Elemat(Sinais II)

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Universidade Federal de Goia´s Professor: Maxwell
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica Elemat
Sinais de f(x) = ax2 + bx+ c.
Seja f : R→ R uma func¸a˜o dada por f(x) = ax2 + bx+ c. Aqui, a, b e c sa˜o constantes! Ale´m disso, vamos supor que a 6= 0. Queremos saber:
1) Quando f(x) > 0 [isto e´, quando f(x) e´ POSITIVA.] 2) Quando f(x) < 0 [isto e´, quando f(x) e´ NEGATIVA.]
Ale´m disso, vimos em sala de aula que f(x) = ax2 + bx+ c pode ser escrita como f(x) = a
[(
x+ b
2a
)2
− ∆
4a2
]
, onde ∆ = b2 − 4ac.
• [Caso ∆ < 0] Note que quando ∆ e´ negativo, ou seja, quando ∆ < 0, temos que −∆ > 0.
Consequentemente,
[(
x+ b
2a
)2
− ∆
4a2
]
> 0. Desta forma o sinal de f(x) = a
[(
x+ b
2a
)2
− ∆
4a2
]
e´ dado pelo sinal de a.
[EXEMPLO 1] Determine os sinais de f(x) = x2 − 5x− 10.
[SOLUC¸A˜O] Neste caso, a = 1, b = −5 e c = −10.
Desta forma ∆ = b2 − 4ac = (−5)2 − 4(1)(−10) = 25− 40 = −15 < 0.
Ou seja, ∆ < 0. Portanto, o sinal de f(x) = x2 − 5x− 10 e´ dado pelo sinal de a = 1 > 0.
Isso mostra que, x2 − 5x− 10 > 0 [ f(x) = x2 − 5x− 10 e´ sempre POSITIVA.]
[EXEMPLO 2] Determine os sinais de f(x) = − 2
5
x2 − 2x− 5.
[SOLUC¸A˜O] Neste caso, a = − 2
5
, b = −2 e c = −5.
Desta forma ∆ = b2 − 4ac = (−2)2 − 4
(
− 2
5
)
(−5) = 4− 8 = −4 < 0.
Ou seja, ∆ < 0. Portanto, o sinal de f(x) = − 2
5
x2 − 2x− 5 e´ dado pelo sinal de a = − 2
5
< 0.
isso mostra que − 2
5
x2 − 2x− 5 < 0 [ f(x) = − 2
5
x2 − 2x− 5 e´ sempre NEGATIVA.]
•• [Caso ∆ > 0] Quando ∆ e´ positivo, podemos escrever ∆ =
(√
∆
)2
. OBS: As ra´ızes de ax2+bx+c = 0 sa˜o


x′ = − b
2a
−
√
∆
2a
x′′ = − b
2a
+
√
∆
2a
Consequentemente,
f(x) = a

(x+ b
2a
)
2
−
(√
∆
2a
)
2

 = a
[(
x+
b
2a
)
−
(√
∆
2a
)] [(
x+
b
2a
)
+
(√
∆
2a
)]
= a(x− x′) (x− x′′).
Desta forma o sinal de f(x) = a(x− x′)(x− x′′) e´ dado pelo produto dos sinais de a de (x− x′) e de (x− x′′).
−−−−−−−−−−−−− ++++++++++++++++++++++
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
•
x′
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− > sinal de (x− x′)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ++++++++++
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
•
x′′
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− > sinal de (x− x′′)
(sinal de a) (sinal de a) (sinal de a)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
•
x′
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
•
x′′
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− > sinal de a
+(sinal de a) −(sinal de a) +(sinal de a)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
•
x′
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
•
x′′
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− > sinal de f(x)
CONCLUSA˜O: Quando f(x) = ax2 + bx+ c e´ tal que ∆ > 0, enta˜o os sinais de f(x) sa˜o dados por
+(sinal de a) −(sinal de a) +(sinal de a)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
•
x′
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
•
x′′
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− > sinal de f(x)
[EXEMPLO 3] Determine os sinais de f(x) = x2 + 5x+ 4.
[SOLUC¸A˜O] Neste caso, a = 1 > 0, b = 5 e c = 4. Desta forma ∆ = b2 − 4ac = (5)2 − 4 (1) (4) = 25− 16 = 9 Ou seja, ∆ = 9 > 0.
Ale´m disso x′ = −5−
√
9
2
= −4 e x′′ = −5+
√
9
2
= −1. Portanto, o sinal de f(x) = x2 + 5x+ 4 e´ dado por
• f(x) > 0 se x < −4 ou x > −1. Ou seja, f(x) e´ POSITIVA quando x < −4 ou quando x > −1.
• f(x) < 0 se −4 < x < −1. Ou seja, f(x) e´ NEGATIVA quando −4 < x < −1.