P1-SUB-A_Gabarito

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y +1/1/60+ y
Fenômenos Mecânicos
Prova 1 - SUB A - 2019.3
Nome:
RA:
Entre seu RA ao lado usando as
caixas, o primeiro digito na caixa
mais a sua esquerda e o último
digito na caixa mais a sua direita.
Preencha completamente as caixas
com caneta azul ou preta.
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Observações:
• Os cálculos deverão ser desenvolvidos e apresentados nas respostas. A simples apresentação
do resultado final não obterá pontos.
• Sempre que necessário vetores devem ser expressos utilizando a notação vetorial em termos
dos vetores unitários î, ĵ, k̂.
Formulário - Cálculo de Erros:
• Desvio Padrão da Média:
σx̄ =
1√
N (N − 1)
√√√√ N∑
i=1
(xi − x̄)2
• Propagação de Erros:
F (x1, x2, x3)→ σF =
√(
∂F
∂x1
)2
σ2x1 +
(
∂F
∂x2
)2
σ2x2 +
(
∂F
∂x3
)2
σ2x3
F (x1) = ax1 → σF = aσx1
F (x1) = axn1 → σF = anxn−11 σx1
F (x1, x2) = a
x1
x2
→ σF = a
x1
x2
√(
σx1
x1
)2
+
(
σx2
x2
)2
F (x1, x2) = ax1x2 → σF = ax1x2
√(
σx1
x1
)2
+
(
σx2
x2
)2
F (x1, x2) = a (x1 ± x2)→ σF = a
√
σ2x1 + σ2x2
y y
y +1/2/59+ y
Questão 1 (25 pontos) No jogo do Brasil contra a Inglaterra, na Copa de 2002, Ronaldinho
Gaúcho marcou o segundo gol brasileiro cobrando uma falta. A distância entre o ponto do chute
e o ponto em que a bola entrou no gol valia aproximadamente d = 35,4 m, e a altura a partir do
chão do ponto em que a bola entrou foi de h = 2,20 m. Suponha que o ângulo de lançamento seja
θ = 45,0◦. Coloque o sistema de referência com a origem no ponto onde a bola foi chutada, com
o eixo x positivo apontando para a direita e o eixo y positivo apontando para cima. Assuma a
aceleração da gravidade g = 9,80 m/s2.
a) (5 pontos) Escreva a equação para o vetor trajetória da bola (vetor posição em função do
tempo) em função do módulo da velocidade inicial (v0).
b) (5 pontos) Escreva a equação para o vetor velocidade da bola em função do tempo. Escreva
a resposta em função do módulo da velocidade inicial (v0).
c) (10 pontos) Calcule o módulo do vetor velocidade inicial (v0).
d) (5 pontos) Obtenha o vetor velocidade ~v da bola no instante em que ela entra no gol.
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a) Na direção horizontal o movimento da bola ocorre com velocidade constante v0x = v0 cos θ, tal
que:
x(t) = x0 + v0xt = v0 cos θt e vx(t) = v0 cos θ
Já na direção vertical o movimento possui aceleração constante:
y(t) = y0 + v0yt
1
2ayt
2 = y0 + v0 sin θt−
1
2gt
2 e vy(t) = v0 sin θ − gt
Então:
~r(t) =
√
2
2 v0t î+
(√
2
2 v0t−
1
2gt
2
)
ĵ
b) Utilizando os resultados do item anterior:
~v(t) =
√
2
2 v0 î+
(√
2
2 v0 − gt
)
ĵ
c) No instante em a bola entra no gol (t = tG), temos:
~r(tG) = dî+ hĵ =
√
2
2 v0tG î+
(√
2
2 v0tG −
1
2gt
2
G
)
ĵ
y y
y +1/3/58+ y
Então:
d =
√
2
2 v0tG e h =
√
2
2 v0tG −
1
2gt
2
G
Resolvendo as equações acima, obtém-se:
tG =
√
2(d− h)
g
e v0 = d
√
g
d− h
Então:
v0 ' 19, 2 m/s
d) No instante t = tG ' 2, 6 s, temos:
~v(tG) =
√
2
2 v0 î+
(√
2
2 v0 − gtG
)
ĵ ⇒ ~v(tG) = 13, 6̂i− 11, 9ĵ m/s
y y
y +1/4/57+ y
Questão 2 (25 pontos) Uma pedra de massa m = 1, 5 kg, presa a um cordão de comprimento
L = 0, 2 m, é girada por um menino de tal modo que a sua trajetória seja representada por um
círculo horizontal (ver figura) a uma altura h = 0, 3 m acima do solo. A corda forma um ângula
θ = 30◦ com a vertical e o módulo da velocidade da pedra, v = 0, 4 m/s, é constante. Despreze a
resistência do ar. Adote g = 9, 8 m/s2.
a) (5 pontos) Esboce um diagrama de forças para a pedra.
b) (5 pontos) Determine o módulo da aceleração centrípeta da pedra.
c) (5 pontos) Calcule o módulo da tensão na corda.
d) (10 pontos) Em um dado momento o cordão arrebenta e a pedra é lançada horizontalmente,
caindo no solo. Quanto tempo a pedra leva para atingir o solo?
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a) As forças que atuam sobre a pedra são a tração do fio e a força peso:
b) Como o módulo da velocidade da pedra é v e o raio da cículo é R = L sin θ, temos:
ac =
v2
R
⇒ ac =
v2
L sin θ = 1, 6 m/s
2
c) A componente horizontal da tensão deve realizar o papel de força centrípeta. Então:
T sin θ = mac ⇒ T =
mv2
L sin2 θ
= 4, 8 N
d) No momento que o cordão arrebenta a velocidade da pedra só possui componente horizontal.
Então a componente vertical (y) da trajetória da pedra é:
y(t) = h− gt
2
2
y y
y +1/5/56+ y
Portanto a pedra atingirá o solo quando:
y(t) = 0⇒ t =
√
2h
g
' 0, 25 m
y y
y +1/6/55+ y
Questão 3 (25 pontos) Na figura abaixo, o bloco de massa m é acelerado a partir do repouso
por uma mola comprimida de constante elástica k. O bloco se desprende da mola no instante em
que esta atinge o seu comprimento relaxado. Após se desprender da mola o bloco se desloca em
um piso horizontal com um coeficiente de atrito cinético µk. A força de atrito pára o bloco após
este deslizar por uma distância D. Escreva as suas respostas em função das quantidades dadas
(m, k, µk, D) e da aceleração da gravidade (g). Determine:
a) (5 pontos) o módulo da aceleração do bloco enquanto este desliza pelo piso com atrito;
b) (5 pontos) O trabalho total realizado pela força de atrito;
c) (5 pontos) A energia cinética máxima do bloco;
d) (10 pontos) A compressão inicial da mola.
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a) O módulo da força de atrito cinético é dada por:
Fk = Nµk = mgµk
Como esta é força resultante que atua sobre o bloco após ele se desprender da mola:
Fk = ma⇒ a = gµk
b) O trabalho realizado pela força de atrito é dado por:
W = −FkD ⇒ W = −mgµkD
c) A energia cinética será máxima quando o bloco se desprende da mola. Como o trabalho realizado
pela força de atrito é igual à variação de energia cinética do bloco e sua energia cinética final é
zero, temos:
W = Kf −K0 = −K0 ⇒ K0 = mgµkD
d) Como a força elástica é conservativa, enquanto o bloco está em contato com a mola a energia
mecânica do sistema será conservada. A energia do bloco ao se desprender da mola corresponde
a energia cinética calculada no item anterior (K0). Já a energia inicial (máxima compressão da
mola) é:
E0 =
k∆x2
2 = Ef = K0 = mgµkD
Então:
∆x2 = 2
k
mgµkD ⇒ x =
√
2
k
mgµkD
y y
y +1/7/54+ y
Questão 4 (25 pontos) Um carrinho que parte do repouso, desliza sobre um trilho de ar. Neste
experimento alunos coletam os seguintes dados usando uma régua para a distância percorrida pelo
carrinho e um cronômetro para coletar o tempo empregado em cada distância. Com estas medidas
os alunos determinaram a posição do carrinho em função do tempo, como mostrado na tabela
abaixo.
X (cm) 0,0 27± 1 110± 1 190± 1
T(s) 0,0 0, 30± 0, 05 0, 60± 0, 05 0, 80± 0, 05
a) (5 pontos) Calcule a velocidade média no útimo trecho (entre 0,6 e 0,8s) e sua incerteza.
b) (10 pontos) No papel milimetrado abaixo, faça o gráfico da posição X em função do tempo T
(incluindo as barras de erro).
c) (10 pontos) Utilizando o método de mínimos quadrados, obtém-se os seguintes valores para os
coeficientes angular (a) e linear (b) do gráfico:
a = (320± 20) cm/s b = (−74± 2) cm
Utilizando estes valores trace em seu gráfico a reta que melhor se ajusta aos dados. Você
concluiria que o movimento medido é uniforme (aceleração nula)? Justifique.
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a) A velocidade média no último trecho é dada por:
v = ∆X∆T
onde ∆X = X4 −X3 = 190 − 110 = 80 cm e ∆T = T4 − T3 = 0, 8 − 0, 6 = 0, 2 s. Utilizando
propagação de errors a incerteza da velocidade média é:
σv = v
√(σ∆X
∆X
)2
+
(σ∆T
∆T
)2
onde σ∆X =
√
σ2X4 + σ
2
X3
= 1 cm e σ∆T =
√
σ2T4 + σ
2
T3
= 0, 07 s. Então:
v = (400± 100) m/s
b) Gráfico de X por T .
c) Levando em consideração as incertezas, o resultado encontrado no item a) é consistente com a
velocidade média obtida atraveś do método dos mínimos quadrados. Portanto pode-se concluir
que o movimento é uniforme.
y y