Aul 3 e 4 UFMS CALCULO

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Aula 3
Funções
22
Funções
Definição 3 Uma função f : D ⊆ R → E ⊆ R é uma lei que associa, a cada elemento x ∈ D, exatamente
um elemento, chamado f(x), em um conjunto E.
Figura 1: Diagrama de flechas para f
Observação 8 Na Definição acima, temos que
• D é chamado domínio da função f, (Dom f).
• O número f(x) é o valor de f em x.
• E é a imagem de f , isto é, E = {f(x) : x ∈ D}
• x é a variável independente e y = f(x) é denominado variável dependente.
Figura 2: Domínio e Imagem de f
Teste da Reta Vertical
Uma curva no plano xy é o gráfico de uma função de x se e somente se nenhuma reta vertical cortar a curva
mais de uma vez.
Figura 3: A curva representa uma função Figura 4: A curva não representa uma função
23
Exemplo 23 Encontrar o domínio de cada função
(a) f(x) =
√
x− 1
(b) g(x) =
1
x2 + x
Solução:
(a) A raiz quadrada está bem definida para números ≥ 0. Então,
x− 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1.
Assim,
Dom f = [1,∞)
(b) A divisão por 0 não é permitida, então, a função g não está definida para os valores x tal que
x2 + x = 0 =⇒ x(x+ 1) = 0 =⇒ x = 0 oux = −1
ou seja, para x = 0 e x = −1, g não está definida. Portanto,
Dom f = {x ∈ R : x ̸= 0, x ̸= −1} = (−∞,−1) ∪ (−1, 0) ∪ (0,∞)
■
Exemplo 24 Utilize o Teste da reta vertical para verificar se são funções
(a) x = y2 − 2.
(b) y =
√
x+ 2,
(c) y = −
√
x+ 2.
Solução:
(a) não é função.
(b) é função.
(c) é função ■
Funções definidas por partes
Exemplo 25 uma função f definida por
f(x) =

3− x, x ≤ −2
x2, x > −2
Note que
• f(−3) = 6
• f(2) = 4
• f(0) = 0
Exemplo 26 Seja y = f(x) = x3. Encontre o dom f, f(1), f(0), f(−1).
Solução:
• Dom f = R.
24
• f(−1) = (−1)3 = −1; f(0) = 03 = 0; f(1) = 13 = 1. ■
Exemplo 27 Seja f a função dada por f(x) =
√
x. Determine o dom f , f(25), f(p2), f(x+ 2).
Solução:
(a) Dom f = {x ∈ R : x ≥ 0}.
(b) f(25) =
√
25 = 5 (o valor que f assume em 25 é 5).
(c) f(p2) =
√
p2 = |p|.
(d) f(x+ 2) =
√
x+ 2, x ≥ −2. ■
Exemplo 28 Considere a função f dada por:
y =
1
x
Calcular:
(a) dom f.
(b) f(x+ h)
Solução:Note que, esta função associa a cada x ̸= 0 o real f(x) = 1
x .
(a) Dom f = {x ∈ R : x ̸= 0}.
(b) f(x+ h) =
1
x+ h
, x ̸= −h. ■
Exemplo 29 Dada a função f(x) = −x2 + 2x. Calcular
(a)
f(x)− f(1)
x− 1
.
(b)
f(x+ h)− f(x)
h
.
Solução:
(a) Dado que f(1) = −12 + 2(1) = 1, então
f(x)− f(1)
x− 1
=
(−x2 + 2x)− 1
x− 1
=
−(x− 1)2
x− 1
=
f(x)− f(1)
x− 1
= −(x− 1), x ̸= 1.
(b) Como f(x+ h) = −(x+ h)2 + 2(x+ h) = −x2 − 2xh− h2 + 2x+ 2h. Então
f(x+ h)− f(x)
h
=
−x2 − 2xh− h2 + 2x+ 2h− (−x2 + 2x)
h
=
−2xh− h2 + 2h
h
= −2x− h+ 2
isto é,
f(x+ h)− f(x)
h
= −2x− h+ 2, h ̸= 0.
■
25
Funções Crescentes e Decrescentes
Definição 4
• Uma função f é chamada crescente em um intervalo I se
x1 f(x2)
Algumas Funções conhecidas
• Função Linear:
y = f(x) = mx+ b
onde m é o coeficiente angular e b é a interseção com o eixo y.
Exemplo 30 f(x) = x+ 2 e f(x) = −x+ 2
−4 −2 2 4
−4
−2
2
4
x
y y = −x+ 2
y = x+ 2
• Função Quadrática:
P (x) = ax2 + bx+ c, a ̸= 0
cujas raízes são:
x =
−b±
√
b2 − 4ac
2a
– Se b2 − 4ac 0, há duas raízes reais.
– Se b2 − 4ac = 0, há uma raiz real.
26
Exemplo 31 Se f(x) = x+ 2 e g(x) = −x+ 2, então os gráficos de f e g são dados por
−4 −2 2 4
−10
−5
5
10
x
y g(x) = x2 − 2
f(x) = −x2 + 3
7
• Função Cúbica:
P (x) = ax3 + bx2 + cx+ d, a ̸= 0
Exemplo 32 Se f(x) = x3 − 3 ∗ x e g(x) = x3 + 3 ∗ x, então os gráficos de f e g são dados por:
−3 −2 −1 1 2 3
−4
−2
2
4
x
y f(x) = x3 − 3x
g(x) = −x3 + 3x
• Função constante: Uma função y = f(x), x ∈ A, dada por f(x) = k, k constante, denomina-se
função constante.
Exemplo 33 Se f(x) = 3 · x então o gráfico de f e g são dados por:
27
−4 −2 2 4
2
4
x
y f(x) = 3
• Função polinomial: Uma função f : R 7→ R dada por
f(x) = a0x
n + a1x
n−1 + . . .+ an−1x+ an
onde a0 ̸= 0, a1, a2, . . . , an são números reais fixos, denomina-se função polinomial de grau n (n ∈ N).
Exemplo 34
• Função racional: Uma função racional f é uma função dada por
f(x) =
p(x)
q(x)
em que p e q são duas funções polinomiais; o domínio de f é o conjunto {x ∈ R|q(x) ̸= 0}.
Exemplo 35
28
−4 −2 2 4
−4
−2
2
4
x = 0
y = 0x
y
f(x) = 1
x
• Funções Exponenciais: As funções exponenciais são da forma f(x) = bx, onde a base b é uma
constante positiva.
– O domínio é (−∞,∞)
– A imagem é (0,∞)
– Se 0 1, a função exponencial cresce.
Figura 5: Gráficos de y = bx
• Funções Logarítmicas
As funções logarítmicas f(x) = logb x, onde a base b é uma constante positiva, são inversas das funções
exponenciais. Em cada caso
– O domínio é (0,∞)
– A imagem é (−∞,∞)
– As funções crescem vagarosamente quando x > 1.
29
Figura 6: Gráficos de funções logarítmicas
Propriedades dos Logaritmos
– logb(xy) = logb x+ logb y
– logb
(
x
y
)
= logb x− logb y
– logb(x
r) = r logb x (onde r é qualquer número real)
• Logaritmos Naturais: O logaritmo na base e é chamado logaritmo natural e tem uma notação
especial:
loge x = lnx
Propriedades de logaritmos naturais:
– lnx = y ⇐⇒ ey = x
– ln(ex) = x x ∈ R
– eln x = x x > 0
– Se x = 1, obteremos ln e = 1
– Fórmula de Mudança de Base: Para todo número positivo b (b ̸= 1), temos
logb x =
lnx
ln b
Exemplo 36 Esboce o gráfico de f(x) = |x− 2|+ 1.
Solução: Primeiro eliminemos o módulo
f(x) =

x− 2 + 1 se x ≥ 2
−(x− 2) + 1 se xExemplo 40 Se f(x) =
√
x e g(x) =
√
2− x. Calcular (f + g)(x)
Solução: Se f(x) =
√
x e g(x) =
√
2− x, então
(f + g)(x) =
√
x+
√
2− x
e
Dom(f + g) = Dom f ∩ Dom g = [0,∞) ∩ (−∞, 2] = [0, 2]
■
Definição 7 (Função injetora) Uma função f : A → B é injetora se, e somente se, para quaisquer x1 e
x2 do domínio de f , for obedecida a condição:
x1 ̸= x2 =⇒ f(x1) ̸= f(x2)
Observação 10
(i) Outra forma de definir função injetora é: Uma função f : A → B é injetora se, e somente se, para
quaisquer x1 e x2 do domínio de f , for obedecida a condição:
f(x1) = f(x2) =⇒ x1 = x2
(ii) Observe que toda reta paralela ao eixo Ox que corta o gráfico de f intercepta esse gráfico em um único
ponto.
Definição 8 (Função sobrejetora) Uma função f : A → B é sobrejetora se, para todo elemento y ∈ B,
existe x ∈ A tal que f(x) = y.
35
Observação 11 Em outras palavras, uma função é sobrejetora se, e somente se, seu contradomínio coincide
com seu conjunto imagem.
Definição 9 (Função bijetora) Uma função f : A → B é bijetora se, f é injetora e sobrejetora.
Exemplo 41 Considere a função f : R → R definida por f(x) = x3
Definição 10 (Inversão de funções) A inversa de uma função f : A → B é a função f−1 : B → A tal
que:
f(x) = y ⇐⇒ f−1(y) = x
para quaisquer x e y, com x ∈ A e y ∈ B.
Observação 12
(a) Se uma função f admite função inversa, dizemos que f é invertível.
(b) Para que uma função f seja invertível, ela deve ser bijetora;
(c) Se uma função f é invertível, então Dom f = Im(f−1) e Dom f−1 = Im(f).
.
Técnica para a obtenção da inversa de uma função
Se uma função real de variável real y = f(x) é invertível, sua inversa é obtida do seguinte modo:
(i) Trocamos x por y e y por x, obtendo x = f(y).
(ii) Isolamos a variável y, após a mudança de variáveis efetuada em (i), obtendo y = f−1(x).
Exemplo 42 A função f(x) = x3 é injetora?
Solução:
• Solução 1: Como sabemos que dois números diferentes não podem ter o mesmo cubo. Então,
x1 ̸= x2 =⇒ x3
1 ̸= x3
2
Portanto, pela Definição de injetora, A função f(x) = x3 é injetora.
• Solução 2:
Figura 11: Gráfico de f e f−1
Da Figura, vemos que nenhuma reta horizontal intercepta o gráfico de f(x) = x3 em mais de um ponto.
Logo, pelo Teste da Reta Horizontal, f é injetora. ■
36
Exemplo 43 A função fx) = x2 é injetora?
Solução: A gráfica da função f é
Figura 12: Gráfico de f(x) = x2
Esta função não é injetora, pois,
f(1) = 1 = f(−1)
e, portanto, 1 e -1 têm a mesma saída. ■
Exemplo 44 Calcular a função inversa de f(x) = x3:
Solução: Sabemos que a função f é injetora. Então, isolamos x
y = x3 =⇒ y
1
3 = x
Assim,
f−1(x) = x1/3.
■
Observação 13
(a) Quando existe a função inversa, temos as seguintes equações de cancelamento
• f−1(f(x)) = x para todo x em A
• f(f−1(x)) = x para todo x em B
(b) Para achar a função Inversa de uma função injetora f , siga os seguintes passos:
• Escreva y = f(x).
• Isole x nessa equação, escrevendo-o em termos de y (se possível).
• Para expressar f−1 como uma função de x, troque x por y. A equação resultante é y = f−1(x).
Exemplo 45 Encontre a função inversa f(x) = x3 − 5.
Solução:
• Fazendo y = f(x) : y = x3 − 5.
• Isolamos x :
x3 = y + 5 =⇒ x = 3
√
y + 5
• Trocando x por y:
y = 3
√
x− 2
Portanto, a função inversa é
f−1(x) = 3
√
x− 2
■
37
Gráfico da Função Inversa
O gráfico de f−1 é obtido refletindo-se o gráfico de f em torno da reta y = x.
Figura 13: Gráfico de f e f−1
Exemplo 46 Esboce os gráficos de f(x) =
√
−2− x e de sua função inversa usando o mesmo sistema de
coordenadas.
Solução:
• Gráfico de f(x) = y =
√
−2− x: Note que, f é a metade superior da parábola x = −y2 − 2),
• Gráfico de f−1(x) = −x2 − 2, x ≥ 0: A inversa da função f é
f−1(x) = −x2 − 2, x ≥ 0.
Agora, refletindo em torno da reta y = x, obtemos o gráfico de f−1. Note que, o gráfico de f−1 é a
metade à direita da parábola y = −x2 − 2.
Figura 14: Gráfico de y =
√
−2− x e sua inversa
■
Observação 14 A inversa da função exponencial, f(x) = bx, é a função logarítmica, g(x) = logb x. Se
usarmos a formulação de função inversa dada por
f−1(x) = y ⇐⇒ f(y) = x
teremos
• logb x = y ⇐⇒ by = x
• logb(b
x) = x para todo x ∈ R
• blogb x = x para todo x > 0
38
Função par
Definição 11 (Função par) Uma função f de domínio D é par se, e somente se, f(x) = f(−x) para
qualquer x ∈ D.
Observação 15 Se uma função é par, as partes de seu gráfico para x ≥ 0 e para x ≤ 0 são simétricas em
relação ao eixo Oy.
Exemplo 47 Considere f : R → R definida por f(x) = x2. Mostre que a função f é par.
Solução:
f(−x) = (−x)2 = x2 = f(x)
Assim, a função f é par. ■
função ímpar
Definição 12 (Função ímpar) Uma função f de domínio D é ímpar se, e somente se, f(−x) = −f(x)
para qualquer x ∈ D.
Observação 16 Se uma função é ímpar, as partes de seu gráfico para x ≥ 0 e para x ≤ 0 são simétricas em
relação à origem O (Visualmente, isso significa que você pode rotacionar a figura 180◦ ao redor da origem,
e ela permanecerá inalterada.)
Exemplo 48 Considere f : R → R definida por f(x) = x3. Mostre que f é ímpar.
Solução:
f(−x) = (−x)3 = −x3 = −f(x)
Portanto, f é uma função ímpar. ■
Exercício 3 Determine o domínio das seguintes funções reais:
(a) f(x) = 3x+ 2
(b) f(x) =
1
x+ 2
(c) f(x) =
x− 1
x2 − 4
(d) f(x) =
√
x− 1
(e) f(x) =
1√
x+ 1
(f) f(x) =
√
x+ 2
x− 2
(g) f(x) = 3
√
2x− 1
(h) f(x) =
1
3
√
2x+ 3
(i) f(x) =
3
√
x+ 2
x− 3
(j) f(x) =
x2 − 9
x+ 3
39
Exercício 4 Sabendo que o gráfico da função y = ax+ b é a reta representada no plano cartesiano abaixo,
determine os valores de a e b.
Exercício 5 Determine os valores de m para que a equação do 2 grau
(m+ 2)x2 + (3− 2m)x+ (m− 1) = 0
tenha raízes reais.
40
Funções Trigonométricas
As funções trigonométricas são funções angulares, importantes no estudo dos triângulos e na modelagem
de fenômenos periódicos. A seguir, discutiremos as principais funções trigonométricas, seus domínios, ima-
gens, propriedades e exemplos de gráficos.
Função Seno: A função seno é definida por:
f(x) = sin(x)
1. Domínio e Imagem
• Domínio: R
• Imagem: [−1, 1]
2. Propriedades
• Período: 2π
• Função ímpar: sin(−x) = − sin(x)
• Zeros: x = kπ, onde k ∈ Z
3. Gráfico da Função Seno
−2π − 3π
2
−π −π
2
π
2
π 3π
2
2π
−1
1
x
y
sin(x)
Função Cosseno: A função cosseno é definida por:
f(x) = cos(x)
1. Domínio e Imagem
• Domínio: R
• Imagem: [−1, 1]
2. Propriedades
• Período: 2π
• Função par: cos(−x) = cos(x)
• Zeros: x = π
2 + kπ, onde k ∈ Z
3. Gráfico da Função Cosseno
41
−2π − 3π
2
−π −π
2
π
2
π 3π
2
2π
−1
1
x
y
cos(x)
Função Tangente: A função tangente é definida por:
f(x) = tan(x) =
sin(x)
cos(x)
1. Domínio e Imagem
• Domínio: R \
{
π
2 + kπ | k ∈ Z
}
• Imagem: R
2. Propriedades
• Período: π
• Função ímpar: tan(−x) = − tan(x)
• Zeros: x = kπ, onde k ∈ Z
3. Gráfico da Função Tangente
−2π − 3π
2
−π −π
2
π
2
π 3π
2
2π
−4
−2
2
4
x
y
tan(x)
Função Cotangente: A função cotangente é definida por:
f(x) = cot(x) =
cos(x)
sin(x)
1. Domínio e Imagem
• Domínio: R \ {kπ | k ∈ Z}
• Imagem: R
42
2. Propriedades
• Período: π
• Função ímpar: cot(−x) = − cot(x)
• Zeros: x = π
2 + kπ, onde k ∈ Z
3. Gráfico da Função Cotangente
− 3π
2
−π −π
2
π
2
π 3π
2
−4
−2
2
4
x
y
cot(x)
Função Secante: A função secante é definida por:
f(x) = sec(x) =
1
cos(x)
1. Domínio e Imagem
• Domínio: R \
{
π
2 + kπ | k ∈ Z
}
• Imagem: (−∞,−1] ∪ [1,∞)
2. Propriedades
• Período: 2π
• Função par: sec(−x) = sec(x)
3. Gráfico da Função Secante
−2π − 3π
2
−π −π
2
π
2
π 3π
2
2π
−4
−2
2
4
x
y
sec(x)
Função Cossecante: A função cossecante é definida por:
f(x) = csc(x) =
1
sin(x)
43
1. Domínio e Imagem
• Domínio: R \ {kπ | k ∈ Z}
• Imagem: (−∞,−1] ∪ [1,∞)
2. Propriedades
• Período: 2π
• Função ímpar: csc(−x) = − csc(x)
3. Gráfico da Função Cossecante
− 3π
2
−π −π
2
π
2
π 3π
2
−4
−2
2
4
x
y
csc(x)
44
Exercício 6 Dê os domínios e esboce os gráficos de f + g e
g
f
(a) f(x) = x e g(x) = x2 − 1
(b) f(x) = x e g(x) = 1√
x
(c) f(x)= 1 e g(x) =
√
x− 1
(d) f(x) = 1 e g(x) = 1
(x−2)2
(e) f(x) =
{
1 se x ∈ Q
−1 se x /∈ Q
(e) g(x) =
{
−1 se x ∈ Q
1 se x /∈ Q
Exercício 7 Verifique que Imf ⊂ Dg e determine a composta h(x) = g(f(x))
(a) g(x) = 3x+ 1 e f(x) = x+ 2
(b) g(x) =
√
x e f(x) = 2 + x2
(c) g(x) = x+1
x−2 e f(x) = x2 + 3
(d) g(x) = x+1
x−1 e f(x) = x
x+1
(e) g(x) =
√
x e f(x) = x2 − x, x ≤ 0 ou x ≥ 1
(f) g(x) = x+1
x−2 e f(x) = 2x+1
x−1
45