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AULA 2 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS COM GABARITO 01. Use o gráfico da função para responder o que se pede: a) lim x→2− f(x) = b) lim x→2+ f(x) = c) lim x→2 f(x) = d) 𝑓(2) = e) lim x→−2 f(x) = 02. Calcular o limite, usando as propriedades dos limites: lim 𝑥→0 (3 − 7𝑥 − 5𝑥²). 03. Calcular o limite, usando as propriedades dos limites: lim 𝑥→1 ( 𝑥 + 4 3𝑥 − 1 ). 04. Calcular o limite: lim 𝑥→0 (x2 − 3x + 2). 05. Calcular o limite: lim 𝑡→2 ( 𝑡2−5𝑡+6 𝑡+2 ) . 06. Calcule o limite lim 𝑥→−2 [ 𝑥3+8 𝑥4−16 ]. 07. Calcule o lim ℎ→0 √9+ℎ−3 ℎ . 08. Calcule a assíntota vertical da função 𝑓(𝑥) = 1 |𝑥| . 09. Calcule a assíntota horizontal da função 𝑓(𝑥) = 1 |𝑥+3| 10. Calcule o limite: lim 𝑦→∞ ( 2+3𝑦² 5𝑦²+4𝑦 ) Resoluções passo a passo 01. Use o gráfico da função para responder o que se pede: Resolução Pela observação gráfica: a) lim x→2− f(x) = 3 b) lim x→2+ f(x) = 1 c) lim x→2 f(x) → 𝑁ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 d) 𝑓(2) = 3 e) lim x→−2 f(x) = 1 02. Calcular o limite, usando as propriedades dos limites: lim 𝑥→0 (3 − 7𝑥 − 5𝑥²) Resolução lim 𝑥→0 (3 − 7𝑥 − 5𝑥2) = = lim(3) − 𝑥→0 lim(7x) − 𝑥→0 lim(5x2) = 𝑥→0 = lim(3) − 𝑥→0 7 ∙ lim(x) − 𝑥→0 5 ∙ lim(x2) = 𝑥→0 = lim(3) − 𝑥→0 7 ∙ lim(x) − 𝑥→0 5 ∙ lim(x2) = 𝑥→0 = lim(3) − 𝑥→0 7 ∙ lim(x) − 𝑥→0 5 ∙ lim(x) ∙ lim(x) = 𝑥→0 𝑥→0 = 3 − 7 ∙ 0 − 5 ∙ 0 ∙ 0 = = 3 − 0 − 0 = = 3 03. Calcular o limite, usando as propriedades dos limites: lim 𝑥→1 ( 𝑥 + 4 3𝑥 − 1 ) Resolução lim 𝑥→1 ( 𝑥 + 4 3𝑥 − 1 ) = = lim 𝑥→1 [𝑥 + 4] lim 𝑥→1 [3𝑥 − 1] = = lim 𝑥→1 [𝑥] + lim 𝑥→1 [4] lim 𝑥→1 [3𝑥] − lim 𝑥→1 [1] = = lim 𝑥→1 [𝑥] + lim 𝑥→1 [4] 3 ∙ lim 𝑥→1 [𝑥] − lim 𝑥→1 [1] = = 1 + 4 3 ∙ 1 − 1 = = 5 2 04. Calcular o limite: lim 𝑥→0 (x2 − 3x + 2) Resolução Por substituição direta: lim 𝑥→0 (x2 − 3x + 2) = = 02 − 3 ∙ 0 + 2 = = 0 − 0 + 2 = = 2 05. Calcular o limite: lim 𝑡→2 ( 𝑡2 − 5𝑡 + 6 𝑡 + 2 ) Resolução: lim 𝑡→2 ( 𝑡2 − 5𝑡 + 6 𝑡 + 2 ) = = 22 − 5 ∙ 2 + 6 2 + 2 = = 4 − 10 + 6 2 + 2 = = 0 4 = = 0 06. Calcule o limite lim 𝑥→−2 [ 𝑥3+8 𝑥4−16 ]. Resolução Substituindo diretamente x=-2 lim 𝑥→−2 [ 𝑥3 + 8 𝑥4 − 16 ] = (−2)3 + 8 (−2)4 − 16 = −8 + 8 16 − 16 = 0 0 O resultado é uma indeterminação, portanto se faz necessária uma simplificação algébrica. Fatorando a função usando Briot-Ruffini: = lim 𝑥→−2 (𝑥 + 2)(𝑥2 − 2𝑥 + 4) (𝑥 + 2)(𝑥3 − 2𝑥² + 4𝑥 − 8) = = lim 𝑥→−2 (𝑥2 − 2𝑥 + 4) (𝑥3 − 2𝑥² + 4𝑥 − 8) = = (−2)2 − 2(−2) + 4 (−2)3 − 2(−2)² + 4(−2) − 8 = = − 3 32 07. Calcule o lim ℎ→0 √9+ℎ−3 ℎ . Resolução Substituindo diretamente h=0 lim ℎ→0 √9 + ℎ − 3 ℎ = √9 + 0 − 3 0 = √9 − 3 0 = 3 − 3 0 = 0 0 O resultado é uma indeterminação, portanto se faz necessária uma simplificação algébrica. Multiplicando e dividindo pelo conjugado: lim ℎ→0 √9 + ℎ − 3 ℎ ∙ √𝟗 + 𝒉 + 𝟑 √𝟗 + 𝒉 + 𝟑 = = lim ℎ→0 9 + ℎ − 9 ℎ(√9 + ℎ + 3) = = lim ℎ→0 9 + ℎ − 9 ℎ(√9 + ℎ + 3) = = lim ℎ→0 1 √9 + ℎ + 3 = = 1 √9 + 0 + 3 = = 1 6 08. Calcule a assíntota vertical da função 𝑓(𝑥) = 1 |𝑥| Resolução Olhamos par o domínio da função: 𝑥 ≠ 0, desta forma analizaremos exatamente quando o 𝑥 = 0. lim 𝑥→0 ( 1 𝑥 ) = 1 0 , portanto um resultado inconclusivo. Nesse caso, tabelaremos usando 𝑓(𝑥) = 1 𝑥 , somente para verificar o resultado x f(x) x f(x) -0,0001 -10000 0,0001 10000 -0,001 -1000 0,001 1000 -0,01 -100 0,01 100 -0,1 -10 0,1 10 -1 1 1 1 -10 -0,1 10 0,1 -100 -0,01 100 0,01 Graficamente, Note que quanto mais o valor de x (domínio) se aproxima de x = 0, mais o resultado de f(x) (y: imagem) se aproximam dos infinitos positivos e negativos, demonstrando assim a tendência de valores extremos. Contudo, não estime um valor de x que mesmo extremamente grande possa zerar a conta 1/x. Sendo assim, a assíntota vertical é x = 0. Portanto, y = 0 será a assíntota horizontal. 09. Calcule a assíntota horizontal da função 𝑓(𝑥) = 1 |𝑥+3| . Resolução Para esse cálculo da assíntota horizontal usamos lim 𝑥→∞ 1 |𝑥+3| e lim 𝑥→−∞ 1 |𝑥+3| O resultado desse limite vem calculado de forma direta por substituição: lim 𝑥→∞ 1 |𝑥 + 3| = 1 |∞ + 3| = 1 |∞| = 1 ∞ = 0 lim 𝑥→−∞ 1 |𝑥 + 3| = 1 |−∞ + 3| = 1 |−∞| = 1 ∞ = 0 Graficamente, Assim a assíntota horizontal é y = 0. 10. Calcule o limite: lim 𝑦→∞ ( 2+3𝑦² 5𝑦²+4𝑦 ) Resolução lim 𝑦→∞ ( 2+3𝑦² 5𝑦²+4𝑦 ) = 2+3∞² 5∞²+4∞ = ∞ ∞ , sendo assim, uma indeterminação. Portanto, para calcular o limite devemos evidenciar o valor de mais alto grau no numerador e no denominador. lim 𝑦→∞ ( 2 + 3𝑦2 5𝑦2 + 4𝑦 ) = = lim 𝑦→∞ ( 𝑦2 ( 2 𝑦2 + 3) 𝑦2 (5 + 4 𝑦) ) = = lim 𝑦→∞ ( 2 𝑦2 + 3 5 + 4 𝑦 ) = = 2 ∞2 + 3 5 + 4 ∞ = = 0 + 3 5 + 0 = = 3/5
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