
 
Palavras-chave: fadiga, dimensionamento, NBR, Eurocode. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ABSTRACT 
 
Title: Evaluation of fatigue on flexural at hyperstatic bridges with two straight beams of 
reinforced concrete 
 
 
The goal of this paper is to evaluate the structural behavior of beams of hyperstatic reinforced 
concrete bridges subjected by static and cyclic loads, represented by design vehicles. For that 
matter, four models of bridges are proposed, each one with different proportion between cantilever 
and span. Taking into account the standards’ recommendations, the designs on flexural and the 
fatigue analysis are done. The results show that the mean reinforcement fatigue factor increases 
with the growth of the cantilever/span proportion. The best proportion, with the lowest mean 
reinforcement area ratio, according to the NBR, and the second lowest mean fatigue factor, is 1/4. 
From the comparisons it is stated that the Eurocode is more conservative than the NBR, in terms 
of design and fatigue. 
 
Key-words: fatigue, design, NBR, Eurocode. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
FIGURA PÁGINA 
1 - Modelo esquemático de ponte 1 
2 - Variação da tensão com o tempo 5 
3 - Regra de Palmgren-Miner 6 
4 - Comportamento dos materiais à fadiga 7 
5 - Resistência à fadiga para viga de concreto simples 8 
6 - TB-450 11 
7 - Definição das tensões σc1 e σc2 14 
8 - Formato das curvas de resistência característica à fadiga (curvas S-N) para o aço 16 
9 - Load Model 1 para wl = 3,00 m 17 
10 - Fatigue Load Model 3 19 
11 - Forma da curva característica da resistência à fadiga 20 
12 - Valor de λs,1 para verificação da fadiga na área do apoio intermediário 21 
13 - Valor de λs,1 para verificação da fadiga no vão ou para elementos locais 21 
14 - Localização da seção média e seção de apoio 22 
15 - Esquema geral da ponte 25 
16 - Detalhes da barreira lateral, pingadeira, aba lateral e cortina 25 
17 - Detalhes da aba lateral e laje de transição 26 
18 - Seção transversal, medidas em cm 26 
19 - Detalhes das transversinas em cm 27 
20 - Esquema dos carregamentos permanentes na longarina 27 
21 - Esquema estrutural do modelo 1 29 
22 - Diagrama de momento fletor característico do modelo 1 (kN·m) 29 
23 - Esquema estrutural do modelo 2 30 
24 - Diagrama de momento fletor característico do modelo 2 (kN·m) 30 
25 - Esquema estrutural do modelo 3 30 
26 - Diagrama de momento fletor característico do modelo 3 (kN·m) 31 
27 - Esquema estrutural do modelo 4 31 
28 - Diagrama de momento fletor característico do modelo 4 (kN·m) 31 
29 - Corte dentro da faixa do veículo-tipo 32 
30 - Esquema estrutural da seção dentro da faixa do veículo-tipo 32 
31 - Corte fora da faixa do veículo-tipo 33 
32 - Esquema estrutural da seção fora da faixa do veículo-tipo 33 
33 - Esquema estrutural da seção que corta o veículo-tipo 33 
34 - Esquema estrutural da seção que não corta o veículo-tipo 34 
35 - Composição do trem-tipo longitudinal 34 
36 - Trem-tipo brasileiro longitudinal de flexão 34 
37 - Seção que passa pelo TS 35 
38 - Seção fora do TS 35 
39 - Trem-tipo europeu longitudinal de flexão 36 
40 - Seção que passa pelo eixo das cargas concentradas 36 
41 - Trem-tipo europeu longitudinal de fadiga 36 
 
 
42 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 1, segundo NBR -  = 1,40 38 
43 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 2, segundo NBR -  = 1,39 38 
44 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 3, segundo NBR -  = 1,37 38 
45 - Envoltóriade momento fletor (kN·m) do modelo 4, segundo NBR -  = 1,35 39 
46 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 1 - Trem-tipo de flexão europeu 39 
47 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 1 - TS 40 
48 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 1 - UDL 40 
49 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 1 - Trem-tipo de fadiga europeu 40 
50 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 2 - Trem-tipo de flexão europeu 41 
51 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 2 - TS 41 
52 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 2 - UDL 41 
53 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 2 - Trem-tipo de fadiga europeu 42 
54 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 3 - Trem-tipo de flexão europeu 42 
55 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 3 - TS 42 
56 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 3 - UDL 43 
57 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 3 - Trem-tipo de fadiga europeu 43 
58 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 4 - Trem-tipo de flexão europeu 43 
59 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 4 - TS 44 
60 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 4 - UDL 44 
61 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 4 - Trem-tipo de fadiga europeu 44 
62 - Largura de mesa colaborante, segundo NBR 46 
63 - Geometria da seção transversal da ponte na seção média do vão 47 
64 - Seção T do modelo 1, NBR (cm) 48 
65 - Seção T do modelo 2, NBR (cm) 48 
66 - Seção T do modelo 3, NBR (cm) 48 
67 - Seção T do balanço do modelo 4, NBR (cm) 49 
68 - Seção T do meio do vão do modelo 4, NBR (cm) 49 
69 - Definição de l0 para cálculo da largura efetiva do flange 52 
70 - Parâmetros para determinação da largura efetiva do flange 52 
71 - Seção T do modelo 1, Eurocode (cm) 53 
72 - Seção T do modelo 2, Eurocode (cm) 54 
73 - Seção T do modelo 3, Eurocode (cm) 54 
74 - Distribuição retangular de tensões, segundo o Eurocode 55 
75 - Domínio admissível de distribuição de tensões no ELU, segundo o Eurocode 55 
76 - Diagrama parábola retângulo para concreto comprimido, segundo o Eurocode 2 56 
77 - Diagrama bilinear de tensões-deformações, segundo o Eurocode 2 56 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE TABELAS 
TABELA PÁGINA 
1 - Ações permanentes diretas agrupadas na combinação normal, γg 10 
2 - Ações variáveis consideradas conjuntamente na combinação normal, γq 11 
3 - Parâmetros para as curvas S-N (Woeller) para os aços dentro do concreto a 15 
4 - Tipos da curva S-N 15 
5 - Número e largura das faixas de projeto 16 
6 - Load Model 1: valores característicos 17 
7 - Número esperado de veículos pesados por ano ou por faixa lenta 22 
8 - Valores de s 24 
9 - Coeficientes de ponderação para os vãos contínuos 37 
10 - Coeficientes de ponderação para os balanços 37 
11 - Momentos de projeto para dimensionamento brasileiro 45 
12 - Distâncias a (cm) 47 
13 - Parâmetros geométricos das seções T (cm), segundo a NBR 47 
14 - Armadura mínima, segundo NBR 6118:2014 50 
15a - Dimensionamento brasileiro da armadura positiva de flexão 50 
15b - Dimensionamento brasileiro da armadura negativa de flexão 50 
16 - Momentos de projeto para dimensionamento europeu 51 
17 - Distâncias l0 (cm) 53 
18 - Parâmetros geométricos das seções T (cm), segundo o Eurocode 53 
19 - Armadura mínima e máxima, segundo Eurocode 57 
20a - Dimensionamento europeu da armadura positiva de flexão 57 
20b - Dimensionamento europeu da armadura negativa de flexão 58 
21 - Momentos de cálculo para análise brasileira da fadiga 59 
22 - Parâmetros de cálculo - seções sob momentos com mesmo sinal (NBR) 61 
23 - Fator de fadiga pela NBR - seções sob momentos com mesmo sinal 62 
24 - Parâmetros de cálculo - seções sob momentos de sinais contrários (NBR) 62 
25 - Tensões no aço pela NBR - seções sob momentos de sinais contrários 62 
26 - Fator de fadiga pela NBR - seções sob momentos de sinais contrários 63 
27 - Verificação do concreto em compressão, segundo NBR 63 
28 - Verificação da fadiga da armadura longitudinal, segundo NBR 64 
29 - Momentos de cálculo para análise europeia da fadiga 65 
30 - Fatores λs 66 
31 - Parâmetros de cálculo - seções sob momentos com mesmo sinal (Euro) 67 
32 - Tensões no aço pelo Eurocode - seções sob momentos com mesmo sinal 67 
33 - Parâmetros de cálculo - seções sob momentos de sinais contrários (Euro) 67 
34 - Tensões no aço pelo Eurocode - seções sob momentos de sinais contrários 68 
35 - Fator de fadiga pelo Eurocode - seções sob momentos de sinais contrários 68 
36 - Tensões de compressão no concreto 68 
37 - Verificação do concreto em compressão, segundo Eurocode 69 
38 - Fator de fadiga pelo Eurocode 69 
 
 
39 - Comparação entre modelos, NBR 71 
40 - Comparação entre modelos, Eurocode 71 
41 - Comparação entre fatores de fadiga das normas 73 
42 - Comparação entre taxas de armadura das normas 74 
43 - Comparação entre intensidades de momento de dimensionamento (kNm) 74 
44 - Comparação entre intensidades de momento de fadiga (kNm) 74 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
1 INTRODUÇÃO ..............................................................................................................................1 
1.1 Considerações iniciais ..............................................................................................................1 
1.2 Objetivos ..................................................................................................................................2 
1.2.1 Objetivo geral ....................................................................................................................2 
1.2.2 Objetivos específicos .........................................................................................................2 
1.3 Estrutura do trabalho ................................................................................................................2 
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .......................................................................................................4 
2.1 Generalidades ...........................................................................................................................4 
2.2 Fadiga em Estruturas de Concreto Armado .............................................................................7 
2.2.1 Fadiga do Concreto ............................................................................................................7 
2.2.2 Fadiga do Aço das Armaduras ...........................................................................................9 
3 TRATAMENTO NORMATIVO ..................................................................................................10 
3.1 Normas Brasileiras .................................................................................................................10 
3.1.1 Dimensionamento ............................................................................................................10 
3.1.2 Análise da Fadiga ............................................................................................................12 
3.2 Normas Europeias ..................................................................................................................16 
3.2.1 Dimensionamento ............................................................................................................16 
3.2.2 Análise da fadiga .............................................................................................................18 
4 MODELOS PROPOSTOS ANALISADOS .................................................................................25 
4.1 Apresentação dos modelos .....................................................................................................254.2 Levantamento das cargas permanentes ..................................................................................27 
4.2.1 Determinação da carga g1 ................................................................................................28 
4.2.2 Determinação da carga g2 ................................................................................................28 
4.2.3 Determinação da carga G1 e G1’ ......................................................................................28 
4.2.4 Determinação da carga G2 ...............................................................................................28 
4.3 Esquemas estruturais e Diagramas de Momento Fletor .........................................................29 
 
 
4.3.1 Modelo 1 ..........................................................................................................................29 
4.3.2 Modelo 2 ..........................................................................................................................30 
4.3.3 Modelo 3 ..........................................................................................................................30 
4.3.4 Modelo 4 ..........................................................................................................................31 
4.4 Determinação dos Trens-tipo longitudinais ...........................................................................32 
4.4.1 Norma Brasileira ..............................................................................................................32 
4.4.2 Norma Europeia ...............................................................................................................34 
5 APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS ...................................................................................37 
5.1 Envoltórias pela norma brasileira ...........................................................................................37 
5.1.1 Modelo 1 ..........................................................................................................................38 
5.1.2 Modelo 2 ..........................................................................................................................38 
5.1.3 Modelo 3 ..........................................................................................................................38 
5.1.4 Modelo 4 ..........................................................................................................................39 
5.2 Envoltórias pela norma europeia ............................................................................................39 
5.2.1 Modelo 1 ..........................................................................................................................39 
5.2.2 Modelo 2 ..........................................................................................................................41 
5.2.3 Modelo 3 ..........................................................................................................................42 
5.2.4 Modelo 4 ..........................................................................................................................43 
5.3 Dimensionamento das longarinas ...........................................................................................45 
5.3.1 Norma Brasileira ..............................................................................................................45 
5.3.2 Norma Europeia ...............................................................................................................51 
5.4 Estudo da fadiga .....................................................................................................................58 
5.4.1 Norma Brasileira ..............................................................................................................58 
5.4.2 Norma Europeia ...............................................................................................................64 
6 ANÁLISE DOS RESULTADOS ..................................................................................................71 
6.1 Comparações entre modelos ...................................................................................................71 
6.2 Comparações entre tratamentos normativos ...........................................................................73 
 
 
7 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS .........................................78 
7.1 Conclusões..............................................................................................................................78 
7.2 Sugestões para trabalhos futuros ............................................................................................78 
8 REFERÊNCIAS ............................................................................................................................80 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
1 INTRODUÇÃO 
1.1 Considerações iniciais 
 O Brasil é um país de dimensões continentais, com diferentes perfis de relevo e rico em 
recursos hídricos. Somado a isso, é dotado de uma extensa e preponderante malha rodoviária: 58% 
da matriz de transporte brasileira são do modal rodoviário, segundo o Projeto de Reavaliação de 
Estimativas e Metas do PNLT (BRASIL, 2012). 
 A sobreposição destas características com a tendência à metropolização e conurbação dos 
centros urbanos, indica a importância de obras viárias como pontes, definidas segundo a NBR 
7188:2013 como estruturas sujeitas a ação de carga em movimento, com posicionamento variável, 
utilizada para transpor um obstáculo natural, conforme modelo esquemático da Figura 1 (para 
transposição de obstáculos artificiais, utiliza-se a denominação de viaduto). 
 Pela Figura 1, é possível identificar as principais partes deste tipo de estrutura. A 
infraestrutura é a parte constituída por elementos que se destinam a apoiar no terreno os esforços 
transmitidos da superestrutura para a mesoestrutura. A mesoestrutura, composta por pilares e 
aparelhos de apoio, recebe os esforços da superestrutura e os transmite à infraestrutura. A 
superestrutura é o suporte do estrado por onde se trafega, composta pelas lajes, transversinas e 
longarinas, que serão o foco da análise deste trabalho. 
 
Figura 1 - Modelo esquemático de ponte 
 
Fonte: PFEIL (1979). 
 
 Por serem solicitadas por cargas cíclicas, as estruturas de pontes estão sujeitas à ocorrência 
da fadiga dos seus materiais constituintes. Para que danos significativos não ocorram, exigências 
normativas precisam ser satisfeitas e os comportamentos dos materiais bem compreendidos. Com 
isso em mente, serão estudadas as recomendações normativas brasileiras e europeias a respeito da 
fadiga em estruturas de pontes de concreto armado e serão propostos modelos com diferentes 
2 
 
distâncias entre os pilares e diferentes dimensões de balanço. De posse dos resultados, serão feitas 
comparações entre os modelos no tocante ao dimensionamento e à fadiga. 
1.2 Objetivos 
1.2.1 Objetivo geral 
 O objetivo geral é avaliar o comportamento estrutural de longarinas de pontes 
hiperestáticas de concreto armado submetidas a carregamentos estáticos e cíclicos, representados 
pelos trens-tipos normatizados. 
1.2.2 Objetivos específicos 
 O trabalho tem como objetivos específicos: 
 - Analisar o fenômeno da fadiga e seus efeitos, tanto no aço quanto no concreto, nas 
longarinas de pontes em concreto armado submetidas aos esforços de flexão; 
 - Verificar o dimensionamento das longarinas à fadiga pelas normas brasileira e europeia; 
 - Comparar as taxas de armadura e os fatores de fadiga dos modelospropostos, obtidos a 
partir dos procedimentos analíticos de cálculo das normas estudadas; 
 - Indicar a relação ótima entre balanço/vão à luz do dimensionamento e fadiga. 
1.3 Estrutura do trabalho 
 O trabalho está estruturado em oito capítulos, descritos brevemente a seguir. 
 No Capítulo 1, são apresentados a contextualização da temática, o porquê de se estudar a 
fadiga em longarinas de pontes de concreto armado e os objetivos a serem alcançados. 
 O Capítulo 2 conta com uma revisão bibliográfica acerca da fadiga, com enfoque nas 
estruturas de concreto armado, especialmente nos elementos constituintes aço e concreto. 
 O Capítulo 3 apresenta os tratamentos normativos brasileiro e europeu, que serão 
utilizados nas análises, isto é, os requisitos, expressões e considerações necessárias ao 
dimensionamento e à análise da fadiga. 
 O Capítulo 4 expõem os modelos de pontes de concreto armado com duas longarinas. 
Nesta seção, são conhecidos os aspectos geométricos - dos vãos, balanços e seções transversais - 
importantes para o dimensionamento das vigas. A partir das informações fornecidas, levantam-se 
as ações permanentes e os respectivos diagramas de momento fletor. Além disso, baseado nas 
orientações da NBR 7188:2013 e do Eurocode 1, são feitas as composições dos trens-tipos 
longitudinais de flexão e de fadiga para determinação das envoltórias de momento fletor. 
 No Capítulo 5, são expostas as envoltórias de momento fletor obtidas no Ftool 
(MARTHA, 2015) a partir dos trens-tipos longitudinais compostos no capítulo anterior. De posse 
3 
 
dos valores, os dimensionamentos das longarinas são feitos, para a obtenção das taxas de 
armadura, a partir das considerações normativas brasileiras e europeias. Para este fim, são 
utilizadas as combinações de ações pertinentes e as diretrizes de dimensionamento próprias de 
cada normatização. 
 Neste mesmo capítulo, é feito também o estudo da fadiga, em que se apresentam os 
momentos de cálculo obtidos e os fatores de fadiga das armaduras longitudinais calculados para 
cada modelo proposto, considerando as mesmas seções dimensionadas: seção do apoio extremo, 
seção do meio do vão e seção do apoio central. Somado a isso, são feitas as verificações 
normativas pertinentes ao fenômeno. 
 O Capítulo 6 apresenta a análise dos resultados. São apresentadas tabelas comparativas e 
gráficos, a partir dos quais são feitas as comparações dos resultados obtidos da modelagem, dos 
dimensionamentos, do cálculo do fator de fadiga e das verificações normativas. 
 No Capítulo 7, é feita a conclusão do trabalho, agregando-se sinteticamente as principais 
constatações da pesquisa. Ademais, sugerem-se temas para futuros trabalhos. 
 No Capítulo 8, constam as referências consultadas para o desenvolvimento e embasamento 
desta pesquisa. 
 
4 
 
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 
2.1 Generalidades 
 Fadiga é uma forma de falha que ocorre em estruturas submetidas a tensões dinâmicas. 
Pode ser definida como um modo de ruptura que envolve a formação e crescimento de uma fissura 
em um componente estrutural, devido às deformações causadas por carregamentos variáveis no 
tempo (BARONI, 2010). Em elementos estruturais, a fadiga se manifesta como um: 
[...] dano permanente e progressivo, produzido pela ação de tensões e deformações 
variáveis no tempo, dentro do regime elástico. Após um determinado número de ciclos, 
este dano pode culminar em microfissuras que pode evoluir até a ruptura, a qual ocorre 
sem que o nível de tensões ultrapasse o limite elástico do material. (CAIXETA, 2010, 
p.7) 
 
 A ruptura por fadiga caracteriza-se por três estágios distintos: iniciação da fissura, em que 
uma microfissura forma-se em um ponto de elevada concentração de tensão, quase sempre na 
superfície do componente estrutural ou em regiões de descontinuidade; propagação da fissura, que 
avança a cada ciclo de tensão; e ruptura final, que ocorre muito rapidamente uma vez que a fissura 
atinge um tamanho crítico. 
 Potencialmente, qualquer tensão que varie no tempo pode provocar ruptura por fadiga, 
sendo mais críticas as variações de maior amplitude e aquelas em que há inversão de sinal. Para 
análise do fenômeno, é usual a identificação de dois regimes: alto ciclo e baixo ciclo. A fadiga de 
alta ciclagem (clássica) caracteriza-se por deformações preponderantemente elásticas que ocorrem 
sobre tensões baixas e, desta forma, demandam grande número de ciclos até à ruptura da peça. A 
fadiga de baixa ciclagem caracteriza-se pela ocorrência de deformações elasto-plásticas que 
ocorrem sob elevadas tensões. 
 Além dos regimes, distinguem-se três diferentes modos de variação tensão-tempo possíveis 
pertinentes à fadiga. Estes modos, indicados na Figura 2, são: (a) ciclo de tensão reverso, em que 
há variação entre máximas tensões de tração σmax e compressão σmin de mesma magnitude, ou seja, 
tensão média σm = 0; (b) ciclo de tensão repetido, onde tensões máxima e mínima são assimétricas 
em relação ao eixo de tensão nula; (c) ciclo de tensão variável, em que o nível de tensão varia 
aleatoriamente em amplitude e frequência. Os parâmetros usados para caracterizar tais modos são 
definidos a seguir. 
Tensão média: σm =
σmax + σmin
2
 (01) 
Variação de tensão: σr = σmax − σmin (02) 
5 
 
Amplitude da tensão: σa =
σr
2
=
σmax − σmin
2
 (03) 
Razão das tensões: R =
σmin
σmax
 (04) 
Figura 2 - Variação da tensão com o tempo 
 
Fonte: CALLISTER (2007). 
 No caso de estruturas sujeitas ao tráfego de veículos, o modo de variação tensão-tempo 
representado em (c), análogo a cargas cíclicas com amplitude variável, é o mais significativo. Para 
melhor compreensão, podem-se transformar carregamentos desta natureza em um ou vários 
segmentos de carregamento de amplitude constante equivalente e estimar o dano acumulado do 
conjunto por meio da regra de Palmgren-Miner, conforme a Figura 3. 
 A regra de Palmgren-Miner, sugerida inicialmente por Palmgren na Suécia em 1920 e 
consolidada por Miner em 1945, é baseada no fato de que os danos de fadiga acumulam-se 
linearmente com o número de ciclos aplicado a certo nível de tensão. Ela determina que a ruína 
6 
 
por fadiga aconteça quando ∑n÷N = 1, sendo n o número de ciclos solicitantes para uma 
determinada intensidade de tensão σ e N o número de ciclos necessários para ocorrer a falha para 
essa mesma intensidade. Para o exemplo de carregamento cíclico de amplitude variável abaixo, 
temos que o dano acumulado é dado por: 
Dano = 
n1
N1
+
n2
N2
+
n3
N3
 
Figura 3 - Regra de Palmgren-Miner 
 
Fonte: LEAL (2014). 
 O número de ciclos admissíveis ou vida útil à fadiga é determinado por meio de ensaios 
laboratoriais que submetem amostras de materiais a variações constantes de tensão. Os dados 
obtidos nestes ensaios são plotados em tensão por logaritmo do número N de ciclos para falha para 
cada uma das amostras testadas, as chamadas curvas de Wöhler ou curvas S-N (Stress-Number of 
cycles). Estas indicam que quanto maior a magnitude da tensão menor o número de ciclos que o 
material é capaz de suportar antes da falha. 
 Além da vida à fadiga (fatigue life), obtêm-se das curvas de Wöhler, dependendo do 
material, o limite de fadiga (fatigue limit) e a resistência à fadiga (fatigue strength). O limite de 
fadiga é observadoem ligas ferrosas e de titânio, por exemplo, e corresponde ao nível de tensão 
para o qual as curvas S-N tornam-se horizontais em elevados números de ciclos, abaixo da qual 
não ocorrerá ruptura, conforme a Figura 4a. Outro comportamento possível ocorre, por exemplo, 
na maior parte das ligas não ferrosas (de alumínio, cobre, magnésio), que não apresentam limite de 
fadiga. Suas curvas continuam a decrescer com o aumento do número de ciclos de carregamento. 
Para esses materiais, a fadiga ocorrerá independente da magnitude da tensão. Portanto, a 
resistência à fadiga corresponde a um nível de tensão para o qual ocorrerá a falha dado um número 
específico de ciclos, como mostra a Figura 4b. 
7 
 
Figura 4 - Comportamento dos materiais à fadiga 
 
Fonte: CALLISTER (2007). 
2.2 Fadiga em Estruturas de Concreto Armado 
 Em estruturas de concreto armado, a fadiga está relacionada às propriedades dos materiais 
constituintes, aço e concreto, e à interação entre eles. A compreensão dos comportamentos destes 
materiais tem como consequência as recomendações normativas. 
2.2.1 Fadiga do Concreto 
 De acordo com o Instituto Americano de Concreto, no ACI 215R-74 Considerations for 
Design of Concrete Structures Subjected to Fatigue Loading, o concreto, quando submetido a 
repetidos carregamentos, pode apresentar excessiva fissuração - que, segundo Baroni (2010), tem 
natureza frágil, por apresentar pouca, ou nenhuma, deformação plástica associada - e 
8 
 
eventualmente falhar após um suficiente número de ciclos, mesmo que a máxima carga seja menor 
que a resistência estática de uma espécie similar. Segundo dados do instituto, a resistência à fadiga 
do concreto para 10 milhões de ciclos - para compressão, tração ou flexão - é de aproximadamente 
55% da resistência estática. 
 A resistência à fadiga, definida como fração da resistência estática que o concreto 
consegue suportar em função do número de repetições de carregamento, é influenciada pela 
amplitude e taxa do carregamento, excentricidade da carga, histórico de carregamento, 
propriedades do material e condições ambientais. 
 A Figura 5 apresenta a relação entre a razão da máxima tensão (no caso, tensão de tração à 
flexão) e a resistência estática fr pelo número de ciclos de carregamento. A partir dela, pode-se 
concluir que quanto maior a amplitude das tensões (menor razão entre a tensão mínima Smín e 
máxima Smáx) para um dado número de ciclos N, menor a resistência à fadiga. 
 
Figura 5 - Resistência à fadiga para viga de concreto simples 
 
Fonte: ACI 215R (1997). 
 
 A taxa de carregamento para tensões de até 75% da resistência estática e frequência entre 
70 e 900 ciclos por minuto tem pouco efeito sobre a resistência à fadiga. A influência da taxa 
torna-se mais significativa para tensões elevadas. 
 O conteúdo de cimento, fator água-cimento, condições de cura, idade do concreto na 
ocasião do carregamento, quantidade de ar incorporado na mistura e tipo de agregado não 
influenciam a resistência à fadiga, caso seja expressa em função da estática (CAIXETA, 2010). No 
tocante ao histórico de carga, destaca-se que os efeitos de períodos de descanso no comportamento 
9 
 
do concreto não são suficientemente explorados. No entanto, tem-se observado em testes de 
laboratório que períodos de descanso intercalados em ciclos de carregamento tendem a aumentar a 
resistência à fadiga. 
2.2.2 Fadiga do Aço das Armaduras 
 A fadiga no aço caracteriza-se pela ruptura a uma tensão inferior à tensão de escoamento 
quando submetido a uma dada amplitude de variação de tensões após um grande número de ciclos 
(SILVA FILHO; NAGATO, 2004). Esta tensão, no entanto, deve ser superior ao respectivo limite 
de fadiga. Para a sua ocorrência, influem o tipo de aço, formas das nervuras, diâmetro e curvatura 
das barras, amplitude de flutuação de tensão, emendas e ancoragens. 
 As nervuras das barras, projetadas para melhorar a aderência entre aço e concreto, 
produzem concentração de tensões e a consequente redução da resistência à fadiga, quando 
comparadas às barras lisas. 
 Verifica-se que quanto maior o diâmetro das barras, menor a resistência: para um diâmetro 
de 40 mm, a resistência é 25% menor que a de uma barra de 16 mm. Considerando a curvatura das 
barras, constata-se que o dobramento reduz a resistência, ao gerar uma concentração de tensões 
nas regiões dobradas. 
 Emendas por transpasse não provocam fadiga. Por outro lado, emendas através de solda 
reduzem a resistência. No que diz respeito à amplitude das tensões, nota-se que o número de ciclos 
que ocasiona a fadiga em uma barra é maior quanto menor for a amplitude de flutuação de tensões 
na armadura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
3 TRATAMENTO NORMATIVO 
 Neste capítulo, serão apresentadas as recomendações e diretrizes das normas brasileira e 
europeia relativas ao dimensionamento de pontes de concreto armado e à análise da fadiga. 
3.1 Normas Brasileiras 
3.1.1 Dimensionamento 
 O dimensionamento pela normatização brasileira envolve o estudo das seguintes normas: 
NBR 6118:2014 Projeto de estruturas de concreto - Procedimento; 
NBR 7187:2003 Projeto de pontes de concreto armado e de concreto protendido - Procedimento; 
NBR 7188:2013 Carga móvel rodoviária e de pedestres em pontes, viadutos, passarelas e outras 
estruturas; 
NBR 8681:2003 Ações e segurança nas estruturas - Procedimento. 
 Para o dimensionamento, será utilizada a combinação última normal, dada pela expressão 
(05). 
Fd = ∑ γgFgik + γq(Fq1k + ∑ ψ0jFqjk) (05) 
onde 
 Fgik: ação permanente direta com seu valor característico; 
 Fq1k: ação variável principal com seu valor característico; 
 Fqjk: ações variáveis secundárias com seus valores característicos. 
 De acordo com a NBR 8681, para ações permanentes diretas e ações variáveis agrupadas, 
os coeficientes γg e γq assumem os valores apresentados respectivamente nas Tabelas 1 e 2 para a 
combinação normal. 
Tabela 1 - Ações permanentes diretas agrupadas na combinação normal, 𝛄𝐠 
Combinação Tipo de estrutura 
Efeito 
Desfavorável Favorável 
Normal 
Grandes pontes1) 1,30 1,0 
Edificações tipo 1 e pontes em geral2) 1,35 1,0 
Edificação tipo 23) 1,40 1,0 
1) Grandes pontes são aquelas em que o peso próprio da estrutura supera 75% da 
totalidade das ações permanentes. 
2) Edificações tipo 1 são aquelas onde as cargas acidentais superam 5 kN/m2. 
3) Edificações tipo 2 são aquelas onde as cargas acidentais não superam 5 kN/m2. 
Fonte: adaptado da NBR 8681:2003. 
11 
 
Tabela 2 - Ações variáveis consideradas conjuntamente na combinação normal, 𝛄𝐪 
Combinação Tipo de estrutura Coeficiente de ponderação 
Normal 
Pontes e edificações tipo 1 1,5 
Edificações tipo 2 1,4 
Fonte: adaptado da NBR 8681:2003. 
 A NBR 7188:2013 - Carga móvel rodoviária e de pedestres em pontes, viadutos, 
passarelas e outras estruturas define como carga rodoviária padrão TB-450 - veículo tipo de 450 
kN, com seis rodas (P = 75 kN), com área de ocupação de 18,0 m², circundada por uma carga 
uniformemente distribuída constante p = 5 kN/m², conforme Figura 6. 
Figura 6 - TB-450 
 
Fonte: NBR 7188:2013. 
 Além do veículo de projeto, esta norma define os seguintes coeficientes de ponderação das 
cargas verticais: coeficiente de impacto vertical CIV, coeficiente de número de faixas CNF e 
coeficiente de impacto adicional CIA. 
a) Coeficiente de Impacto Vertical 
 As cargas móveis verticais características devem ser majoradas para o dimensionamento de 
todos os elementos estruturais pelo CIV, dado por: 
CIV= 1,35, para estruturas com vão menor que 10,0 m; (06) 
CIV = 1 + 1,06 ∙ (
20
Liv + 50
) (07) 
onde 
 Liv usado para estruturas de vão isostático. Liv: média aritmética dos vãos nos casos de 
 vãos contínuos; 
 Liv é o comprimento do próprio balanço para estruturas em balanço; 
12 
 
 L é o vão, expresso em metros (m). 
b) Coeficiente de Número de Faixas 
 As cargas móveis características devem ser ajustadas pelo CNF, dado por (08). 
CNF = 1 − 0,05 ∙ (n − 2) > 0,9 (08) 
onde 
 n é o número inteiro de faixas de tráfego rodoviário a serem carregadas sobre um tabuleiro 
transversalmente contínuo. Acostamentos e faixas de segurança não são faixas de tráfego da 
rodovia. 
 Este coeficiente não se aplica ao dimensionamento de elementos estruturais transversais ao 
sentido do tráfego. 
c) Coeficiente de Impacto Adicional 
 Os esforços das cargas móveis definidas devem ser majorados na região das juntas 
estruturais e extremidades da obra. Todas as seções dos elementos estruturais distantes 
horizontalmente em até 5,0 m de cada lado da junta ou descontinuidade estrutural devem ser 
dimensionadas com os esforços das cargas móveis majorados pelo CIA, definido a seguir. 
CIA = 1,25, para obras em concreto ou mistas; (09) 
CIA = 1,15, para obras em aço. (10) 
3.1.2 Análise da Fadiga 
As considerações pertinentes à análise proposta da fadiga e que estão contidas na NBR 
6118:2014 na seção 23.5 Estado-limite último de fadiga são apresentadas a seguir. Nesta norma 
são tratadas as ações de fadiga de média e baixa intensidade e número de repetições de até 2 
milhões de ciclos. Além disso, é considerada válida a regra de Palmgren-Miner para a combinação 
de ações de um determinado espectro de cargas. 
3.1.2.1 Combinações de ações a considerar 
 O tratamento normativo destaca, de início, que a verificação da fadiga pode ser feita 
considerando uma única intensidade de solicitação, expressa pela combinação frequente de ações 
conforme a expressão (11), embora o fenômeno seja controlado pela acumulação do efeito 
deletério de solicitações repetidas. É interessante notar que, apesar de ser considerada como um 
estado limite último, a norma brasileira adota uma combinação de ações de estado limite de 
serviço. 
Fd,ser = ∑ Fgik
m
i=1
+ ψ1 Fq1k + ∑ ψ2j Fqjk
n
j=2
 (11) 
13 
 
Para pontes rodoviárias, objeto deste estudo, temos: 
 ψ1 = 0,5 para verificação das vigas; 
 ψ1 = 0,7 para verificação das transversinas; 
 ψ1 = 0,8 para verificação das lajes de tabuleiro. 
3.1.2.2 Modelo de cálculo 
 A NBR 6118:2014 permite que os esforços solicitantes sejam calculados em regime 
elástico. No caso das tensões decorrentes da força cortante em vigas, devem ser aplicados os 
modelos I ou II, respeitando-se as seguintes condições: 
- no modelo I, o valor de Vc deve ser multiplicado pelo fator redutor 0,5; 
- no modelo II, o valor de Vc deve ser multiplicado pelo fator redutor 0,5 e a inclinação das 
diagonais de compressão, , deve ser corrigida pela equação tgθcor = √tgθ ≤ 1. 
 Devem ser adotados: 
 γf = 1,0 
 γc = 1,4 
 γs = 1,0 
 Para o cálculo dos esforços solicitantes e verificações das tensões, admite-se o modelo 
linear elástico com relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto e = 10. 
3.1.2.3 Verificação da fadiga do concreto 
3.1.2.3.1 Concreto em compressão 
 A verificação é satisfeita se: 
ηc ∙ γf ∙ σc,máx ≤ fcd,fad (12) 
sendo 
 fcd,fad = 0,45 fcd 
 ηc =
1
1,5−0,5(|σc1| |σc2|⁄ )
 
onde 
 ηc é um fator que considera o gradiente de tensões de compressão no concreto; 
 |σc1| é o menor valor, em módulo, da tensão de compressão a uma distância não maior 
 que 300 mm da face sob a combinação relevante de cargas (Figura 7); 
 |σc2| é o maior valor, em módulo, da tensão de compressão a uma distância não maior 
 que 300 mm da face sob a mesma combinação de carga usada para cálculo de |σc1|. 
14 
 
Figura 7 - Definição das tensões 𝛔𝐜𝟏 e 𝛔𝐜𝟐 
 
Fonte: NBR 6118:2014. 
 
 A norma brasileira traz ainda a verificação do concreto em tração. No entanto, não há 
clareza quanto à forma de cálculo das tensões solicitantes de tração e os valores de resistência de 
referência são muito pequenos. Além destes aspectos, como a situação da fadiga do concreto em 
tração não é considerada pela norma europeia, esta verificação foi dispensada no presente 
trabalho. 
3.1.2.4 Verificação da fadiga da armadura 
 A verificação é satisfeita se a máxima variação de tensão calculada, s (denominada de r 
na seção 2.1), para a combinação frequente de cargas satisfizer: 
γf ∙ ∆σSs ≤ ∆𝑓sd,fad (13) 
 Os valores de ∆𝑓sd,fad são dados na Tabela 3 a partir de parâmetros fornecidos na Tabela 4, 
ambas adaptadas, respectivamente, das Tabelas 23.2 e 23.3 contidas na NBR 6118:2014. As 
constantes k apresentadas na Tabela 4 são obtidas a partir de gráficos da função da resistência à 
fadiga para o aço, representada em escala log.log. Esta função consiste em segmentos de reta da 
forma (∆𝑓sd,fad)
m x N = constante, conforme Figura 8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
Tabela 3 - Parâmetros para as curvas S-N (Woeller) para os aços dentro do concreto a 
Armadura passiva, aço CA-50 
Valores de Δfsd,fad,mín, para 2 x 106 ciclos (MPa) 
Caso 
 (mm) 
Tipob 
10 12,5 16 20 22 25 32 40 
Barras retas ou dobradas com D ≥ 25  190 190 190 185 180 175 165 150 T1 
Barras retas ou dobradas com: 
105 105 105 105 100 95 90 85 T1 
D < 25  
D = 5  < 20 mm 
D = 8  ≥ 20 mm 
Estribos 
85 85 85 - - - - - T1 
D = 3  ≤ 10 mm 
Ambiente marinho 
65 65 65 65 65 65 65 65 T4 
Classe IV 
Barras soldadas (incluindo solda por 
ponto ou das extremidades) e 
conectores mecânicos 
85 85 85 85 85 85 85 85 T4 
Armadura ativa 
Caso 
Valores de Δfpd,fad,mín, para 2 x 106 ciclos 
(MPa) 
Pré-tração, fio ou cordoalha reto 150 T1 
Pós-tração, cabos curvos 110 T2 
Cabos retos 150 T1 
Conectores mecânicos e ancoragens 
(caso de cordoalha engraxada) 
70 T3 
a Admite-se, para certificação de processos produtivos, justificar os valores desta Tabela em 
ensaios de barras ao ar. A flutuação de tensões deve ser medida a partir da tensão máxima de 80% 
da tensão nominal de escoamento e frequente de 5 Hz a 10 Hz. 
b Ver Tabela 4. 
Fonte: adaptado da NBR 6118:2014. 
 
Tabela 4 - Tipos da curva S-N 
Tipo N* k1 k2 
T1 10
6 5 9 
T2 10
6 3 7 
T3 10
6 3 5 
T4 10
7 3 5 
Fonte: adaptado da NBR 6118:2014. 
 
16 
 
Figura 8 - Formato das curvas de resistência característica à fadiga (curvas S-N) para o aço 
 
Fonte: NBR 6118:2014. 
3.2 Normas Europeias 
 As normas europeias relevantes para a análise proposta são: 
Eurocode: Basis of structural design (EN 1990:2002+A1:2005). 
Eurocode 1: Actions on structures - Part 2: Traffic loads on bridges (EN 1991-2:2003); 
Eurocode 2: Design ofconcrete structures - Part 1-1: General rules and rules for buildings (EN 
1992-1-1:2004) 
Eurocode 2 - Design of concrete structures - Concrete bridges - Design and detailing rules (EN 
1992-2:2005). 
3.2.1 Dimensionamento 
 O processo de dimensionamento requer inicialmente a divisão da largura de rodagem w, 
medida entre os meios-fios ou barreiras de proteção, em faixas de projeto, conforme a Tabela 5. A 
localização e numeração das faixas de projeto devem ser escolhidas de modo a gerar o efeito mais 
adverso possível. A numeração é feita considerando a faixa 1 como a mais desfavorável, a faixa 2 
como a segunda mais desfavorável e assim por diante. 
 
Tabela 5 - Número e largura das faixas de projeto 
Largura de rodagem 
w 
Número de faixas de 
projeto 
Largura da faixa de projeto 
wl 
Largura 
restante 
w < 5,4 m nl = 1 3 m w - 3m 
5,4 m ≤ w < 6 m nl = 2 w/2 0 
6 m ≤ w nl = Inteiro da razão (w/3) 3 m w - 3 x nl 
Fonte: adaptado da EN 1991-2:2003. 
 Sobre cada uma das faixas de projeto determinadas, devem ser aplicados, de forma 
centralizada, modelos de carga para se obter o efeito mais adverso possível. A norma define quatro 
modelos de carga vertical, sendo: 
17 
 
a) Load model 1: cargas concentradas e uniformemente distribuídas, destinado a abranger a 
maioria dos efeitos do tráfego de caminhões e carros. Este modelo é utilizado em verificações 
gerais e locais; 
b) Load model 2: carga de eixo simples em áreas específicas de contato de pneu para cobrir efeitos 
dinâmicos do tráfego normal em elementos estruturais pequenos; 
c) Load model 3: série de associações de eixos carregados para representar veículos especiais; 
d) Load model 4: carga de multidão para verificações gerais. 
 Dos modelos expostos, o Load model 1 será o utilizado para a análise deste trabalho. Este 
modelo é constituído de duas partes: eixo duplo de cargas concentradas QQk (tandem system TS) 
e carga uniformemente distribuída qqk (UDL system). Os coeficientes de ajuste Q e q serão 
tomados iguais a 1,0. A superfície de contato de cada roda é tomada como um quadrado de 0,40 m 
de lado. Na tabela e figura a seguir, apresentam-se as os valores característicos de Qik e qik com 
amplificação dinâmica inclusa. O peso por roda é igual a 0,5 QQk. 
 
Tabela 6 - Load Model 1: valores característicos 
Localização 
Tandem system TS UDL system 
Carga do eixo Qik (kN) qik (kN/m
2) 
Faixa 1 300 9 
Faixa 2 200 2,5 
Faixa 3 100 2,5 
Outras faixas 0 2,5 
Área restante 0 2,5 
Fonte: adaptado da EN 1991-2:2003. 
 
Figura 9 - Load Model 1 para wl = 3,00 m 
 
Fonte: EN 1991-2:2003. 
18 
 
 A norma estabelece que em situações onde efeitos gerais e locais podem ser calculados 
separadamente, os efeitos gerais podem ser calculados a partir de simplificações. Uma das 
simplificações é que para pontes de vãos maiores que 10 m, cada tandem system em cada faixa de 
projeto pode ser substituído por um eixo simples de carga concentrada de peso igual ao total de 
dois eixos. Desta forma, os pesos correspondentes dos eixos simples nas faixas 1, 2 e 3 serão, 
respectivamente, 600 kN, 400 kN e 200 kN. 
 A combinação de ações utilizada para o dimensionamento é dada pela expressão (14). 
Fd = ∑ γG,jGk,j + γQ,1Qk,1 + ∑ γQ,iψ0,iQk,i (14) 
onde 
 Gk,j é o valor característico da ação permanente direta; 
 Qk,1 é o valor característico da ação variável principal; 
 Qk,i é o valor característico da ação variável secundária. 
 No Anexo A2 da EN 1990:2002+A1:2005, definem-se os seguintes coeficientes de 
ponderação: 
 γG,sup = 1,05 para ações permanentes desfavoráveis; 
 γG,inf = 0,95 para ações permanentes favoráveis; 
 γQ = 1,35 para ações de tráfego rodoviárias (0 quando favoráveis); 
 ψ0,TS = 0,75 para ações secundárias geradas pelas cargas concentradas do Load Model; 
 ψ0,UDL = 0,40 para ações secundárias geradas pela carga uniformemente distribuída do 
 Load Model. 
3.2.2 Análise da fadiga 
 A norma europeia EN 1991-2:2003 traz cinco modelos de carga específicos para a análise 
da fadiga. Os modelos (1), (2) e (3) são utilizados na determinação das tensões máximas e 
mínimas resultantes dos possíveis arranjos de cargas na ponte por qualquer um destes modelos. Os 
modelos (4) e (5) são utilizados na determinação de amplitudes de espectro de tensões resultantes 
da passagem de caminhões pela ponte. O modelo (5) é o mais geral e usa dados de tráfego reais. 
 Dos cinco modelos, o Fatigue Load Model 3 será o utilizado. Este modelo, ilustrado na 
Figura 10, é o único aplicável para a verificação da fadiga pela variação da tensão equivalente em 
relação ao dano, dado pela expressão (16), segundo o Anexo NN da EN 1992-2:2005. É 
constituído por quatro eixos, cada um com duas rodas idênticas. A carga por eixo é de 120 kN e a 
superfície de contato da roda é um quadrado de 0,40 m de lado. 
19 
 
 De acordo com a seção 4.6 Fatigue load models da EN 1991-2:2003, os modelos de carga 
de fadiga 1 a 4 incluem amplificação dinâmica de carregamento apropriados para pavimentos de 
boa qualidade. Segundo o Anexo B da mesma norma, camadas novas de pavimento são 
consideradas de boa rugosidade. Para esta característica, recomenda-se fator de amplificação 
dinâmica de 𝜑fat = 1,2. 
Figura 10 - Fatigue Load Model 3 
 
Fonte: EN 1991-2:2003. 
3.2.2.1 Combinações de ações a considerar 
 Para o cálculo das ações de fadiga, segundo a EN 1992-1-1:2004, considera-se a 
combinação frequente de estado-limite de serviço exposta em (15). 
Fd = ∑ Gk,j + ψ1,1Qk,i + ∑ ψ2,iQk,i + Qfat (15) 
onde 
 Qk,1 e Qk,i são ações variáveis não cíclicas; 
 Qfat é a ação de fadiga considerada, por exemplo, a ação do tráfego. 
3.2.2.2 Verificação da fadiga da armadura 
 Na seção 6.8.4 Verification procedure for reinforcing and prestressing steel da EN 1992-
1-1:2004, estabelece-se a amplitude resistente de tensão ∆𝜎Rsk, para barras retas e dobradas, de 
162,5 MPa, considerando 106 ciclos, conforme a Figura 11 (k1 = 5 e k2 = 9). Para verificações de 
fadiga, o Eurocode 2 recomenda a utilização dos fatores 𝛾C,fat = 1,5 e 𝛾S,fat = 1,15. A resistência 
à fadiga para armadura longitudinal é assumida satisfeita quando: 
𝛾F,fat ∙ ∆𝜎s,equ (𝑁
∗) ≤
∆𝜎Rsk (𝑁
∗)
𝛾S,fat
 (16) 
onde 
 ∆𝜎Rsk (𝑁
∗) é a amplitude de tensões para a curva S-N apropriada, segundo a Figura 11; 
20 
 
 ∆𝜎s,equ (𝑁
∗) é a amplitude de tensão equivalente em relação ao dano para diferentes 
 tipos de armadura, correspondente ao número de ciclos de carga N*. 
Figura 11 - Forma da curva característica da resistência à fadiga 
 
Fonte: EN 1992-1-1:2004. 
 A amplitude de tensão ∆𝜎s,equ é calculada segundo procedimentos do Anexo NN da EN 
1992-2:2005. Para este cálculo, as ações de eixo do Fatigue Load Model 3 devem ser 
multiplicadas pelos seguintes fatores: 
 1,75 para verificação da tensão em apoios intermediários em pontes contínuas; 
 1,40 para verificação em outras áreas. 
 A ∆𝜎s,equ é determinada de acordo com a expressão (17). 
∆𝜎s,equ = ∆𝜎s,Ec ∙ 𝜆s (17) 
onde 
 ∆𝜎s,Ec é a amplitude de tensão causada pelo Fatigue Load Model 3 com ações de eixo 
 amplificadas, baseada na combinação dada em (15); 
 𝜆s é a fator de dano equivalente para fadiga que leva em conta condições específicas, como 
 volume detráfego, vida de projeto e vão, dado por (18). 
𝜆s = 𝜑fat ∙ 𝜆s,1 ∙ 𝜆s,2 ∙ 𝜆s,3 ∙ 𝜆s,4 (18) 
onde 
 𝜆s,1 é o fator que considera o tipo do elemento (e.g. viga contínua) e leva em conta o 
 efeito danoso do tráfego dependendo do comprimento crítico da linha ou área de 
 influência “A” (Figuras 12 e 13); 
 𝜆s,2 é o fator que leva em conta o volume de tráfego; 
 𝜆s,3 é o fator que leva em conta a vida útil de projeto da ponte; 
 𝜆s,4 é o fator a ser aplicado quando o elemento estrutural é carregado por mais de uma 
 faixa. 
21 
 
 O 𝜆s,1 é obtido graficamente para as áreas de apoios intermediários e para os vãos. 
 
Figura 12 - Valor de 𝝀𝐬,𝟏 para verificação da fadiga na área do apoio intermediário 
 
Fonte: EN 1992-2:2005. 
 
Figura 13 - Valor de 𝝀𝐬,𝟏 para verificação da fadiga no vão ou para elementos locais 
 
Fonte: EN 1992-2:2005. 
 O comprimento crítico da linha de influência é determinado segundo critérios apresentados 
na EN 1993-2:2006 Design of steel structures - Part 2: Steel bridges: 
- Para vãos contínuos nas seções médias, segundo a Figura 14, o comprimento crítico é igual ao 
vão em consideração; 
22 
 
- Para vãos contínuos nas seções de apoio, segundo a Figura 14, o comprimento crítico é dado pela 
média entre os vãos adjacentes ao apoio. 
Figura 14 - Localização da seção média e seção de apoio 
 
Fonte: EN 1993-2:2006. 
 O 𝜆s,2 denota a influência do volume de tráfego anual e o tipo, sendo calculado por (19). 
𝜆s,2 = �̅� ∙ √
𝑁obs
2,0
𝑘2
 (19) 
onde 
 𝑁obs é o número de caminhões por ano, de acordo com a Tabela 7; 
 𝑘2 é o parâmetro apropriado para a curva S-N. Para barras retas ou dobradas, igual a 9; 
 �̅� é o fator para o tipo de tráfego. Para tráfego local, igual a 0,82. 
Tabela 7 - Número esperado de veículos pesados por ano ou por faixa lenta 
Categoria do Tráfego 
Nobs por ano ou por faixa 
lenta 
1 
Rodovias com 2 ou mais faixas por direção com altas taxas de 
fluxo de veículos 
2,0 x 106 
2 Rodovias com taxas médias de fluxo de veículos 0,5 x 106 
3 Rodovias principais com baixas taxas de fluxo de veículos 0,125 x 106 
4 Rodovias locais com baixas taxas de fluxo de veículos 0,05 x 106 
Fonte: adaptado da Tabela 4.5 da EN 1991-2:2003. 
 O 𝜆s,3 denota a influência da vida de serviço e é dado por (20). 
𝜆s,3 = √
𝑁Years
100
𝑘2
 (20) 
onde 
 𝑁Years é a vida de projeto da ponte. Considera-se igual a 100 anos. 
 O 𝜆s,4 denota a influência de múltiplas faixas e é dado por (21). 
𝜆s,4 = √
∑ 𝑁obs,𝑖
𝑁obs,1
𝑘2
 (21) 
23 
 
onde 
 𝑁obs,𝑖 é o número de veículos esperado na faixa i por ano; 
 𝑁obs,1 é o número de veículos na faixa lenta por ano. 
 Segundo sugestão da EN 1991-2:2003, na seção 4.6.1 General, tópico (3), em cada faixa 
rápida (em que predomina o tráfego de carros), pode-se adicionar 10% do Nobs dado na Tabela 7 
para a estimativa do tráfego. Para a categoria de tráfego 4, estimam-se 55000 carros por faixa 
rápida e 50000 veículos na faixa lenta. Para uma largura de faixa de tráfego de 3,60 m, obtêm-se 
duas faixas, uma rápida e uma lenta. 
3.2.2.3 Verificação da fadiga no concreto sob compressão 
 A EN 1992-2:2005, na seção 6.8.7 Verification of concrete under compression or shear, 
define que a resistência à fadiga do concreto sob compressão é considerada satisfeita quando a 
condição em (22) é atendida. 
∑
𝑛𝑖
𝑁𝑖
≤
𝑚
𝑖=1
1 (22) 
onde 
 𝑚 é o número de intervalos de amplitude constante 
 𝑛𝑖 é o número de ciclos de amplitude constante no intervalo i 
 𝑁𝑖 = 10
(14 
1−𝐸cd,max,i
√1−𝑅𝑖
)
 
 𝑅𝑖 =
𝐸cd,min,i
𝐸cd,max,i
 
 𝐸cd,min,i =
σcd,min,i
𝑓cd,fat
 
 𝐸cd,max,i =
σcd,max,i
𝑓cd,fat
 
onde 
 𝑅𝑖: razão das tensões; 
 𝐸cd,min,i: mínimo nível de tensão de compressão; 
 𝐸cd,max,i: máximo nível de tensão de compressão; 
 𝑓cd,fat: resistência de projeto à fadiga dado por (23); 
 σcd,max,i: tensão superior em um ciclo; 
 σcd,min,i: tensão inferior em um ciclo; 
𝑓cd,fat = 𝑘1𝛽cc(𝑡0)𝑓cd (1 −
𝑓ck
250
) (23) 
onde 
24 
 
 𝛽cc é o coeficiente para resistência do concreto para primeira aplicação da carga (24); 
 𝑡0 é o tempo do início do carregamento cíclico no concreto em dias; 
 𝑘1 é o coeficiente de valor recomendado igual a 0,85. 
𝛽cc = exp {𝑠 [1 − (
28
𝑡
)
1/2
]} (24) 
onde: 
 𝑡: idade do concreto, em dias; 
 𝑠: coeficiente que depende do tipo de cimento, conforme Tabela 8. 
 
Tabela 8 - Valores de s 
s Classes de resistência do cimento 
0,20 R CEM 42,5 R; CEM 52,5 N; CEM 52,5 R 
0,25 N CEM 32,5 R; CEM 42,5 N 
0,38 S CEM 32,5 N 
Fonte: adaptado da EN 1992-1-1:2004. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
4 MODELOS PROPOSTOS ANALISADOS 
4.1 Apresentação dos modelos 
 Para a análise sugerida, apresentam-se os quatro modelos de pontes de concreto armado 
com duas longarinas retas (fck = 50 MPa e armadura de aço CA-50) que se distinguem pelas 
dimensões dos vãos entre os pilares e dos balanços. O esquema geral destes modelos está ilustrado 
na Figura 15. O acesso às pontes é feito através de lajes de transição de 4,0 m de comprimento. As 
demais características geométricas expostas adiante são válidas para os quatro modelos. 
Figura 15 - Esquema geral da ponte 
 
Fonte: SIQUEIRA, LUCENA (2015). 
a) Modelo 1: vãos de 22,5 m entre pilares e balanços de 2,5 m nas extremidades; 
b) Modelo 2: vãos de 20,0 m entre pilares e balanços de 5,0 m nas extremidades; 
c) Modelo 3: vãos de 17,5 m entre pilares e balanços de 7,5 m nas extremidades; 
d) Modelo 4: vãos de 15,0 m entre pilares e balanços de 10,0 m nas extremidades. 
 A seção transversal possui 13,0 m de extensão, sendo 6,60 m entre os eixos das longarinas 
e 3,2 m entre os eixos das longarinas e as extremidades dos balanços. O capeamento asfáltico tem 
inclinação de 1% a partir do centro do tabuleiro, com espessura mínima de 7,0 cm no encontro 
com as barreiras laterais. Os detalhes da barreira lateral, pingadeira, aba lateral constam nas 
Figuras 16 e 17. 
Figura 16 - Detalhes da barreira lateral, pingadeira, aba lateral e cortina 
 
Fonte: SIQUEIRA, LUCENA (2015). 
26 
 
Figura 17 - Detalhes da aba lateral e laje de transição 
 
Fonte: SIQUEIRA, LUCENA (2015). 
 A superestrutura é composta por lajes de 25,0 cm de espessura, além de longarinas e 
transversinas. As longarinas das pontes apresentam altura de 2,0 m e bases da seção transversal 
variando de 60,0 cm (apoio) para 50,0 cm (meio do vão). As mísulas entre as longarinas na 
direção horizontal apresentam comprimento de 50,0 cm e 15,0 cm na vertical, a partir da face da 
viga, conforme a Figura 18. 
Figura 18 - Seção transversal, medidas em cm 
 
Fonte: Autor (2016). 
 As transversinasapresentam altura de 1,60 m e base da seção transversal de 25,0 cm. 
Associadas a elas, dispõem-se mísulas de 1,0 m na direção longitudinal da ponte, conforme a 
Figura 19. As transversinas foram espaçadas de modo a coincidir com o meio do vão e apoios com 
o objetivo de aumentar a rigidez à torção dos vigamentos principais. 
27 
 
Figura 19 - Detalhes das transversina em cm 
 
Fonte: Autor (2016). 
4.2 Levantamento das cargas permanentes 
 O levantamento é feito considerando a distribuição dos carregamentos ao longo da 
longarina apresentado na Figura 20. 
 
Figura 20 - Esquema dos carregamentos permanentes na longarina 
 
Fonte: SIQUEIRA, LUCENA (2015). 
 
Para este levantamento, consideram-se os pesos específicos de 25 kN/m3 para o concreto 
armado e 24 kN/m3 para o pavimento asfáltico, além de uma carga adicional de 2 kN/m2, sugerida 
pela NBR 7187:2003, para atender a um possível recapeamento. 
Vale salientar que os valores de pesos específicos adotados estão em consonância com a 
normatização europeia, que, no entanto, não traz a consideração do recapeamento. Com a 
finalidade de uniformizar as intensidades das ações permanentes, serão adotados os mesmos pesos 
específicos e carga adicional de recapeamento, sugerido pela NBR, nas análises pela norma 
europeia. 
 A seguir, apresenta-se a expressão (25) para a determinação de cargas permanentes 
uniformemente distribuídas sobre a longarina. A expressão (26) indica o cálculo para as cargas 
concentradas sobre a longarina. 
g = γ ∙ A (25) 
G = γ ∙ V (26) 
onde 
 g: carga permanente distribuída; 
28 
 
 γ: peso específico do material constituinte; 
 A: área considerada obtida com o AutoCAD; 
 G: carga concentrada; 
 V: volume do elemento; produto da área obtida no AutoCAD pelo comprimento. 
4.2.1 Determinação da carga g1 
 A carga g1 refere-se ao peso próprio da meia seção transversal da ponte onde a base da 
alma da longarina é de 50 cm, além do peso das barreiras de concreto e do pavimento. A partir das 
áreas obtidas para os elementos de concreto (A1 = 2,86 m
2) e pavimento asfáltico (Aasf = 0,61 m
2) 
que compõem a meia seção transversal da ponte, determina-se a carga g1 conforme a expressão 
(26). 
g1 = γc ∙ A1 + γasf ∙ Aasf + L/2 ∙ 2kN/m
2 = 25 ∙ 2,86 + 24 ∙ 0,61 + 6,10 ∙ 2 = 98,40 kN/m 
4.2.2 Determinação da carga g2 
 A carga g2 refere-se ao peso próprio da meia seção transversal da ponte onde a base da 
alma da longarina é de 60 cm. A partir das áreas obtidas para os elementos de concreto (A2 = 3,03 
m2) e pavimento asfáltico (Aasf = 0,61 m
2), determina-se a carga g2. 
g2 = γc ∙ A2 + γasf ∙ Aasf + L/2 ∙ 2kN/m
2 = 25 ∙ 3,03 + 24 ∙ 0,61 + 6,10 ∙ 2 = 102,73 kN/m 
4.2.3 Determinação da carga G1 e G1’ 
 A carga concentrada G1 refere-se aos pesos das transversinas e respectivas mísulas no meio 
do vão. A carga concentrada G1’ refere-se aos pesos das transversinas e respectivas mísulas no 
apoio. 
G1 = γc ∙ (Vtransversina + Vmísula) = 25 ∙ (1,03 + 0,38) = 35,27 kN 
G1
′ = γc ∙ (Vtransversina + Vmísula) = 25 ∙ (1,01 + 0,38) = 34,69 kN 
4.2.4 Determinação da carga G2 
 A carga concentrada G2 refere-se aos pesos da cortina, aba lateral, mísula no encontro, laje 
de transição (com a camada do pavimento e barreira) e do pavimento (camada acima da cortina). 
A metade da carga da laje de transição será considerada como a reação sobre a estrutura da ponte. 
Os respectivos volumes obtidos via AutoCAD são: 
Vcortina = 4,339 m
3 
Vaba lateral = 0,744 m
3 
Vmísula no encontro = 0,358 m
3 
Vlaje de transição = 7,429 m
3 
29 
 
Vpavimento sobre a laje = 2,452 m
3 
Vpavimento sobre a cortina = 0,153 m
3 
Ameia laje = 24,4 m
2 
G2,concreto = γc ∙ (Vcortina + Vaba lateral + Vmísula no encontro) = 136,00 kN 
G2,pavimento = γasf ∙ Vpavimento sobre a cortina + 2 kN/m
2 ∙ Aasf = 4,91 kN 
G2,reação =
1
2
∙ (γc ∙ Vlaje de transição + γasf ∙ Vpavimento sobre a laje + 2
kN
m2
∙ Ameia laje) = 146,68 kN 
G2 = G2,concreto + G2,pavimento + G2,reação = 287,59 kN 
4.3 Esquemas estruturais e Diagramas de Momento Fletor 
 Os esquemas estruturais e os diagramas de momento fletor das cargas permanentes são 
apresentados a seguir. 
4.3.1 Modelo 1 
Figura 21 - Esquema estrutural do modelo 1 
 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
 
Figura 22 - Diagrama de momento fletor característico do modelo 1 (kN·m) 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
30 
 
4.3.2 Modelo 2 
Figura 23 - Esquema estrutural do modelo 2 
 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
 
Figura 24 - Diagrama de momento fletor característico do modelo 2 (kN·m) 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
4.3.3 Modelo 3 
Figura 25 - Esquema estrutural do modelo 3 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
31 
 
Figura 26 - Diagrama de momento fletor característico do modelo 3 (kN·m) 
 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
4.3.4 Modelo 4 
Figura 27 - Esquema estrutural do modelo 4 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
 
Figura 28 - Diagrama de momento fletor característico do modelo 4 (kN·m) 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
 O diagrama do momento fletor do modelo 4 aparenta ter uma incoerência na seção de 
apoio central, isto é, um momento positivo no apoio. Esta anormalidade é devida às grandes 
dimensões dos balanços, que suspendem sobremaneira o diagrama. Os valores estão corretos. 
32 
 
4.4 Determinação dos Trens-tipo longitudinais 
4.4.1 Norma Brasileira 
 A determinação do trem-tipo de flexão para as longarinas é feita como se a seção 
transversal se constituísse de um sistema isostático de uma viga biapoiada, uma vez que possui 
apenas duas longarinas. Sobre esta se dispõem a carga móvel normativa na posição mais extrema 
do tabuleiro, o que corresponde à maior reação na longarina, e a carga de multidão nas regiões 
onde maximizem as solicitações. 
 A partir do processo das reações de apoio, levantam-se as cargas sobre as longarinas ao 
avaliar duas seções transversais da ponte: uma por onde passa o veículo e outra onde só há carga 
de multidão. De posse dos valores das reações, determina-se a composição do trem-tipo 
longitudinal, de acordo com as figuras e expressões a seguir. 
Figura 29 - Corte dentro da faixa do veículo-tipo 
 
Fonte: Autor (2016). 
Figura 30 - Esquema estrutural da seção dentro da faixa do veículo-tipo 
Fonte: Autor (2016). 
33 
 
Figura 31 - Corte fora da faixa do veículo-tipo 
 
Fonte: Autor (2016). 
Figura 32 - Esquema estrutural da seção fora da faixa do veículo-tipo 
 
Fonte: Autor (2016). 
 
RP = P ∙ (
d1 + d3
d3
) + P ∙ (
d2 + d3
d3
) (27) 
Rp1 = p ∙ d4 ∙
d4
2
∙
1
d3
 (28) 
Rp2 = 3p ∙ (
d4 + 1,50
d3
) (29) 
4.4.1.1 Seção dentro da faixa do veículo-tipo 
 Com base nas expressões e figuras da seção 4.4.1, determina-se o esquema estrutural 
representativo para seção transversal que corta o veículo-tipo, apresentado na Figura 33. 
Figura 33 - Esquema estrutural da seção que corta o veículo-tipo 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
34 
 
 Do esquema estrutural acima, calculam-se:RP = 75 ∙ (
2,30 + 6,60
6,60
) + 75 ∙ (
6,60 + 0,30
6,60
) = 179,55 kN 
Rp1 = 5 ∙ 6,40 ∙
6,40
2
∙
1
6,60
= 15,52 kN/m 
4.4.1.2 Seção fora da faixa do veículo-tipo 
 Com base nas expressões e figuras da seção 4.4.1, determina-se o esquema estrutural 
representativo para seção transversal que corta fora do veículo-tipo, apresentado na Figura 34. 
Figura 34 - Esquema estrutural da seção que não corta o veículo-tipo 
 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
 Do esquema estrutural acima, calcula-se: 
Rp2 = 3 ∙ 5 ∙ (1,50 + 6,40) ÷ 6,60 = 17,95 kN/m 
4.4.1.3 Composição do trem-tipo longitudinal 
 O trem-tipo de flexão para as longarinas apresenta a composição ilustrada na Figura 35. O 
trem-tipo obtido nesta análise é apresentado na Figura 36. 
Figura 35 - Composição do trem-tipo longitudinal 
 
Fonte: Autor (2016). 
Figura 36 - Trem-tipo brasileiro longitudinal de flexão 
 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
4.4.2 Norma Europeia 
 O procedimento para a composição do trem-tipo longitudinal de flexão a partir do Load 
Model 1 tem início com a definição do número de faixas de projeto. Conforme apresentado na 
35 
 
Tabela 5, define-se a quantidade do número de faixas de projeto nl a partir da distância livre w da 
seção transversal da ponte. Da Figura 18, determina-se w = 12,20 m e, portanto, nl = 4 faixas de 
3,0 m de largura cada e largura restante de 0,20 m. 
 A partir da simplificação sugerida pela norma, os eixos duplos serão substituídos por eixos 
simples com o dobro da carga. Feitas as considerações cabíveis, inicia-se a composição 
longitudinal separando-se duas seções: seção que passa pelas cargas concentradas do TS e seção 
que compreende apenas as cargas uniformemente distribuídas. 
4.4.2.1 Seção que passa pelo TS 
 Na Figura 37, apresenta-se o esquema estrutural da seção transversal da ponte em corte que 
passa pelas cargas concentradas. Cargas no balanço foram desprezadas por gerarem alívios. 
 
Figura 37 - Seção que passa pelo TS 
 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
 
 Em procedimento análogo ao que foi feito na seção 4.4.1, calculam-se separadamente as 
reações sobre a longarina devido às cargas concentradas e às cargas uniformemente distribuídas. 
Desta forma, temos que: 
RP = 300 ∙ (
8,90 + 6,90
6,60
) + 200 ∙ (
5,90 + 3,90
6,60
) + 100 ∙ (
2,90 + 0,90
6,60
) = 1072,73 kN 
Rp1 =
9 ∙ 3,00 ∙ (1,50 + 6,40) + 2,5 ∙ 6,40 ∙ 3,20
6,60
= 40,08 kN/m 
4.4.2.2 Seção fora do TS 
Na Figura 38, apresenta-se o esquema estrutural da seção transversal da ponte em corte que 
compreende apenas as cargas uniformemente distribuídas. 
 
Figura 38 - Seção fora do TS 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
36 
 
 Do esquema estrutural acima, conclui-se que: 
Rp1 = Rp2 = 40,08 kN/m 
4.4.2.3 Composição do trem-tipo longitudinal de flexão 
 O trem-tipo de flexão europeu é dado na Figura 39. 
Figura 39 - Trem-tipo europeu longitudinal de flexão 
 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
4.4.2.4 Composição do trem-tipo longitudinal de fadiga 
 Conforme especificado em 3.2.2, a norma europeia apresenta um veículo de projeto 
específico para a análise da fadiga. Nesta análise, adota-se o Fatigue Load Model 3. Este veículo 
apresenta apenas cargas concentradas situadas no interior de uma faixa de projeto. Do esquema 
apresentado na Figura 10, considerando a seção que passa pelo eixo das cargas concentradas, 
obtêm-se as intensidades das reações na longarina. 
 
Figura 40 - Seção que passa pelo eixo das cargas concentradas 
 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2012). 
 Do esquema acima, determina-se o valor de RP para a composição do trem-tipo 
longitudinal de fadiga. O trem-tipo longitudinal europeu de fadiga está na Figura 41. 
RP = 60 ∙ (
8,90 + 6,90
6,60
) = 143,64 kN 
Figura 41 - Trem-tipo europeu longitudinal de fadiga 
 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
37 
 
5 APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS 
5.1 Envoltórias pela norma brasileira 
 Como apresentado na seção 3.1.1, a norma brasileira determina o coeficiente de impacto 
pelo produto dos coeficientes de impacto vertical CIV (07), coeficiente de número de faixas CNF 
(08) e coeficiente de impacto adicional CIA (09). No entanto, o software Ftool (MARTHA, 2015) 
não permite a adoção de diferentes coeficientes de impacto para uma mesma estrutura. Portanto, 
calculam-se os coeficientes de impacto vertical considerando separadamente os vãos contínuos e 
os balanços, apresentados respectivamente nas Tabelas 9 e 10. Além disso, como não foram 
previstas juntas de dilatação, adota-se CIA = 1,00. Dos valores abaixo obtidos, serão adotados os 
maiores para fins de segurança. 
Tabela 9 - Coeficientes de ponderação para os vãos contínuos 
Modelo Liv (m) CIV CNF CIA  = CIV∙CNF∙CIA 
1 22,50 1,29 1,00 1,00 1,29 
2 20,00 1,30 1,00 1,00 1,30 
3 17,50 1,31 1,00 1,00 1,31 
4 15,00 1,33 1,00 1,00 1,33 
Fonte: Autor (2016). 
Tabela 10 - Coeficientes de ponderação para os balanços 
Modelo Liv (m) CIV CNF CIA  = CIV∙CNF∙CIA 
1 2,50 1,40 1,00 1,00 1,40 
2 5,00 1,39 1,00 1,00 1,39 
3 7,50 1,37 1,00 1,00 1,37 
4 10,00 1,35 1,00 1,00 1,35 
Fonte: Autor (2016). 
 Nas figuras a seguir, apresentam-se as envoltórias de momento fletor obtidas com os 
respectivos coeficientes de impacto. Os valores de momento apresentados correspondem a uma 
ponderação de γ = 1,00 tanto sobre os momentos oriundos das cargas permanentes quanto sobre os 
momentos oriundos das cargas móveis. 
38 
 
5.1.1 Modelo 1 
Figura 42 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 1, segundo NBR -  = 1,40 
 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
5.1.2 Modelo 2 
Figura 43 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 2, segundo NBR -  = 1,39 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
5.1.3 Modelo 3 
Figura 44 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 3, segundo NBR -  = 1,37 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
39 
 
5.1.4 Modelo 4 
Figura 45 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 4, segundo NBR -  = 1,35 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
5.2 Envoltórias pela norma europeia 
 A seguir, as envoltórias de momento fletor obtidas a partir da norma europeia. 
5.2.1 Modelo 1 
Figura 46 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 1 - Trem-tipo de flexão europeu 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
40 
 
Figura 47 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 1 - TS 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
 
Figura 48 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 1 - UDL 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
 
Figura 49 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 1 - Trem-tipo de fadiga europeu 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
41 
 
5.2.2 Modelo 2 
Figura 50 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 2 - Trem-tipo de flexão europeu 
 Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
 
Figura 51 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 2 - TS 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
 
Figura 52 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 2 - UDL 
 Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
42 
 
Figura 53 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 2 - Trem-tipo de fadiga europeu 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
5.2.3 Modelo 3 
Figura 54 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 3 - Trem-tipo de flexão europeu 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
 
Figura 55 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 3 - TS 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
43 
 
Figura 56 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 3 - UDL 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
 
Figura 57 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 3 - Trem-tipo de fadiga europeu 
Fonte: Ftool (MARTHA, 2015). 
5.2.4 Modelo 4 
Figura 58 - Envoltória de momento fletor (kN·m) do modelo 4 - Trem-tipo