Propriedades e Cálculo de Limites de Funções

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Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 12 1ºSem/2013 
Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 
LIMITE DE FUNÇÕES – CONTINUAÇÃO 
 
PROPRIEDADES DOS LIMITES 
 A fim de que não tenha que voltar repetidamente à definição de limite para se provar que , vai-se 
apresentar as propriedades algébricas do limite de uma função, lembrando que se está supondo que “a” é elemento de um 
intervalo aberto I, e que em I – { a } estão definidas as funções f , g , ... , envolvidas nas propriedades. 
 
1ª Propriedade 
 Se f é uma função definida por f ( x ) = c, onde c ∈, para todo x real, então . 
2ª Propriedade 
 
 Se c ∈ e , então . 
 
3ª Propriedade 
 
 Se e , então . 
 Observação: Esta propriedade pode ser estendida para uma soma de um número infinito de funções. 
 
4ª Propriedade 
 
 Se e , então . 
 
5ª Propriedade 
 
 Se e , então . 
 Observação: Esta propriedade pode ser estendida para um produto de um número infinito de funções. 
 
6ª Propriedade 
 
 Se , então . 
 
7ª Propriedade 
 
 Se e ≠ 0, então . 
 
8ª Propriedade 
 
 Se , então , com L ≥ 0 e n ∈ *, ou L < 0 e n um número ímpar. 
 
LIMITE DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL 
 
 Uma das consequências das propriedades dos limites é a regra para obter o limite de uma função polinomial. 
 
TEOREMA 
 
 O limite de uma função polinomial f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn , com ai ∈ , para x tendendo para um valor “a” 
é igual ao valor numérico de f ( x ) para x = a. 
 
Exemplos 
 1) Calcular o limite da função f ( x ) = 3x – 1, quando x tender a 1. 
 Solução: 
x→a
lim f'('x') = L
x→a
lim c = c
x→a
lim f'('x') = L
x→a
lim c'.'f x( )⎡⎣ ⎤⎦ = c'.'
x→a
lim f x( ) = c'.'L
x→a
lim f'('x') = L
x→a
lim g'('x') =M
x→a
lim f + g( ) x( ) = L +M
x→a
lim f'('x') = L
x→a
lim g'('x') =M
x→a
lim f − g( ) x( ) = L −M
x→a
lim f'('x') = L
x→a
lim g'('x') =M
x→a
lim f'. g( ) x( ) = L'.'M
x→a
lim f'('x') = L
x→a
lim f x( )⎡⎣ ⎤⎦
n
= Ln,+n+∈+*
x→a
lim f'('x') = L
x→a
lim g'('x') =M
x→a
lim 
f x( )
g x( )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
L
M
x→a
lim f'('x') = L
x→a
lim f x( )n( = Ln(
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 O que se quer é calcular é . Como a variável está tendendo a um valor real, devemos calcular f ( 1 ), ou 
seja: 
	
   = f ( 1 ) ⇒ = 3 . 1 – 1 ⇒ = 2. 
 
 2) Calcular o limite da função f ( x ) = x2, quando x tender a 4. 
 Solução: 
 Para calcular o limite solicitado, vamos calcular f ( 4 ), ou seja: 
	
   = f ( 4 ) ⇒ = 42 ⇒ = 16. 
 
 3) Calcular . 
 Solução: 
 Devemos calcular f ( – 1 ), ou seja: 
	
   	
  ⇒	
   	
  =	
   	
  ⇒	
   	
  =	
   	
  
 
 4) Calcular . 
 Devemos fazer: 
 ⇒ = ⇒ 
	
   	
  =	
   	
  ⇒	
   	
  =	
  –	
  2.	
  
 
CÁLCULO DE LIMITES COM UTILIZAÇÃO DE ARTIFÍCIOS 
 
 Existem situações em que não se consegue calcular o limite de uma função diretamente, ou utilizando as 
propriedades. Em alguma situações é possível contornar esse problema com a utilização de artifícios matemáticos. 
 
Exemplos 
 1) Calcular 
 Neste caso não podemos aplicar a propriedade do quociente, pois , anulando o denominador. 
 Assim, devemos utilizar um artifício para calcular esse limite, ou seja, devemos fatorar o numerador e proceder uma 
simplificação. 
 . Desta maneira, calculamos = 1 + 1 = 2. 
 
 2) Calcular 
 Como 
x→ "3
lim 1+ x − 2( ) = 0 e = 0, não podemos aplicar a propriedade do limite de um quociente. Assim, 
utilizamos um recurso para resolver esse tipo de limite. 
 Este recurso é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador. Assim, temos: 
x→ 1
lim ('3x − 1')
x→ 1
lim ('3x − 1')
x→ 1
lim ('3x − 1')
x→ 1
lim ('3x − 1')
x→ 4
lim x
2'
x→ 4
lim x
2'
x→ 4
lim x
2'
x→ "− "1
lim
x2 +"2x − 3
4x − 3
,"com"x ≠
3
4
x→ "− "1
lim
x2 +"2x − 3
4x − 3
= f − 1( )
x→ "− "1
lim
x2 +"2x − 3
4x − 3
− 1( )2 +$2 − 1( ) − 3
4 − 1( ) − 3 x→ "− "1lim
x2 +"2x − 3
4x − 3
4
7
x→ "− "2
lim
x3 + 2x2 −"3x + 2
x2 + 4x + 3
3 ,"com"x ≠"− "1"""e""x"≠"− "3
x→ "− "2
lim
x3 + 2x2 −"3x + 2
x2 + 4x + 3
3 =
x→ − "2
lim
x3 + 2x2 −"3x + 2
x2 + 4x + 3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
x→ "− "2
lim
x3 + 2x2 −"3x + 2
x2 + 4x + 3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
− !2( )3 + 2 − !2( )2 −!3 − !2( )+2
− !2( )2 + 4 − !2( )+ 3
3
x→ "− "2
lim
x3 + 2x2 −"3x + 2
x2 + 4x + 3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3 − !83
x→ "− "2
lim
x3 + 2x2 −"3x + 2
x2 + 4x + 3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
x→ "1
lim
x2 −""1
x − 1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
.
x→ "1
lim x − 1( ) = 0
x→ "1
lim
x2 −"1
x − 1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
x→ "1
lim
x +"1( ) x −"1( )
x − 1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
x→ #1
lim x +#1( )
x→ "1
lim x +"1( )
x→ "3
lim
1+ x − 2
x − 3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ .
x→ "3
lim x − 3( )
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 = ⇒ = ⇒ = ⇒ 
 = ⇒ = . Assim, devemos calcular: 
 = = . Logo: . 
 
 3) Calcular 
x→ "4
lim
x3 − 64
x2 + x − 20
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 
 Para resolver este limite, deve-se aplicar um dos conceitos de produtos notáveis, no polinômio que está no 
numerador, ou seja: 
 x3 − 64 = x3 − 43 ⇒ x3 − 64 = x − 4( )!.! x2 + 4x + 16( ) . 
 Para o denominador, tem-se: 
 x2 + x − 20 = x − 4( ) . x + 5( ) . 
 Assim, obtém-se:
 x→ "4
lim
x3 − 64
x2 + x − 20
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ 
= 
x→ "4
lim
x − 4( )!.! x2 + 4x + 16( )
x − 4( )!.! x +5( ) 
⇒ 
x→ "4
lim
x3 − 64
x2 + x − 20
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ 
= 
x→ "3
lim
x2 + 4x + 16
x +5
 
⇒ 
 
x→ "4
lim
x3 − 64
x2 + x − 20
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ 
= 4
2 + 4$.$4 + 16
4+5
 
⇒ 
x→ "4
lim
x3 − 64
x2 + x − 20
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ 
= 16+ 16+ 16
9
 
⇒ 
x→ "4
lim
x3 − 64
x2 + x − 20
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ 
= 48
9
 
⇒ 
 
x→ "4
lim
x3 − 64
x2 + x − 20
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ 
= 16
3
. 
 
PRODUTOS NOTÁVEIS 
 Para poder utilizar os produtos notáveis, quando necessário for, veja os mais importantes, também conhecidos como 
“fórmulas de fatoração”, dependendo do sentido a observá-los: 
 1) a2 −b2 = a + b( ) . a −b( ) ; 
 2) a2 + 2ab + b2 = a + b( )2 ; 
 3) a2 − 2ab + b2 = a −b( )2 ; 
 4) a3 + b3 = a + b( ) . a2 − ab + b2( ) , e; 
 5) a3 −b3 = a −b( ) . a2 + ab + b2( ) . 
 Pode-se utilizar, também, a fatoração do fator comum, ou seja, colocar um fator comum em evidência. Observe alguns 
exemplos: 
 1) x2 − x = x . x −1( ) , e; 
 2) 3x3 − 9x2 + 3x = 3x . x2 − 3x +1( ) . 
 Também é possível se fazer a fatoração de um polinômio do 2º grau, utilizando-se as raízes da equação do segundo 
grau obtida ao igualar-se o polinômio a zero. Observe: 
 1) x2 + x −12 = x − 3( ) . x + 4( ) , e; 
 2) x2 −11x + 28 = x − 4( ) . x − 7( ) . 
 
EXERCÍCIOS 
 
Determine os valores dos limites dados abaixo: 
 
1) . 2) . 3) . 4) . 5) . 6) . 
1+ x − 2
x − 3
1+ x − 2( ). 1+ x + 2( ) 
x − 3( ) . 1+ x + 2( )
1+ x − 2
x − 3
1+ x( )2 − 22 
x − 3( ) . 1+ x + 2( )
1+ x − 2
x − 3
1+ x − 4 
x − 3( ) . 1+ x + 2( )
1+ x − 2
x − 3
x − 3 
x − 3( ) . 1+ x + 2( )
1+ x − 2
x − 3
1 
1+ x + 2( )
x→ "3
lim
1
1+ x + 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
1+ 3 + 2
1
4
x→ "3
lim
1+ x − 2
x − 3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
1
4
x→ 3
lim 4x − 5( )
x→ 2
lim 2x + 4( )
x→ −1
lim − 3x + 7( )
x→ 1
2
lim 2x + 7( )
x→ 0
lim 3 − 7x − 5x
2( )
x→ 2
lim x
2 +3x +5( )
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7) . 8) . 9) . 10) . 11) . 
12) . 13) . 14) . 15) . 16) . 17) . 
18) . 19) . 20) . 21) . 22) . 
23) . 24) . 25) . 26) . 27) . 
28) . 29) . 30) . 31) . 
32) . 33) . 34) . 
 
Determine os valores dos limites dados abaixo. Para tal será necessário a utilização de artifícios matemáticos. 
 
35) . 36) . 37) . 38) . 39) . 40) . 
41) . 42) . 43) . 44) . 
 
Determine os valores dos limites dados abaixo. Para tal será necessário a utilização de artifícios matemáticos. 
45) . 46) . 47) . 48) . 49) . 
50) . 51) . 52) . 53) . 54) . 
55) 
x→ "3
lim
x2 − 9
x − 3
. 56) 
x→ "7
lim
49 − x2
7 + x
. 57) 
x→ "5
lim
5 − x
25 − x2
. 58) 
x→ "0
lim
x2 + x
x2 − 3x
. 59) 
x→ "0
lim
x3
2x2 − x
. 60) 
x→ "1
lim
x3 − 4x + 3
x − 1
 
61) 
x→ "4
lim
x3 − 7x + 12
x − 4
 
62) 
x→ "1
lim
x − 1
x2 − 3x +2
. 63) 
x→ "1
lim
x2 − 2x + 1
x − 1
. 64) 
x→ "2
lim
x − 2
x2 − 4
. 65) 
x→ "2
lim
x3 − 8
x − 2
. 66) 
x→ "3
lim
x3 − 27
x2 − 5x +6
. 67) 
x→ "1
lim
x2 − 4x + 3
x3 − 1
 
68) 
x→ "− "1
lim
x + 1
x2 + 3x +2
 
 
 
RESPOSTAS 
1) 7 2) 8 3) 10 4) 8 5) 3 6) 15 7) 50 8) 9 9) 7 10) 2 11) 4 12) 13) 
14) 15) 16) ± 5 17) ± 5 18) 19) 5 20) 21) – 12 22) 0 23) 4 24) 3 
25) 1 26) 27) 28) 27 29) 4096 30) 2 31) – 2 32) 33) 34) 
 35) – 1 36) 2 37) 4 38) 6 39) 40) 41) 3 42) 43) 44) 45) 
46) 47) 48) 1 49) – 1 50) 51) 52) 53) 54) – 8 55) 6 
56) 14 57) 1
10
 58) − 1
3
 59) 0 60) – 2 61) 1 62) – 1 63) 0 64) 1
4
 65) 12 66) 27 67) − 2
3
 68) 1 
 
x→ 3
lim 3x
2 − 7x +2( )
x→ − 1
lim −x
5 + 6x4 + 2( )
x→ 1
lim − x
4 + 6x2 + 2( )
x→ 1
lim 4x
2 − 7x +5( )
x→ − 1
lim x
3 − 2x2 − 4x +3( )
x→3
lim
x − 5
x3 − 7
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ x→2
lim
x + 4
3x −1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ x→2
lim
x +3
x +2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
s→ 1
2
lim
s+ 4
2s
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ x→ − 2
lim x
4 − 4x +1
x→ − 2
lim x
4 − 4x +1
x→ − 1
lim
2x2 − 3x − 4
5x +14 x→ 2
lim
x2 + 5x + 6
x + 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ x→ 2
lim
3x + 2
x2 − 6x + 5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ x→ − 1
lim
3x2 − 5x + 4
2x +1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ x→ − 3
lim
x2 + 2x − 3
5 − 3x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x→ 2
lim 3x + 2( )
2
3
x→ − 4
lim x
2 − 2x +3( ) 13
x→ − 1
lim 2x +3( )
1
4
x→ 2
lim
3x2 − 2x − 5
−x2 + 3x + 4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
x→ 4
lim
x3 − 3x2 − 2x − 5
2x2 − 9x + 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
x→ − 1
lim x + 4( )3 . x + 2( )− 1⎡⎣⎢
⎤
⎦⎥ x→ 0
lim x − 2( )10 . x + 4( )⎡⎣⎢
⎤
⎦⎥ x→ − 2
lim
3x3 − 5x2 − x + 2
4x + 3
3 
x→ 2
lim
2x2 + 3x + 2
6 − 4x
x→ 3
2
lim
3x + 2
5 − 2x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ x→ 2
lim
2x2 − x
3x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ x→ 2
lim
x x − 2
3x − 4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
t→2
lim
t2 − 5t + 6
t − 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ x→2
lim
x2 − 4
x2 − 2x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ x→ −2
lim
4 − x2
2 + x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x→ 3
2
lim
4x2 − 9
2x − 3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ x→ 1
lim
x3 −1
x2 −1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ x→ 3
lim
x2 − 4x +3
x2 − x − 6
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x→ − 2
lim
8+ x3
4 − x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x→ 1
2
lim
2x2 + 5x − 3
2x2 − 5x + 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ x→ 2
lim
x4 −16
8 − x3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x→ − 3
2
lim
6x2 +11x + 3
2x2 − 5x −12
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x→ 1
lim
x −1
x −1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
x→ 0
lim
1− 1− x
x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
x→ 0
lim
x +3 − 2
x −1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
x→ 0
lim
1+ x − 1− x
x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
x→ 0
lim
1− 2x − x2 −1
x
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
x→ 1
lim
2x − x +1
x −1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
x→ 1
lim
3 − 10 − x
x2 −1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
x→ 3
lim
2 − x +1
x2 − 9
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
x→ 1
lim
x + 3 − 2
x2 − 3x + 2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
x→ 2
lim
x2 − 4
x − 2 − 3x − 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− 1
10
6
5
5
4
9
2
± 1
3
− 8
3
1
8
9
4
13
4
2 2 −1
2
2
3
2
2
5
− 7
3
− 8
3
7
11
1
2
1
2
1
4
2
4
1
12
− 1
24
− 1
4