Relatório Ondas estacionárias

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA
RELATÓRIO VI – ONDAS ESTACIONÁRIAS
TOLEDO-PR
Agosto/2015
ONDAS ESTACIONÁRIAS
Relatório apresentado a disciplina de Física Geral e Experimental II do curso de Engenharia Química da Universidade Estadual do Oeste do Paraná – Campus Toledo.
Prof: Dr. Fernando Rodolfo Espinoza-Quiñones.
	
TOLEDO – PARANÁ
2015
RESUMO
	Com base na observação de ondas estacionárias produzidas em fios de aço revestidos por nylon que suportavam diferentes tensões, determinaram-se diversos parâmetros tais como densidade linear do fio e comprimento de onda através de métodos diretos e indiretos. As ondas foram geradas a partir da passagem de corrente alternada por um ímã permanente, que formava um campo magnético, possibilitando dessa forma a observação de diferentes modos de vibração. Além disso, determinou-se a frequência, a fim de compará-la com a frequência da rede elétrica utilizada, parâmetro este já conhecido. Para tanto, foi necessária a determinação da velocidade pelo método direto (utilizando a tensão e densidade linear) e indireto (levando em conta o modo de vibração, frequência da rede elétrica e distância entre as extremidades do fio). Por fim, foram determinados os valores de tensão iniciais, que foram comparadas com as tensões aplicadas experimentalmente com o auxílio de discos metálicos com diferentes pesos. Estes valores variaram de 2,67 a 6,08 N. A partir deste experimento, pode-se relacionar de uma maneira prática a determinação de parâmetros que caracterizam a onda através das propriedades do fio e as condições ao qual o sistema é submetido. 
Palavras-chave: Ondas estacionárias, oscilações, modo de vibração. 
INTRODUÇÃO
	Ondas mecânicas são perturbações que precisam de um meio material elásticopara se propagarem, e por esse meio transportam energia e quantidade de movimento. Essas ondas são divididas em ondas transversais, em que o movimento dos elementos oscilantes ocorre de maneira perpendicular a direção de propagação da onda, e as ondas longitudinais, em que partículas se movimentam de forma paralela a direção da onda (HALLIDAY, 1993).
	Quando o padrão de vibração é estacionário, as ondas são denominadas estacionárias, se formando pela superposição de duas ondas iguais, porém, de sentidos opostos. Algumas propriedades são importantes para caracterizar as ondas, como a velocidade, o comprimento de onda e a frequência. 
A velocidade de uma onda estacionária em uma corda ou fio independe da forma e da amplitude da onda quando as oscilações são pequenas. O comprimento de onda (λ) de uma onda é a distância entre as repetições da forma da onda. A frequência é o número de oscilações por unidade de tempo e esta diretamente relacionada com a frequência angular (HALLIDAY, 1993).
	Ondas transversais são facilmente visualizadas em cordas, essas ondas são consideradas unidimensionais e obedecem a Equação 1.Soluções desta equação podem ser progressivas à direita ou à esquerda e suas superposições podem ser chamadas de interferências. Ondas progressivas normalmente se propagam até atingirem a extremidade e então são refletidas, gerando uma onda progressiva no sentido oposto (ESPINOZA, 2015).
	
	(1)
	Quando se propaga uma onda em uma corda vibrante a velocidade pode ser descrita pela Equação 2, em que T é a tensão e a densidade (μ) é a propriedade inercial, pois a velocidade de uma onda em uma corda esticada, ou tensionada, é determinada através das propriedades elástica e inercial da corda (Figura 1).
	
Figura 1 – Demonstração da tensão e da onda em uma corda
	
	(2)
	Outra forma de calcular a velocidade de uma onda é utilizando a frequência de oscilação que gera uma perturbação e o comprimento de onda (Equação 3)
	
	(3)
	Quando ocorre um fenômeno de transferência das ondas progressivas harmônicas o resultado são ondas estacionárias, de fácil obtenção através da sobreposição de uma progressiva em uma corda. As ondas estacionárias têm uma característica marcante, de que existem certos pontos na corda em que ela nunca se move, chamados de nós, e os ventres, que são as distâncias entre dois nós. A Figura 2 representa as diferentes configurações de uma onda estacionária, em que as posições de máximos e mínimos não variam e a onda não se move nem para a esquerda e nem para a direita (HALLIDAY, 1993).
	
Figura 2 – Diferentes configurações para a onda estacionária
Desta forma, o objetivo desta prática foi determinar a velocidade de propagação da onda, o comprimento de onda, a frequência e a densidade linear em diferentes modos de vibração por dois diferentes métodos (direto e indireto) (ESPINOZA, 2015).
MATERIAIS E MÉTODOS
O dispositivo utilizado para a realização do experimento consite em um suporte metálico fixado à bancada a fim de manter um extremo do fio fixo enquanto ao outro uma roldana metálica com rolamento foi encaixada. Foram utilizados três fios de aço resvestidos em nylon, diferentes entre si pela tensão máxima suportada, sendo esta de 30, 40 e 50 libras. 
Para que pudessem ser visualizados os modos de vibração foram utilizados um imã permanente em formato de U que geraria um campo magnético; uma fonte de corrente alternada com saída máxima de 5 A; uma chave liga-desliga com bornes – a qual era acionada para iniciar o processo de formação da onda e desligada a cada pausa na experiência. Devido à resistência elétrica apresentada pelo fio, a corrente elétrica utilizada foi menor que 1 A. Para controle da corrente elétrica foi utilizado um amperímetro digital. Foram tomados os devidos cuidados a fim de que os operadores não sofressem choques elétricos. A tensão no fio foi gerada por discos metálicos (de pesos 3, 2, 1, 0,5 e 0,1 N), os quais foram suspensos em um suporte tipo cesta. 
Inicialmente aferiram-se a massa e comprimento total do fio, a fim de determinar sua densidade linear por meio do método direto. Posteriormente, este teve suas pontas desencapadas: uma fixada ao suporte metálico e a outra ao sistema de pesos, por meio da roldana. A extensão do fio pela qual os modos de vibração seriam observadas foi medida a fim de se determinar o comprimento de onda, pelo método direto.
O imã permanente foi colocado a uma distância de 0,20 metros de um extremo, no nível do fio, de modo que este ficasse entre seus pólos. Em série foram conectados a fonte de alimentação, a chave liga-desliga, o amperímetro e os extremos desencapados do fio.
A Figura 3 apresenta um esquema de montagem do sistema de ondas estacionárias em cordas vibrantes.
Fonte: KANDUS, A; FRIEDRICH, W. G.; CASTRO, C.M.C; A física das oscilações mecânicas em instrumentos musicais, 2006
Figura 3 – Esquema de montagem do sistema de ondas estacionárias em cordas vibrantes.
RESULTADOS E DISCUSSÕES
Por meio da realização desta prática obtiveram-se dados como massa, comprimento, tensão, modo de vibração para cada fio e, por meio destes, determinou-se a densidade linear utilizando-se da Equação 2 presente no Anexo, assim como também o valor do comprimento de onda de forma direta pela Equação 3 também presente no Anexo. A Tabela 1 apresenta os valores de massa, comprimento e densidade linear calculada pelo método direto, tensão e comprimento de onda com suas devidas incertezas.
	FIO
	COMPRIMENTO
(m)
	MASSA
(10-3kg)
	N
	DENSIDADE LINEAR (10-6kg/m)
	TENSÃO
(N)
	COMPRIMENTO DE ONDA λ (m)
	40 lb
	1,718±0,05
	2,03±0,01
	3
	1182±7
	4,998±1.10-3
	1,067±3.10-4
	
	1,718±0,05
	2,03±0,01
	4
	1182±7
	2,398±6.10-4
	0,8±3.10-4
	50 lb
	1,712±0,05
	2,22±0,01
	3
	1296±7
	4,797±1.10-3
	1,067±3.10-4
	
	1,712±0,05
	2,22±0,01
	4
	1296±7
	2,897±7.10-4
	0,8±3.10-4
	30 lb
	1,727±0,05
	1,72±0,01
	3
	996±6
	3,197±6.10-4
	1,067±3.10-41,727±0,05
	1,72±0,01
	4
	996±6
	1,697±5.10-4
	0,8±3.10-4
TABELA 01: Dados de massa, comprimento, comprimento de onda e densidade linear para os fios empregados.
É válido ressaltar que os valores de comprimento correspondem à extensão total dos fios, e foram utilizados apenas na determinação da densidade linear. Para a determinação do comprimento de onda o parâmetro L utilizado está relacionado ao ponto de fixação e à roldana do módulo experimental, tendo sempre um valor fixo.
Com o intuito de determinar novamente a densidade linear mediante um método indireto, construiu-se o gráfico de Tensão (N) versus λ2 presente na Figura 4, que, referem-se, respectivamente, a tensão exercida pelo quadrado do comprimento de onda.
Figura 4 –Ajuste linear de T(N) versus λ2para cada tipo de fio.
Os dados presentes na Tabela 02 a seguir, mostram os coeficientes angulares e lineares respectivos a cada fio utilizado mediante o ajuste linear do gráfico.
Tabela 02: Parâmetros obtidos através do ajuste linear dos dados experimentais
	EQUATION
	y = a*x + b
	
	VALUE
	40 lb
	Intercept
	-0,23197
	
	Slope
	3,01339
	50 lb
	Intercept
	0,45374
	
	Slope
	3,81696
	30 lb
	Intercept
	-0,94516
	
	Slope
	5,22321
A partir dos coeficientes angulares obtidos presentes na Tabela 02 e, sabendo que a frequência utilizada foi de 60 Hertz, pôde-se determinar os valores para a densidade linear dos fios de forma indireta utilizando a Equação 3, presente no Anexo. Dessa forma, para melhor visualização e comparação, os valores correspondentes para a densidade linear pelos métodos direto e indireto estão dispostos na Tabela 03.
TABELA 03: Valores de densidade linear para cada fio utilizado por meio dos métodos diretos e indiretos.
	FIO
	DENSIDADE LINEAR (10-6kg/m)
	
	MÉTODO DIRETO
	MÉTODO INDIRETO
	40 lb
	1182±7
	837
	
	
	
	50 lb
	1296±7
	1060
	
	
	
	30 lb
	996±6
	1450
	
	
	
Existe certa discrepância entre os valores encontrados pelos métodos direto e indireto. É importante ressaltar que o método indireto utilizado acarreta maior ocorrência de erros sistemáticos, pois depende de uma maior quantidade de parâmetros que consequentemente resulta em uma maior associação de erros experimentais nas medidas.
Considerando todos os modos de vibração observados, outro parâmetro que pode ser determinado é o da frequência. Para isso, primeiramente determinou-se a velocidade das ondas, a partir da Equação 1, para cada tipo de fio, cujos valores obtidos podem ser analisados na Tabela 04.
TABELA 04: Valores de velocidade das ondas para ambos os métodos.
	FIO
	N
	VELOCIDADE (m/s)
	
	
	MÉTODO DIRETO 
	MÉTODO INDIRETO
	40
	3
	65,04±5.10-4
	64
	
	4
	45,05±4.10-4
	48
	50
	3
	60,82±4.10-4
	64
	
	4
	47,26±4.10-4
	48
	30
	3
	56,65±5.10-4
	64
	
	4
	41,27±4.10-4
	48
Determinados os valores de velocidade das ondas (V) e, a partir do comprimento de onda (λ), determinados anteriormente, construiu-se o gráfico de V versusλ, representado pela Figura 5. Os coeficientes dos ajustes lineares obtidos graficamente estão expostos na Tabela 05.
FIGURA 5 - Ajuste linear de V versus λ para cada tipo de fio.
TABELA 06: Parâmetros dos ajustes lineares obtidos para cada tipo de fio relacionando velocidade e comprimento de onda.
	EQUATION
	y = a*x + b
	
	VALUE
	50 lb
	Intercept
	-14,9197
	
	Slope
	74,95773
	40 lb
	Intercept
	6,59309
	
	Slope
	50,83717
	30 lb
	Intercept
	-4,8661
	
	Slope
	57,67454
Analisando os coeficientes angulares, tem-se que estes representam a frequência utilizada para cada tipo de fio. Logo, a frequência média é igual a 61 Hertz com desvio relacionado de valor ±12, sendo este valor bastante próximo da frequência elétrica utilizada para realização da pratica, que foi de 60 Hertz.
A proximidade observada entre os dados pode ser justificada ao fato de que ambas as grandezas utilizadas, velocidade e comprimento de onda na construção do gráfico, foram obtidas por meio do método direto que acarretam menos erros associados às medidas.
Para determinação do comprimento de onda, utilizou-se também de dois procedimentos, relacionados a forma direta e indireta. O primeiro método depende unicamente da relação com o fio esticado e tensionado. Já o segundo método tem relação com a densidade linear, frequência aplicada (60 Hertz) e tensão.
O comprimento de onda para cada fio foi determinado pelo método direto segundo a Equação 4, assim como também para o método indireto por meio da Equação 5, ambas presente no Anexo. Tais valores estão dispostos na Tabela 07.
TABELA 07: Valores de comprimento de onda dos fios para os métodos direto e indireto.
	FIO
	N
	COMPRIMENTO DE ONDA (m)
	
	
	MÉTODO DIRETO
	MÉTODO INDIRETO
	40 lb
	3
	1,067±3.10-4
	1,0839
	
	4
	0,8±3.10-4
	0,7507
	50 lb
	3
	1,067±3.10-4
	1,0136
	
	4
	0,8±3.10-4
	0,7877
	30 lb
	3
	1,067±3.10-4
	0,9442
	
	4
	0,8±3.10-4
	0,6878
De maneira análoga à determinação da densidade linear, verifica-se que o procedimento relativo ao método indireto para determinação do comprimento de onda carrega um número maior de erros tanto aleatórios quanto experimentais a vista que, há uma diferença entre os valores de tensão aplicada e tensão realmente transmitida quando comparado com o método direto, que terá uma discrepância ligada unicamente ao comprimento do fio que é um parâmetro fixo.
Logo, com o intuito de verificar a presença ou não de erros sistemáticos na determinação do comprimento de onda pelo método indireto, construiu-se o gráfico relativo ao comprimento de onda obtido pelo método indireto versus comprimento de onda obtido pelo método direto (Figura 6).
Figura 6- Ajuste linear
A partir do ajuste linear realizado pelos métodos direto e indireto relativa ao comprimento de onda, obtiveram-se os seguintes coeficientes angulares respectivos a cada fio como mostrado na Tabela 08. A ausência de valores relacionados aos erros das medidas pode ser justificada pela existência de dois pontos experimentais, que gera uma reta e garantem um R² igual a 1, pois necessariamente os dados serão lineares. Entretanto, deve-se levar em consideração a ocorrência de erros sistemáticos posteriormente discutidos.
TABELA 08:Parâmetros dos ajustes lineares obtidos para cada topo de fio relacionando o método direto e o método indireto.
	EQUATION
	y = a + b*x
	
	 VALUE
	40 lb
	Intercept
	-0,24878
	
	Slope
	1,24934
	50 lb
	Intercept
	0,11008
	
	Slope
	0,84702
	30 lb
	Intercept
	-0,0813
	
	Slope
	0,96138
Por meio dos valores obtidos de coeficiente angular, determinou-se a variação média destes, sendo esta, correspondente a 1,0193±0,2 O erro associado equivale a 2% da medida, o que foge da condição de não existência de erros sistemáticos no método indireto. Dado que tal método relaciona grandezas como tensão e densidade, inicialmente calculadas e de erros determinados, já era de se esperar tal discrepância. Entretanto existe a possibilidade de minimização de erros melhorando-se o sistema utilizado, evitando assim perdas por atrito, que são as maiores causadoras das diferenças, assim como também o uso de fios com menores resistências evitando o superaquecimento e consequentemente sua dilatação que também são fatores relacionados à ocorrência dos erros.
Havendo a possibilidade de observar maiores ou menores modos de vibração, determinou-se qual deveria ser o valor da tensão inicial aplicada para cada fio por meio da Equação 6, fornecendo os dados obtidos na Tabela 09, assim como também os valores de tensão observados durante a realização da prática.
TABELA 09:Valores de tensão aplicada teoricamente e experimentalmente. 
	FIO
	N
	TENSÕES (N)
	
	
	TENSÃO INICIAL
	TENSÃO APLICADA
	40
	3
	5,580±1.10-5
	4,998±1.10-3
	
	4
	3,139±1.10-5
	2,398±6.10-4
	50
	3
	6,081±1.10-5
	4,797±1.10-3
	
	4
	3,420±1.10-52,897±7.10-4
	30
	3
	4,753±1.10-5
	3,197±6.10-4
	
	4
	2,673±1.10-5
	1,697±5.10-4
Comparando-se os valores de tensões iniciais, determinadas teoricamente, e tensões observadas, nota-se uma certa discrepância entre eles. Tal variação entre os dados pode ser justificada pelo impecilho da tensão aplicada na roldana do sistema, pois, não necessáriamente toda tensão causada pelos pesos será transmitida para o sistema, logo o valor das tensões determinadas incialmente tendem a ser maiores do que a tensão real aplicada o que pode ser conferido realizando-se a análise dos dados.
CONCLUSÃO
	A partir da análise dos dados obtidos, foi possível a determinação de diversos parâmetros que caracterizam uma onda e propriedades do fio através de métodos diretos e indiretos. No caso da determinação da densidade e do comprimento de onda, os valores obtidos apresentaram certa discrepância devido ao fato da maior quantidade de parâmetros que são levados em conta no cálculo indireto. Analisando a velocidade, pode-se observar que pelo método indireto esta apresentou valores iguais no mesmo modo de vibração, apesar da densidade e da tensão aplicada variar. Com relação a frequência, esta demonstrou-se condizente com o valor já esperado da frequência da rede elétrica. Por fim, os valores de tensão inicial e tensão aplicada apresentaram certa discrepância, o que leva a conclusão de que há dissipação de energia pela roldana, que impossibilita a transmissão de toda a tensão aplicada ao sistema. A partir da prática realizada, pode-se concluir a importância do entendimento e determinação dos parâmetros que caracterizam as ondas, visto que estas estão presentes no nosso cotidiano.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
Apostila de Física Geral Experimental II. Ondas estacionárias. Prof. Dr. Fernando Rodolfo Espinoza-Quiñones, 2015.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; KRANE, K.S. Fundamentos de física 2- Movimento ondulatório e Gravitação. 4a edição Rio de Janeiro: Ltc, 1993.
ANEXO	
A velocidade da onda depende da propriedade elástica que é a intensidade de força de tensão T, e da propriedade inercial que é a relação entre a massa e o comprimento da corda chamada de densidade linear da massa µ.
 		 (1)
Onde a densidade linear é dada pela razão da massa pelo comprimento para o método direto:
 (2)
Pelo método indireto, a densidade linear é dada por:
 (3)
A condição de que as duas extremidades da corda permaneçam fixas se exprime pelas condições de contorno.
 Para qualquer 
Isso implica que , se n é um número inteiro isto só será satisfeito quando:
 e 
		Assim, pelo método direto:
 						(4)
		Pela relação:
 e 
		Obtém-se a equação 3 para o método indireto:
 					(5)
As tensões iniciais aplicadas para cada fio é dada pela equação 5:
 	 	 		(6)