trabalho probabilidade e estatistica

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ENGENHARIA CIVIL 2013/3º FASE
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
 
 
Professor: Nazareno
Aluno: Marcelo Andreos Francês
201301197262
SÃO JOSÉ, JUNHO 2014
SUMÁRIO
OBJETIVO................................................................................................3
TEORIA.....................................................................................................4
PROBLEMA..............................................................................................6
RESPOSTAS............................................................................................7
REFERÊNCIAS.........................................................................................8
OBJETIVO
Saber definir variável aleatória e construir, para essa variável, a distribuição de probabilidades e as suas respectivas medidas: média e desvio padrão.
TEORIA
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Uma variável aleatória é um valor numérico determinado pelo resultado de um experimento (é uma quantidade resultante de um experimento aleatório que, por acaso, pode assumir diversos valores). 
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
Uma Distribuição de Probabilidade é uma lista de todos os resultados de um experimento e suas probabilidades associadas. De forma mais rigorosa, é uma 
função matemática em que o domínio são os valores possíveis de uma variável 
aleatória e a imagem são as suas probabilidades associadas. 
CARACTERÍSTICAS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE 
 
• A probabilidade de um resultado deve estar sempre situada entre 0 e 1. 
• A soma das probabilidades de todos os resultados mutuamente exclusivos é sempre 1 
 
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA 
Uma variável aleatória discreta é uma variável que pode assumir somente certos valores claramente separados (em descontinuidade) resultantes, por exemplo, de uma contagem de algum item de interesse. 
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA 
 
• Definição: Uma variável aleatória contínua é uma variável que pode assumir um número infinitamente grande de valores (com certas limitações práticas). 
 
Exemplo: (a) Peso de um estudante 
 (b) comprimento de um carro 
 O Valor Esperado (média) de uma Distribuição de Probabilidade Discreta 
 
• A média refere-se a localização central de um conjunto de dados. Ela pode ser considerada como um valor de “longo prazo” de uma variável aleatória e é também chamada de valor esperado (ou esperança matemática), E(X). 
 
• A média de uma distribuição de probabilidade discreta é determinada pela fórmula: 
µ = E(X ) = ∑[X.P(X )]
 onde µ (letra grega, mi) representa a média (ou valor esperado) e P(X) é a probabilidade dos vários resultados de X. 
A Variância e o Desvio Padrão de uma Distribuição de Probabilidade Discreta 
 
• A variância mede a quantidade de dispersão ou variabilidade de uma distribuição. Ela é denotada pela letra grega σ² (sigma ao quadrado). 
• O desvio padrão é obtido através da raiz quadrada de σ² . 
• A variância de uma distribuição de probabilidade discreta é calculada através da fórmula: 
σ² =∑[(X − µ )²P ( X )]
 
O desvio padrão é: 
σ = √σ ²
 
PROBLEMA
Uma empresa especializa-se no aluguel de carros para famílias que necessitam de um carro adicional para um período curto de tempo. O presidente da empresa tem estudado seus registros para as últimas 20 semanas e apresentou os seguintes números de carros alugados por semana. 
	Número de Carros alugados
	Semanas 
	10 
11 
12 
13
	5 
6 
7 
2
Convertendo o número de carros alugados por semana em uma distribuição de 
Probabilidade, obtemos os seguintes dados:
	Número de carros alugados 
	Probabilidade P(X) 
	10 
11 
12 
13 
	0,25 
0,30
0,35 
0,10 
	Total
	1,00
Com estes dados calcule:
a) Calcule o número médio de carros alugados por semana. 
b) Calcule a variância do número de carros alugados por semana. 
c) Calcule o desvio padrão.
RESPOSTAS
a) A média 
 
µ = E( X) = ∑ X P( X) =
( 10 x 0,25) + (11 x 0,30) + (12 x 0,35) + (13 x 0,10)= 11,3
b) A variância
σ² =∑[(X − µ )².P ( X )] =(10 -11,3 )² x 0,25 + (11- 11,3)² x 0,30 + (12-11,3²) x 0,35 + (13-11,3)² x 0,10 = 0,91
c) Desvio padrão
Para este ficar de mais fácil compreensão, fiz duas tabelas com os dados para E(X) e σ² para depois disso obter o desvio padrão.
Cálculo de E(X)
	Número de Carros alugados 
	Probabilidade , P(X)
	XP(X)
	10 
11 
12 
13 
	0,25 
0,30 
0,35 
0,10 
	2,5 
3,3 
4,2 
1,3 
	Total
	1,00
	E(X) = 11,3
Cálculo de σ²
	Número de Carros Alugados 
	Probabilidade P(X)
	(X − µ) 
	(X − µ)²
	(X − µ)².P(X)
	10 
11 
12 
13
	0,25 
0,30 
0,35 
0,10 
	10-11,3 
11-11,3 
12-11,3 
13-11,3 
	1,69 
0,09 
0,49 
2,89 
	0,4225 
0,0270 
0,1715 
0,2890
	Total
	
	
	
	σ ²= 0,9135
Com o valor obtido de 0,9135 para σ ², basta substituir na fórmula σ = √σ ²
σ = √0,9135 = 0,9558 
REFERENCIAS 
http://www.ecn26.ie.ufu.br/TEXTOS_ESTATISTICA/NOTAS%20DE%20AULA%20DE%20ESTATISTICA.pdf acessado em 30/05/14