lista 8

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CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I – LISTA 8 
PROF.NELSON BARBOSA 
barbosa@uenf.br 
 
1) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento das funções abaixo: 
 
a) 13 23 +−= xxy d) 
x
xy 12 +=
 g) 21
1
x
y
+
=
 j) 2xey −= 
 
b) 12 23 +++= xxxy e) 2
1
x
xy +=
 h) 2
2
1 x
xy
+
=
 k) 
x
xxy 1
23 +−
=
 
 
c) 
x
xy 1+=
 f) 35 53 xxy −= i) xey −−= 2 l) 2
2
1
43
x
xxy
+
+
=
 
 
 
2) Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão: 
 
a) 13 23 +−= xxy d) 142 23 +−−= xxxy g) 
22
2
−
=
x
xy
 
 
b) 12 23 +++= xxxy e) xxey 2−= h) xx eey 2−− −= 
 
c) xxxy 93 23 −−= f) xxy /12 += i) 21 x
xy
+
=
 
 
 
3) Sabendo os intervalos de crescimento e decrescimento (questão 2) e relação com a concavidade e ponto 
de inflexão (questão 3), esboce as alternativas (a) e (b) da questão anterior. 
 
4) Dado o gráfico da função f, determine: 
 
a) Pontos máximo e mínimo relativos, caso existam; 
b) Intervalos onde f tem concavidade para cima e onde tem concavidade para baixo; 
c) Todos os pintos de inflexão; 
d) Intervalos onde f é crescente e/ou decrescente. 
 
 
 
5) Verifique que a função ( ) xxxf 33 −= satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio, restrita ao 
intervalo [-2,2]. Determine o(s) ponto(s) que satisfazem esse Teorema. 
 
6) Localize os pontos onde ocorrem os extremos absolutos das funções nos intervalos dados: 
 
a) ( ) [ ]3,1,3 23 −∈−= xxxxf 
b) ( ) [ ]pi4,0,2sincos2 ∈+= xxxxf 
c) ( ) [ ]2,2,2
35
35
−∈+−= x
xx
xf
 
 
7) Considere a função ( )
1
2
−
=
x
x
xf . Determine os pontos de máximo e mínimo absolutos de f, caso 
existam, assim como a sua imagem. Esboce o gráfico de f. Tome o mesmo procedimento para a 
seguinte função: ( ) 496 23 −+−= xxxxf no intervalo [1,5]. 
 
8) Sejam ( ) 2 14 x
x
xf −= , ( ) xxexg 22 +−= e ( ) ( ) xexxh 32 −= . 
 
a) Determine o domínio de cada uma das funções e as intersecções do seu gráfico com os eixos de 
coordenadas. 
b) Determine as regiões de crescimento e decrescimento do gráfico de cada função, assim como os 
pontos de máximo e de mínimo locais, caso existam. 
c) Determine as regiões onde o gráfico de cada função é côncavo para baixo e onde o gráfico é côncavo 
para cima, assim como seus pontos de inflexão, caso existam. 
d) Descreva o comportamento assintótico do gráfico de cada função. 
e) Esboce seus gráficos. 
 
9) Seja ( )
1
12
−
−
=
x
x
xf . i) Determine o domínio de f e ( ) ( ) ( ) ( )yfxfyf ' e ' , 11 −− . ii) Use a fórmula do 
Teorema da Função Inversa para calcular ( ) ( )yf '1− . 
 
10) Seja ℜ⊂→ℜ⊂ JIf : , uma função diferenciável, tal que para todo x pertencem a esse intervalo I, 
( ) 0' >xf , onde I é um intervalo aberto e ( )IfJ = . Sabendo que ( ) 23 −=f e que ( ) 2/13' =f , 
determine a equação da reta tangente ao gráfico da função inversa de f, no ponto ( )( )( )22,- 1 −−f . 
 
11) Determine se a função ( ) 196 23 ++−= xxxxf é inversível em cada um dos intervalos a seguir: 
 
a) ( )1,∞− c) ( )3,1 e) ( )∞+,3 
b) ( )3,0 d) ( )∞+,2 f) [ [∞+,3 
 
12) Calcule a derivada das seguintes funções: 
 
a) ( ) 





=
x
xarcxf 1csc
 e) ( ) ( ) ( )xarcxxf 3cscln2= 
b) ( ) ( )xxxf arccos= f) ( ) ( )2/32 sec xarcexf x−= 
c) ( ) 





−
= 21
2
arctan
x
x
xxf
 g) ( ) 





−
=
1
2
arctan2 2
2
x
e
xxf
x
 
d) ( ) ( )xxxf 2arcsin2= h) ( ) ( ) ( )xxarcxf 2arcsincot 2= 
 
13) Determine os dois números não negativos cuja soma é igual a dez e tais que, o produto de um deles 
pelo quadrado do outro seja máximo. 
14) Um triângulo retângulo de hipotenusa 121/2 é girado em torno de um de seus catetos, gerando um 
cone. Determine o raio e altura do cone de maior volume que pode ser gerado dessa maneira. 
 
15) Uma cerca de 8m de altura corre paralela a um edifício a uma distância de 4m desta. Qual é o 
comprimento da menor escada que alcança o edifício quando inclinada sobre a cerca?7 
 
16) Determine o ponto da parábola ( ) 2xxf = que está mais próximo do ponto (7, -2) . 
 
17) A diferença entre dois números é igual a 10. Determine esses números de modo que o produtoseja 
mínimo. 
 
18) José deseja fazer um jardim retangular de 30m2 em seu quintal. Encontre as dimensões desse jardim 
que minimize a quantidade de material para cercá-lo. 
 
19) Ache as dimensões do cilindro circular reto de maior volume que possa ser inscrito num cone circular 
reto com raio de 5cm e 12cm de altura. 
 
20) Ache as dimensões do cilindro circular reto de maior área de superfície lateral que possa ser inscrito 
numa esfera de raio 6m. 
 
21) Calcule o limite das seguintes funções: 
 
a) ( )
x
x
x
−
→ 2
sinlim
2
pi
 e) 





 +−−
→ x
xx
x
11lim
0
 
b) ( )
x
x
x /5
/7sinlim
+∞→
 f) ( )1sin
1lim
2
1 +
−
−→ x
x
x
 
c) 
x
x
x ex
xe
2
2
lim
−
+
+∞→
 g) 
xx
e x
x +
+
+∞→ 2
2 4lim
 
d) x
x
xe2lim
+∞→
 h) 
xx e
xx
2
2
4
lim
+
+
+∞→
 
e) xx
x
2lnlim
0+→
 i) 
16
12lim 2
2
4
−
−−
→ x
xx
x
 
f) 
x
x
x tan
lim
0→
 j) 
xx e
x
+∞→
lim
 
g) 





−
−
−+→ 2
1
6
5lim 22 xxxx
 k) 
x
x
x ln
lim
0+→
 
h) 





−
−
−
→ 1
1
1
2lim 20 xxx
 l) 2sinlim
2
xx e
xx
+∞→
 
i) ( )xx
x
pisinlim
+∞→
 m) 2
22lim
xx e
x
−∞→