AnaliseMatemática-III-Textos de apoio

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Ana´lise Matema´tica III
Textos de Apoio
Cristina Caldeira
A grande maioria dos exerc´ıcios presentes nestes
textos de apoio foram recolhidos de folhas pra´ticas
elaboradas ao longo dos anos por va´rios docentes
do Departamento de Matema´tica da FCTUC.
I´ndice
1 Ca´lculo diferencial em Rn 1
1.1 Algumas noc¸o˜es topolo´gicas em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Produto interno. Norma e distaˆncia euclidianas . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Bolas abertas e fechadas. Pontos interiores, fronteiros, de acumulac¸a˜o,
isolados, exteriores e aderentes. Vizinhanc¸a de um ponto. Conjuntos
abertos, conjuntos fechados e conjuntos limitados . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Func¸o˜es reais de va´rias varia´veis reais (parte 1) . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Definic¸o˜es ba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.5 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.7 Derivac¸a˜o parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.8 Teorema de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.2.10 Func¸o˜es diferencia´veis e diferencial de uma func¸a˜o . . . . . . . . . . 34
1.2.11 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.2.12 Derivac¸a˜o de func¸o˜es compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.2.13 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.2.14 Derivadas direccionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.2.15 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.3 Func¸o˜es vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.3.1 Limites, continuidade e matriz Jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.3.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.3.3 Curvas no espac¸o. Recta tangente a uma curva no espac¸o, plano
tangente e recta normal a uma superf´ıcie . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.3.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1.3.5 Teorema da func¸a˜o inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.3.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.4 Func¸o˜es reais de va´rias varia´veis reais (parte 2) . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.4.1 Teorema da func¸a˜o impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.4.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.4.3 Fo´rmula de Taylor para func¸o˜es reais de 2 varia´veis reais . . . . . . 73
i
1.4.4 Extremos. Extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.4.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2 Equac¸o˜es diferenciais lineares 95
2.1 Definic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.3 Equac¸o˜es diferenciais lineares de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.5 Equac¸o˜es diferenciais lineares de ordem n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.5.1 Classificac¸a˜o e teorema da existeˆncia e unicidade . . . . . . . . . . . 102
2.5.2 Sistemas fundamentais de soluc¸o˜es para equac¸o˜es diferenciais lineares
homoge´neas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.5.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.5.4 Me´todo de abaixamento de ordem ou me´todo de D’Alembert . . . . 113
2.5.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.5.6 Equac¸o˜es diferenciais lineares homoge´neas de coeficientes constantes 120
2.5.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
2.5.8 Me´todo do polino´mio anulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
2.5.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2.5.10 Exemplo de aplicac¸a˜o das equac¸o˜es diferenciais lineares de ordem
dois e coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Movimento harmo´nico simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Movimento harmo´nico amortecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Movimento harmo´nico forc¸ado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
2.5.11 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
2.5.12 Equac¸o˜es de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
2.5.13 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
2.5.14 Me´todo de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
2.5.15 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Bibliografia 157
Cap´ıtulo 1
Ca´lculo diferencial em Rn
1.1 Algumas noc¸o˜es topolo´gicas em Rn
1.1.1 Produto interno. Norma e distaˆncia euclidianas
Seja n um inteiro positivo. Por Rn designamos o conjunto
{(x1, x2, . . . , xn) : xi ∈ R , i = 1, 2, . . . , n} .
R
n e´ um espac¸o vectorial real de dimensa˜o n para a adic¸a˜o de vectores e multiplicac¸a˜o
escalar definidas do seguinte modo:
para x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn, λ ∈ R
x+ y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)
e
λx = (λx1, λx2, . . . , λxn) .
A base cano´nica de Rn e´ a base constitu´ıda pelos vectores e1, e2, . . . , en, onde
i
↓
ei = (0, . . . , 0, 1 , 0, . . . , 0) , i = 1, 2, . . . , n .
Para x = (x1, x2, . . . , xn) e y = (y1, y2, . . . , yn) em R
n o produto interno de x e y e´ o
nu´mero real definido por
< x, y >=
n∑
i=1
xiyi .
Observac¸a˜o 1.1.1 Sa˜o tambe´m usuais as notac¸o˜es ~x para (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn e ~x · ~y
para < x, y >.
Para x = (x1, x2, . . . , xn) em R
n a norma euclidiana de x e´ o nu´mero real na˜o negativo
‖x‖ = √< x, x > =
√
x21 + x
2
2 + · · ·+ x2n .
1
2 Textos de Apoio de Ana´lise Matema´tica III
O espac¸o vectorial real Rn com este produto interno e esta norma e´ o espac¸o euclidiano
de dimensa˜o n.
Recorde-se, de A´lgebra Linear, que num espac¸o vectorial real,V , com um produto in-
terno < , > e uma norma definida por ‖v‖ = √< v, v > sa˜o va´lidas as desigualdades:
| < u, v > | ≤ ‖u‖ ‖v‖ , ∀u, v ∈ V (desigualdade de Cauchy-Schwarz) ;
‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖ , ∀u, v ∈ V (desigualdade triangular) ;
‖u− v‖ ≥ | ‖u‖ − ‖v‖ | , ∀u, v ∈ V .
No caso particular do espac¸o euclidiano de dimensa˜o n estas desigualdades tomam a
forma:
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
xiyi
∣∣∣∣∣ ≤
√√√√ n∑
i=1
x2i
√√√√ n∑
i=1
y2i , ∀(x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn) ∈ Rn (1.1)
(desigualdade de Cauchy-Schwarz) ;
√√√√ n∑
i=1
(xi + yi)2 ≤
√√√√ n∑
i=1
x2i +
√√√√ n∑
i=1
y2i , ∀(x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn) ∈ Rn (1.2)
(desigualdade triangular) ;
√√√√ n∑
i=1
(xi − yi)2 ≥
∣∣∣∣∣∣
√√√√ n∑
i=1
x2i −
√√√√ n∑
i=1
y2i
∣∣∣∣∣∣ , ∀(x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn) ∈ Rn . (1.3)
Sejam x = (x1, x2, . . . , xn) e y = (y1, y2, . . . , yn) em R
n. A distaˆncia euclidiana entre x
e y e´ o nu´mero real na˜o negativo
d(x, y) = ‖x− y‖ =
√
(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + · · ·+ (xn − yn)2 .
Verifica-se facilmente qued(x, y) = 0 ⇔ x = y.
Em R, R2 e R3 a noc¸a˜o de distaˆncia euclidiana coincide com a “noc¸a˜o intuitiva”de
distaˆncia entre dois pontos:
Para x, y ∈ R, d(x, y) = √(x− y)2 = |x − y| e´ a medida do segmento de recta cujas
extremidades sa˜o os pontos da recta real de abcissas x e y, respectivamente. Se y > x > 0
esse segmento de recta e´ o representado na figura 1.1.1.
Cristina Caldeira 3
Fig. 1.1.1
Para x = (x1, x2) e y = (y1, y2) em R
2, d(x, y) = ‖x − y‖ e´ a medida do segmento de
recta cujas extremidades sa˜o os pontos do plano de coordenadas (x1, x2) e (y1, y2), respec-
tivamente (figura 1.1.2).
Fig. 1.1.2
1.1.2 Bolas abertas e fechadas. Pontos interiores, fronteiros, de
acumulac¸a˜o, isolados, exteriores e aderentes. Vizinhanc¸a
de um ponto. Conjuntos abertos, conjuntos fechados e
conjuntos limitados
Seja n um inteiro positivo. Vamos definir duas noc¸o˜es que generalizam os conceitos de
intervalo aberto e intervalo fechado de R.
Chama-se bola aberta de centro em a ∈ Rn e raio δ ∈ R+ ao conjunto
B(a, δ) = {x ∈ Rn : d(a, x) < δ} .
Chama-se bola fechada de centro em a ∈ Rn e raio δ ∈ R+ ao conjunto
B(a, δ) = {x ∈ Rn : d(a, x) ≤ δ} .
Observe-se que a ∈ B(a, δ) e B(a, δ) ⊂ B(a, δ).
4 Textos de Apoio de Ana´lise Matema´tica III
Exemplo 1.1.1
(1) Em R,
B(a, δ) = {x ∈ R : |x− a| < δ} =]a− δ, a+ δ[
e
B(a, δ) = {x ∈ R : |x− a| ≤ δ} = [a− δ, a+ δ] .
(2) Em R2 a bola aberta de centro em a e raio δ e´ o c´ırculo, sem a circunfereˆncia que o
delimita, de centro em a e raio δ. A bola fechada de centro em a e raio δ e´ o c´ırculo
de centro em a e raio δ (figura 1.1.3).
Fig. 1.1.3
(3) Em R3 a bola aberta de centro em a e raio δ e´ a esfera, sem a superf´ıcie esfe´rica que
a delimita, de centro em a e raio δ. A bola fechada de centro em a e raio δ e´ a esfera
de centro em a e raio δ.
Seja S um subconjunto de Rn.
Um ponto a ∈ S diz-se um ponto interior de S se existe uma bola aberta de centro em
a e contida em S, isto e´, se
∃δ ∈ R+ : B(a, δ) ⊆ S .
O interior de S e´ o conjunto dos pontos interiores de S e representa-se por int(S). Se
a e´ um ponto interior de S diz-se tambe´m que S e´ uma vizinhanc¸a de a.
Um ponto a ∈ Rn diz-se um ponto fronteiro de S se qualquer bola aberta de Rn centrada
em a intersecta (isto e´, tem intersecc¸a˜o na˜o vazia com) S e o complementar de S,
R
n\S = {x ∈ Rn : x 6∈ S} .
A fronteira de S e´ o conjunto dos pontos fronteiros de S e representa-se por fr(S).
Um ponto a ∈ Rn diz-se um ponto de acumulac¸a˜o de S se toda a bola aberta centrada
em a conte´m pontos de S distintos de a, isto e´,
∀δ ∈ R+ (B(a, δ) \ {a}) ∩ S 6= ∅ .
Cristina Caldeira 5
Observe-se que um ponto de acumulac¸a˜o na˜o precisa de pertencer ao conjunto.
O conjunto de pontos de acumulac¸a˜o de S e´ o derivado de S e representa-se por S ′.
Um ponto a diz-se um ponto isolado de S se a ∈ S e a 6∈ S ′, isto e´,
∃δ > 0 : B(a, δ) ∩ S = {a} .
E´ va´lido o resultado:
Proposic¸a˜o 1.1.1 Sejam S ⊆ Rn e a ∈ Rn. O ponto a e´ um ponto de acumulac¸a˜o de S
se e so´ se a e´ um ponto interior de S ou a e´ um ponto fronteiro na˜o isolado.
Um ponto a ∈ Rn diz-se um ponto exterior de S se a e´ um ponto interior de Rn\S. O
exterior de S e´ o conjunto dos pontos exteriores de S e representa-se por ext(S).
Um ponto a ∈ Rn diz-se um ponto aderente a S se
∀δ ∈ R+ B(a, δ) ∩ S 6= ∅ .
O conjunto de pontos aderentes a S e´ o fecho de S e representa-se por S. Facilmente se
conclui que S ′ ⊆ S.
Exemplo 1.1.2
(1) Seja S1 = [2, 4[∪{5} ⊆ R. Tem-se:
int(S1) =]2, 4[, fr(S1) = {2, 4, 5}, S ′1 = [2, 4], ext(S1) =] − ∞, 2[∪]4, 5[∪]5,+∞[ e
S1 = [2, 4] ∪ {5}.
Observe-se que 4 e´ um ponto fronteiro e um ponto de acumulac¸a˜o de S1 mas na˜o
pertence a S1. O ponto 5 e´ um ponto isolado de S1.
(2) Seja S2 = {(x, y) ∈ R2 : x ≤ y}.
Fig. 1.1.4
6 Textos de Apoio de Ana´lise Matema´tica III
Para este conjunto tem-se:
int(S2) = {(x, y) ∈ R2 : x < y}, fr(S2) = {(x, y) ∈ R2 : x = y},
ext(S2) = {(x, y) ∈ R2 : x > y}, S ′2 = S2 e S2 = S2.
(3) Seja
S3 =
{(
1
n
, 0
)
: n ∈ N
}
.
O interior de S3 e´ o conjunto vazio porque qualquer vizinhanc¸a de um nu´mero racional
conte´m nu´meros irracionais. Vejamos que (0, 0) e´ um ponto de acumulac¸a˜o (alia´s o
u´nico) de S3. Seja δ > 0 qualquer. Considere-se n ∈ N tal que n > 1/δ. Enta˜o∥∥∥∥( 1n, 0
)
− (0, 0)
∥∥∥∥ =
√
1
n2
=
1
n
< δ
e portanto em toda a bola aberta centrada em (0, 0) existem pontos de S3 obviamente
distintos de (0, 0).
Seja S um subconjunto S de Rn.
S diz-se um conjunto aberto se S coincide com o seu interior, isto e´, int(S) = S.
S diz-se um conjunto fechado se S conte´m a sua fronteira, isto e´, fr(S) ⊆ S.
S diz-se um conjunto limitado se existe uma bola aberta de Rn que conte´m S.
Prova-se que
Proposic¸a˜o 1.1.2 Um subconjunto S de Rn e´ aberto se e so´ se S e´ uma unia˜o (finita ou
infinita) de bolas abertas.
Proposic¸a˜o 1.1.3 Seja S um subconjunto Rn. As afirmac¸o˜es seguintes sa˜o equivalentes
(i) S e´ fechado;
(ii) Rn\S e´ aberto;
(iii) S = S.
Exemplo 1.1.3
(1) O conjunto vazio e Rn sa˜o simultaneamente abertos e fechados.
(2) O conjunto S1 = [2, 4[∪{5} ⊆ R na˜o e´ aberto nem fechado. S1 e´ limitado. Por exemplo
S1 ⊂]1, 6[.
Cristina Caldeira 7
1.1.3 Exerc´ıcios
1. Verifique se cada um dos seguintes conjuntos e´ ou na˜o vizinhanc¸a dos pontos P
indicados:
(a) {(x, y) ∈ R2 : (x− 3)2 + (y − 1)2 < 1} e P = (3, 1);
(b) {(x, y) ∈ R2 : (x− 3)2 + (y − 1)2 ≤ 1
2
} e P = (3, 1);
(c) R2 e P = (3, 1);
(d) {(3, 1)} e P = (3, 1);
(e) Uma recta que contenha o ponto (3, 1) e P = (3, 1);
(f) Uma bola fechada de centro em (2, 1, 5) e P = (2, 1, 5);
(g) Uma recta que contenha (2, 1, 5) e P = (2, 1, 5);
(h) Um plano que contenha (2, 1, 5) e P = (2, 1, 5).
2. Considere os seguintes subconjuntos de R2:
S1 = {(x, y) ∈ R2 : (x > 0 ∧ x+ y < 1) ∨ (1 < x < 3 ∧ 0 < y < 2)} ;
S2 = {(x, y) ∈ R2 : xy 6= 0} ;
S3 = {(x, y) ∈ R2 : xyy−x2 ∈ R ou xy = 0} ;
S4 = {(x, y) ∈ R2 : 2x4−x2−y2 ∈ R ou x = 0} .
Para cada um deles,
(a) determine o interior, o exterior, a fronteira, o fecho e o derivado;
(b) verifique se sa˜o abertos, fechados ou limitados.
1.2 Func¸o˜es reais de va´rias varia´veis reais (parte 1)
1.2.1 Definic¸o˜es ba´sicas
Seja ∅ 6= D ⊆ Rn. Uma func¸a˜o real de n varia´veis reais definida em D e´ uma corres-
pondeˆncia que a cada x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ D associa um e um so´ nu´mero real y =
f(x1, x2, . . . , xn).
Abreviadamente escreve-se
f : D ⊆ Rn −→ R
(x1, x2, . . . , xn) 7−→ f(x1, x2, . . . , xn)
ou
f : D ⊆ Rn −→ R
x 7−→ f(x) .
8 Textos de Apoio de Ana´lise Matema´tica III
O domı´nio de f e´ D. O contradomı´nio de f e´ o conjunto dos valores que f toma em
R, isto e´,
{f(x1, x2, . . . , xn) : (x1, x2, . . . , xn) ∈ D} ⊆ R .
O gra´fico de f e´ o subconjunto de Rn+1
{(x1, x2, . . . , xn, f(x1, x2, . . . , xn)) : (x1, x2, . . . , xn) ∈ D} .
Observac¸a˜o 1.2.1 Em R2 e R3 e´ usual usarem-se as notac¸o˜es f(x, y) e f(x, y, z) em vez
de f(x1, x2) e f(x1, x2, x3), respectivamente.
Exemplo 1.2.1 Seja f a func¸a˜o real de duas varia´veis reais definida por f(x, y) = x2 +y2.
O domı´nio de f e´ R2, o contradomı´nio e´ R+0 e o gra´fico e´
{(x, y, x2 + y2) : (x, y) ∈ R2} = {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ R2 e z = x2 + y2} .
Uma representac¸a˜o gra´fica (do gra´fico) de f e´
Fig. 1.2.1
Exemplo 1.2.2 O domı´nio da func¸a˜o real de 2 varia´veis reais f(x, y) = 50
ln(|xy|+ 1)
x2 + y2 + 1
e´
R
2. Qual o contradomı´nio ? Como obter uma representac¸a˜o gra´fica do gra´fico de f ?
Podemos usar um programa de computador. Na figura 1.2.2 tem-se uma representac¸a˜o
gra´fica da porc¸a˜o de superf´ıcie
{(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ [−10, 10]× [−10, 10] e z = f(x, y)} ,
obtida com o programa de computador “Mathematica”, sendomarcadas as imagens, por
f , de 2500 pontos do quadrado [−10, 10]× [−10, 10].
Fig. 1.2.2
Cristina Caldeira 9
Geralmente na˜o e´ fa´cil representar graficamente uma func¸a˜o real de 2 varia´veis reais,
isto e´, representar em R3 o gra´fico da func¸a˜o e as representac¸o˜es obtidas com programas de
computador nem sempre teˆm a precisa˜o desejada. E´ por vezes u´til recorrer a`s chamadas
curvas de n´ıvel da func¸a˜o que numa imagem a duas dimenso˜es permitem obter informac¸a˜o
sobre o gra´fico da func¸a˜o.
Considere-se a func¸a˜o real de 2 varia´veis reais f : D ⊆ R2 −→ R
(x, y) 7−→ f(x, y) .
Para k
pertencente ao contradomı´nio de f a curva de n´ıvel de f de valor k e´ a projecc¸a˜o ortogonal,
sobre o plano XOY , da intersecc¸a˜o do plano de equac¸a˜o z = k com o gra´fico de f , isto e´,
com a superf´ıcie de equac¸a˜o z = f(x, y).
Analiticamente a curva de n´ıvel de f de valor k e´ {(x, y) ∈ D : f(x, y) = k}.
C e´ a curva de n´ıvel de f de valor k
Fig. 1.2.3
Na figura 1.2.4 esta˜o representadas as curvas de n´ıvel de valores 2,5, 5 e 7,5 da func¸a˜o do
exemplo 1.2.2, obtidas com o programa de computador “Mathematica”. Verifica-se ainda
facilmente que a curva de n´ıvel de valor 0 dessa func¸a˜o e´ constitu´ıda pela unia˜o dos eixos
dos XX e dos Y Y .
Fig. 1.2.4
10 Textos de Apoio de Ana´lise Matema´tica III
Exemplo 1.2.3 Sendo f(x, y) = x2 + y2 o contradomı´nio de f e´ R+0 . Para k ∈ R+0 , a
curva de n´ıvel de f de valor k e´ :
o ponto (0, 0) se k = 0;
a circunfereˆncia do plano XOY de centro (0, 0) e raio
√
k se k > 0.
Analogamente definem-se as superf´ıcies de n´ıvel de uma func¸a˜o real de 3 varia´veis reais.
Sendo
f : D ⊆ R3 −→ R
(x, y, z) 7−→ f(x, y, z) ,
para k pertencente ao contradomı´nio de f , a superf´ıcie de n´ıvel de f de valor k e´
{(x, y, z) ∈ D : f(x, y, z) = k} .
Exemplo 1.2.4 Seja
f : R3 −→ R
(x, y, z) 7−→ x2 + y2 + z2 .
O contradomı´nio de f e´ R+0 . Para k ∈ R+0 , a superf´ıcie de n´ıvel de f de valor k e´
{((x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = k} ,
ou seja:
o ponto (0, 0, 0) se k = 0;
a superf´ıcie esfe´rica de centro (0, 0, 0) e raio
√
k se k > 0.
1.2.2 Exerc´ıcios
1. Descreva geometricamente o domı´nio das seguintes func¸o˜es :
(a) f(x, y) =
xy
y − 2x ;
(b) f(x, y) =
√
x+ 1√
1− x2 − y2 ;
(c) f(x, y) = ln (xy);
(d) f(x, y) =
x3
3
+ arcsin (y + 3);
(e) f(x, y, z) =
√
4− x2 − y2 − z2;
(f) f(x, y) =
√
x2 + y2 + 2x
x2 + y2 − 2x ;
(g) f(x, y) = ln[x ln (y − x2)];
(h) f(x, y) = ln [(16− x2 − y2)(x2 + y2 − 4)];
(i) f(x, y, z) = h(x) + h(y) + h(z), onde h e´ uma func¸a˜o real de varia´vel real com
domı´nio [0, pi/2];
(j) f(x, y) =

sin(x4 + y6)
x4 + y6
se x > 0
y +
√
1− x se x ≤ 0
.
Cristina Caldeira 11
1.2.3 Limites
Sejam f : D ⊆ Rn −→ R
x 7−→ f(x)
, a = (a1, a2, . . . , an) um ponto de acumulac¸a˜o de D e
L ∈ R. Diz-se que L e´ o limite de f quando x tende para a ou o limite de f no ponto a, e
escreve-se
lim
x→a
f(x) = L ou lim
(x1,x2,...,xn)→(a1,a2,...,an)
f(x1, x2, . . . , xn) = L ,
se
∀ε > 0 ∃δ > 0 : (0 < ‖x− a‖ < δ ∧ x ∈ D) ⇒ |f(x)− L| < ε . (1.4)
Observac¸a˜o 1.2.2
(1) O facto de se impoˆr em (1.4) que 0 < ‖x− a‖ faz com que possa existir o limite de f
quando x tende para a sem que f esteja definida em a (exemplo 1.2.5) ou, no caso
de f estar definida em a, o valor de f em a na˜o interessa para o ca´lculo do limite.
Isto e´, nesta definic¸a˜o de limite de f quando x tende para a na˜o interessa o que se
passa em a. Para realc¸ar este facto por vezes escreve-se
lim
x → a
x 6= a
f(x) = L
e diz-se que “x tende para a por valores distintos de a”.
(2) O motivo de se definir o limite de f quando x tende para a apenas para pontos a
pertencentes ao derivado de D e´ que se a na˜o e´ ponto de acumulac¸a˜o de D enta˜o
qualquer nu´mero real L verifica (1.4). De facto, se a 6∈ D′, enta˜o existe um nu´mero
real δ > 0 tal que
B(a, δ) ∩ D =
{ {a} se a ∈ D
∅ se a 6∈ D .
Enta˜o
{x ∈ D : 0 < ‖x− a‖ < δ} = ∅
e portanto quaisquer que sejam L ∈ R e ε > 0 a afirmac¸a˜o de que |f(x) − L| < ε
para todo o x pertencente a {x ∈ D : 0 < ‖x− a‖ < δ} e´ verdadeira.
De modo intuitivo se a 6∈ D′ existe uma bola aberta centrada em a que na˜o conte´m
pontos de D distintos de a e portanto “na˜o e´ poss´ıvel fazer x tender para a por pontos
distintos de a”.
Exemplo 1.2.5 Considere-se a func¸a˜o real de duas varia´veis reais cuja expressa˜o anal´ıtica
e´
f(x, y) =
2x3
x2 + y2
.
O domı´nio de f e´ D = R2 \ {(0, 0)}. O ponto (0, 0) na˜o pertence a D mas e´ um ponto
de acumulac¸a˜o de D. Verifique-se ainda que existe o limite de f quando (x, y) tende para
(0, 0) e que esse limite e´ zero.
12 Textos de Apoio de Ana´lise Matema´tica III
Seja ε > 0 qualquer. Pretende-se provar que existe δ > 0 verificando(
0 < ‖(x, y)− (0, 0)‖ < δ ∧ (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)})⇒ |f(x, y)− 0| < ε . (1.5)
Ora
|f(x, y)| =
∣∣∣∣ 2x3x2 + y2
∣∣∣∣ = 2|x| ∣∣∣∣ x2x2 + y2
∣∣∣∣ ,
e uma vez que, para (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)}, x2 ≤ x2 + y2, tem-se que∣∣∣∣ x2x2 + y2
∣∣∣∣ ≤ 1
e portanto
|f(x, y)| = 2|x|
∣∣∣∣ x2x2 + y2
∣∣∣∣ ≤ 2|x| ≤ 2√x2 + y2 = 2‖(x, y)− (0, 0)‖ .
Assim, para todo o ε > 0 existe δ = ε/2 > 0 verificando (1.5) e portanto
lim
(x,y)→(0,0)
2x3
x2 + y2
= 0 .
Uma questa˜o que se coloca naturalmente e´ a de saber se e´ poss´ıvel que dois nu´meros
reais distintos L1 e L2 verifiquem simultaneamente (1.4). Provaremos que na˜o.
Proposic¸a˜o 1.2.1 Considere-se uma func¸a˜o real de n varia´veis reais
f : D ⊆ Rn −→ R
x 7−→ f(x) .
Seja a um ponto de acumulac¸a˜o de D. Se existe o limite de f quando x tende para a enta˜o
ele e´ u´nico.
Demonstrac¸a˜o: Sejam L1 e L2 nu´meros reais verificando (1.4). Considere-se ε > 0
qualquer. Enta˜o
∃δ1 > 0 : (0 < ‖x− a‖ < δ1 ∧ x ∈ D) ⇒ |f(x)− L1| < ε
2
; (1.6)
∃δ2 > 0 : (0 < ‖x− a‖ < δ2 ∧ x ∈ D) ⇒ |f(x)− L2| < ε
2
. (1.7)
Seja δ = min{δ1, δ2}. Sendo a um ponto de acumulac¸a˜o de D, existe x0 ∈ D tal que
0 < ‖x0 − a‖ < δ. De (1.6) e (1.7) conclui-se que
|f(x0)− L1| < ε
2
e |f(x0)− L2| < ε
2
.
Enta˜o
|L1 − L2| = |L1 − f(x0) + f(x0)− L2| ≤ |f(x0)− L1|+ |f(x0)− L2| < ε .
Cristina Caldeira 13
Provou-se assim que |L1 − L2| < ε para todo o ε ∈ R+. Uma vez que |L1 − L2| ∈ R+0
conclui-se que |L1 − L2| = 0, ou seja, L1 = L2.
Em (1.4) interve´m apenas a distaˆncia de x a a e na˜o o modo como x se aproxima de a.
Se existir o limite de f quando x tende para a ele deve ser independente da forma como x
se aproxima de a.
Sejam f : D ⊆ R2 → R e a ∈ D′. Seja C uma curva (trajecto´ria) contida em D e que
conte´m a.
Fig. 1.2.5
Considerando o limite de f quando (x, y) tende para a = (a1, a2) ao longo de C tem-se
um limite trajectorial,
lim
(x, y) → (a1, a2)
(x, y) ∈ C
f(x, y) .
Claro que se existe o lim
(x,y)→(a1,a2)
f(x, y), todos os limites trajectoriais (no ponto a) devem
existir e ser iguais.
Esta noc¸a˜o de limite trajectorial pode ser formalizada definindo o conceito de limite
segundo um conjunto.
Sejam f : D ⊆ Rn → R, A um subconjunto de D e a ∈ A′. Diz-se que L ∈ R e´ o limite
de f quando x tende para a no conjunto A e escreve-se
lim
x → a
x ∈ A
f(x) = L ,
se
∀ε > 0 ∃δ > 0 : (0 < ‖x− a‖ < δ ∧ x ∈ A) ⇒ |f(x)− L| < ε . (1.8)
Este conceito sera´ muito u´til na pra´tica para se concluir que um dado limite na˜o existe,
uma vez que e´ va´lido o resultado:
14 Textos de Apoio de Ana´lise Matema´tica III
Proposic¸a˜o 1.2.2 Sejam f : D ⊆ Rn → R, A um subconjunto de D e a ∈ A′. Se existe
lim
x→a
f(x), enta˜o tambe´m existe lim
x → a
x ∈ A
f(x) e sa˜o iguais.
Demonstrac¸a˜o : exerc´ıcio 4 da secc¸a˜o 1.2.4.
Exemplo 1.2.6 Considere-se a func¸a˜o
f : R2 \ {(0, 0)} −→ R
(x, y) 7−→ x4
y4+(y−x)2
.
Seja A = {(x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)} : y = x}.Isto e´, A obte´m-se da recta de equac¸a˜o y = x
retirando-lhe o ponto (0, 0). O ponto (0, 0) e´ um ponto de acumulac¸a˜o de A.
lim
(x, y) → (0, 0)
(x, y) ∈ A
f(x, y) = lim
(x, y) → (0, 0)
y = x
x4
y4 + (y − x)2 = limx→0
x4
x4 + 0
= 1 .
Seja B = {(x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)} : y = x2}. Isto e´, B obte´m-se da para´bola de equac¸a˜o
y = x2 retirando-lhe o ponto (0, 0). O ponto (0, 0) e´ um ponto de acumulac¸a˜o de B.
lim
(x, y) → (0, 0)
(x, y) ∈ B
f(x, y) = lim
(x, y) → (0, 0)
y = x2
x4
y4 + (y − x)2
= lim
x→0
x4
x8 + (x2 − x)2
= lim
x→0
x2
x6 + x2 − 2x+ 1 = 0 .
De acordo com a proposic¸a˜o anterior e uma vez que
lim
(x, y) → (0, 0)
(x, y) ∈ A
f(x, y) 6= lim
(x, y) → (0, 0)
(x, y) ∈ B
f(x, y) ,
conclui-se que na˜o existe o limite de f quando (x, y) tende para (0, 0).
Proposic¸a˜o 1.2.3 Sejam D ⊆ Rn, com D = A∪B, e seja a ∈ Rn um ponto de acumulac¸a˜o
de A e tambe´m de B. Seja ainda f : D → R. Se
lim
x → a
x ∈ A
f(x) = lim
x → a
x ∈ B
f(x) = L
enta˜o existe o limite de f quando x tende para a e e´ igual a L.
Demonstrac¸a˜o: exerc´ıcio 5 da secc¸a˜o 1.2.4.
Ha´ um caso particular de limite segundo um conjunto que e´ especialmente importante.
E´ o caso dos chamados limites direccionais em que o conjunto A e´ a intersecc¸a˜o do domı´nio
Cristina Caldeira 15
da func¸a˜o com uma semi-recta com origem no ponto em causa, isto e´, a trajecto´ria e´ uma
semi-recta com origem no ponto onde se pretende calcular o limite.
Sendo a = (a1, a2, a3) ∈ R3 e ~v = (v1, v2, v3) ∈ R3 \ {0}, a recta de R3 que passa por a
e tem a direcc¸a˜o de ~v e´
{a+ t~v : t ∈ R} = {(a1 + tv1, a2 + tv2, a3 + tv3) : t ∈ R} .
A semi-recta com origem em a e que tem a direcc¸a˜o e o sentido de ~v e´
{a+ t~v : t ∈ R+0 } = {(a1 + tv1, a2 + tv2, a3 + tv3) : t ∈ R+0 } .
Estes conceitos generalizam-se facilmente para Rn. Sendo a ∈ Rn e ~v ∈ Rn \ {0}, a semi-
-recta de Rn com origem em a e que tem a direcc¸a˜o e o sentido de ~v e´ o subconjunto de
R
n,
S = {a+ t~v : t ∈ R+0 } .
Sejam f : D ⊆ Rn −→ R
x 7−→ f(x)
, a ∈ Rn, ~v ∈ Rn \ {0} e S a semi-recta de Rn com
origem em a e que tem a direcc¸a˜o e o sentido de ~v. Suponha-se que a e´ um ponto de
acumulac¸a˜o de S ∩ D. O limite direccional de f no ponto a segundo ~v e´, caso exista, o
limite de f quando x tende para a segundo S ∩ D.
Observe-se que uma vez que a semi-recta S e´ independente da norma do vector ~v, o
limite direccional de f no ponto a segundo ~v coincide, caso exista, com limite direccional
de f no ponto a segundo qualquer vector da forma α~v, para α ∈ R+.
Isto e´, para o limite direccional de f no ponto a segundo ~v apenas interessam a direcc¸a˜o
e o sentido de ~v. E´ por isso usual falar-se no limite direccional de f no ponto a segundo
a direcc¸a˜o e o sentido de ~v e calcular-se o referido limite usando o versor de ~v, isto e´, o
vector de norma 1 que tem a direcc¸a˜o e o sentido de ~v.
Prova-se facilmente que o limite direccional de f no ponto a segundo ~v existe se e so´ se
existe o limite (de uma func¸a˜o real de uma varia´vel real)
lim
t → 0+
a + t~v ∈ D
f(a+ t~v) ,
e que nesse caso os dois limites coincidem.
Os limites laterais de func¸o˜es reais de uma varia´vel real sa˜o limites direccionais.
Da proposic¸a˜o 1.2.2 conclui-se que se existe o limite de f no ponto a enta˜o existem e
sa˜o iguais todos os limites direccionais de f em a (para vectores ~v ∈ Rn \ {0} tais que a e´
ponto de acumulac¸a˜o de S∩D, sendo S a semi-recta com origem em a e que tem a direcc¸a˜o
e o sentido de ~v) e o seu valor comum coincide com o limite de f no ponto a.
No caso n = 1, isto e´, no caso de func¸o˜es reais de uma varia´vel real o resultado rec´ıproco
e´ verdadeiro: se existem (isto e´, se existem e sa˜o nu´meros reais) ambos os limites laterais
de f no ponto a e sa˜o iguais, enta˜o existe o limite de f no ponto a e e´ igual aos limites
laterais.
Para n > 1 o rec´ıproco e´ falso. Podem existir todos os limites direccionais no ponto e
serem iguais sem que exista o limite da func¸a˜o no ponto, como se pode comprovar atrave´s
do exemplo seguinte.
16 Textos de Apoio de Ana´lise Matema´tica III
Exemplo 1.2.7 Considere-se a func¸a˜o
f :
{
(x, y) ∈ R2 : y 6= − 13√2x2
}
−→ R
(x, y) 7−→ x2y2
x6+2y3
.
Seja ~v = (v1, v2) ∈ R2 \ {(0, 0)}. Para a = (0, 0),
lim
t→0+
f(a+ t~v) = lim
t→0+
(tv1)
2(tv2)
2
(tv1)6 + 2(tv2)3
= lim
t→0+
tv21v
2
2
t3v61 + 2v
3
2
= 0 .
Existem todos os limites direccionais de f no ponto (0, 0) e sa˜o todos iguais a zero. No
entanto na˜o existe o limite de f no ponto (0, 0). De facto, se se calcular o limite de f
quando (x, y) tende para (0, 0) segundo a para´bola de equac¸a˜o y = x2 obte´m-se
lim
(x, y) → (0, 0)
y = x2
x2y2
x6 + 2y3
= lim
x→0
x6
x6 + 2x6
=
1
3
6= 0 ,
concluindo-se da proposic¸a˜o 1.2.2 que na˜o existe o limite de f no ponto (0, 0).
Nas treˆs proposic¸o˜es seguintes sera˜o enunciadas algumas propriedades dos limites.
Proposic¸a˜o 1.2.4 Sejam α um nu´mero real, D um subconjunto na˜o vazio de Rn, a um
ponto de acumulac¸a˜o de D e f a func¸a˜o constante
f : D −→ R
x 7−→ α .
Enta˜o existe o limite de f no ponto a e e´ igual a α.
Demonstrac¸a˜o: Seja ε > 0 qualquer. Para (qualquer!) δ > 0, se x e´ um ponto de D tal
que 0 < ‖x− a‖ < δ, enta˜o
|f(x)− α| = |α− α| = 0 < ε .
Proposic¸a˜o 1.2.5 Sejam D um subconjunto na˜o vazio de Rn e i ∈ {1, 2, . . . , n}. Consi-
dere-se a func¸a˜o
Pi : D −→ R
x = (x1, x2, . . . , xn) 7−→ xi .
Se a = (a1, a2, . . . , an) e´ um ponto de acumulac¸a˜o de D, enta˜o existe o limite de Pi no
ponto a e e´ igual a ai.
Cristina Caldeira 17
Demonstrac¸a˜o: Seja ε > 0 qualquer.
|Pi(x)− ai| = |xi − ai| =
√
(xi − ai)2 ≤
√√√√ n∑
j=1
(xj − aj)2 = ‖x− a‖ .
Sendo δ = ε, para x ∈ D tal que 0 < ‖x− a‖ < δ tem-se enta˜o |Pi(x)− ai| < ε.
Sejam f e g duas func¸o˜es reais de n varia´veis reais de domı´niosDf eDg, respectivamente.
Seja ainda α um nu´mero real.
A soma de f e g e´ a func¸a˜o
f + g : Df ∩ Dg −→ R
x 7−→ f(x) + g(x) .
O produto de α pela func¸a˜o f e´ a func¸a˜o
α f : Df −→ R
x 7−→ α f(x) .
O produto de f e g e´ a func¸a˜o
f g : Df ∩ Dg −→ R
x 7−→ f(x) g(x) .
O quociente de f e g e´ a func¸a˜o
f
g
: {x ∈ Df ∩ Dg : g(x) 6= 0} −→ R
x 7−→ f(x)
g(x)
.
Proposic¸a˜o 1.2.6 Nas condic¸o˜es anteriores, seja a um ponto de acumulac¸a˜o de Df e
de Dg. Suponha-se que existem os limites de f e g no ponto a e que a e´ um ponto de
acumulac¸a˜o dos domı´nios de f + g, f g e
f
g
. Enta˜o:
1. Existe o limite de f + g no ponto a e lim
x→a
(f + g)(x) = lim
x→a
f(x) + lim
x→a
g(x);
2. Existe o limite de α f no ponto a e lim
x→a
(α f)(x) = α lim
x→a
f(x);
3. Existe o limite de f g no ponto a e lim
x→a
(f g)(x) = lim
x→a
f(x) lim
x→a
g(x);
4. Se lim
x→a
g(x) 6= 0, existe o limite de f
g
no ponto a e
lim
x→a
(
f
g
)
(x) =
lim
x→a
f(x)
lim
x→a
g(x)
.
Demonstrac¸a˜o: Sejam L1 = lim
x→a
f(x) e L2 = lim
x→a
g(x).
18 Textos de Apoio de Ana´lise Matema´tica III
1. Considere-se ε > 0, qualquer. Existem δ1, δ2 ∈ R+ tais que
(0 < ‖x− a‖ < δ1 ∧ x ∈ Df ) =⇒ |f(x)− L1| < ε
2
e
(0 < ‖x− a‖ < δ2 ∧ x ∈ Dg) =⇒ |g(x)− L2| < ε
2
.
Seja δ = min{δ1, δ2}. Para x ∈ Df ∩ Dg tal que 0 < ‖x− a‖ < δ tem-se
|(f+g)(x)−(L1+L2)| = |(f(x)−L1)+(g(x)−L2)| ≤ |(f(x)−L1)|+|(g(x)−L2)| < ε
2
+
ε
2
= ε .
2. Considere-se ε > 0, qualquer.
Se α = 0, |α f(x)| = 0 e portanto para um qualquer δ > 0,
(0 < ‖x− a‖ < δ ∧ x ∈ Df ) =⇒ |α f(x)| = 0 < ε ,
concluindo-se que lim
x→a
(α f)(x) = 0 = α lim
x→a
f(x).
Suponha-se que α 6= 0. Uma vez que ε|α| > 0, existe δ > 0 tal que
(0 < ‖x− a‖ < δ ∧ x ∈ Df ) =⇒ |f(x)− L1| < ε|α|
=⇒ |α f(x)− αL1|< ε .
Tendo em conta que o domı´nio de α f e´ Df , conclui-se que lim
x→a
(α f)(x) = αL1.
3. Considere-se ε > 0, qualquer. Existem δ1, δ2 ∈ R+ tais que
(0 < ‖x− a‖ < δ1 ∧ x ∈ Df ) =⇒ |f(x)− L1| <
√
ε
e
(0 < ‖x− a‖ < δ2 ∧ x ∈ Dg) =⇒ |g(x)− L2| <
√
ε .
Seja δ = min{δ1, δ2}.
Para x ∈ Df ∩ Dg tal que 0 < ‖x− a‖ < δ tem-se
|(f(x)− L1)(g(x)− L2)− 0| = |(f(x)− L1)||(g(x)− L2)| <
√
ε
√
ε = ε .
Assim,
lim
x→a
[(f(x)− L1)(g(x)− L2)] = 0 .
Tem-se ainda que
f(x) g(x)− L1L2 = (f(x)− L1)(g(x)− L2) + L2(f(x)− L1) + L1(g(x)− L2) .
Por outro lado, da parte 1 desta proposic¸a˜o e da proposic¸a˜o 1.2.4 obte´m-se
lim
x→a
(f(x)− L1) = lim
x→a
[f(x) + (−L1)] = lim
x→a
f(x) + lim
x→a
(−L1) = L1 − L1 = 0 .
Cristina Caldeira 19
Analogamente
lim
x→a
(g(x)− L2) = 0 .
Usando estas 3 igualdades e as partes 1 e 2 desta proposic¸a˜o obte´m-se
lim
x→a
(f(x)g(x)− L1L2) =
= lim
x→a
[(f(x)− L1)(g(x)− L2) + L2(f(x)− L1) + L1(g(x)− L2)]
= lim
x→a
[(f(x)− L1)(g(x)− L2)] + lim
x→a
L2(f(x)− L1) + lim
x→a
L1(g(x)− L2)
= 0 + L2 × 0 + L1 × 0
= 0 .
Ou seja, e uma vez que o domı´nio da func¸a˜o fg − L1L2 e´ Df ∩ Dg,
∀ε > 0 ∃δ > 0 :
(0 < ‖x− a‖ < δ ∧ x ∈ Df ∩ Dg) ⇒ |(f(x)g(x)− L1L2)− 0| < ε
⇒ |f(x)g(x)− L1L2| < ε .
Mas isto significa precisamente que
lim
x→a
f(x)g(x) = L1L2 .
4. Atendendo a` parte 3 desta proposic¸a˜o basta provar que
lim
x→a
1
g(x)
=
1
L2
.
Seja ε > 0, qualquer. Uma vez que |L2| > 0, existe δ1 > 0 tal que
(0 < ‖x− a‖ < δ1 ∧ x ∈ Dg) =⇒ |g(x)− L2| < 1
2
|L2| .
Usando a desigualdade (1.3) com n = 1 obte´m-se
|α− β| ≥ | |α| − |β| | ≥ |α| − |β| , ∀α, β ∈ R .
Assim,
|g(x)− L2| = |L2 − g(x)| ≥ |L2| − |g(x)| , ∀x ∈ Dg
e portanto
(0 < ‖x− a‖ < δ1 ∧ x ∈ Dg) =⇒ |g(x)| > 1
2
|L2| .
Por outro lado existe tambe´m δ2 > 0 tal que
(0 < ‖x− a‖ < δ2 ∧ x ∈ Dg) =⇒ |g(x)− L2| < 1
2
|L2|2ε .
Sendo δ = min{δ1, δ2}, para x ∈ Dg tal que 0 < ‖x− a‖ < δ,∣∣∣∣ 1g(x) − 1L2
∣∣∣∣ = |L2 − g(x)||L2||g(x)| <
1
2
|L2|2ε
1
2
|L2|2 = ε .
20 Textos de Apoio de Ana´lise Matema´tica III
1.2.4 Exerc´ıcios
1. Prove, usando a definic¸a˜o, que lim
(x,y)→a
f(x, y) = L, sendo
(a) f(x, y) = 2x+ 3y, a = (1, 3) e L = 11;
(b) f(x, y) = xy, a = (0, 0) e L = 0;
(c) f(x, y) =
x4y4
x4 + 1
, a = (0, 0) e L = 0;
(d) f(x, y) =
x3y2
x2 + y2
, a = (0, 0) e L = 0.
2. Calcule (se existir)
(a) lim
(x,y)→(1,2)
x2
x2 + y2
;
(b) lim
(x,y,z)→(pi/2,1/√2,1/2)
ln
(
sin x
2
+ (yz)
2
3
)
;
(c) lim
(x,y)→(1,−1)
2xy
(x+ y)2
;
(d) lim
(x,y)→(0,0)
x4 − 4y4
2x2 + 4y2
;
(e) lim
(x,y)→(1,3)
xy − 2x− y + 2
(x− 1)(y2 − 4y + 4).
3. Usando trajecto´rias convenientes tire concluso˜es sobre a existeˆncia dos seguintes lim-
ites
(a) lim
(x,y)→(0,0)
x2
x2 + y2
; (b) lim
(x,y)→(0,0)
xy(x2 − y2)
x4 + y4
;
(c) lim
(x,y)→(1,0)
2xy − 2y
(x− 1)2 + y2 ; (d) lim(x,y)→(0,0)
xy(x− y)
x2 + y4
;
(e) lim
(x,y)→(0,0)
xy4
x3 + y6
; (f) lim
(x,y,z)→(1,0,0)
(x− 1)yz
(x− 1)3 + y3 + z3 .
4. Demonstre a proposic¸a˜o 1.2.2.
5. Demonstre a proposic¸a˜o 1.2.3.
6. Sejam f, g : D ⊆ Rn → R e a ∈ D′. Suponha-se que |f(x)| ≤ |g(x)| para todo o
x ∈ (V \ {a}) ∩ D, onde V e´ uma vizinhanc¸a de a, e que lim
x→a
g(x) = 0. Prove que
lim
x→a
f(x) = 0.
7. Sejam f, g : D ⊆ Rn → R e a ∈ D′. Suponha-se que existe uma vizinhanc¸a V de a tal
que g e´ limitada em (V \ {a}) ∩ D e que lim
x→a
f(x) = 0. Prove que lim
x→a
f(x)g(x) = 0.
Cristina Caldeira 21
8. Mostre que
(a) lim
(x,y)→(0,0)
(x2 + 2y2) sin
1
xy
= 0 ; (b) lim
(x,y)→(0,0)
3x2y
x2 + 2y2
= 0 ;
(c) lim
(x,y)→(0,0)
x2 + xy − y2√
x2 + y2
= 0; (d) lim
(x,y)→(0,0)
3x2 sin y
x2 + 2y2
= 0 .
9. Determine o domı´nio das seguintes func¸o˜es e estude a existeˆncia de limite nos pontos
a indicados.
(a) f(x, y) =
x2
x2 + y2
em a = (0, 0);
(b) f(x, y) =
x2y2
x2 + y2
em a = (0, 0);
(c) f(x, y) =

2xy
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
em a = (0, 0) ;
(d) f(x, y) =
x2 − y2
x+ y
em a = (−1, 1);
(e) f(x, y) =

x2 − y2
x+ y
se x 6= −y
0 se x = −y
em a = (−1, 1) ;
(f) f(x, y) =
x2 − 2xy + y2
x2y − y3 em a = (−1, 1);
(g) f(x, y) =
x2y2
x2y2 + (y − x)2 em a = (0, 0);
(h) f(x, y) =

xy
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
1 se (x, y) = (0, 0)
em a = (0, 0) ;
22 Textos de Apoio de Ana´lise Matema´tica III
(i) f(x, y, z) =
x2yz
x8 + y4 + z2
em a = (0, 0, 0);
(j) f(x, y) =

x se x = y
x2 se x 6= y
em a = (1, 1) ;
(k) f(x, y) =
x |y|
|x|+ |y| em a = (0, 0);
(l) f(x, y) =

|y|
x2
e−
|y|
x2 se x 6= 0
0 se x = 0
em a = (0, 0) .
1.2.5 Continuidade
Sejam f : D ⊆ Rn → R uma func¸a˜o real de n varia´veis reais e a ∈ D. Se a e´ um ponto de
acumulac¸a˜o de D, diz-se que f e´ cont´ınua em a se existe o limite de f em a e esse limite e´
igual a f(a).
Se a e´ um ponto isolado de D, por definic¸a˜o, f e´ cont´ınua em a.
Verifica-se facilmente que:
Proposic¸a˜o 1.2.7 A func¸a˜o f e´ cont´ınua em a ∈ D se e so´ se
∀ε > 0 ∃δ > 0 : (‖x− a‖ < δ ∧ x ∈ D) ⇒ |f(x)− f(a)| < ε .
O domı´nio de continuidade de f e´ o subconjunto de D constitu´ıdo pelos pontos nos
quais f e´ cont´ınua.
Usando a proposic¸a˜o 1.2.6 prova-se facilmente o resultado seguinte:
Proposic¸a˜o 1.2.8 Sejam f e g duas func¸o˜es reais de n varia´veis reais de domı´nios Df
e Dg, respectivamente. Suponha-se que f e g sa˜o cont´ınuas em a ∈ Df ∩ Dg. Enta˜o as
func¸o˜es f + g e f g sa˜o cont´ınuas em a. Se g(a) 6= 0 tambe´m a func¸a˜o f
g
e´ cont´ınua em a.
Suponham-se dadas n func¸o˜es reais de uma varia´vel real,
fi : Di ⊆ R → R , i = 1, 2, . . . , n .
Usando estas n func¸o˜es define-se uma func¸a˜o real de n varia´veis reais de domı´nio
D = D1 ×D2 × · · · × Dn = {(x1, x2, . . . , xn) : xi ∈ Di , i = 1, 2, . . . , n} ,
do seguinte modo:
f : D ⊆ Rn −→ R
(x1, x2, . . . , xn) 7−→ f1(x1)f2(x2) · · · fn(xn) .
Cristina Caldeira 23
Proposic¸a˜o 1.2.9 Suponha-se que, para i = 1, 2, . . . , n, fi e´ cont´ınua em ai ∈ Di. Enta˜o
f e´ cont´ınua em a = (a1, a2, . . . , an).
Demonstrac¸a˜o: Vai fazer-se a demonstrac¸a˜o apenas para n = 2. Para x1 ∈ D1 e x2 ∈ D2,
| f(x1, x2)− f(a1, a2) | = | f1(x1)f2(x2)− f1(a1)f2(a2) |
= | (f1(x1)− f1(a1))f2(x2) + f1(a1)(f2(x2)− f2(a2)) |
≤ | f1(x1)− f1(a1) | | f2(x2) |+ | f1(a1) | | f2(x2)− f2(a2) | .
Usando (1.3) obte´m-se
| f2(x2) | ≤ | f2(x2)− f2(a2) |+ | f2(a2) |
e portanto
| f(x1, x2)− f(a1, a2) | ≤ | f1(x1)− f1(a1) | | f2(x2)− f2(a2) |
+ | f2(a2) | | f1(x1)− f1(a1) |
+ | f1(a1) | | f2(x2)− f2(a2) | . (1.9)
Considere-se ε > 0, qualquer. Seja ε1 > 0 tal que
ε1 < min
{
1,
ε
| f2(a2) |+ | f1(a1) |+ 1
}
.
Sendo ε1 < 1 enta˜o ε
2
1 < ε1. Por outro lado, de ε1 <
ε
| f2(a2) |+ | f1(a1) |+ 1 resulta
que ε1 (| f2(a2) |+ | f1(a1) |) + ε1 < ε.
Assim,
ε1 (| f2(a2) |+ | f1(a1) |) + ε21 < ε . (1.10)
Uma vez que f1 e´ cont´ınua em a1 e f2 e´ cont´ınua em a2, existem δ1, δ2 ∈ R+ tais que
(|x1 − a1| < δ1 ∧ x1 ∈ D1) ⇒ |f1(x1)− f1(a1)| < ε
e
(|x2 − a2| < δ2 ∧ x2 ∈ D2) ⇒ |f2(x2)− f2(a2)| < ε .
Seja δ = min{δ1, δ2}. Para (x1, x2) ∈ D1 ×D2,
‖(x1, x2)− (a1, a2)‖ < δ ⇐⇒
√
(x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 < δ
=⇒
{ |x1 − a1| < δ
|x2 − a2| < δ
=⇒
{ |f1(x1)− f1(a1)| < ε1
|f2(x2)− f2(a2)| < ε1
=⇒
(1.9)
|f(x1, x2)− f(a1, a2)| < ε1 (| f2(a2) |+ | f1(a1) |) + ε21
=⇒
(1.10)
|f(x1, x2)− f(a1, a2)| < ε .
24 Textos de Apoio de Ana´lise Matema´tica III
Exemplo 1.2.8 Usando a proposic¸a˜o anterior conclui-se facilmente que a func¸a˜o definida
por
f(x, y, z) =
x sinx cos z
ey
e´ cont´ınua em R3.
Casos importantes de func¸o˜es cont´ınuas no seu domı´nio sa˜o as func¸o˜es polinomiais, isto
e´, as func¸o˜esf : D ⊆ Rn → R em que f(x1, . . . , xn) e´ uma soma finita de parcelas do tipo
αxk11 x
k2
2 · · · xknn com α ∈ R e ki ∈ N0, para i = 1, . . . , n.
Tambe´m as func¸o˜es racionais (func¸o˜es que sa˜o o quociente de duas func¸o˜es polinomiais)
sa˜o cont´ınuas no seu domı´nio.
Exemplo 1.2.9 A func¸a˜o definida por
f(x, y) =
xy − x2
x2 − y2
e´ uma func¸a˜o racional e portanto e´ cont´ınua no seu domı´nio, que e´
{(x, y) ∈ R2 : x 6= y e x 6= −y} .
Tem-se ainda o resultado:
Proposic¸a˜o 1.2.10 Sejam f : A ⊆ Rn → R e g : B ⊆ R → R duas func¸o˜es com f(A) ⊆ B
e seja a um ponto de A tal que f e´ cont´ınua em a. Suponha-se ainda que g e´ cont´ınua em
f(a). Enta˜o a func¸a˜o g ◦ f e´ cont´ınua em a.
Demonstrac¸a˜o: Seja ε > 0, qualquer. Sendo g cont´ınua em f(a), existe δ1 > 0 tal que
(|y − f(a)| < δ1 ∧ y ∈ B) =⇒ |g(y)− g(f(a))| < ε .
Por outro lado, sendo f cont´ınua em a, existe δ > 0 tal que
(‖x− a‖ < δ ∧ x ∈ A) =⇒ |f(x)− f(a)| < δ1 .
Enta˜o,
(‖x− a‖ < δ ∧ x ∈ D) =⇒ (|f(x)− f(a)| < δ1 ∧ f(x) ∈ B)
=⇒ |g(f(x))− g(f(a))| < ε
=⇒ |(g ◦ f)(x)− (g ◦ f)(a)| < ε .
Exemplo 1.2.10 A func¸a˜o f definida por
f(x, y) =
x2 + y2
x4 + y4
Cristina Caldeira 25
e´ uma func¸a˜o racional e portanto e´ cont´ınua no seu domı´nio que e´ R2\{(0, 0)}. Ale´m disso,
f(x, y) > 0 para todo o (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)}. Pode enta˜o considerar-se a func¸a˜o definida
por
g(x, y) = ln
(
x2 + y2
x4 + y4
)
e a proposic¸a˜o anterior permite-nos concluir que g e´ cont´ınua em R2 \ {(0, 0)}.
Da proposic¸a˜o 1.2.10 e atendendo a que a func¸a˜o mo´dulo e´ cont´ınua em R obte´m-se:
Corola´rio 1.2.1 Seja f : D ⊆ Rn → R uma func¸a˜o cont´ınua em a ∈ D. Enta˜o a func¸a˜o
|f | e´ cont´ınua em a.
Exemplo 1.2.11 Deste corola´rio e do exemplo 1.2.9 conclui-se que o domı´nio de con-
tinuidade da func¸a˜o
f(x, y) =
∣∣∣∣xy − x2x2 − y2
∣∣∣∣
e´
{(x, y) ∈ R2 : x 6= y e x 6= −y} .
1.2.6 Exerc´ıcios
1. Sejam f : A ⊆ Rn → R e g : B ⊆ R → R duas func¸o˜es com f(A) ⊆ B e seja a
um ponto de acumulac¸a˜o de A. Suponha-se que lim
x→a
f(x) = b, em que b e´ um ponto
de acumulac¸a˜o de B, e que lim
y→b
g(y) = L. Prove que lim
x→a
(g ◦ f) (x) = L, se uma das
condic¸o˜es seguintes for verificada:
(a) ∃r > 0 : (0 < ‖x− a‖ < r ∧ x ∈ A) ⇒ f(x) 6= b;
(b) g e´ cont´ınua em b.
2. Calcule os limites indicados, depois de escrever cada uma das func¸o˜es como com-
posic¸a˜o de duas:
(a) lim
(x,y)→(0,0)
ln(1− x2 − y2)
x2 + y2
;
(b) lim
(x,y)→(0,0)
x2 + y2√
x2 + y2 + 1− 1;
(c) lim
(x,y)→(2,0)
sin(xy)
xy
.
3. Determine o domı´nio de continuidade das func¸o˜es definidas por:
(a) f(x, y) =

x2 + y2 se x2 + y2 ≤ 1
0 se x2 + y2 > 1
;
26 Textos de Apoio de Ana´lise Matema´tica III
(b) f(x, y) =

3x2y
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
;
(c) As func¸o˜es dos exerc´ıcios 9 (c), (d), (e), (f), (g), (j) e (l) da secc¸a˜o 1.2.4;
(d) f(x, y) =
 e
y
x se x 6= 0
2y se x = 0
;
(e) f(x, y) =

1 + x2 se y = 0
1 + y2 se x = 0
0 se x 6= 0 e y 6= 0
;
(f) f(x, y) =

xy2
x2 + y4
se x < y2
0 se x ≥ y2
;
(g) f(x, y) =

x+ y se xy = 0
0 se xy 6= 0
.
4. Demonstre a proposic¸a˜o 1.2.7.
1.2.7 Derivac¸a˜o parcial
Seja f : D ⊆ R2 −→ R
(x, y) 7−→ f(x, y)
uma func¸a˜o real de duas varia´veis reais e (x0, y0) ∈ D.
Fixando y = y0 define-se uma func¸a˜o real de uma varia´vel real,
g : {x ∈ R : (x, y0) ∈ D} −→ R
x 7−→ f(x, y0) .
Se a func¸a˜o g for deriva´vel no ponto x0, a` derivada de g em x0, g
′(x0), chama-se derivada
parcial de f em ordem a x no ponto (x0, y0) e representa-se por
∂f
∂x
(x0, y0) ou fx(x0, y0) .
Tem-se enta˜o que
∂f
∂x
(x0, y0) = lim
h→0
g(x0 + h)− g(x0)
h
= lim
h→0
f(x0 + h, y0)− f(x0, y0)
h
, (1.11)
Cristina Caldeira 27
desde que o limite exista.
Exemplo 1.2.12 Se f e´ a func¸a˜o definida em R2 por f(x, y) = x2 sin(xy) e y0 = pi a func¸a˜o
g tem domı´nio R e e´ definida por g(x) = x2 sin(xpi). Assim g′(x) = 2x sin(xpi)+x2pi cos(xpi),
para todo o x ∈ R e portanto
∂f
∂x
(x0, pi) = 2x0 sin(x0pi) + x
2
0pi cos(x0pi) ,∀x0 ∈ R .
Suponha-se que existe a derivada parcial de f em ordem a x no ponto (x0, y0) e veja-se
qual o seu significado geome´trico.
Designe-se por S a porc¸a˜o de superf´ıcie
{(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ D e z = f(x, y)} .
Considere-se o ponto de S, P0 = (x0, y0, f(x0, y0)).
Intersectando a superf´ıcie S com o plano (paralelo a XOZ) de equac¸a˜o y = y0 obte´m-
se uma curva, C1, contida no plano y = y0 e de equac¸a˜o z = f(x, y0) = g(x). Enta˜o
∂f
∂x
(x0, y0) = g
′(x0) e´ o declive da recta r1, contida no plano y = y0 e que e´ tangente a`
curva C1 no ponto P0. Ou seja, e´ a tangente da medida do aˆngulo que a recta r1 faz com
o semi-eixo O˙X.
Fig. 1.2.6
De modo ana´logo, a derivada parcial de f em ordem a y no ponto (x0, y0) e´ definida
como sendo o limite, caso exista,
lim
h→0
f(x0, y0 + h)− f(x0, y0)
h
.
Esta derivada parcial representa-se por
∂f
∂y
(x0, y0) ou fy(x0, y0) . (1.12)
28 Textos de Apoio de Ana´lise Matema´tica III
Intersectando a superf´ıcie S, de equac¸a˜o z = f(x, y), com o plano (paralelo a YOZ) de
equac¸a˜o x = x0 obte´m-se uma curva, C2, contida no plano x = x0 e de equac¸a˜o z = f(x0, y).
Enta˜o
∂f
∂y
(x0, y0) e´ o declive da recta r2, contida no plano x = x0 e que e´ tangente a` curva
C2 no ponto P0 = (x0, y0).
Como calcular as derivadas parciais de f em (x0, y0)? Regra geral, se numa vizinhanc¸a
do ponto (x0, y0) a func¸a˜o f e´ dada por uma u´nica expressa˜o, para calcular a derivada
parcial de f em ordem a x considera-se y constante na expressa˜o de definic¸a˜o de f e
deriva-se em ordem a x, fazendo em seguida x = x0 e y = y0. De modo ana´logo, para
calcular a derivada parcial de f em ordem a y considera-se x constante na expressa˜o de
definic¸a˜o de f e deriva-se em ordem a y, fazendo em seguida x = x0 e y = y0.
Exemplo 1.2.13 Seja f(x, y) = 2xy + y2 cos(−2x+ y). Enta˜o
fx(0, pi) = (2y + 2y
2 sin(−2x+ y))|x=0,y=pi = 2pi + 2pi2 sin(pi) = 2pi
e
fy(0, pi) = (2x− y2 sin(−2x+ y) + 2y cos(−2x+ y))|x=0,y=pi = 2pi cos(pi) = −2pi .
No caso de, em qualquer vizinhanc¸a de (x0, y0), a func¸a˜o f ser dada por mais do que uma
expressa˜o de definic¸a˜o, as derivadas parciais fx(x0, y0) e fy(x0, y0) obteem-se calculando os
limites (1.11) e (1.12), respectivamente.
Exemplo 1.2.14 Considere-se a func¸a˜o
f : R2 −→ R
(x, y) 7−→
{
xy se y 6= x
x3 se y = x
.
∂f
∂x
(1, 1) = lim
h→0
f(1 + h, 1)− f(1, 1)
h
= lim
h→ 0
h 6= 0
f(1 + h, 1)− f(1, 1)
h
= lim
h→0
(1 + h)1− 13
h
= lim
h→0
h
h
= 1 .
Por outro lado,
lim
h→0
f(2 + h, 2)− f(2, 2)
h
= lim
h→0
(2 + h)2− 8
h
= lim
h→0
−4 + 2h
h
e este limite na˜o existe, concluindo-se que na˜o existe a derivada parcial de f em ordem a
x em (2, 2).
Cristina Caldeira 29
Fazendo variar o ponto (x0, y0) definem-se duas novas func¸o˜es reais de duas varia´veis
reais a que se chama derivadas parciais de 1a ordem de f :
• func¸a˜o derivada parcial de 1a ordem de f em ordem a x, definida por
∂f
∂x
(x, y) = fx(x, y) = lim
h→0
f(x+ h, y)− f(x, y)
h
;
• func¸a˜o derivada parcial de 1a ordem de f em ordem a y, definida por
∂f
∂y
(x, y) = fy(x, y) lim
h→0
f(x, y + h)− f(x, y)
h
.
Cada uma destas func¸o˜es so´ esta´ definida nos pontos (x, y) do domı´nio de f onde existe
o limite considerado.
Sendo
∂f
∂x
e
∂f
∂y
func¸o˜es reais de 2 varia´veis reais podem considerar-se as suas derivadas
parciais . Obteˆm-se assim as derivadas parciais de 2a ordem de f :
∂2f
∂x2
=
∂
∂x
(
∂f
∂x
)
tambe´m representada por (fx)x = fx2 ;
∂2f
∂y∂x
=
∂
∂y
(
∂f
∂x
)
tambe´mrepresentada por (fx)y = fxy ;
∂2f
∂x∂y
=
∂
∂x
(
∂f
∂y
)
tambe´m representada por (fy)x = fyx ;
∂2f
∂y2
=
∂
∂y
(
∂f
∂y
)
tambe´m representada por (fy)y = fy2 .
A partir das derivadas parciais de 2a ordem de f obteˆm-se as derivadas parciais de 3a
30 Textos de Apoio de Ana´lise Matema´tica III
ordem de f e assim sucessivamente:
f

∂f
∂x

∂2f
∂x2

∂3f
∂x3
· · ·
∂3f
∂y∂x2
· · ·
∂2f
∂y∂x

∂3f
∂x∂y∂x
· · ·
∂3f
∂y2∂x
· · ·
∂f
∂y

∂2f
∂x∂y

∂3f
∂x2∂y
· · ·
∂3f
∂y∂x∂y
· · ·
∂2f
∂y2

∂3f
∂x∂y2
· · ·
∂3f
∂y3
· · ·
.
Para k inteiro positivo ha´ 2k derivadas parciais de ordem k. Conforme se vera´, em
certas condic¸o˜es, algumas identificam-se.
A noc¸a˜o de derivac¸a˜o parcial vista para func¸o˜es reais de 2 varia´veis reais generaliza-se
facilmente para func¸e˜s reais de n varia´veis reais.
Considere-se a func¸a˜o
f : D ⊆ Rn −→ R
(x1, x2, . . . , xn) 7−→ f(x1, x2, . . . , xn) .
Para i = 1, 2, . . . , n, a func¸a˜o derivada parcial de f em ordem a xi e´ a func¸a˜o fxi ou
∂f
∂xi
definida por
∂f
∂xi
(x1, x2, . . . , xn) = lim
h→0
f(x1, x2, . . . , xi−1, xi + h, xi+1, . . . , xn)− f(x1, x2, . . . , xn)
h
,
desde que o limite exista.
Sejam f : D ⊆ Rn → R, S ⊆ D e r um nu´mero inteiro na˜o negativo. Diz-se que f e´ de
classe Cr em S e escreve-se f ∈ Cr(S) se f admite derivadas parciais cont´ınuas ate´ a` ordem
r em todos os pontos de S. Se S coincide com o domı´nio D de f diz-se simplesmente que
f e´ de classe Cr. Dizer que f e´ de classe C0 em S significa que f e´ cont´ınua em S.
Cristina Caldeira 31
1.2.8 Teorema de Schwarz
O Teorema de Schwarz da´ condic¸o˜es suficientes para que a existeˆncia de uma das chamadas
derivadas rectangulares (fxy e fyx) num dado ponto garanta que a outra derivada rectan-
gular existe e que ambas coincidem.
Teorema 1.2.1 (Teorema de Schwarz)
Sejam f uma func¸a˜o real de 2 varia´veis reais de domı´nio D e (x0, y0) um ponto interior
de D. Suponha-se que as func¸o˜es fx, fy e fxy existem numa bola aberta, B, contida em D
e centrada em (x0, y0). Suponha-se ainda que fxy e´ cont´ınua em (x0, y0). Enta˜o existe a
derivada fyx em (x0, y0) e
fyx(x0, y0) = fxy(x0, y0) .
Demonstrac¸a˜o: Pretende provar-se que existe o
lim
h→0
fy(x0 + h, y0)− fy(x0, y0)
h
(1.13)
e que e´ igual a fxy(x0, y0).
Seja h 6= 0 suficientemente pequeno, em mo´dulo, (isto e´, h suficientemente pro´ximo de
zero) para que (x0 + h, y0) ∈ B. Enta˜o
fy(x0 + h, y0)− fy(x0, y0) =
= lim
k→0
f(x0 + h, y0 + k)− f(x0 + h, y0)
k
− lim
k→0
f(x0, y0 + k)− f(x0, y0)
k
= lim
k→0
1
k
[f(x0 + h, y0 + k)− f(x0 + h, y0)− f(x0, y0 + k) + f(x0, y0)] .
Seja k 6= 0 suficientemente pequeno, em mo´dulo, para que (x0 +h, y0 +k), (x0, y0 +k) ∈
B.
Sem perda de generalidade suponha-se que h > 0 e considere-se a func¸a˜o real de uma
varia´vel real
ϕk : [x0, x0 + h] −→ R
x 7−→ f(x, y0 + k)− f(x, y0) .
(Se h < 0 basta considerar ϕk definida em [x0 + h, x0]).
Enta˜o
f(x0 + h, y0 + k)− f(x0 + h, y0)− f(x0, y0 + k) + f(x0, y0) = ϕk(x0 + h)−ϕk(x0) . (1.14)
Com o objectivo de aplicar o teorema do valor me´dio a ϕk vai provar-se que ϕk e´
deriva´vel em ]x0, x0 + h[ e cont´ınua em [x0, x0 + h].
Seja x1 ∈]x0, x0 + h[, qualquer.
lim
`→0
ϕk(x1 + `)− ϕk(x1)
`
= lim
`→0
f(x1 + `, y0 + k)− f(x1 + `, y0)− f(x1, y0 + k) + f(x1, y0)
`
.
32 Textos de Apoio de Ana´lise Matema´tica III
Uma vez que x1 ∈]x0, x0 + h[ verifica-se facilmente que (x1, y0 + k), (x1, y0) ∈ B. Enta˜o,
por hipo´tese existem os limites
lim
`→0
f(x1 + `, y0 + k)− f(x1, y0 + k)
`
e lim
`→0
f(x1 + `, y0)− f(x1, y0)
`
,
e sa˜o iguais, respectivamente, a fx(x1, y0 + k) e fx(x1, y0).
Assim,
lim
`→0
ϕk(x1 + `)− ϕk(x1)
`
= fx(x1, y0 + k)− fx(x1, y0)
e portanto ϕk e´ deriva´vel em ]x0, x0 + h[. Enta˜o e´ tambe´m cont´ınua em ]x0, x0 + h[.
Analogamente
lim
`→0+
ϕk(x0 + `)− ϕk(x0)
`
= fx(x0, y0 + k)− fx(x0, y0) .
Enta˜o
lim
`→0+
([ϕk(x0 + `)− ϕk(x0)] = lim
`→0+
[
`
ϕk(x0 + `)− ϕk(x0)
`
]
= 0× [fx(x0, y0 + k)− fx(x0, y0)] = 0 ,
concluindo-se que
lim
`→0+
ϕk(x0 + `) = ϕk(x0) .
Assim ϕk e´ cont´ınua em x0. Do modo semelhante prova-se que e´ cont´ınua em x0 + h.
O teorema do valor me´dio garante a existeˆncia de c ∈]x0, x0 + h[ tal que
ϕk(x0 + h)− ϕk(x0) = hϕk ′(c) .
Mas sendo c um elemento do intervalo ]x0, x0 + h[, existe t ∈]0, 1[ tal que c = x0 + th.
Enta˜o
ϕk(x0 + h)− ϕk(x0) = h [fx(x0 + th, y0 + k)− fx(x0 + th, y0)] .
Provou-se assim que, para h tal que (x0 + h, y0) ∈ B, existe t ∈]0, 1[ tal que
fy(x0 + h, y0)− fy(x0, y0) = lim
k→0
h [fx(x0 + th, y0 + k)− fx(x0 + th, y0)]
k
= h lim
k→0
fx(x0 + th, y0 + k)− fx(x0 + th, y0)
k
= hfxy(x0 + th, y0) .
Assim, o limite (1.13) e´ igual a
lim
h→0
fxy(x0 + th, y0) ,
que por sua vez e´ igual a fxy(x0, y0), porque fxy e´ cont´ınua em (x0, y0).
Corola´rio 1.2.2 Sejam f uma func¸a˜o real de 2 varia´veis reais de domı´nio D e (x0, y0) um
ponto interior de D. Suponha-se que f e´ de classe C2 numa vizinhanc¸a de (x0, y0). Enta˜o
fyx(x0, y0) = fxy(x0, y0) .
Cristina Caldeira 33
1.2.9 Exerc´ıcios
1. Usando a definic¸a˜o de derivada parcial, determine
(a) fx(0, 0) e fy(1, 2), sendo f(x, y) = x
2y;
(b) fx(1, 1) e fy(0, 0), sendo
f(x, y) =
{
x se x < y
y se x ≥ y .
2. Mostre que a func¸a˜o f definida por
f(x, y) =
{ 2xy
x2+y4
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
possui derivadas parciais em (0, 0), embora seja descont´ınua nesse ponto.
3. Calcule as derivadas parciais de 1a ordem das func¸o˜es seguintes:
(a) f(x, y) = e2xy
3
;
(b) f(x, y, z) = ln(ex + zy) ;
(c) f(x, y, z) = ex sin y + cos(z − 3y) ;
(d) f(x, y) = (cotg x)tg y ;
(e) f(x, y) = arcsin
√
x2 − y2
x2 + y2
;
(f) f(x, y, z) = cos(y
√
x2 + z2);
(g) f(x, y) =

x3y
x6 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
;
(h) f(x, y) =
{ xy
x+ y
se x+ y 6= 0
x se x+ y = 0
.
4. Calcule as derivadas parciais de 2a ordem das func¸o˜es seguintes:
(a) f(x, y) = ln(x+ y) + ln(x− y) ;
(b) f(x, y, z) = sin(xyz) ;
(c) f(x, y, z) = x2eyz + y ln z .
34 Textos de Apoio de Ana´lise Matema´tica III
5. Prove que, sendo f(x, y) = − ln(x3 + y3) se tem fxy = fxfy.
Nota: A igualdade acima nem sempre e´ verdadeira.
6. Uma func¸a˜o f(x, y) diz-se harmo´nica se verificar a equac¸a˜o seguinte, dita equac¸a˜o de
Laplace,
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
= 0 .
Prove que as seguintes func¸o˜es sa˜o harmo´nicas:
(a) f(x, y) = arctg (
y
x) ;
(b) f(x, y) = ln(
√
x2 + y2) .
7. Sejam u(x, y) e v(x, y) duas func¸o˜es com derivadas de 2a ordem cont´ınuas. Prove
que, se {
ux(x, y) = vy(x, y)
uy(x, y) = −vx(x, y) ,
enta˜o u e´ uma func¸a˜o harmo´nica.
8. Sendo w(x, y) = cos(x− y) + ln(x+ y) prove que ∂2w
∂x2
− ∂2w
∂y2
= 0 .
9. Calcule todas as derivadas de 3a ordem da func¸a˜o definida por z(x, y) = ln(x2 + y2) .
10. Utilizando o Teorema de Schwarz, mostre que na˜o existe nenhuma func¸a˜o f : R2 → R
tal que
∂f
∂x
= xy2 + 1 e
∂f
∂y
= y2 .
11. Considere a func¸a˜o f : R2 → R definida por f(x, y) =

xy2
x+ y
se x 6= −y
0 se x = −y
.
Calcule fy(x, 0), fx(0, y) e mostre que fxy(0, 0) 6= fyx(0, 0).
1.2.10 Func¸o˜es diferencia´veis e diferencial de uma func¸a˜o
A noc¸a˜o de diferenciabilidade esta´ ligada aos chamados problemas de aproximac¸a˜o linear.
Se uma func¸a˜o f : D ⊆ R −→ R
x 7−→ f(x)
e´ diferencia´vel em x0, ponto interior de D,
enta˜o numa vizinhanc¸asuficientemente pequena de x0, a func¸a˜o cujo gra´fico e´ a recta
tangente ao gra´fico de f no ponto (x0, f(x0)) da´ uma boa aproximac¸a˜o para f .
Se uma func¸a˜o real de 2 varia´veis reais, f , e´ diferencia´vel em (x0, y0), ponto interior do
domı´nio de f , enta˜o numa vizinhanc¸a suficientemente pequena de (x0, y0) pode substituir-se
f por uma func¸a˜o cujo gra´fico e´ um plano, com um erro pequeno.
Veja-se enta˜o qual a definic¸a˜o de func¸a˜o diferencia´vel num ponto para func¸o˜es reais de
2 varia´veis reais. Considere-se a func¸a˜o
f : D ⊆ R2 −→ R
(x, y) 7−→ f(x, y)
Cristina Caldeira 35
e seja z = f(x, y) (diz-se que x e y sa˜o as varia´veis independentes e z e´ a varia´vel depen-
dente).
Seja (x0, y0) um ponto interior de D.
Considerem-se acre´scimos ∆x e ∆y (∆x,∆y ∈ R) das varia´veis independentes x e y tais
que (x0 + ∆x, y0 + ∆y) ∈ D. Seja ∆z o acre´scimo correspondente da varia´vel dependente
z, isto e´,
∆z = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y)− f(x0, y0) .
Observe-se que ∆z e´ func¸a˜o de ∆x e de ∆y.
P0 = (x0, y0, f(x0, y0)) P1 = (x0 + ∆x, y0 + ∆y, f(x0 + ∆x, y0 + ∆y))
Fig. 1.2.7
Diz-se que f e´ diferencia´vel em (x0, y0) se existem as derivadas parciais de 1
a ordem
de f em (x0, y0) e se existe uma bola aberta centrada em (x0, y0) e contida em D, B, tal
que, para quaisquer ∆x e ∆y nu´meros reais tais que (x0 + ∆x, y0 + ∆y) ∈ B, se tem
∆z = ∆xfx(x0, y0) + ∆yfy(x0, y0) + ∆x ε1(∆x,∆y) + ∆y ε2(∆x,∆y) , (1.15)
onde ε1 e ε2 sa˜o func¸o˜es de ∆x e ∆y tais que
lim
(∆x,∆y)→(0,0)
ε1(∆x,∆y) = lim
(∆x,∆y)→(0,0)
ε2(∆x,∆y) = 0 .
Se S ⊆ int(D) e f e´ diferencia´vel em todo o ponto de S, diz-se que f e´ diferencia´vel
em S.
Resulta da definic¸a˜o que se f e´ diferencia´vel em (x0, y0) enta˜o existem as derivadas
parciais de primeira ordem de f em (x0, y0). Contudo, como se vera´ (exemplo 1.2.16), a
existeˆncia das derivadas parciais de primeira ordem de f em (x0, y0) na˜o e´ suficiente para
garantir a diferenciabilidade de f em (x0, y0). Esta e´ uma diferenc¸a importante em relac¸a˜o
a`s func¸o˜es reais de uma varia´vel real, para as quais a existeˆncia de derivada no ponto
garante a diferenciabilidade nesse ponto.
Usar a definic¸a˜o para saber se uma dada func¸a˜o de 2 varia´veis e´ diferencia´vel num ponto
pode ser bastante complicado. Frequentemente usar-se-a` o resultado seguinte.
36 Textos de Apoio de Ana´lise Matema´tica III
Proposic¸a˜o 1.2.11 Sejam f : D ⊆ R2 → R e (x0, y0) um ponto interior de D. Suponha-
se que f admite derivadas parciais de 1a ordem em todos os pontos de uma bola aberta
centrada em (x0, y0) e contida em D. Suponha-se ainda que pelo menos uma das derivadas
parciais fx ou fy e´ cont´ınua em (x0, y0). Enta˜o f e´ diferencia´vel em (x0, y0).
Demonstrac¸a˜o: Sem perda de generalidade suponha-se que fx e´ cont´ınua em (x0, y0).
Seja B uma bola aberta contida em D tal que f admite derivadas parciais de 1a ordem em
todos os pontos de B. Sejam ∆x,∆y ∈ R tais que (x0 + ∆x, y0 + ∆y) ∈ B.
∆z = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y)− f(x0, y0)
= [f(x0 + ∆x, y0 + ∆y)− f(x0, y0 + ∆y)] +
[f(x0, y0 + ∆y)− f(x0, y0)] . (1.16)
Sem perda de generalidade suponha-se que ∆x ≥ 0 e considere-se a func¸a˜o real de uma
varia´vel real
ϕ : [x0, x0 + ∆x] −→ R
x 7−→ f(x, y0 + ∆y) .
(Se ∆x < 0 basta considerar ϕ definida em [x0 + ∆x, x0]).
Prova-se que ϕ e´ deriva´vel em ]x0, x0 + ∆x[ e cont´ınua em [x0, x0 + ∆x] e portanto o
teorema do valor me´dio garante a existeˆncia de c ∈]x0, x0 + ∆x[ tal que
ϕ(x0 + ∆x)− ϕ(x0) = ∆xϕ′(c) .
Assim, para ∆x,∆y tais que (x0 + ∆x, y0 + ∆y) ∈ B existe c ∈]x0, x0 + ∆x[ (se ∆x ≥ 0),
ou c ∈]x0 + ∆x, x0[ (se ∆x < 0) tal que
f(x0 + ∆x, y0 + ∆y)− f(x0, y0 + ∆y) = ∆x fx(c, y0 + ∆y) . (1.17)
Observe-se que c depende de ∆x e de ∆y.
Considere-se a func¸a˜o ε2 definida por
ε2(∆x,∆y) =
{ f(x0,y0+∆y)−f(x0,y0)
∆y
− fy(x0, y0) se ∆y 6= 0
0 se ∆y = 0 .
Verifica-se facilmente que lim
(∆x,∆y)→(0,0)
ε2(∆x,∆y) = 0. Por outro lado, de (1.16) e (1.17)
obte´m-se
∆z = ∆x fx(c, y0 + ∆y) + ∆y ε2(∆x,∆y) + ∆y fy(x0, y0) . (1.18)
Considere-se a func¸a˜o ε1 definida por
ε1(∆x,∆y) = fx(c, y0 + ∆y)− fx(x0, y0) .
Uma vez que c ∈]x0, x0 + ∆x[ ou c ∈]x0 + ∆x, x0[, o ponto (c, y0 + ∆y) aproxima-se de
(x0, y0) quando (∆x,∆y) → (0, 0). Por outro lado, fx e´ cont´ınua em (x0, y0), logo
lim
(∆x,∆y)→(0,0)
fx(c, y0 + ∆y) = fx(x0, y0)
Cristina Caldeira 37
e portanto
lim
(∆x,∆y)→(0,0)
ε1(∆x,∆y) = 0 .
De (1.16) e (1.18) obte´m-se finalmente que
∆z = ∆xfx(x0, y0) + ∆yfy(x0, y0) + ∆x ε1(∆x,∆y) + ∆y ε2(∆x,∆y) ,
e portanto f e´ diferencia´vel em (x0, y0).
Corola´rio 1.2.3 Sejam f : D ⊆ R2 → R e S ⊆ D um conjunto aberto. Se f e´ de classe
C1 em S enta˜o f e´ diferencia´vel em S.
Os rec´ıprocos dos dois resultados anteriores sa˜o falsos. Pode acontecer que f seja
diferencia´vel em (x0, y0) sem que nenhuma das derivadas parciais fx e fy seja cont´ınua em
(x0, y0). E´ o que se passa com a func¸a˜o do exemplo seguinte no ponto (0, 0).
Exemplo 1.2.15 Considere-se a func¸a˜o
f : R2 −→ R
(x, y) 7−→

x2 sin
(
1
x
)
se x 6= 0
y2 sin
(
1
y
)
se x = 0 e y 6= 0
0 se x = y = 0 .
Calculem-se as derivadas parciais de 1a ordem de f .
Seja (x, y) ∈ R2.
Se x 6= 0,
fx(x, y) = 2x sin
(
1
x
)
− cos
(
1
x
)
.
Para x = 0 e y 6= 0,
lim
h→0
f(0 + h, y)− f(0, y)
h
= lim
h→0
h2 sin
(
1
h
)− y2 sin( 1
y
)
h
= lim
h→0
(
h sin
(
1
h
)
− 1
h
y2 sin
(
1
y
))
e este limite e´ zero se y e´ da forma 1/(kpi), com k ∈ Z \ {0}, e na˜o existe nos restantes
casos.
Se x = y = 0,
lim
h→0
f(0 + h, 0)− f(0, 0)
h
= lim
h→0
h2 sin
(
1
h
)− 0
h
= lim
h→0
h sin
(
1
h
)
= 0 ,
38 Textos de Apoio de Ana´lise Matema´tica III
concluindo-se que fx(0, 0) = 0.
Resumindo, o domı´nio de fx e´
{(x, y) ∈ R2 : x 6= 0} ∪ {(x, y) ∈ R2 : x = 0 e y = 1/(kpi) , k ∈ Z \ {0}} ∪ {(0, 0)}
e
fx(x, y) =

2x sin
(
1
x
)− cos ( 1
x
)
se x 6= 0
0 se x = 0 e y = 1/(kpi) , k ∈ Z \ {0}
0 se (x, y) = (0, 0) .
De modo ana´logo conclui-se que o domı´nio de fy e´ R
2 e
fy(x, y) =
{
2y sin
(
1
y
)
− cos
(
1
y
)
se x = 0 e y 6= 0
0 nos restantes casos .
Verifica-se facilmente que na˜o existe o limite de fx em (0, 0) segundo {(x, y) ∈ R2 : x 6=
0} e portanto fx na˜o e´ cont´ınua em (0, 0).
Tambe´m na˜o existe o limite de fy em (0, 0) segundo {(x, y) ∈ R2 : x = 0} e portanto
fy na˜o e´ cont´ınua em (0, 0).
Contudo, como se prova seguidamente, f e´ diferencia´vel em (0, 0).
Designe-se por B a bola aberta de centro (0, 0) e raio δ > 0. Sejam ∆x,∆y ∈ R tais
que (∆x,∆y) ∈ B.
f(0+∆x, 0+∆y)−f(0, 0) = f(∆x,∆y) =

(∆x)2 sin
(
1
∆x
)
se ∆x 6= 0
(∆y)2 sin
(
1
∆y
)
se ∆x = 0 e ∆y 6= 0
0 se ∆x = ∆y = 0
.
Assim, sendo ε1 e ε2 definidas por
ε1(∆x,∆y) =
{
(∆x) sin
(
1
∆x
)
se ∆x 6= 0
0 se ∆x = 0
e
ε2(∆x,∆y) =
{
(∆y) sin
(
1
∆y
)
se ∆x = 0 e ∆y 6= 0
0 nos restantes casos
,
tem-se
f(∆x,∆y) = ∆x× 0 + ∆y × 0 + ∆x× ε1(∆x,∆y) + ∆y × ε2(∆x,∆y)
= ∆xfx(0, 0) + ∆yfy(0, 0) + ∆x× ε1(∆x,∆y) + ∆y × ε2(∆x,∆y) .
Uma vez que
lim
(∆x,∆y)→(0,0)
ε1(∆x,∆y) = lim
(∆x,∆y)→(0,0)
ε2(∆x,∆y) = 0 ,
conclui-se que f e´ diferencia´vel em (0, 0).
Cristina Caldeira 39
Proposic¸a˜o 1.2.12 Sejam f : D ⊆ R2 → R e (x0, y0) um ponto interior de D. Se f e´
diferencia´vel em (x0, y0) enta˜o f e´ cont´ınua em (x0, y0).
Demonstrac¸a˜o: Sendo (x0, y0) um ponto interior de D enta˜o (x0, y0) e´ um ponto de
acumulac¸a˜o de D. Da definic¸a˜o de func¸a˜o diferencia´vel conclui-se que
lim
(∆x,∆y)→(0,0)
[f(x0 + ∆x, y0 + ∆y)− f(x0, y0)] = 0
e portanto
lim
(∆x,∆y)→(0,0)
f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) = f(x0, y0) .
A proposic¸a˜o anterior e´ particularmenteu´til quando se pretende mostrar que uma
dada func¸a˜o na˜o e´ diferencia´vel num ponto. E´ o que se fara´ no exemplo seguinte, que serve
ainda para apresentar uma func¸a˜o que, embora admitindo derivadas parciais de 1a ordem
em (0, 0) na˜o e´ diferencia´vel nesse ponto.
Exemplo 1.2.16 Considere-se a func¸a˜o real de 2 varia´veis reais definida por
f(x, y) =
{
0 se x = 0 ou y = 0
1 se x 6= 0 e y 6= 0 .
A func¸a˜o f admite derivadas parciais de 1a ordem em (0, 0):
fx(0, 0) = lim
h→0
f(0 + h, 0)− f(0, 0)
h
= lim
h→0
0
h
= 0 ,
fy(0, 0) = lim
h→0
f(0, 0 + h)− f(0, 0)
h
= lim
h→0
0
h
= 0 .
No entanto,
lim
(x, y) → (0, 0)
x = 0
f(x, y) = 0 e lim
(x, y) → (0, 0)
x = y
f(x, y) = 1 ,
concluindo-se que f na˜o e´ cont´ınua em (0, 0) e portanto da proposic¸a˜o 1.2.12 resulta que
f na˜o e´ diferencia´vel em (0, 0).
Seja f uma func¸a˜o diferencia´vel em (x0, y0). Seja B uma bola aberta centrada em
(x0, y0) para a qual se verifica (1.15).
Considere-se z = f(x, y) e designem-se os acre´scimos das varia´veis independentes por
dx e dy. O diferencial total em (x0, y0) da varia´vel dependente, z (ou da func¸a˜o f), e´
dz(x0, y0) = fx(x0, y0) dx+ fy(x0, y0) dy . (1.19)
Tambe´m se usa a notac¸a˜o df(x0, y0). Posteriormente veremos qual o significado geome´trico
de dz(x0, y0).
40 Textos de Apoio de Ana´lise Matema´tica III
Observac¸a˜o 1.2.3 O diferencial total dz(x0, y0) depende do ponto (x0, y0) e tambe´m de
(dx, dy), por isso, por vezes, diz-se que o nu´mero real dado por (1.19) e´ o diferencial da
varia´vel dependente z no ponto (x0, y0), relativo ao vector ~u = (dx, dy) e representa-se por
(dz)~u(x0, y0).
Para dx e dy tais que (x0 +dx, y0 +dy) ∈ B, sendo ∆z = f(x0 +dx, y0 +dy)−f(x0, y0),
tem-se
∆z − dz = dx ε1(dx, dy) + dy ε2(dx, dy) .
Enta˜o (ε1 e ε2 tendem para 0 quando (dx, dy) tende para (0, 0)) o diferencial total dz(x0, y0)
da´ uma boa aproximac¸a˜o para o acre´scimo ∆z, desde que dx e dy sejam suficientemente
pequenos. Assim a noc¸a˜o de diferencial total pode ser usada em problemas de aproximac¸a˜o.
Exemplo 1.2.17 Calcular um valor aproximado para e−0,002 + ln(1, 001), usando diferen-
ciais. Considere-se a func¸a˜o f : R × R+ → R definida por f(x, y) = ex + ln y. As
derivadas parciais de primeira ordem de f sa˜o fx(x, y) = e
x e fy(x, y) = 1/y. Enta˜o f e´
de classe C1 em R×R+ e portanto e´ diferencia´vel em R×R+. Considerem-se z = f(x, y),
(x0, y0) = (0, 1), dx = −0, 002 e dy = 0, 001.
∆z = f(−0, 002, 1, 001)− f(0, 1) = f(−0, 002, 1, 001)− 1 .
Por outro lado,
∆z ≈ df(0, 1) = e0 dx+ 1
1
dy = dx+ dy = −0, 001 .
Enta˜o
e−0,002 + ln(1, 001) = f(−0, 002, 1, 001) = ∆z + 1 ≈ 1− 0, 001 = 0, 999 .
As definic¸o˜es de diferenciabilidade e de diferencial total para func¸o˜es reais de n > 2
varia´veis reais sa˜o a extensa˜o natural das vistas para o caso n = 2.
Seja f : D ⊆ Rn −→ R
(x1, x2, . . . , xn) 7−→ f(x1, x2, . . . , xn)
uma func¸a˜o real de n varia´veis reais
e considere-se uma varia´vel dependente u = f(x1, x2, . . . , xn). Seja x
0 = (x01, x
0
2, . . . , x
0
n) um
ponto interior de D. Se, para i = 1, 2, . . . , n, ∆xi for o acre´scimo da varia´vel independente
xi, enta˜o o acre´scimo correspondente da varia´vel dependente e´
∆u = f(x01 + ∆x1, x
0
2 + ∆x2, . . . , x
0
n + ∆xn)− f(x01, x02, . . . , x0n) .
Diz-se que f e´ diferencia´vel em x0 se f admite derivadas parciais de 1a ordem em x0
e existe uma bola aberta B centrada em x0 e contida em D tal que, para (x01 + ∆x1, x02 +
∆x2, . . . , x
0
n + ∆xn) ∈ B o acre´scimo ∆u se pode escrever na forma
∆u =
n∑
i=1
(
∂f
∂xi
(x0) + εi(∆x1,∆x2, . . . ,∆xn)
)
∆xi ,
com ε1, ε2, . . . , εn func¸o˜es de (∆x1,∆x2, . . . ,∆xn) que teˆm por limite zero quando
(∆x1,∆x2, . . . ,∆xn) tende para (0, 0, . . . , 0).
Tal como para func¸o˜es reais de 2 varia´veis reais sa˜o va´lidos os resultados:
Cristina Caldeira 41
Proposic¸a˜o 1.2.13 Sejam f : D ⊆ Rn → R e x0 um ponto interior de D. Suponha-se que
f admite derivadas parciais de 1a ordem em todos os pontos de uma bola aberta centrada
em x0 e contida em D. Suponha-se ainda que pelo menos n− 1 das derivadas parciais 1a
ordem de f sa˜o cont´ınuas em x0. Enta˜o f e´ diferencia´vel em x0.
Corola´rio 1.2.4 Sejam f : D ⊆ Rn → R e S ⊆ D um conjunto aberto. Se f e´ de classe
C1 em S enta˜o f e´ diferencia´vel em S.
Proposic¸a˜o 1.2.14 Sejam f : D ⊆ Rn → R e x0 um ponto interior de D. Se f e´
diferencia´vel em x0 enta˜o f e´ cont´ınua em x0.
Se f e´ diferencia´vel em x0 o diferencial total de u = f(x1, x2, . . . , xn) em x
0 e´
du(x0) =
n∑
i=1
∂f
∂xi
(x0) dxi .
1.2.11 Exerc´ıcios
1. Usando a definic¸a˜o, verifique se sa˜o diferencia´veis as seguintes func¸o˜es nos pontos
dados:
(a) f(x, y, z) = x y z , em todo o seu domı´nio;
(b) f(x, y) =
{
x2 + y2 se x 6= 0
y4 se x = 0
no ponto P = (0, 0) ;
(c) f(x, y) =
{
0 se x 6= y2
y − 1 se x = y2 no ponto P = (1, 1) .
2. Usando condic¸o˜es necessa´rias ou suficientes para a diferenciabilidade de uma func¸a˜o
num dado ponto, averigu´e se sa˜o diferencia´veis as seguintes func¸o˜es nos pontos dados:
(a) f(x, y) = ex
2 + y2 , no ponto (2, 1) ;
(b) f(x, y, z) = x2eyz + y ln z , no ponto (1, 2, 1) ;
(c) f(x, y) =

sin(xy − y)
(x− 1)2 + y2 se (x, y) 6= (1, 0)
2 se (x, y) = (1, 0)
no ponto (1, 0) ;
(d) f(x, y, z) = cos(y
√
x2 + z2) , no ponto (0, 1, 0) .
3. Determine, caso exista, o diferencial total das func¸o˜es seguintes nos pontos indicados:
(a) f(x, y) = ln(x2 + y2) + x tg y , no ponto (0, pi
4
);
42 Textos de Apoio de Ana´lise Matema´tica III
(b) f(x, y, z) = x2eyz + y ln z , no ponto (2, 0, 1);
(c) f(x, y) = arcsin xy + x
3ey , no ponto (1, 2);
(d) f(x, y) = ln(x2 + y2) + x cotg y , no ponto (0, pi
4
);
(e) f(x, y) =
xy3
x4 + y6
, no ponto (0, 0);
(f) f(x, y, z) = xαyβzγ , no ponto (1, 1, 1) e sendo α, β, γ constantes.
4. Usando diferenciais, calcule o valor aproximado das seguintes func¸o˜es nos pontos
dados:
(a) f(x, y) = cos(x2 + y) , no ponto (0.1, 3.14);
(b) g(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2 , no ponto (2.001, 0.003,−0.001);
(c) h(x, y) = x3y2 , no ponto (1.02, 0.97).
5. Calcule um valor aproximado para (3.05)2 × (2.01)3 × (1.006)6 .
6. Uma caixa sem tampa vai ser constru´ıda com madeira de 0.5cm de espessura. O
comprimento interno deve ter 70cm, a largura interna 40cm e a altura interna 35cm.
Use o conceito de diferencial para calcular a quantidade aproximada de madeira que
sera´ utilizada na construc¸a˜o da caixa.
7. Qual e´, aproximadamente, o acre´scimo sofrido pelo volume de um cilindro quando
o raio da sua base, sendo inicialmente de 30cm, e´ aumentado em 5cm e a altura,
inicialmente de 1.2m, e´ reduzida em 5cm.
1.2.12 Derivac¸a˜o de func¸o˜es compostas
Suponha-se que se tem uma func¸a˜o real nas n varia´veis reais x1, x2, . . . , xn, f(x1, x2, . . . , xn).
Pode acontecer que as varia´veis x1, x2, . . . , xn dependam de outras varia´veis, digamos
t1, t2, . . . , tr. Define-se a func¸a˜o composta
h(t1, t2, . . . , tr) = f (x1(t1, t2, . . . , tr), x2(t1, t2, . . . , tr), . . . , xn(t1, t2, . . . , tr)) .
Pode colocar-se o problema de calcular as derivadas parciais de h. O caso mais simples e´
o que se obtem quando r = 1, isto e´, quando x1, x2, . . . , xn sa˜o func¸o˜es de uma so´ varia´vel,
t.
Proposic¸a˜o 1.2.15 (Regra da cadeia)
Sejam f(x1, x2, . . . , xn) uma func¸a˜o real de n varia´veis reais e x1(t), x2(t), . . . , xn(t) func¸o˜es
de uma mesma varia´vel real t, diferencia´veis em t0 (i.e., x1(t), x2(t), . . . , xn(t) teˆm derivada
em t0). Suponha-se ainda que f e´ diferencia´vel em x
0 = (x1(t0), x2(t0), . . . , xn(t0)).
Enta˜o a func¸a˜o real de uma varia´vel real, g(t) = f(x1(t), x2(t), . . . , xn(t)) e´ diferencia´velem t0 e
dg
dt
(t0) =
n∑
i=1
∂f
∂xi
(x0)
dxi
dt
(t0) .
Cristina Caldeira 43
Demonstrac¸a˜o:
Faremos a demonstrac¸a˜o apenas para n = 2. Pretende calcular-se
lim
h→0
g(t0 + h)− g(t0)
h
.
Considerem-se as func¸o˜es de h, ∆x1 = x1(t0 + h) − x1(t0) e ∆x2 = x2(t0 + h) − x2(t0), e
designem-se x1(t0) por x
0
1 e x2(t0) por x
0
2.
Enta˜o
g(t0 + h)− g(t0) = f(x1(t0 + h), x2(t0 + h))− f(x1(t0), x2(t0))
= f(x1(t0) + ∆x1, x2(t0) + ∆x2)− f(x1(t0), x2(t0))
= f(x01 + ∆x1, x
0
2 + ∆x2)− f(x01, x02) .
A func¸a˜o f e´ diferencia´vel em x0 = (x01, x
0
2) logo existe uma bola aberta B centrada em x0
tal que para (x01 + ∆x1, x
0
2 + ∆x2) ∈ B,
f(x01 + ∆x1, x
0
2 + ∆x2)− f(x01, x02) = ∆x1
∂f
∂x1
(x0) + ∆x2
∂f
∂x2
(x0) +
∆x1 ε1(∆x1,∆x2) + ∆x2 ε2(∆x1,∆x2) ,
onde ε1 e ε2 tendem para 0 quando (∆x1,∆x2) tende para (0, 0).
Como h→ 0 pode escolher-se h suficientemente pequeno de modo a que (x01 +∆x1, x02 +
∆x2) pertenc¸a a B. Observe-se que isto e´ poss´ıvel porque as func¸o˜es x1(t) e x2(t) sa˜o
cont´ınuas em t0 logo
lim
h→0
∆xi = lim
h→0
[xi(t0 + h)− xi(t0)] = 0 , i = 1, 2 .
Assim,
g(t0 + h)− g(t0) = ∆x1 ∂f
∂x1
(x0) + ∆x2
∂f
∂x2
(x0) +
∆x1 ε1(∆x1,∆x2) + ∆x2 ε2(∆x1,∆x2) .
Definam-se as func¸o˜es
ηi(∆x1,∆x2) =
{
εi(∆x1,∆x2) se (∆x1,∆x2) 6= (0, 0)
0 se (∆x1,∆x2) = (0, 0)
, i = 1, 2 .
As func¸o˜es η1 e η2 sa˜o cont´ınuas em (0, 0) e
g(t0 + h)− g(t0)
h
=
∆x1
h
(
∂f
∂x1
(x0) + η1(∆x1,∆x2)
)
+
∆x2
h
(
∂f
∂x2
(x0) + η2(∆x1,∆x2)
)
.
44 Textos de Apoio de Ana´lise Matema´tica III
Quando h→ 0, (∆x1,∆x2) → (0, 0) logo limh→0 ηi = 0, para i = 1, 2. Por outro lado,
lim
h→0
∆xi
h
= lim
h→0
xi(t0 + h)− xi(t0)
h
=
dxi
dt
(t0) , i = 1, 2 .
Enta˜o
lim
h→0
g(t0 + h)− g(t0)
h
=
∂f
∂x1
(x0)
dx1
dt
(t0) +
∂f
∂x2
(x0)
dx2
dt
(t0) .
Exemplo 1.2.18 Suponha-se que f(x1, x2) = x
2
1x2 + e
x2 , x1(t) = sin t e x2(t) = cos t. A
func¸a˜o composta e´ dada por g(t) = f(sin t, cos t). Usando a regra da cadeia obte´m-se:
g′(t) =
∂f
∂x1
(sin t, cos t)
d
dt
(sin t) +
∂f
∂x2
(sin t, cos t)
d
dt
(cos t)
= (2 sin t cos t) cos t+
(
sin2 t+ ecos t
)
(− sin t) .
Se r > 1, tem-se o resultado:
Proposic¸a˜o 1.2.16 (Regra da cadeia)
Seja f(x1, x2, . . . , xn) uma func¸a˜o real nas n varia´veis reais x1, x2, . . . , xn. Suponha-se que
existem as derivadas parciais de 1a ordem das func¸o˜es
x1 = x1(t1, t2, . . . , tr), x2 = x2(t1, t2, . . . , tr) . . . , xn = xn(t1, t2, . . . , tr) ,
no ponto t0 = (t01, t
0
2, . . . , t
0
r). Suponha-se ainda que f e´ diferencia´vel em
x0 = (x1(t
0
1, t
0
2, . . . , t
0
r), x2(t
0
1, t
0
2, . . . , t
0
r), . . . , xn(t
0
1, t
0
2, . . . , t
0
r)) .
Enta˜o existem as derivadas parciais de 1a ordem da func¸a˜o
h(t1, t2, . . . , tr) = f(x1(t1, t2, . . . , tr), x2(t1, t2, . . . , tr), . . . , xn(t1, t2, . . . , tr))
em t0 e sa˜o dadas por
∂h
∂tj
(t0) =
n∑
i=1
∂f
∂xi
(x0)
∂xi
∂tj
(t0) .
Observac¸a˜o 1.2.4 Nas condic¸o˜es da proposic¸a˜o anterior, se f e´ diferencia´vel em x0 e cada
xi e´ diferencia´vel em t
0, enta˜o a func¸a˜o composta, h, e´ diferencia´vel em t0.
Exemplo 1.2.19 Seja z = x2 ln y, com x = u
v
e y = 3u− 2v. Enta˜o
∂z
∂u
(3, 4) =
∂z
∂x
(x(3, 4), y(3, 4))
∂x
∂u
(3, 4) +
∂z
∂y
(x(3, 4), y(3, 4))
∂y
∂u
(3, 4)
=
∂z
∂x
(
3
4
, 1)
∂x
∂u
(3, 4) +
∂z
∂y
(
3
4
, 1)
∂y
∂u
(3, 4)
= [2x ln y]
x = 3
4
y = 1
× 1
4
+
[
x2
y
]
x = 3
4
y = 1
× 3
=
27
16
.
Cristina Caldeira 45
∂z
∂v
(3, 4) =
∂z
∂x
(
3
4
, 1)
∂x
∂v
(3, 4) +
∂z
∂y
(
3
4
, 1)
∂y
∂v
(3, 4)
= [2x ln y]
x = 3
4
y = 1
× −3
16
+
[
x2
y
]
x = 3
4
y = 1
× (−2)
= −9
8
.
1.2.13 Exerc´ıcios
1. Calcule du
dt
sendo u = ln (sin xy ) e
{
x = 3t2
y =
√
1 + t2
.
2. Calcule ∂u
∂s
e ∂u
∂t
sendo u = x2exy + y2 sin(xy) e
{
x = s2t
y = s et
.
3. Calcule dz
dy
sendo z = f(x2 + y2, x+ y) e x = φ(y).
4. Sendo u = x3F (
y
x,
z
x) , prove que xux + y uy + z uz = 3u.
5. Sendo z =
y2
2 + φ(
1
x + ln y) , prove que y zy + x
2zx = y
2.
6. Considere a func¸a˜o h definida por h(x, y) = f
(
1
x2 + y2
)
, onde f e´ uma func¸a˜o
real de varia´vel real diferencia´vel. Se g(u, v) = h(x(u, v), y(u, v)) e x(u, v) = u cos v,
y(u, v) = u sin v,
(a) verifique que
∂g
∂v
(u, v) = 0;
(b) calcule
∂g
∂u
(1, 0), sabendo que f ′(1) = 2.
7. A func¸a˜o f(u, v, w) e´ diferencia´vel e as suas derivadas satisfazem
fu(α, α, β) = fv(α, α, β) = αβ
fw(α, α, β) = α
2 − β2 .
Calcule o valor das derivadas parciais da func¸a˜o g(x, y) = f(x2 − y, 3x− 3y2, 2x), no
ponto (2, 1).
8. Sendo z = xφ(x+ y) + ψ(x+ y) , prove que zx2 − 2zxy + zy2 = 0.
9. Sejam f e g func¸o˜es de uma varia´vel que admitem derivadas de 1a e 2a ordens. Sendo
c ∈ Z+, prove que a func¸a˜o u(x, t) = f(x+ c t)+g(x− c t) verifica a seguinte equac¸a˜o
(dita equac¸a˜o de propagac¸a˜o):
∂2u
∂t2
= c2
∂2u
∂x2
.
10. 1.Sendo φ(x), ψ(x, y) e η(x, y, z), func¸o˜es com derivadas cont´ınuas de todas as ordens,
calcule F ′′(θ) nos seguintes casos:
46 Textos de Apoio de Ana´lise Matema´tica III
(a) F (θ) = ψ(cos θ, θ3);
(b) F (θ) = η(φ(θ), sin θ, θ);
(c) F (θ) = φ(η(θ, θ, θ) + ψ(θ, θ)).
2.Determine as derivadas parciais de 2a ordem das func¸o˜es f(u, v) nos seguintes casos:
(a) f(u, v) = ψ(u cos v, u sin v);
(b) f(u, v) = ψ(ψ(u, v), ψ(v, u));
(c) f(u, v) = φ(φ(uv)).
11. Seja w(x, y, z) = f(y−z, z−x, x−y) com f func¸a˜o real admitindo derivadas parciais
cont´ınuas de todas as ordens.
(a) Mostre que
∂w
∂x
+
∂w
∂y
+
∂w
∂z
= 0.
(b) Calcule
∂2w
∂y∂x
e
∂2w
∂x∂z
.
12. Seja g : R2 → R+ uma func¸a˜o de classe C3. Sendo F (x, y) = ln g(2x, y2),
(a) Calcule as derivadas parciais de 1a¯ ordem de F em func¸a˜o das derivadas parciais
de g;
(b) Sabendo que g e as suas derivadas satisfazem as seguintes relac¸o˜es
g(0, β) = 2β
guv(0, β) = gu(0, β)gv(0, β) = β, mostre que
∂2F
∂y∂x
(0, 1) = 1.
1.2.14 Derivadas direccionais
Sejam
f : D ⊆ Rn −→ R
(x1, x2, . . . , xn) 7−→ f(x1, x2, . . . , xn)
uma func¸a˜o real de n varia´veis reais, x0 = (x01, x
0
2, . . . , x
0
n) um ponto deD e ~v = (v1, v2, . . . , vn) ∈
R
n.
A derivada direccional de f no ponto x0 segundo o vector ~v e´
D~vf(x
0
1, x
0
2, . . . , x
0
n) = lim
h→0
f(x01 + hv1, x
0
2 + hv2, . . . , x
0
n + hvn)− f(x01, x02, . . . , x0n)
h
,
desde que o limite exista.
Observac¸a˜o 1.2.5 Sendo
i
↓
êi = (0, . . . , 0, 1 , 0, . . . , 0) , i = 1, 2, . . . , n
Cristina Caldeira 47
(usa-se o s´ımbolo ̂ em vez de ~ para enfatizar que se trata de um vector unita´rio, isto e´,
um vector com norma 1) tem-se
Dêi
f(x01, x
0
2, . . . , x
0
n) = lim
h→0
f(x01, . . . , x
0
i−1, x
0
i + h, x
0
i+1, . . . , x
0
n)− f(x01, x02, . . . , x0n)
h
=
∂f
∂xi
(x0) ,
caso esta derivada parcial exista.
Veja-se qual a interpretac¸a˜o geome´trica da derivada direccional num ponto (x0, y0),
segundo um vector unita´rio, no caso de uma func¸a˜o real de 2 varia´veis reais
f : D ⊆ R2 −→ R
(x, y) 7−→ f(x, y)
que seja diferencia´vel em (x0, y0).
Sejam û = (u1, u2) um vector unita´rio, S a superf´ıcie de equac¸a˜o z = f(x, y), P0 =
(x0, y0, f(x0, y0)) e pi o plano perpendicular ao plano XOY que conte´m P0 e e´ paralelo a û.
O plano pi intersecta a superf´ıcie S segundo uma curva C. Designe-se por r a recta do
plano pi que e´ tangente a C em P0.
Fig. 1.2.8
Considerem-se os pontos Ph = (x0 + hu1,