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Seja A uma matriz quadrada de ordem 3 tal que det A = 2. O determinante da matriz 5A é igual a: 50 250 32 10 30 2. Dadas as matrizes A = (aij)3x3, tal que aij = 2i - j + 2 e B = (bij)3x3, tal que bij = i2 + j - 4, vamos realizar o produto dos elementos da primeira linha da matriz A com os elementos da primeira coluna da matriz B, somando, em seguida, os resultados desses produtos (ou seja, a11.b11+a12.b21+a13.b31). O resultado obtido nessa operação será: 8 9 -2 -11 2 3. As matrizes A e B são tais que C=AxB. O elemento C22 da matriz C é dado por C22=a21.b12+a22.b22+a23.b32. Assim, é correto afirmar que: A possui 3 colunas e B possui 3 linhas. A é uma matriz com 2 linhas e B possui 3 colunas. A é uma matriz (2x3) e B é uma matriz (3x4). A e B são matrizes quadradas. B possui 3 linhas e A possui 2 colunas. 4. Dadas as matrizes A = (aij)3x3, tal que aij = 2i - j + 2 e B = (bij)3x3, tal que bij = i2 + j - 4, vamos realizar o produto dos elementos da primeira linha da matriz A com os elementos da primeira coluna da matriz B, somando, em seguida, os resultados desses produtos (ou seja, a11.b11+a12.b21+a13.b31). O resultado obtido nessa operação será: 9 18 0 2 -5 5. Considere uma matriz quadrada A de ordem 2 onde a soma de todos os seus elementos é igual a 20.Aumentando cada um dos elementos da primeira linha da matriz de 3 unidades e subtraindo uma unidade de cada um dos elementos da segunda linha da matriz , a soma de todos os elementos da nova matriz será igual a : 22 21 24 20 19 6. Uma matriz de ordem 3 x 5 apresenta número de elementos igual a : 10 20 12 8 15 7. Uma matriz W é gerada a partir da soma das matrizes A = (aij)2x2 definida por aij = 3 i - j e B = (bij)2x2 definida por bij = i + 2j. A soma de seus termos será 48 24 12 18 30 8. Uma matriz A = (aij)3x3 é definida conforme descrito abaixo. A soma de todos os seus termos será: 22 18 19 20 21 1. Calcule o determinante da Matriz: [ 2 3 5 6 / 4 2 1 1 / 5 1 2 3 / 6 1 3 2 ] 84 100 89 68 -84 2. Sobre as sentenças: I. O produto das matrizes A3 x 2 . B2 x 1 é uma matriz 3 x 1. II. O produto das matrizes A5 x 4 . B5 x 2 é uma matriz 4 x 2. III. O produto das matrizes A2 x 3 . B3 x 2 é uma matriz quadrada 2 x 2 É verdade que: somente III é falsa; I, II e III são falsas. somente I é falsa; somente II é falsa; somente I e III são falsas; 3. Se A é uma matriz (3x3) e det(A) = D, então det(2A) será 12D 2D 4D 6D 8D 4. Podemos afirmar que o produto das matrizes: A(3X2) por B(2X3) será: Uma matriz quadra de ordem 3 Uma matriz quadra de ordem 2 Uma matriz 2X3. Uma matriz 3X2. Não é possivel fazer o produto de matriz de ordem diferente. 5. Se A é uma matriz (2x2) e det(A) = D, então o determinante da matriz 2A será 4D 2D D 5D 3D 6. Sabe-se que A e B são matrizes quadradas (mxm), tais que AxB=I, sendo I a matriz identidade de mesma ordem. Com base nessa informação, analise as afirmativas abaixo: I. B é a matriz transposta de A; II. A é uma matriz simétrica; III. Se o determinantes de A é diferente de zero, B é a inversa de A; Encontramos afirmativas CORRETAS somente em: II I II e III III I, II e III 7. Na matriz B = (bij)3x3, onde bij = 5i - 2j, o valor de 2.b21 é: 10 21 -2 16 -12 8. Considere a matriz 3x3 A=[1a3526-2-1-3]. Determine o valor de a para que a matriz A não admita inversa. 2 4 1 3 5 1. Um professor precisa elaborar questões de Estatística e Matemática Financeira para um simulado do curso de Administração. No total devem ser elaboradas 30 questões. Sabe-se que se um aluno acertar todas as questões elaboradas pelo professor, ele terá 36 pontos. E mais, cada questão de Matemática Financeira vale 1,5 e de Estatística vale 1,0. determine quantas questões de cada disciplina deverá elaborar o professor. 10 e 20 12 e 16 15 e 15 12 e 18 14 e 16 2. Determine o valor de a para que o sistema x + 2y = 18 3x - ay = 54, seja possível e indeterminado é: 3/2 -2 6 2 -6 3. Calcule os valores de x, y e z nos sistemas e responda qual o valor de x + y + z? 6 2 8 0 11 4. Resolva o sistema linear, utilizando a técnica de escalonamento. x + y - z = 0 x - 2y + 5z = 21 4x + y + 4z = 31 S = { (0, 1, 2) } S = { (5, 3, 1) } S = { (6, 2, 5) } S = { (1, 3, 2) } S = { (2, 3, 5) } 5. O sistema abaixo representa as equações relativas à produção de uma empresa que fabrica caixas de papelão. As caixas são fabricadas por máquinas de processamento que possuem velocidades de produção diferentes e são chamadas de X e Y e Z. A produção PE é dada de acordo com o sistema abaixo indicado. Resolvendo o sistema, podemos afirmar que a as máquinas X , Y e Z produzem, respectivamente, em 1 minuto as seguintes quantidades de caixas: 4, 5, 1 2, 1, 3 2, 3, 1 1, 2, 3 1, 4, 5 Gabarito Comentado 6. Sobre o sistema abaixo, podemos afirmar: O sistema é possível e determinado e possui as raízes {-2,-1,1}. O sistema é impossível. O sistema é possível e indeterminado. O sistema é possível e determinado e possui as raízes {2,-1,0}. O sistema é possível e determinado e possui as raízes {2,0,-1}. 7. Determine a solução do sistema 2x + y -2z = -2 / y + z = 2 / 3x -2z = -1 (2, 2, 1) (2, 1, 0) (0, 0, 0) (1, 0, 2) (0, 1, 2 ) 8. Se o determinante da matriz A abaixo vale -13,então o valor de k será: 1 0 3 -2 2 1. Para a matriz A abaixo, o determinante será 4 0 1 2 -4 2. Se o determinante de uma matriz quadrada A(2x2) é det(A) = -3, então o determinante de (3A)-1 é: -27 27 1/27 -1/27 -1/9 3. Dada a matriz abaixo, o cofator do elemento a(1,2) é: -1 4 1 -3 2 4. Se o sistema abaixo possui solução única, então k = 0 k = 2 k é diferente de -3/2 k é diferente de 0 k = 3/2 5. Se A e B são matrizes quadradas (2x2), tais que det(A) = 3 e det(B) = 5, então det(2Ax3B) será 270 57 90 540 180 6. Se A e B são matrizes quadradas (3x3), tais que det(A) = 2 e det(B) = 4, então det(Ax2B) será 8 32 16 128 64 7. Definimos como sendo o menor complementar do elemento ai,j de uma matriz A, ao determinante da matriz resultante da retirada da linha i e da coluna j da matriz A. Assim, o menor complementar do elemento a1,2, da matriz A será: 2 3 4 1 0 8. Sejam as matrizes a seguir A = (aij)4x3 , aij = ij B = (bij)3x4 , bij = ji Se C = A. B, então c22 vale: 14 84 3 258 39 1. Definimos como sendo o menor complementar do elemento ai,j de uma matriz A, ao determinante da matriz resultante da retirada da linha i e da coluna j da matriz A. Assim, o menor complementar do elemento a2,2, da matriz A será: 1 0 -4 3 -2 2. Calcule a área do triângulo com vértices nos pontos: (-1, 4), (3,1) E (2,6). 6,5 9,5 7,5 10,5 8,5 3. Para que o determinante da matriz a11 = 1 + a, a12 = -1, a21 = 3, a22 = 1 - a, seja nulo, o valor de a deve ser: 4 ou -4 2 ou -2 1 ou 3 -3 ou 5 -5 ou 3 4. Considere três lojas, L1, L2 e L3, e três tipos de produtos, P1, P2 e P3. A matriz a seguir descreve a quantidade de cada produto vendido por cada loja na primeira semana de dezembro. Cada elemento aij da matriz indica a quantidade do produto Pi vendido pela loja Lj, i,j = 1,2,3. Analisando a Matriz [ ( 30 19 20 ), ( 15 10 8 ), ( 12 16 11 )], podemos afirmar que: a soma das quantidades dos produtos dos tipos P1 e P2 vendidos pela loja L1 é 45 a quantidade de produtos do tipo P2 vendidos pela loja L2 é 11 a soma das quantidades de produtos do tipo P3 vendidos pelas três lojas é 40 a soma das quantidades de produtos do tipo Pi vendidos pelas lojas Li, i = 1, 2, 3, é 52 a quantidade de produtos do tipo P1 vendidos pela loja L3 é 30 5. Para as matrizes A e B abaixo, o determinante da matriz A - B será: 9 14 0 -8 -10 6. Qual é o valor do determinante 3x3 a seguir: 2 3 5 4 -2 0 1 0 0 6 11 -14 9 10 7. Se A e B são matrizes quadradas tais que AxB seja possível, e que det(A) = 3 e det(B) = 5, então o det (AxB) será: 8 2 3/5 15 5/3 8. Sejam as matrizes A2x3 composta por a11 = -1, a12 = 0, a13 = 1, a21= 0, a22 = 2, a23 = -2 e B3x2 composta por b11 = 2, b12 = -1, b21 = 1, b22 = 2, b31 = 0, b32 = 1. O determinante da matriz A . B é: -8 64 4 0 -64 Escrever um vetor w como combinação linear de dois vetores u e v é encontrar os valores dos escalares a e b, tais que, w = a.u + b.v. Assim, se for possível escrever o vetor w = (-5, -11) como uma combinação linear entre u = (3, 5) e v = (-1,-3), o valor de a + b será 2 -1 -2 1 0 2. Determine o valor de a para que o vetor u = (-1,a,-7) seja combinação linear dos vetores de S = {(1,-3,2),(2,4,-1)}. a = 13 a = 14 a = 17 a = 16 a = 15 3. Considerando os escalares a e b, o vetor w= (7, 2) poderá ser escrito como uma combinação linear dos vetores u = (1, 2) e v = (2, -2). O valor de a + b será: 0 5 -1 3 2 4. Considere u = (2 , 2 , 1) e v = (3 , - 1 , - 2). Sabendo que w = a.u + b.v, sendo o vetor w = (1 , 5 , 4), determine o valor de (a + b). 1 2 3 5 4 5. Considere os vetores U = (-4, 10, 5), V1 = (1, 1, -2), V2 = (2, 0, 3) e V3 = (-1, 2, 3). Escrever se possível, o vetor U como combinação linear dos vetores V1, V2 e V3. U = 2V1 - V2 + 4V3 Não é combinação Linear U = - 2V1 + V2 - 4V3 U = 2V1 + V2 - 4V3 U = V1 - 2V2 + 4V3 6. Escreva v = (2, 1, 5) como combinação linear de v1 = (1, 2, 1), v2 = (1, 0, 2) e v3 = (1, 1, 0) v = 2v1 - v2 + v3 v = 2v1 + v2 - v3 v = v1 - 2v2 - v3 v = 3v1 + v2 - v3 v = v1 + 2v2 - v3 7. Escrever um vetor w como combinação linear de dois vetores u e v é encontrar os valores dos escalares a e b, tais que, w = a.u + b.v. Assim, se for possível escrever o vetor w = (-3, 6, 10) como uma combinação linear entre u = (1, 3,0) e v = (-1,0, 2), o valor de a.b será 8 5 7 10 2 8. v = 5v1 - 3v2 + v3 v = 3v1 - 5v2 + v3 v = 4v1 + 2v2 - v3 v = 2v1 - v2 + 3v3 v = v1 - 3v2 + 5v3 O valor de K de modo que o determinante abaixo seja nulo é: 1 3 5 2 4 0 3 7 K K = 5 K = -5 K = 2 K = -2 K = 0 2. Se A é uma matriz (2x2) e det(A) = D, então o determinante da matriz 3A será 9D 6D 3D 4D D 3. Sabemos que o determinante da matriz abaixo é -6. Assim, é CORRETO afirmar que o valor de k é: 0 -1 3 -2 44. Dentre os subconjuntos abaixo, qual podemos afirmar não ser um subespaço vetorial? {(x, y, z) pertence R³ / x = y = 2z} {(x, y) pertence a R² / x = y} {(x, y, z) pertence a R³ / x + z = y} {(x, y, z) pertence a R³ / 2x = y} {(x, y) pertence a R² / x + 1 = y} 5. Determine o valor de m para que o sistema S abaixo possua infinitas soluções: m = 3 m = 1/3 m = 0 m = -2 m = 1 6. Dado o sistema de equações ax + 2y = 3 e 5x + 4y = 6, para que valor de a tem-se um sistema impossível? 2,5 4 3 5 3,5 7. O conjunto solução do sistema abaixo é: x + y - z = 0 x - 2y + 5z = 21 4x + y + 4z = 31 (1,- 3, 4) (2, 3, 5) (-1, 2, 4) (3, 2, 4) (-1, 3,5) 8. Calcule o determinante da matriz: 25 15 22 24 28 1. Para as apresentações de uma peça teatral (no sábado e no domingo à noite) foram vendidos 500 ingressos e a arrecadação total foi de R$ 4.560,00. O preço do ingresso no sábado era de R$ 10,00 e no domingo era de R$ 8,00. O número de ingressos vendidos para a apresentação do sábado e para a do domingo, nessa ordem, foi: 290 e 210 280 e 220 300 e 200 270 e 230 260 e 240 2. A soma de todos os elementos da matriz A = (aij)3x2 definida por aij = 2.i - j2 será: 3 8 -2 12 0 3. Dado o sistema: x-3y+z=3 x-y=-2 2x+y-3z=-4 determine o valor de y-x -2 -1 1/3 2 4 4. Determine a imagem do vetor v = (2, -3) pela Transformação Linear T(x,y) = (x - 2y, 2x). (-2, 8) (4, 6) (-4, -6) (8, -6) (8,4) 5. Determine a imagem do vetor v = (-1, 2, 0) pela Transformação Linear T(x,y,z) = (z, 0, x). (0, 1, 1) (2, 0, 1) (0, 0, -1) (1, 0, -1) (0, 0, 0) 6. Se A, B e C são matrizes do tipo 2 x 3, 3 x 1 e 1 x 4, respectivamente, então o produto A . B . C: é a matriz do tipo 3 x 4. é a matriz do tipo 4 x 3. não é definido. é a matriz do tipo 4 x 2. é a matriz do tipo 2 x 4. 7. Seja V=R2 e W=R3 uma transformação linear T:R2→R3 associa vetores v=(x,y) pertencete a R2 e com w=(x,y,z) pertencete a R3. Seja a lei que define a transformação T dada por: T(x,y)=(3x,-2y+1,x+y). o valor de T(0,0) é: (0,0,0) (0,0,2) Nenhuma das respostas anteriores. (3,-1,0) (0,1,0) 8. No sistema linear homogêneo temos: sempre soluções infinitas e portanto ele é SPD soluções vazias, portanto o sistema é impossível (SI) sempre soluções infinitas e portanto ele é SPI a solução trivial quando ele é sistema possível indeterminado (SPI) a solução trivial quando ele é sistema possível determinado (SPD) Considerando-se a matriz A = [ ( 1 1 1 ), ( 1 x 1), ( x x 5)] e det A = 4, pode-se afirmar que o valor de x é igual a: -1 2 3 1 -3 2. Se as matrizes A e B abaixo são iguais, então o valor de k + t é: 0 -1 -2 3 1 3. Seja A=((1,1),(2,-1) os autovalores da matriz A são: +-3 raizq(6) +-raizq(5) +-raizq(3) raizq(2) 4. De acordo com as propriedade das matrizes, assinale a alternativa INCORETA. Quando uma matriz é multiplicada por um valor real, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse valor real. Quando temos um fila (linha ou coluna) toda zero, o determinante é zero Quando todos os elementos abaixo da diagonal principal é zero, o determinante é a multiplicação da diagonal principal. Quando trocamos uma fila (linha ou coluna) paralela, o determinante fica multiplicado por -1. Quando temos duas filas (linha ou coluna) iguais, o determinante é zero. 5. Chamamos matriz simétrica toda matriz quadrada A, de orden n, tal que At=A. Assim sendo , indique qual matriz é simetrica: [[a,b,c,d],[b,-e,f,g],[c,f,h,i],[d,g,i,j]] [[a,b,-c,d],[b,e,f,g],[c,f,h,i],[d,g,i,j]] [[a,b,c,d],[b,e,f,g],[c,f,h,i],[d,g,i,j]] [[a,b,c,d],[b,e,f,g],[c,f,h,i],[-d,g,i,j]] [[a,b,c,d],[b,e,-f,g],[c,f,h,i],[d,g,i,j]] Gabarito Comentado 6. Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A = (aij)3x3 tal que aij = 4 + 3i - j. -20 24 32 -48 12 7. Determine o valor de x + y para que a equação abaixo seja verdadeira. 8 -6 5 0 -3 8. Uma matriz quadrada A é dita simétrica, se A=At. Assim, se a matriz A é simétrica, então, x+y+z é igual a: 4 7 5 3 6 A soma de todos os elementos da matriz A = (aij)2x2 definida por aij = 3 i - j será: 9 -8 0 12 -16 2. Quais os valores dos escalares para que o vetor v = (-4, -18, 7) seja combinação linear dos vetores v1 = (1, -3, 2) e v2 = (2, 4, -1). 2 e 3 2 e 4 2 e -3 -2 e 3 -3 e -2 3. Encontre os autovalores da matriz: 0 e 1 5 e -1 0 e -1 1 e 2 -5 e 1 4. Na matriz B = (bij)3x3, onde bij = -i2 + 3j, o valor de 2.b23 é: 5 -3 -4 10 12 5. Sobre a matriz abaixo podemos afirmar que: 2 0 0 0 2 0 0 0 2 I- É uma matriz quadrada. II- É uma matriz diagonal. III- É uma matriz identidade. IV- É uma matriz simétrica. Somente a alternativa 3 está errada. Somente a alternativa 3 está errada. Nenhuma das alternativas estão corretas. Todas as alternativas estão corretas. Somente as alternativas 3 e 4 estão erradas. 6. As matrizes A e B são tais que C=AxB. O elemento C22 da matriz C é dado por C22=a21.b12+a22.b22+a23.b32. Assim, é correto afirmar que: A e B são matrizes quadradas.A é uma matriz (2x3) e B é uma matriz (3x4). B possui 3 linhas e A possui 2 colunas. A possui 3 colunas e B possui 3 linhas. A é uma matriz com 2 linhas e B possui 3 colunas. 7. A subtração dos elementos da diagonal principal de uma matriz identidade de ordem 3 é: 1 3 0 -3 -1 8. Na matriz B = (bij)3x3, onde bij = i2 - 5j, o valor de 3b22 - b34 é: -9 25 17 -11 5
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