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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I – AULA 5 2ºSem/2013 
Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 1 
 FUNÇÕES HIPERBÓLICAS 
 
 As expressões exponenciais e
x − e − x
2
 e e
x + e − x
2
 ocorrem frequentemente na Matemática Aplicada. 
 Essas expressões definem, respectivamente, as funções seno hiperbólico de “x” e cosseno hiperbólico de “x”. 
 O comportamento dessas funções são análogas ao das funções trigonométricas. 
 
SENO HIPERBÓLICO E COSSENO HIPERBÓLICO 
 A função seno hiperbólico, denotada por senh, e a função cosseno hiperbólico, denotada por cosh, são definidas, 
respectivamente, por: 
senh x = e
x − e − x
2
 e cosh x = e
x + e − x
2
. 
 O domínio e a imagem dessas funções são: 
 • D ( senh ) = ( – ∞ , + ∞ ) • D ( cosh ) = ( – ∞ , + ∞ ) • Im ( senh ) = ( – ∞ , + ∞ ) • im ( cosh ) = [ 1 , + ∞ ) 
 
GRÁFICOS 
 O gráfico da função seno hiperbólico pode ser obtido pelo método denominado de adição de ordenadas. Para utilizar 
esse método, encontram-se as ordenadas das funções e
x
2
 e − e
 − x
2
 e somam-se as respectivas ordenadas. Do mesmo modo 
é obtido o gráfico da função cosseno hiperbólico. 
 Observe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CATENÁRIA 
 A função cosseno hiperbólico é utilizada para descrever a forma de um cabo ou corrente flexível, uniforme, cujas 
extremidades estão fixas a uma mesma altura. 
 
 Na figura, está desenhado um fio de telefone ou de luz. Observa-se que a curva representada pelo fio parece ser uma 
parábola, mas é possível mostra que a equação correspondente é dada por y = cosh x
a
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. Esta curava é denominada de 
catenária. 
 
OUTRAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS 
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 As demais funções hiperbólicas podem ser obtidas a partir das funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico, e são:
 • tgh x = senh x
cosh x
⇒ tgh x = e
x − e − x
ex + e − x
 e D =  e Im = −1 ; 1( ) 
 • cotgh x = cosh x
senh x
⇒ cotgh x = e
x + e − x
ex − e − x
 e D = − ∞ ; 0( ) ∪ 0 ; + ∞( )e Im = − ∞ ; − 1( )∪ 1 ; + ∞( ) 
 • sech x = 1
cosh x
⇒ sech x = 2
ex + e − x
 e D =  e Im = −1 ; 1( ) 
 • cossech x = 1
senh x
⇒ cossech x = 2
ex − e − x
 e D = − ∞ ; 0( ) ∪ 0 ; + ∞( )e Im = − ∞ ; 0( )∪ 0 ; + ∞( ) 
 
 Muitas identidades, análogas às conhecidas identidades trigonométricas, podem ser utilizadas com as funções 
hiperbólicas. 
 A identidade cosh2 x – senh2 x = 1 mostra que o ponto P (cosh x ; senh x) está sobre a hipérbole unitária x2 – y2 = 1. 
 Observe: 
 
 Na figura da esquerda está representado o círculo unitário, onde foi marcado o ponto P (cos x ; sen x). A área AC do 
setor circular limitado pelos pontos Q, O e P é dada por: 
 AC =
1
2
 . x . 12 ⇒ AC =
x
2
⇒ x = 2 . AC . 
 Uma relação parecida a esta é válida para a hipérbole que aparece na figura da direita. É possível demonstrar que a 
área Ah do setor hiperbólico limitado pelos pontos P, O e Q é calculada por: 
 Ah =
1
2
 . x⇒ x = 2 . Ah . 
 Outras identidades trigonométricas que podem ser demonstradas: 
 • tgh x = 1
cot gh x
 • 1− tgh2 x = sech2 x • 1− cotgh2 x = − cossech2 x . 
 
FUNÇÕES HIPERBÓLICAS INVERSAS 
 
 Fazendo-se uma análise no gráfico da função hiperbólica y = senh x, é possível perceber que a cada valor de “y” na 
imagem corresponde um único valor de “x” no domínio. Desta maneira, é possível se definir a função inversa da função seno 
hiperbólico de um arco. 
 A função inversa do seno hiperbólico é denominada de argumento do seno hiperbólico e é denotada por: 
y = arg senh x⇔ x = senh y e D arg senh x( ) = Im arg senh x( ) =  . 
 De forma semelhante, pode-se definir as demais funções hiperbólicas inversas, tomando o cuidado de verificar o 
domínio e a imagem das mesmas. Assim: 
 • y = arg cosh x⇔ x = cosh y e D arg cosh x( ) = [ 1 ; + ∞) e Im arg cosh x( ) = [ 0 ; + ∞) ; 
 • y = arg tgh x⇔ x = tgh y e D arg tgh x( ) = Im arg tgh x( ) =  ; 
 • y = arg cotgh x⇔ x = cotgh y e D arg cotgh x( ) = Im arg cotgh x( ) =  ; 
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 • y = arg sech x⇔ x = sech y e D arg cotgh x( ) = ( − ∞ ; + ∞ ) e Im arg cotgh x( ) = [ 0 ; 1 ] ; 
 • y = arg cossech x⇔ x = cossech y e D arg cotgh x( ) = Im arg cotgh x( ) =  ; 
 
FUNÇÕES HIPERBÓLICAS INVERSAS 
 Pode-se exprimir as funções hiperbólicas inversas em termos de logaritmos naturais. Tal fato decorre do fato das 
funções hiperbólicas serem definidas em termos da função exponencial, que admite a função logaritmo natural como inversa. A 
seguir são apresentadas as expressões, que aparecem frequentemente na integração: 
 • arg senh u = u'
u2 +1
 • arg cosh u = u'
u2 −1
, u > 1 . 
 • arg tgh u = u'
1−u2
, u < 1. • arg cotgh u = u'
1−u2
, u > 1. 
 • arg sech u = − u'
u . 1−u2
, 0 < u <1 . • arg cossech u = − u'
 u . 1+u2
, u ≠ 0 . 
DERIVADAS DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS 
 
 Como as funções hiperbólicas são definidas em termos da função exponencial, pode-se facilmente determinar suas 
derivadas, utilizando-se as regras de derivação já estabelecidas. 
 f ( x ) = e
x − e − x
2
 ⇒ f ( x ) = 1
2
 . ex − e − x( ) ⇒ f ‘ ( x ) = 12 . ex + e − x( ) ⇒ f ‘ ( x ) = 
ex + e − x
2
 ⇒ f ‘ ( x ) = cosh x 
 Similarmente, obtém-se as derivadas das demais funções hiperbólicas. Portanto: 
 • f ( x ) = senh u ⇒ f ‘ ( x ) = cosh u . u’. • f ( x ) = cosh u ⇒ f ‘ ( x ) = senh u . u’. 
 • f ( x ) = tgh u ⇒ f ‘ ( x ) = sech2 u . u’. • f ( x ) = cotgh u ⇒ f ‘ ( x ) = – cossech2 u . u’. 
 • f ( x ) = sech u ⇒ f ‘ ( x ) = – sech u . tgh u . u’. • f ( x ) = cossech u ⇒ f ‘ ( x ) = – cossech u . cotgh u . u’. 
 
EXEMPLO 
 Determinar a derivada das funções dadas abaixo: 
1) f ( x ) = sech x3 + 3( ) . 
 Solução: 
 u ( x ) = x3 + 3 ⇒ u ‘ ( x ) = 3x2 
 f ‘ ( x ) = cosh u . u’ ⇒ f ‘ ( x ) = cosh x3 + 3( ) . 3x2 ⇒ f ‘ ( x ) = 3x2 . cosh x3 + 3( ) . 
2) f ( x ) = sech 2x( ) . 
 Solução: 
 u ( x ) = 2x ⇒ u ‘ ( x ) = 2 
 f ‘ ( x ) = – sech u . tgh u . u’ ⇒ f ‘ ( x ) = – sech 2x( ) . tgh 2x( ) . 2 ⇒ f ‘ ( x ) = – 2 . sech 2x( ) . tgh 2x( ) . 
3) f ( x ) = x2 . arg cosh x2 
 Solução: 
 Pode-se fazer: f ( x ) = a ( x ) . b ( x ) , onde a ( x ) = x2 e b ( x ) = arg cosh x2. 
 a ( x ) = x2 ⇒ a ‘ ( x ) = 2x e b ( x ) = arg cosh x2 ⇒ b’ ( x ) = 1
x2( )2 −1
 . 2x ⇒ b’ ( x ) = 2x
x4 −1
. 
 Como a derivada de um produto é: f ‘ ( x ) = a ( x ). b ’ ( x ) + a ‘( x ) . b ( x ), tem-se: 
 f ‘ ( x ) = x2 . 2x
x4 −1
 + arg cosh x2 . 2x ⇒ f ‘ ( x ) = 2x . x
2
x4 −1
+ arg cosh x2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ . 
4) f ( x ) = arg tgh (sen (3x) ). 
 u ( x ) = sen ( 3x ) ⇒ u ‘ ( x ) = cos ( 3x ) . 3 
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 f ‘ ( x ) = cos (3x) . 3
1− sen2 (3x)
 ⇒ f ‘ ( x ) = cos (3x) . 3
cos2 (3x)
 ⇒ f ‘ ( x ) = 3
cos (3x)
 ⇒ f ‘ ( x ) = 3 . sec ( 3x ) 
5) f ( x ) = x . arg senh x – x2 +1 . 
 Solução. 
 Pode-se fazer: f ( x ) = a ( x ) . b ( x ) – c ( x ). Assim: 
 a ( x ) = x ⇒ a ‘ ( x ) = 1 ; b ( x ) = arg senh x ⇒ b ‘ ( x ) = 1
x2 +1
 e c ( x ) = x2 +1 ⇒ c ‘ ( x ) = 2x
2 . x2 +1 
 
 f ( x ) = a ( x ) . b ( x ) – c ( x ) ⇒ f ‘ ( x ) = a ( x ). b ’ ( x ) + a ‘( x ) . b ( x ) – c ‘ ( x ). e, portanto: 
 f ‘ ( x ) = x . 1
x2 +1
 + 1 . arg senh x – 2x
2 . x2 +1 
 ⇒ f ‘ ( x ) = x
x2 +1
 + arg senh x – x
x2 +1 
 ⇒ 
 f ‘ ( x ) = arg senh x 
 
EXERCÍCIOS 
1) Nos itens abaixo são dados os valores de senh x ou de cosh x. Utilizando as definições apresentadas e a identidade dada 
por cosh2 x – senh2 x = 1, determineos valores das demais 5 funções hiperbólicas: 
 a) senh x = − 3
4
 b) cosh x = 17
15
 , x > 0.
 
Derivar as funções dadas abaixo: 
2) f ( x ) = senh (x2 + 5x – 3) 3) f ( x ) = cosh (3x2 + x) 4) f ( x ) = tgh (2x – 4) 5) f ( x ) = cotgh (2 – x2) 
6) f ( x ) = sech (3x2) 7) f ( x ) = cossech (1 – 2x – x2) 8) f ( x ) = senh 2x
x +1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 9) f ( x ) = cosh 3x
2
2x − 4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 10) f ( x ) = 
tgh x −1
x + 5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 11) f ( x ) = cotgh x
3x2 + 5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 12) f ( x ) = sech 5x
2
2x +1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 13) f ( x ) = cossech 3x − 2
2x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 14) f ( x ) = arg 
cosh (x2 + 3x – 1) 15) f ( x ) = 
ln senh x( )
x
 16) f ( t ) = cotgh t +1( )2⎡⎣⎢
⎤
⎦⎥
1
2 17) f ( x ) = cossec
3x +1( )
x
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
 3
 
18) f ( x ) = x . arg cosh x - x2 −1 19) f ( x ) = x . arg cotgh x2 20) f ( x ) = 1
2
 . argcotgh x2⎡⎣
⎤
⎦
 2
 
RESPOSTAS 
1) a) cosh x = 5
4
 ; tgh x = − 3
5
 ; cotgh x = − 5
3
 ; sech x = 4
5
 e cossech x = − 4
3
 b) senh x = 8
15
 ; tgh x = 8
17
 ; cotgh x = 17
8
; 
sech x = 15
17
 e cossech x = 15
8
 2) f ‘ ( x ) = (2x + 5) . cosh (x2 + 5x – 3) 3) f ‘ ( x ) = (6x + 1) . senh (3x2 + x) 
4) f ‘ ( x ) =2 . sech2 (2x + 4) 5) f ‘ ( x ) = 2x . cossech2 (x2 – 2) 6) f ‘ ( x ) = – 6x . sech (3x2) . tgh (3x2) 
7) f ‘ ( x ) = (2x + 2) . cotgh (x2 + 2x – 1) . cossech (x2 + 2x – 1) 8) f ‘ ( x ) =
2 . cosh 2x
x +1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x2 + 2x +1
 
9) f ‘ ( x ) =
3x2 −12x( ) . senh 3x
2
2x − 4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2x2 − 8x + 8
 10) f ‘ ( x ) = − 
4 . sech2 x −1
x − 5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x2 −10x + 25
 11) f ‘ ( x ) = 
3x2 − 5( ) . cossech2 x3x2 + 5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
9x4 + 30x2 + 25
 
12) f ‘ ( x ) = 
− 10x2 −10x( ) . sech 5x
2
2x +1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 . tgh 5x
2
2x +1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
4x2 + 4x +1
 13) f ‘ ( x ) =
3x − 4( ) . cotgh 3x − 2
2x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 . cossech 3x − 2
2x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2x3
 
14) f ‘ ( x ) = 2x + 3
x4 + 6x3 + 7x2 − 6x
 15) f ‘ ( x ) = x . cotgh x − ln senh x
x2
 16) f ‘ ( t ) = 
− t +1( ) . cossech2 t +1( )2
cotgh t +1( )2
 
17) f ‘ ( x ) = 3
x2
 . cossech 3x +1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
 3
. cotg 3x +1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 18) f ‘ ( x ) = arg cosh x 19) f ‘ ( x ) = 2x
2
1− x4
+ arg cotgh x2 
20) f ‘ ( x ) = 2x . arg cosh x
2
x4 − 1