Exercícios Vetores Green e outros

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FURB - UNIVERSIDADE REGIONAL DE BLUMENAU
CA´LCULO III - TRABALHO CAMPOS VETORIAIS,LINHA, GREEN E OUTROS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA - PROF. JULIO CESAR CABRAL
1. Esboce o campo vetorial F desenhando seu diagrama:
(a) ~F (x, y) = 1
2
(ˆi + jˆ)
(b) ~F (x, y) = iˆ + xjˆ
2. Determine o campo do vetor gradiente de f :
(a) f(x, y) = ln(x + 2y)
(b) f(x, y) = xα e−βx
3. Calcule a integral de linha onde C e´ a curva dada:
(a)
∫
C y ds C : x = t
2, y = t, 0 ≤ t ≤ 2
(b)
∫
C (y/x) dx C : x = t
4, y = t3, 0 ≤ t ≤ 1
(c)
∫
C xy
4 dy C : x = 4 cos(t), y = 4 sin(t), −pi
2
≤ t ≤ pi
2
4. Determine se ~F e´ conservativo:
(a) ~F (x, y) = (6x + 5y)ˆi + (5x + 4y)jˆ
(b) ~F (x, y) = (x3 + 4xy)ˆi + (4xy − y3)jˆ
5. Calcule as integrais de linhas (a) diretamente (b) pelo Teorema de Green:
(a)
∮
C xy
2 dx+x3 dy C e´ um retaˆngulo com ve´rtices (0, 0), (2, 0), (2, 3), e (0, 3).
(b)
∮
C y dx− x dy C e´ um c´ırculo com centro e raio 1.
6. Determine (a) o rotacional e (b) a divergeˆncia do campo vetorial:
(a) ~F (x, y, z) = xyziˆ− x2ykˆ
(b) ~F (x, y, z) = x2yziˆ + xy2zjˆ + xyz2kˆ
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