Engenharia econômica Fatores de Equivalência

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Relações de Equivalência
Professor Artur Santa Catarina
Engenharia Econômica
Objetivos de Aprendizado
Espera-se que após as aulas teóricas e a resolução dos exercícios:
O aluno deve compreender perfeitamente a equivalência entre os diversas formas de fluxo de caixa.
O aluno deve compreender o efeito de “desconto” da taxa de juros quando aplicada no cálculo de valores presentes.
O aluno deve ter claras as possíveis aplicações das relações de equivalência na resolução de problemas do dia-a-dia.
O aluno deve estar capacitado para utilizar os fatores de equivalência e as respectivas tabelas.
Caso o aluno não tenha obtido estes objetivos, deve buscar o professor para tirar as dúvidas.
						
1. Relações de Equivalência
A resolução de determinados problemas é facilitada pela aplicação de fatores de equivalência.
Há fórmulas para esses fatores, mas eles também são tabelados e fazem parte do jargão de MTM Financeira.
Os fatores representam determinadas relações que serão trabalhadas a seguir:
Relação entre P e F
Relação entre P e A
Relação entre F e A
Relação entre P e G
						
F
Como o nome diz, calculam a equivalência entre valores monetários em tempos diferentes.
É um conceito muito importante como veremos!
1. Relações de Equivalência
1.1 Relações entre “ P” e “F”
a) Achar F dado P: esta relação é a aplicação direta da fórmula dos juros compostos.
F=P(1+i)n 
b) Achar P dado F: aplicação a fórmula dos juros compostos, porém, isolando o P, para se encontrar o F.	
P=F/ (1+i)n 
Na letra a), a taxa de juros atua capitalizando o valor presente para se chegar ao valor futuro.
Já na letra b), a taxa de juros desconta o valor futuro para se encontrar o valor presente. 				
Estes fatores que foram apresentados, também são encontrados em tabelas ou podem ser calculados em planilhas eletrônicas e em calculadoras financeiras e de engenharia.
Tabelado:
( 1 + i )n Tabelado ( F / P;i ; n)
		F=P* ( F / P; i ; n ) 
A expressão á direita, não é uma fórmula, mas uma representação de parâmetros necessários para o cálculo ou para se buscar nas tabelas. 	
1.1 Fatores de Equivalência e tabelas
Exemplo 1: Paulo conseguiu um papagaio (empréstimo) de UM 100.000,00 em um banco que cobra 5% ao mês de taxa de juros. Quanto deverá pagar se o prazo do empréstimo for de cinco meses? Resolva o problema:
a) analiticamente (fórmulas), 	b) utilizando a tabela financeira, c) usando as HPs d) a planilha financeira (casa)
Solução:
a) = 100.000(1+0,05)5
 = 127.628,16
b) F = P(F/P; 5 %; 5)
 = 100.000,00 x 1,276282
 = 127.628,20
1.1 Exemplo
1.2 Relações entre A e P
Achar “ A “ dado “ P ”
 
			0 1 ... n dado P 0 1 ... n 
 Achar A 
				A
Quer-se encontrar uma série de parcelas que sejam equivalentes a um dado valor presente.
Exemplos: Crédito Direto ao Consumidor, Tabela Price, Prestações Constantes.
Exemplo: Paulo está interessado em comprar uma moto cujo preço à vista é UM 400.000,00. Se Paulo der uma entrada de UM 50.000,00 e pagar o restante em 24 meses, qual será o valor da prestação se a taxa for de 5% ao mês?
Solução: Valor financiado = 400.000,00 - 50.000,00 = 350.000,00. O problema agora se resume em achar o valor de A no fluxo de caixa a seguir:
1.2 Exemplo, achar A dado P
A = P (A/P; 5 %; 24)
 = 350.000,00 x 0,07247
 = 25.364,50
1.2 Exemplo, achar A dado P
Achar “ P “ dado “ A ”
 				P
Dado: 0 1 ... n achar 0 1 ... n 
		 A
Exemplos: Crédito Direto ao Consumidor, Tabela Price, Prestações Constantes.
1.2 Relações entre A e P
1.2 Exemplo, achar P dado A
Exemplo: 
Seja um televisor anunciado na Arapuã, tendo como forma de pagamento 6 prestações mensais de R$ 300,00 com uma taxa de juros de 7,0% am.
Qual o preço à vista do televisor?
Vamos resolver no quadro e na Planilha eletrônica.
					
Achar “F” dado “A” 
		 				 F
Dado : 0 1 .... n achar 0 1 .... n
 A
F=A (1+i)n-1 + A (1+i)n-2 + A (1+i)n-3 +... +A (1+i)+A
F=A[1+ (1+i) + ... + A (1+i)n-2 + A (1+i)n-1]
P.G. com “n”termos, sendo o primeiro 1, razão (1+i).
 
1.3 Relações entre A e F
Exemplo achar F dado A
Macunaima consegue separar R$ 500,00 para investir. Ele pretende fazer isto por 6 meses, a partir do mês seguinte que começou a economizar. Este investimento rende 3% am. Quanto dinheiro terá ao final de seis meses ?
1.3 Relações entre A e F
A = R$500,00
n = 6 meses
i = 3% a.m.
F = 500.(F/A;3%;6)
F = R$3.234,204942
			
Achar “A” dado “F” 
		 				 F
Achar : 0 1 .... n dado 0 1 .... n
 A
 
Que é a mesma fórmula, porém, isolada para A ao invés de F. O fator de equivalência é o mesmo, porém elevado à -1. Ajudanos a saber o quanto investir por período para conseguir acumular determinado capital.
1.3 Relações entre A e F
Exemplo: Para formatura é necessário que cada aluno junte R$ 5.000,00 reais. Sabendo-se que tem-se 60 meses para juntar esta quantia, considerando que a poupança rende 1,5% am. Quanto deverá ser pago por aluno ao mês ?
O primeiro passo é representar graficamente o problema.
Após, basta aplicar diretamente a fórmula vista.
	R. R$51,97
Pergunta: há incertezas envolvidas neste planejamento, quais?
1.3 Exemplo
2. Séries Perpétuas
Séries Perpétuas
Só paga os juros, não amortiza nada.
ou A=i.P
Exemplo: clubes, aposentadorias
Matemática Financeira
Relações de Equivalência
Exercício 1: Calcule os valores presente dos seguintes fluxos de caixa:
a)
b)
Matemática Financeira
Relações de Equivalência
Solução: Primeiro calcula-se o valor Futuro referente à Série Uniforme e após calcula-se o valor Presente, tudo numa única expressão:
a) P = 100 x (F/A; 10%; 9) x (P/F; 10%; l0)
 = 523,55
b) P = 50 x (F/A; 10%; 12) x (P/F; 10%; 15) + 70 x (P/F; 10%; 15)
 = 272,72
Tabela de Fórmulas para apoio em aula
PAGAMENTO
SIMPLES
NOTAÇÃO
INTERNACIONAL
FÓRMULA
1. Achar F dado P
(F/P; i; n)
(1+i)n
2. Achar P dado F
(P/F; i; n)
SÉRIE UNIFORME
1. Achar F dado A
(F/A; i; n)
2. Achar P dado A
(P/A; i; n)
3. Achar A dado F
(A/F; i; n)
4. Achar A dado P
(A/P; i; n)
SÉRIE GRADIENTE
1. Achar A dado G
(A/G; i; n)
2. Achar P dado G
(P/G; i; n)
Outras Fórmulas
�
SÉRIES ANTECIPADAS
1. Achar F dado A'
(F/A'; i; n)
2. Achar P dado A'
(P/A'; i; n)
3. Achar A' dado F
(A'/F; i; n)
4. Achar A' dado P
(A'/P; i; n)
JUROS CONTÍNUOS
1. Achar F dado P
ein
2. Achar P dado F
e-in
�
FIM