Cap 7 Propriedades geométricas

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31/08/2015
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Propriedades geométricas de
uma área
URI - Universidade Regional Integrada do Alto
Uruguai e das Missões - Campus de Erechim
Curso de Engenharia Civil
Prof. Daiane de Sena Brisotto
daiabrisotto@uricer.edu.br
Propriedades geométricas de uma área
Frequentemente consideramos a forca peso dos corpos como cargas
concentradas atuando num único ponto, quando na realidade o peso é uma
forca distribuída, isto e, cada pequena porção de matéria tem o seu próprio
peso. Esta simplificação pode ser feita se aplicarmos a forca concentrada num
ponto especial denominado Baricentro. Este ponto deve ter uma distribuição
de matéria homogênea em torno de si.
No caso de uma superfície plana com uma distribuição homogênea de área em
torno de si, a este ponto especial chamaremos de Centróide (ou Centro de
Gravidade – CG).
1) Centróide:
As coordenadas deste ponto serão obtidas, no caso
geral, tomando-se um elemento de área dA e partindo
do centroide deste elemento (xel; yel) fazemos a
integração em toda a área A.
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A integral ∫ x dA e conhecida como Momento Estático de 1a Ordem ou
Momento Estático de Área em relação ao eixo y.
Analogamente, a integral ∫ y dA define o Momento Estático de 1a Ordem
ou Momento Estático de Área em relação ao eixo x.
As coordenadas deste ponto serão:
Qx
Qy
(1.1)
Condições de simetria:
 Se a área tem um eixo de simetria, seu centróide localiza-se ao longo
deste eixo.
 Se a área possui dois eixos de simetria, o centróide localiza-se na
interseção destes eixos.
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Áreas compostas:
 Frequentemente, uma área pode ser secionada ou dividida em áreas
partes.
 Sabendo-se a localização do centróide de cada uma dessas áreas mais
simples, pode-se eliminar a necessidade de integração para a
determinação do centróide de toda a área.
 Se houver um furo ou uma região geométrica sem material, esta região
ou furo serão considerados como área negativa.
(1.2)
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• Encontramos a área total e os momentos de
primeira ordem do retângulo, do triângulo e do
semicírculo. Subtraímos a área e o momento de
primeira ordem do orifício circular.
33
33
mm107,757
mm102,506
×+=
×+=
y
x
Q
Q
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2) Momento de Inércia de uma área:
 O momento de inércia é uma característica geométrica importantíssima
no dimensionamento dos elementos estruturais, pois fornece uma noção
da resistência da peça.
 É uma grandeza que mede a resistência que uma determinada área
oferece quando solicitada ao giro em torno de um determinado eixo
(resistência à flexão).
 A resistência que a área oferece ao giro em torno do eixo x e
representada por:
 A resistência que a área oferece ao giro em torno do eixo y e
representada por:
Unidades: m4 mm4 cm4 ...
(2.1)
(2.2)
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 Por meio destas equações, os momentos de inércia para algumas formas
geométricas comuns foram calculados em tornos dos eixos que passam
pelo centróide:
Teorema dos eixos paralelos:
Se o momento de inércia de uma área em relação a eixos passando pelo
centróide for conhecido, podemos determinar o momento de inércia desta
área em relação a eixos paralelos através das seguintes relações:
(2.3)
Onde:
A = área da seção transversal
dx= distância entre os eixos x e x’
dy= distância entre os eixos y e y’
Ix’, Iy’ = momentos de inércia em relação ao centróide
Ix, Iy = momentos de inércia em relação a eixos paralelos
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Áreas compostas:
 O momento de inércia total de uma superfície de área A em relação a um
dado eixo é a somatória dos momentos de inércia das figuras que a
compõe, com respeito ao mesmo eixo.
(2.4)
3) Produto de inércia :
É uma quantidade usada para o cálculo dos momentos de inércia máximo e
mínimo.
 O produto de inércia de uma área A é dado por:
(3.1)
Unidades: m4 mm4 cm4 ...
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 Ixy pode ser positivo, negativo ou nulo
dependendo da orientação dos eixos
coordenados;
 O produto de inércia será nulo se x ou y
forem um eixo de simetria;
Observações
Teorema dos eixos paralelos
(3.2)
4) Momento de Inércia de uma área em torno
de eixos inclinados:
Em projetos mecânicos ou estruturais, muitas vezes é necessário calcular o
momentos e produto de inércia em relação a eixo inclinados x’e y`, quando
os valores de Ix, Iy, Ixy e θ são conhecidos.
(4.1)
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Com essas equações, os momentos e produtos de inercia da área da em relação a
x’e y tornam-se:
Expandindo essas equações e integrando:
Estas expressões podem ser escritas numa forma alternativa se considerarmos as
seguintes relações trigonométricas:
(4.2)
Momentos principais de inércia:
• O momento de inércia chega ao máximo e ao mínimo quando:
Portanto, em θ = θp:
(4.3)
(4.4)
Substituindo cos 2θp e sen 2θp nas equações 2:
Ix’y’=0
Momentos
principais de
inércia
Produto de inércia em relação aos eixos principais é nulo
Como o produto de inércia é nulo em relação a quaisquer eixos simétricos,
qualquer eixo simétrico representa um eixo principal de inércia de área