Juros Compostos - Apostila

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JUROS COMPOSTOS
Podemos entender os juros compostos como sendo o que popularmente chamamos de juros sobre juros. Mas, na verdade, o correto é afirmar que os juros incidem sobre o montante.
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Matematicamente, o cálculo a juros compostos é conhecido por cálculo exponencial de juros. 
Tabela de Juros Simples
	Final do
	Escala
	Saldo no Início do Ano
	Juros de Cada Ano
	Saldo no Final 
de Cada Ano
	 -
	 0
	 -
	 -
	100,00
	1° Ano
	 1
	100,00
	100,00 x 0,1= 10
	110,00
	2° Ano
	 2
	110,00
	100,00 x 0,1= 10
	120,00
	3° Ano
	 3
	120,00
	100,00 x 0,1= 10
	130,00
	4° Ano
	 4 
	130,00
	100,00 x 0,1= 10
	140,00
Tabela de Juros Composto
	Final do
	Escala
	Saldo no Início de Cada Ano
	Juros de 
Cada Ano
	Saldo no Final 
de Cada Ano
	 -
	 0
	 -
	 -
	100,00
	1° Ano
	 1
	100,00
	100,00 x 0,1= 10,00
	110,00
	2° Ano
	 2
	110,00
	110,00 x 0,1= 11,00
	121,00
	3° Ano
	 3
	121,00
	121,00 x 0,1= 12,10
	133,10
	4° Ano
	 4
	133,10
	133,10 x 0,1= 13,31
	146,41
Exemplo Prático da composição da fórmula:
Considere o capital inicial ( C) $100,00 aplicado a uma taxa mensal de juros compostos 
( i ) de 10% (i = 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (principal + juros), mês a mês: 
Após o 1º ano, teremos: M1 = 100 x 1,1 = 110 = 100(1 + 0,1)
Após o 2º ano, teremos: M2 = 110 x 1,1 = 121 = 100(1 + 0,1)2
Após o 3º ano, teremos: M3 = 121 x 1,1 = 133,10 = 100(1 + 0,1)3 
Após o 4º ano, teremos: M4 = 133,10 x 1,1 = 146,41 = 100(1 + 0,1)4
Após o nº (enésimo) ano, sendo M o montante, teremos evidentemente: 
M = 100(1 + 0,1)n
O conceito de montante é o mesmo definido para capitalização simples, ou seja, é a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicação ou da divida.
A simbologia é a mesma já conhecida, ou seja, (M) o montante, (C) o capital inicial, (n) o período e ( i ), a taxa.
A dedução da fórmula do montante para um único pagamento é pouco mais complexa que aquela já vista para a capitalização simples e para facilitar o entendimento, vamos admitir que defrontamos com o seguinte problema:
Exemplo:
Calcular o montante de um capital de R$ 1.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5 meses.
Dados: 
C = 1.000,00
n = 5 meses
i = 4% a.m.
M = ?
O quadro a seguir permite que visualizemos claramente o cálculo do montante, mês a mês.
 Mês		Capital 	 Juros Corrigido	 Montante	
 1 1.000,00 1.000,00 x 0,04 = 40,00 1.040,00
 2 1.040,00 1.040,00 x 0,04 = 41,60 1.081,60
 3 1.081,60 1.081,60 x 0,04 = 43,26 1.124,86
 4 1.124,86 1.124,86 x 0,04 = 45,00 1.169,86
 5 1.169,86 1.169,86 x 0,04 = 46,79 1.216,65
O valor do MONTANTE no final do quinto mês é de R$ 1.216,65. O montante final de cada mês é o valor do capital inicial do mês seguinte. Entretanto, essa forma de cálculo é bastante trabalhosa e demorada. Vamos deduzir uma fórmula que permita um cálculo mais fácil e rápido, partindo do desenvolvimento anterior, sem no entanto efetuar os cálculos ali demonstrados.
Temos:
em que a expressão (1 + i)n é chamada de fator de capitalização ou fator de acumulação de capital.
Solução:
M = C ( 1 + i)n
M = 1000 ( 1 + 0,04)5
M = 1000 ( 1,04)5
M = 1000 x 1,21665
M = R$ 1.216,65
O VALOR ATUAL (ou valor presente) de um pagamento simples, ou único, cuja conceituação é a mesma já definida para capitalização simples, tem sua fórmula de cálculo deduzida da fórmula, como segue.
M = C (1 + i )n 
	 
 
Exemplo:
No final de 2 anos, o Sr Procópio deverá efetuar um pagamento de R$ 200.000,00 referente ao valor de um empréstimo contraído hoje, mais os juros devidos, correspondente a uma taxa de 3,5% ao mês. Qual o valor emprestado?
Dados: 
M = 200.000,00
n = 2 anos = 24 meses
i = 3,5% a.m.
C = ?
Solução:
 M
 C = 
 (1 + i)n 
C = 200000 / (1 + 0,035)24
C = 200000 / 2,28333
C = R$ 87.592,00
CÁLCULO DOS JUROS COMPOSTOS
Como já foi demonstrado no estudo sobre juros simples o mesmo é calculado através da fórmula:
J = C x i x n,
Neste caso para acharmos os juros de uma aplicação de R$ 1.000,00 para um período de 5 meses com uma taxa de 10% ao mês, basta efetuarmos uma operação simples de multiplicação:
J = 1000 x 0,10 x 5
J = R$ 500,00
No caso dos juros compostos, a fórmula que calcula os juros é a seguinte:
Exemplo:
Qual o juro pago no caso do empréstimo de R$ 1.000,00, aplicado à taxa de juros compostos de 4% ao mês, durante 5 meses?
Dados: 
C = 1.000,00
n = 5 meses
i = 4% a.m.
J = ?
Solução:
J = C [( 1 + i)n - 1]
J = 1000 [( 1 + 0,04)5 - 1]
J = 1000 [1,21665 – 1]
J = 1000 x 0,21665
J = R$ 216,65
Exercício Juros Compostos
1 - Uma pessoa toma R$ 30.000,00 emprestados, a juros de 3% ao mês, pelo prazo de 10 meses, com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido? 
2 – Calcule o montante de R$ 20.000,00 a juros compostos de 3,5% ao mês, durante 35 meses. 
3 – Calcule o montante de R$ 50.000,00, a juros compostos de 2,25% ao mês, no fim de 4 meses.
4 – Calcule o valor futuro de uma aplicação de R$ 8.200,00, por um prazo de 8 meses, no regime de juro composto, à taxa de 1,5% ao mês. 
5 – Qual o valor futuro produzido por R$ 12.000,00 em regime de juro composto, à taxa de 2% ao mês durante 40 meses? 
TAXAS EQUIVALENTES
Como no dia a dia os períodos a que se referem às taxas que se tem e às taxas que se quer são os mais variados, vamos apresentar uma fórmula genérica, que possa ser utilizada para qualquer caso, ou seja; 
 
Já sabemos que duas taxas são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período de tempo, produzem o mesmo rendimento.
No regime de juros compostos, uma aplicação que paga 10% a.m. representa o rendimento, em um trimestre, de:
Atribuindo um capital R$ 100, temos:
M = 100(1,1)3 ( M = 100 x( 1,331 ( M = R$ 133,10. 
Portanto o rendimento no trimestre foi de 33,1%. 
Logo, 10% ao mês é equivalente a 33,1% ao trimestre. Ambas podem ser utilizadas nos problemas; são equivalentes.
Podemos generalizar o cálculo da equivalência entre taxas assim:
Equivalência entre ANO e MÊS: 1 + ia = (1 + im)12 
Equivalência entre ANO e TRIMESTRE: 1 + ia = (1 + it)4 
Equivalência entre SEMESTRE e MÊS: 1 + is = (1 + im)6 
Observamos que o lado da igualdade que contém a menor das unidades de tempo envolvidas fica elevado ao expoente igual a quantas vezes a menor unidade “cabe” na maior.
Exemplo:
1 – Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 3% ao mês.
			 i = [(1 + i)n – 1] x 100
			 i = [( 1 + 0,03)12 – 1] x 100
			 i = [1,4257 – 1] x 100
			 i = 0,4257 x 100
			 i = 42,57% a.a.
2 – Qual a taxa mensal equivalente a 32% ao ano?
			 i = [(1 + i)n – 1] x 100
			 i = [(1 + 0,32)1/12 – 1] x 100
			 i = [(1,34) 1/12 – 1] x 100
			 i = 1,0234 – 1] x 100
			 i = 0,0234 x 100
			 i = 2,34% a.m.
Exercícios
1 – Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente as seguintes taxas:
a) 1,8% a.m.
b) 2,5% a.b.
c) 4,5% a.t. 
d) 18% a.s.
2) Em juros compostos qual a taxa mensal equivalente as seguintestaxas:
a) 75% a.a.
b) 50% a.s.
c) 21% a.t.
d) 0,12% a.d.
JUROS COMPOSTOS PARA PERÍODOS NÃO INTEIROS
As operações de juros compostos para períodos não inteiros podem ser facilitadas se adotarmos a convenção do prazo para dias. Tais como:
1 ano exato = 365 ou 366 dias;
1 ano comercial = 360 dias;
1 semestre = 180 dias;
1 trimestre = 90 dias;
1 mês comercial = 30 dias;
1 mês exato = 28,29,30 ou 31 dias;
1 quinzena = 15 dias.
Quando deparamos com este tipo de situação devemos considerar o prazo 
	QQ (Quanto eu Quero 
N = , sempre considerando o prazo em dias. 
	QT (Quanto eu Tenho)
Sendo assim. Teremos a seguinte fórmula do Montante ou Valor Futuro.
			
Exemplo: 
Determinar o montante de uma aplicação de R$ 13.500,00, negociada a uma taxa de 25% ao ano, para um período de 92 dias pelo regime de juros compostos.
Dados:
C = R$ 13.500,00				Neste caso podemos observar que a taxa está 
i = 25% ao ano				ao ano e o prazo está em dias.
n = 92 dias					As perguntas que se fazem neste momento 
M = ?						são as seguintes:
						
						Qual o prazo que eu quero?
						R.: Quero o prazo de 92 dias, ou seja, 
						Quero achar o montante para 92 dias
						Qual o prazo que eu tenho?
R.: tenho 360 dias. Pois, tenho a taxa para um ano.
Solução:
M = C ( 1 + i)qq/qt
M = 13500 ( 1 + 0,25)92/360
M = 13500 ( 1,25)0,255556...
M = 13500 (1,058683...)
M = R$ 14.292,22
Exercícios
1 – Qual o montante de um valor de investimento de R$ 95.421,35, que foi aplicado à taxa de 12% ao trimestre, durante 218 dias?
2 – Qual o valor do investimento, que aplicado à taxa de 12% ao trimestre, durante 218 dias, produziu um resgate de R$ 125.563,25?
3 – A loja “Arrisca Tudo” financia e vende uma máquina no valor de R$ 10.210,72 para pagamento em 276 dias. Sabendo-se que a loja utiliza uma taxa de 3,9% ao mês, qual o montante a ser pago?
4 – O capital de R$ 7.000,00 foi aplicado durante 116 dias, a uma taxa anual de 12%. Calcular o montante, pela convenção exponencial.
5 – Determinar o valor presente de um resgate de R$ 15.000,00, negociado a uma taxa de 30% ao ano, para um período de 123 dias?
Capitais equivalentes
Diz-se que dois ou mais capitais, com datas de vencimento determinadas, são equivalentes quando, levados para uma mesma data focal à mesma taxa de juros, tiverem valores iguais nesta data.
Exemplo: Consideremos os valores nominais seguintes:
	Montante ($)
	Datas de
Vencimento (anos)
	1.100,00
	1
	1.210,00
	2
	1.331,00
	3
	1.464,10
	4
	1.610,51
	5
Admitindo-se uma taxa de juros compostos de 10% a.a., verificar se os capitais são equivalentes na data focal zero.
Solução: 
C1 = M1 = 1.100,00 = 1.000,00
 (1 + i)1 (1,10)1
C2 = M2 = 1.210,00 = 1.000,00
 (1 + i)2 (1,10)2
C3 = M3 = 1.331,00 = 1.000,00
 (1 + i)3 (1,10)3
C4 = M4 = 1.464,10 = 1.000,00
 (1 + i)4 (1,10)4
C5 = M5 = 1.610,51 = 1.000,00
 (1 + i)5 (1,10)5
Logo, podemos concluir que: C1 = C2 = C3 = C4 = C5
Como os capitais são equivalentes a taxa de juros de 10% a.a. Isto quer dizer que o possuidor de dois ou mais destes capitais, ficará indiferente quanto aos valores nominais. Em outras palavras, a pessoa fica indiferente a possuir $ 1.100,00 em 1 ano ou $ 1.464,10 daqui a 4 anos, desde que a taxa de juros seja de 10% a.a.
Exemplo:
1 - Um título no valor nominal de R$ 8.500,00, com vencimento para 5 meses, é trocado por outro de R$ 7.934,84, com vencimento para 3 meses. Sabendo-se que a taxa de juros corrente de mercado é de 3,5% a.m., pergunta-se se a substituição foi vantajosa.
Solução:
Como os capitais se encontram em instantes diferentes de tempo, devemos considerá-los em uma mesma data focal.
Vamos considerar a data focal zero.
C = M = 8.500 = 8.500 = R$ 7.156,77
 (1 + i)5 (1,035)5 1,187686
C = M = 7.934,84 = 7.934,84 = R$ 7.156,77
 (1 + i)3 (1,035)3 1,108718
Portanto, uma vez que os valores atuais são iguais, considerando a data focal zero e a taxa de 3,5% a.m. Dizemos que os dois títulos são equivalentes à taxa de 3,5% a.m. Então, não houve vantagem alguma na substituição dos títulos.
2 - Pedro tem três opções de pagamento na compra de vestuário que custa R$ 300,00.
a) À vista, com 3% de desconto.
b) Em duas prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira um mês após a compra.
c) Em três prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira no ato da compra.
Qual a melhor opção para Pedro, se o dinheiro vale para ele 2,5% ao mês?
Solução:
a) C = 300 – 3% = R$ 291,00
b) C =150 / (1,025)1 + 150 / (1,025)2 = R$ 289,11
c) C = 100 + 100 / (1,025)1 + 100 / (1,025)2 = R$ 292,74
A melhor alternativa para Pedro é a compra em dois pagamentos, e a pior é a compra em três prestações.
EXERCÍCIO
1 - Uma pessoa possui uma letra de câmbio que vence daqui a 1 ano, com o valor nominal de R$1.344,89. Foi lhe proposta a troca do título por outro, vencível daqui a 3 meses no valor de$1.077,00. Sabendo-se que a taxa de mercado é de 2,5 % a.m., pergunta-se: a troca é vantajosa?
2 – Uma loja vende um produto por R$ 500,00 de entrada, mais três prestações mensais de R$ 80,00 cada uma. Se a loja aplica seus recursos à taxa de 2% a.m. Qual deve ser seu preço à vista equivalente ao pagamento à prazo?
Valor Atual de um Conjunto de Capitais
Conjunto de Capitais é uma carteira de aplicações. Pode ser caracterizada pelo valor nominal do título e por sua data de vencimento. 
Suponhamos que uma pessoa tenha uma carteira de aplicações em títulos de renda fixa com datas de vencimento diferentes. Esta carteira de valores nominais é um conjunto de capitais.
	Montante 
	Data de
Vencimento
	M1
	1
	M2
	2
	M3
	3
	. . .
	. . .
	Mn
	n
Uma questão normal é a de saber qual o valor da carteira, ou seja, o conjunto de capitais numa determinada data. Para isto, é necessário fixar-se a taxa de juros ( i ) e a data focal, que vamos admitir, neste caso, como sendo a data zero.
Nestas condições, o valor da carteira pode ser obtido descontando-se os títulos para a data zero e somando-se os valores obtidos:
O total obtido C é o Capital (Valor Atual) do conjunto de capitais na data zero. É o valor atual desta carteira, que é quanto ela vale. Ou seja, dado um custo de oportunidade de capital (a taxa de juros vigente no mercado) e uma data de comparação, podemos dizer que o valor atual naquela data “mede” o valor da carteira.
Exemplo: 
Admitamos o conjunto de capitais seguintes:
 
	Montante ($)
	Data de
Vencimento (mês)
	1.000,00
	6
	2.000,00
	12
	5.000,00
	15
Admitindo-se a taxa de juros de 3% a.m., pergunta-se qual o valor atual deste conjunto na data focal zero.
Solução:
C = 1.000 + 2.000 + 5.000 
 (1,03)6 (1,03)12 (1,03)15 
C = 837,48 + 1.402,76 + 3.209,31
C = $ 5.449,55
Podemos concluir que $ 5.449,55 é o valor da carteira na data zero, à taxa de 3% a.m. Ou seja, se a pessoa vender a carteira hoje (data zero) por $ 5.449,55, o comprador estará ganhando uma taxa de 3% a.m.
É claro que, se o vendedor vender por mais do que $ 5.449,55, ele estará ganhando uma taxa maior do que 3% a.m. e vice-versa. Isto porque o capital equivalente na data focal zero, à taxa de 3% a.m. é exatamente $ 5.449,55.
	
	EXERCÍCIOS
1 – Dado o fluxo de caixa de uma alternativa de investimento:
	Fluxo de Caixa ($)
	Datas (anos)
	-1.000,00
	0
	2.000,00
	1
	3.000,00
	2
	4.000,00
	3
Pede-se calcular o Valor Atualàs taxas de juros de 5% a.a., 10% a.a, 15% a.a. e 20% a.a.
 
M = C ( 1 + i)n
	 M
 C = 
 (1 + i)n 
J = C [(1 + i)n - 1]
i = [( 1 + i)n – 1] x 100
M = C ( 1 + i)qq/qt
C = M1 + M2 + M3 + . . . + Mn
 (1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)3 (1 + i)n