Cálculo e Geometria Analítica

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Ca´lculo Avaliac¸a˜o Final 08/12/2011
Nome: RA:
1. Considere a func¸a˜o f(x) =
1
x3 + 1
.
a. Determine o domı´nio de f ;
b. Determine as ass´ıntotas horizontais e verticais de f ;
c. Calcule a primeira e a segunda derivada de f ;
d. Determine os pontos cr´ıticos e os intervalos de crescimento e decrescimento;
e. Determine os pontos de inflexa˜o e a concavidade do gra´fico;
f. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f .
2. Uma bola e´ atirada verticalmente para cima a partir do solo com velocidade inicial 40m/s.
Supondo que a bola tem acelerac¸a˜o constante igual a −10m/s2 (acelerac¸a˜o da gravidade),
determine:
a. A velocidade e a altura da bola no instante t = 2s.
b. A altura ma´xima atingida pela bola.
3. Considere os pontos (0, 0), (2, 1) e (1, 2):
a. Represente esses pontos no plano e encontre as equac¸o˜es das 3 retas determinadas por eles.
b. Calcule a a´rea do triaˆngulo cujos ve´rtices sa˜o os 3 pontos dados
4. Calcule as integrais abaixo:
a.
∫
ln(x) dx
b.
∫
sen(x)
cos(x)
dx
c.
∫∫
R
xy dA onde R e´ a regia˜o no plano limitada pelas retas y = x, y = 2x e x = 2.
d.
∫∫
S
ex
2+y2 dA, onde S e´ o primeiro quadrante do c´ırculo de raio 3, x2 + y2 ≤ 9.
5. Considere a func¸a˜o f(x, y) = x2 + y3 − 2xy.
a. Calcule as derivadas parciais de f .
b. Encontre os pontos cr´ıticos e classifique-os.
c. Calcule a taxa de variac¸a˜o de f em (1, 1) na direc¸a˜o do vetor unita´rio
(
1√
2
, 1√
2
)
.
d. Calcule a direc¸a˜o e a taxa de maior variac¸a˜o de f a partir do ponto (1, 1).
BOA PROVA!!!