Matemática Atuarial aula 03

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PONTO DOS CONCURSOS 
MATEMÁTICA ATUARIAL 
DE PESSOAS 
 SUSEP 
Aula 3 
 
André Cunha 
01/03/2010 
 
 
 
Este documento contém o conteúdo programático do curso (plano de 
ensino) e aborda os seguintes tópicos: Tábuas Selecionadas e Comutações. 
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Conteúdo 
1. Introdução .......................................................................... 3 
2. Tábuas Selecionadas ............................................................ 4 
2.1. Aggregate Tables ........................................................ 4 
2.2. Tábuas Selecionadas (Select Tables) .............................. 5 
2.3. As Probabilidades e as Tábuas Selecionadas .................... 5 
2.4. O período de seleção .................................................... 7 
3. Comutações ........................................................................ 8 
3.1. Comutações usadas em anuidades ............................... 10 
3.2. Comutações usadas em seguros de vida ....................... 10 
3.3. Tábua de Comutações ................................................ 10 
4. Exercícios de Fixação ......................................................... 15 
5. GABARITO ........................................................................ 16 
6. Resolução dos Exercícios de Fixação ..................................... 17 
 
 
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1. Introdução 
 
Nesta Aula estudaremos dois assuntos. 
O primeiro, tábuas selecionadas, inédito em provas de concurso. 
O segundo, comutações, importante ferramenta para o restante 
do curso. 
Quanto a questões passadas de concursos, que é um ponto que 
todo concursando dá muito valor, e com toda a razão, infelizmente 
vou desapontar vocês hoje. 
Não há questões de concursos anteriores sobre tábuas 
selecionadas nas provas da SUSEP, CGU, IRB e IBA. 
Já em relação ao segundo tópico, apesar de bastante cobrado, 
não há questões de concurso envolvendo somente comutações, sem 
envolver também anuidades ou seguros, que ainda não vimos.1 
Para deixar a situação mais delicada, tive dificuldade de achar 
questões sobre a matéria até nos próprios livros da bibliografia. E 
acredito que não é um problema da bibliografia, mas dos livros de 
atuária em geral. 
Assim, além dos exemplos expostos no decorrer da Aula, dos 5 
exercícios de fixação propostos, tive de formular quatro deles e 
adaptar um quinto. 
Apesar de poucos, creio que os exercícios de fixação propostos 
estejam em sintonia com os objetivos da Aula, quais sejam: 
a) No que tange às tábuas selecionadas, focar nos pontos com 
maior probabilidade de cair; 
b) Com relação às comutações, ajudar na fixação das definições 
que serão apresentadas. 
Em que pese a falta de exercícios, que compensaremos depois, 
esta Aula é mais leve que as outras, pois os assuntos são menos 
complexos. 
Bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 Há uma única exceção que veremos posteriormente. 
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2. Tábuas Selecionadas 
 
Antes de entrar neste tópico propriamente dito, vamos a 
algumas considerações. 
• O que pode cair na prova? 
Este assunto é inédito na SUSEP. Também nunca caiu nas 
provas do IBA e, smj2, na CGU e no IRB. Esperamos que 
caia (se cair) questão conceitual sobre Tábuas 
Selecionadas ou no máximo o cálculo de uma 
probabilidade básica. 
• O quanto devemos estudar? 
Pouco, mas o suficiente. Os melhores livros de Matemática 
Atuarial dedicam pouquíssimas páginas para o assunto. 
Acreditamos que a probabilidade de cair uma questão na 
prova é de cerca de 20%, e mais de uma é virtualmente 
impossível. 
 Então vamos ao que interessa. 
 
2.1. Aggregate Tables3 
 
Uma Aggregate Table é a tábua de mortalidade “comum” que 
vimos na Aula 2. Reproduzimos um trecho dela abaixo. 
 
x qx lx dx 
0 0,00708 100000 708 
1 0,00176 99292 175 
2 0,00152 99117 151 
3 0,00146 98967 144 
4 0,00140 98822 138 
5 0,00135 98684 133 
6 0,00130 98551 128 
7 0,00126 98422 124 
 
 
Essa tábua é construída da seguinte forma: 
 a) Estudos demográficos determinam os valores da função de 
sobrevivência S(x) para todos os valores inteiros de x. 
 
2 Salvo Melhor Juízo 
3 Quando um termo ou expressão não tiver uma tradução consagrada para o português, escreveremos em 
inglês. 
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 b) Definimos l0, raiz (radix) da tábua de mortalidade. Lembre-
se que l0 representa o número de pessoas inicialmente no grupo, no 
caso 100.000. É um grupo puramente hipotético. 
c) De posse de l0 e S(x), usando )(0 xSllx ⋅= calculamos os 
outros valores de lx. 
d) Todas as funções que estudamos até aqui foram então 
derivadas de lx, a idade alcançada. 
 
2.2. Tábuas Selecionadas (Select Tables) 
 
Vimos que as aggregate tables são construídas com base na 
função de sobrevivência S(x). 
Entretanto, essa função de sobrevivência S(x) pode não 
representar corretamente a experiência de um subgrupo selecionado. 
Exemplificando: A probabilidade de uma pessoa de idade 40 
anos sobreviver 2 anos é dada por 2p40. Agora suponha que uma 
companhia de seguro faça uma análise muito criteriosa ao aceitar um 
segurado de 40 anos (para seguro de vida), exigindo declarações de 
médicos, exames clínicos, entre outras medidas. Com certeza a 
probabilidade de essa pessoa sobreviver 2 anos será diferente de 2p40 
(provavelmente superior). Outra seleção possível é segurar 
empregados de minas de carvão, ou pessoas que acabaram de se 
tornar inválidas. 
O fato é: Quando se seleciona uma vida, a qualquer idade, 
a função de sobrevivência S(x) muda, mudando 
consequentemente lx e todas as funções já vistas. 
 
2.3. As Probabilidades e as Tábuas Selecionadas 
 
A raiz de uma tábua selecionada não é mais l0, e sim o número 
de vivos selecionados na idade em questão. Por exemplo, se 
selecionarmos na idade de 40 anos, a raiz será l[40]. Os colchetes 
indicam que a idade é selecionada. 
O cálculo das probabilidades é análogo ao das vidas não 
selecionadas. 
Por exemplo, 
]30[
3]30[]30[
]30[3 l
ll
q +
−= , isto é, a probabilidade de uma 
pessoa selecionada com 30 anos morrer nos próximos 3 anos é igual 
ao quociente entre o número de mortos do grupo selecionado entre 
as idades de 30 e 33 anos e o número de selecionados na idade de 
30. 
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Fundamental: nxnx ll ++ ≠][ . 
Exemplo 1: 
 
Determine expressões para as probabilidades abaixo. 
a) ]30[6 p 
b) ]40[1/2 q 
c) 1]40[2/4 +q 
 
Solução 
 
a) Este item pede probabilidade de uma pessoa selecionada 
com 30 anos atingir 36 anos, que é dada por: 
]30[
6]30[
]30[6 l
l
p += 
 
b) Temos de calcular a probabilidade de uma pessoa 
selecionada com 40 anos morrer entre as idades de 42 e 43 anos. 
Calculando, 
]40[
3]40[2]40[
]40[1/2 l
ll
q ++
−= 
c) Agora o problema é calcular a probabilidade de uma pessoa 
selecionada com 40 anos, que atualmente está com 41, morrer entre 
as idades de 45 e 47 anos. 
1]40[
7]40[5]40[
1]40[2/4
+
++
+
−=
l
ll
q 
 
Nota importante: Enquanto nas tábuas de mortalidade 
“comuns” lx é função apenas de uma variável, a idade atingida x, nas 
tábuas selecionadas l[x]+t é função de duas variáveis, a idade de 
seleção [x] e o tempo decorrido t. Desta forma, 3]39[2]40[ ++ ≠ ll . 
 
 
 
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2.4. O período de seleção 
 
Vimos nos itens anteriores que quando usamos critérios para 
selecionar vidas a função de sobrevivência muda, e com ela as 
probabilidades de nosso interesse. 
Entretanto, é bem razoável que, com relação a uma vida 
selecionada aos 20 anos, as probabilidades (qx) envolvendo esta vida 
aos 40 anos já serão bem próximas da população em geral. 
Por isso é que definimos o período de seleção como o período 
no qual as probabilidades de morte (qx) do grupo selecionado e da 
população em geral diferem significativamente. O quanto elas 
precisam diferir uma da outra não será objeto do nosso estudo, posto 
isto ser virtualmente impossível de ser cobrado pela ESAF. 
Em vários casos em tábuas usadas na prática o período de 
seleção é de 15 anos. Aqui vamos usar períodos mais curtos por 
serem de mais fácil compreensão. 
 
Exemplo 2: 
 
Refaça o Exemplo 1, dado que o período de seleção é de 5 
anos. 
 
Solução 
 
Reescrevendo o Exemplo1: 
Determine expressões para as probabilidades abaixo 
a) ]30[6 p 
b) ]40[1/2 q 
c) 1]40[2/4 +q 
 
a) Este item pede probabilidade de uma pessoa selecionada 
com 30 anos atingir 36 anos, que é dada por: 
]30[
36
]30[6 l
lp = 
 
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b) Temos de calcular a probabilidade de uma pessoa 
selecionada com 40 anos morrer entre as idades de 42 e 43 anos. 
Calculando, 
]40[
3]40[2]40[
]40[1/2 l
ll
q ++
−= 
c) Agora o problema é calcular a probabilidade de uma pessoa 
selecionada com 40 anos, que atualmente está com 41, morrer entre 
as idades de 45 e 47 anos. 
1]40[
4745
1]40[2/4
+
+
−=
l
llq 
 
Percebe-se que a única diferença das expressões do Exemplo 2 
para o Exemplo 1 é na grafia dos lx, com ou sem colchetes. Nossa 
dúvida então é quando colocá-los. 
Definindo então m como o número de anos após a seleção e n o 
período de seleção, vamos à regra prática abaixo: 
 
Regra Prática: 
mxlcolchetesentrexEscrevemosnm +⇒< ][: 
mxlcolchetessemxEscrevemosnm +⇒≥ : 
 
 Agora volte ao Exemplo 2 e verifique que aplicamos a regra 
prática acima a todos os itens. 
 
3. Comutações 
 
As Comutações são funções de lx e da taxa de juros i (f(lx,i)), e 
servem para simplificar cálculos que de outra forma seriam muito 
trabalhosos. 
Exemplificando, veremos na Aula sobre anuidades que o Valor 
Presente Atuarial (VPA) de uma anuidade imediata, postecipada, 
vitalícia, que paga uma unidade monetária (u.m.) para uma pessoa 
de idade x, enquanto ela sobreviver, é dada por: 
∑∞
=
=
1j
xj
j
x pva 
 Imagine agora se fôssemos calcular o valor dessa anuidade 
para uma pessoa de idade 20 anos, usando uma tábua que vai até 
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110 anos (ω=110). Teríamos de calcular 90 termos somente para 
essa anuidade! 
 Por esse motivo foi inventada, no final do século XVIII, as 
funções e respectivas tábuas de comutações, que nos permitiriam, no 
exemplo acima, calcular essa anuidade como a razão de dois 
números apenas. Veremos que 
x
x
x D
Na 1+= , bem mais simples. 
 Essa parte de Comutações cai em várias questões de todas as 
provas (SUSEP, IBA, CGU, IRB). Até 2006, este item constava 
explicitamente do edital da SUSEP, e foi retirado do edital de 2010. 
Mas consideramos este item como instrumental para tudo 
(anuidades, seguros de vida, prêmios, reservas), e portanto não só 
possível, como provável de ser cobrado. 
 Como instrumental, praticamente não há questões de concurso 
envolvendo somente comutações, sem envolver anuidades ou 
seguros. Consequência lógica disso, não resolveremos nessa aula 
questões de concurso, como já frisamos na Introdução. Mas teremos 
muitas questões para resolver nas próximas aulas, já com essa 
ferramenta em mãos. Há dois tipos de comutações, que veremos 
agora. 
 
3.1. Comutações usadas em anuidades 
 
Também chamadas de funções de sobrevivência, pois o 
pagamento das anuidades requer a pessoa viva. São 3 as comutações 
desse tipo: Dx, Nx e Sx. São definidas da seguinte forma. 
 
(1) x
x
x lvD = 
(2) ∑−
=
+=
x
t
txx DN
ω
0
 
(3) ∑−
=
+=
x
t
txx NS
ω
0
 
Em (1), x
x
i
v
)1(
1
+= é o fator que traz a valor presente um 
montante que esteja x períodos no futuro. Repare então que 
),( ilfD xx = . Como (2) e (3) também são funções de xD , são 
portanto outras funções de lx e i. 
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Nas equações (2) e (3), no lugar de ω - x muitas vezes aparece 
o símbolo do infinito, ∞, o que não muda as expressões, pois para 
idades superiores a ω, xl e consequentemente xD e xN são nulos. 
Não se preocupe em saber agora a aplicação exata das 
comutações. O importante nesse momento é saber apenas suas 
definições. 
 
3.2. Comutações usadas em seguros de vida 
 
Também chamadas de funções de mortalidade, pois os 
pagamentos dos seguros de vida só ocorrem quando as pessoas 
morrem. Mais uma vez, são 3 as comutações desse tipo: Cx, Mx e Rx. 
São definidas da seguinte forma. 
 
(4) x
x
x dvC
1+= 
(5) ∑−
=
+=
x
t
txx CM
ω
0
 
(6) ∑−
=
+=
x
t
txx MR
ω
0
 
 
Repare que (4) continua sendo função de lx e i, pois dx é função 
de lx. As equações (5) e (6) são absolutamente análogas a (2) e (3), 
e portanto ω – x permanece substituível por ∞. 
 
3.3. Tábua de Comutações 
 
Usando as fórmulas de (1) a (6) já podemos construir nossa 
tábua de comutações, que consiste de 9 colunas: x, lx, dx,Dx, Nx, Sx, 
Cx, Mx e Rx. 
Para isso vamos usar os dados biométricos da Tábua 2 da Aula 
2, e uma taxa de juros i = 0,06, ou 6%, e o resultado é a Tábua 1 
abaixo. Como podemos usar qualquer taxa de juros, podemos 
construir uma infinidade de tábuas de comutações com os mesmos 
dados biométricos. As colunas lx e dx já foram calculadas. 
 
 
 
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x lx dx Dx Nx Sx Cx Mx Rx 
0 100000 708 100000 1685539 27201029 667,9245 4592,126 145858,2
1 99292 175 93671,7 1585539 25515490 155,5304 3924,201 141266,1
2 99117 151 88214 1491867 23929951 126,4955 3768,671 137341,9
3 98967 144 83094,26 1403653 22438083 114,4506 3642,175 133573,2
4 98822 138 78276,36 1320559 21034430 103,3839 3527,725 129931,1
5 98684 133 73742,24 1242283 19713871 93,917 3424,341 126403,3
6 98551 128 69474,23 1168541 18471588 85,20424 3330,424 122979
7 98422 124 65456,52 1099066 17303047 77,80681 3245,22 119648,6
8 98298 121 61673,63 1033610 16203981 71,56468 3167,413 116403,3
9 98177 119 58111,1 971936,2 15170371 66,33437 3095,848 113235,9
10 98059 119 54755,46 913825,1 14198435 62,50388 3029,514 110140,1
11 97940 120 51593,59 859069,6 13284610 59,86804 2967,01 107110,6
12 97820 123 48613,33 807476 12425540 57,78566 2907,142 104143,6
13 97696 129 45803,85 758862,7 11618064 57,03875 2849,356 101236,4
14 97567 136 43154,14 713058,9 10859202 56,58892 2792,317 98387,07
15 97432 142 40654,86 669904,7 10146143 55,99632 2735,728 95594,75
16 97289 150 38297,65 629249,8 9476238 55,63998 2679,732 92859,02
17 97140 157 36074,22 590952,2 8846988 55,13229 2624,092 90179,29
18 96982 164 33977,15 554878 8256036 54,17111 2568,96 87555,2
19 96818 168 31999,74 520900,8 7701158 52,52788 2514,789 84986,24
20 96650 173 30135,91 488901,1 7180257 50,88988 2462,261 82471,45
21 96477 177 28379,21 458765,2 6691356 48,9943 2411,371 80009,19
22 96300 179 26723,85 430386 6232591 46,89279 2362,377 77597,82
23 96121 182 25164,28 403662,1 5802205 44,86839 2315,484 75235,4424 95940 183 23695,02 378497,8 5398543 42,69575 2270,615 72919,96
25 95756 185 22311,1 354802,8 5020045 40,62304 2227,92 70649,34
26 95572 187 21007,58 332491,7 4665242 38,84421 2187,297 68421,42
27 95384 190 19779,63 311484,1 4332750 37,13346 2148,452 66234,12
28 95194 193 18622,9 291704,5 4021266 35,6646 2111,319 64085,67
29 95001 198 17533,1 273081,6 3729562 34,40458 2075,654 61974,35
30 94804 202 16506,26 255548,5 3456480 33,16824 2041,25 59898,7
31 94602 207 15538,78 239042,3 3200932 32,1037 2008,082 57857,45
32 94394 212 14627,12 223503,5 2961889 31,04813 1975,978 55849,37
33 94182 219 13768,12 208876,4 2738386 30,134 1944,93 53873,39
34 93964 226 12958,66 195108,2 2529509 29,34036 1914,796 51928,46
35 93738 235 12195,81 182149,6 2334401 28,87876 1885,455 50013,66
36 93503 247 11476,6 169953,8 2152252 28,58323 1856,577 48128,21
37 93256 261 10798,4 158477,2 1982298 28,52407 1827,993 46271,63
38 92995 280 10158,65 147678,8 1823821 28,84672 1799,469 44443,64
39 92715 301 9554,781 137520,1 1676142 29,29532 1770,623 42644,17
40 92414 326 8984,649 127965,3 1538622 29,92058 1741,327 40873,55
41 92087 354 8446,163 118980,7 1410656 30,59742 1711,407 39132,22
42 91734 383 7937,481 110534,5 1291676 31,22575 1680,809 37420,81
43 91351 414 7456,964 102597,1 1181141 31,86797 1649,584 35740
44 90937 447 7003,004 95140,09 1078544 32,50451 1617,716 34090,42
45 90490 484 6574,103 88137,08 983404,1 33,18061 1585,211 32472,7
46 90006 525 6168,803 81562,98 895267 33,92842 1552,03 30887,49
47 89481 569 5785,697 75394,18 813704 34,71418 1518,102 29335,46
48 88912 618 5423,491 69608,48 738309,8 35,55968 1483,388 27817,36
49 88294 671 5080,941 64184,99 668701,3 36,42939 1447,828 26333,97
50 87623 729 4756,911 59104,05 604516,3 37,33726 1411,399 24886,14
51 86894 792 4450,315 54347,14 545412,3 38,24752 1374,062 23474,75
52 86102 858 4160,163 49896,82 491065,2 39,08983 1335,814 22100,68
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53 85245 928 3885,592 45736,66 441168,3 39,91896 1296,724 20764,87
54 84317 1003 3625,734 41851,07 395431,7 40,70399 1256,805 19468,15
55 83313 1083 3379,8 38225,34 353580,6 41,45037 1216,101 18211,34
56 82230 1168 3147,04 34845,54 315355,3 42,18815 1174,651 16995,24
57 81062 1260 2926,717 31698,5 280509,7 42,90678 1132,463 15820,59
58 79802 1357 2718,147 28771,78 248811,2 43,59293 1089,556 14688,13
59 78445 1458 2520,697 26053,63 220039,4 44,20732 1045,963 13598,57
60 76987 1566 2333,809 23532,94 193985,8 44,78271 1001,756 12552,61
61 75421 1677 2156,924 21199,13 170452,9 45,2547 956,973 11550,85
62 73744 1793 1989,579 19042,2 149253,8 45,62893 911,7183 10593,88
63 71951 1912 1831,332 17052,62 130211,6 45,90424 866,0894 9682,16
64 70039 2034 1681,768 15221,29 113158,9 46,07409 820,1851 8816,07
65 68005 2159 1540,499 13539,52 97937,63 46,14231 774,111 7995,885
66 65846 2287 1407,159 11999,03 84398,11 46,11764 727,9687 7221,774
67 63559 2418 1281,391 10591,87 72399,08 45,985 681,8511 6493,805
68 61141 2548 1162,874 9310,476 61807,22 45,72509 635,8661 5811,954
69 58593 2672 1051,326 8147,602 52496,74 45,23677 590,141 5176,088
70 55920 2784 946,5802 7096,276 44349,14 44,46248 544,9042 4585,947
71 53136 2877 848,5377 6149,696 37252,86 43,34747 500,4417 4041,043
72 50259 2948 757,1598 5301,158 31103,17 41,8938 457,0943 3540,601
73 47311 2993 672,4079 4543,998 25802,01 40,1288 415,2005 3083,507
74 44318 3019 594,2183 3871,59 21258,01 38,18693 375,0717 2668,306
75 41299 3030 522,3964 3277,372 17386,42 36,1587 336,8847 2293,235
76 38269 3030 456,6681 2754,975 14109,05 34,11224 300,726 1956,35
77 35239 3020 396,7067 2298,307 11354,07 32,07336 266,6138 1655,624
78 32219 2998 342,1782 1901,601 9055,767 30,04067 234,5404 1389,01
79 29221 2957 292,769 1559,423 7154,166 27,94839 204,4998 1154,47
80 26264 2888 248,2488 1266,654 5594,743 25,75698 176,5514 949,97
81 23375 2790 208,44 1018,405 4328,09 23,46916 150,7944 773,4186
82 20585 2659 173,1723 809,9648 3309,685 21,10252 127,3252 622,6242
83 17926 2499 142,2676 636,7925 2499,72 18,70685 106,2227 495,2989
84 15428 2314 115,5079 494,5249 1862,928 16,34654 87,51589 389,0762
85 13113 2113 92,62314 379,0171 1368,403 14,08046 71,16934 301,5603
86 11000 1901 73,29986 286,3939 989,3858 11,95064 57,08888 230,3909
87 9099 1685 57,20016 213,0941 702,9919 9,990063 45,13824 173,3021
88 7415 1470 43,97236 155,8939 489,8979 8,224075 35,14817 128,1638
89 5945 1263 33,25928 111,9215 334,004 6,666289 26,9241 93,01565
90 4682 1068 24,71039 78,66226 222,0824 5,318329 20,25781 66,09155
91 3614 888 17,99336 53,95186 143,4202 4,171913 14,93948 45,83374
92 2726 725 12,80295 35,9585 89,46831 3,211971 10,76757 30,89426
93 2001 579 8,866288 23,15555 53,50981 2,419827 7,555596 20,12669
94 1422 450 5,944595 14,28926 30,35426 1,775864 5,135769 12,5711
95 972 341 3,832245 8,344667 16,065 1,269847 3,359905 7,435328
96 630 253 2,345478 4,512423 7,720328 0,886325 2,090058 4,075423
97 378 185 1,32639 2,166944 3,207906 0,611166 1,203733 1,985365
98 193 129 0,640146 0,840554 1,040962 0,403503 0,592567 0,781632
99 64 64 0,200408 0,200408 0,200408 0,189064 0,189064 0,189064
100 0 0 0 0 0 0 0 0
 
Tábua 1 
 
 
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A Tábua 1 foi construída no Excel, da seguinte forma: 
 
• As 3 primeiras colunas foram repetidas da Tábua 2 da Aula 
2; 
• Foi feita uma coluna (oculta) para os valores de vx; 
• Usando (1), calculamos os valores da coluna Dx. Para x = 
10, por exemplo, 755.549805906,1 1010
10
10 =⋅== −lvD ; 
• Com (2), calculamos os valores de Nx. Cada valor de Nx é 
a soma dos valores da coluna de Dx que vão da linha x até 
o final; 
• Com (3), calculamos os valores de Sx. Cada valor de Sx é a 
soma dos valores da coluna de Nx que vão da linha x até o 
final. 
• Os valores das funções de mortalidade Cx, Mx e Rx foram 
calculados de forma análoga às de sobrevivência Dx, Nx e 
Sx, e por isso não é necessário mostrar seus cálculos aqui. 
Encorajamos você a montar a mesma tábua no Excel. Ajuda a 
fixar as fórmulas e não deve demorar mais de 20 minutos. 
Repare ainda que são válidas as seguintes relações, que 
deixamos para você demonstrar: 
 
(7) 1++= xxx NDN 
(8) 1++= xxx SNS 
(9) 1++= xxx MCM 
(10) 1++= xxx RMR 
 
Vamos encerrar a parte teórica com duas notas importantes. 
 
Nota 1: Todas as comutações estudadas nesta aula serão 
aplicadas para seguros e anuidades pagas anualmente. Para valores 
pagos subanualmente (mais de uma vez por ano) também são 
usadas comutações, mas variantes das fórmulas (1) a (6), que serão 
estudadas quando precisarmos delas. 
Nota 2: Comutações não são mais usadas nos bons livros de 
atuária. Elas estão em desuso já faz tempo devido a alguns fatos, 
principalmente o avanço da capacidade de processamento de dados e 
o tratamento da taxa de juros ou como uma variável estocástica ou 
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variando deterministicamente. A 2ª edição de Actuarial Mathematics 
[BOW97] já não trata mais do assunto. Como experiência própria, 
nunca estudei um parágrafo deste tópico para os exames da SOA 
(Society of Actuaries). Entretanto, comutações são cobradas, e 
muito, em todas as provas aqui no Brasil, inclusive na mais recente 
do IBA, em 2009. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4. Exercícios de Fixação 
 
 
1. Prove que xxx vqDC = . 
 
2. (Actuarial Mathematics – 1st ed. [BOW86] Adaptado). 
Prove que 
n
n
k
kn
kxnx
x
vvCD
D
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +∑−
=
−−
++
1
0
11
. 
 
 
3. Prove que 1
0
++
=
+ +=∑nxn
t
txx NDN . 
 
4. Julgue a seguinte afirmação. 
A probabilidade de uma pessoa selecionada na idade de 25 anos 
sobreviver 4 anos é dada por
]25[
29
l
l
. É dado que o período de seleção é 
de 4 anos. 
 
5. Assinale a alternativa correta. 
Dado que o período de seleção é de 5 anos, uma expressão que 
calcula a probabilidade de uma pessoa selecionada na idade de 50 
anos, que atualmente está com 52, morrer entre as idades de 54 e 
60 anos é: 
 
A) 
52
6054
l
ll −
 
B) 
50
6054
l
ll −
 
C) 
2]50[
10]50[4]50[
+
++ −
l
ll
 
D) 
2]50[
604]50[
+
+ −
l
ll
 
E) 
]52[
604]50[
l
ll −+ 
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5. GABARITO 
 
1 – Demonstração 
2 – Demonstração 
3 – Demonstração 
4 – CERTO 
5 – D 
 
 
 
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6. Resolução dos Exercícios de Fixação 
 
 
1. Prove que xxx vqDC = 
 
Resolução 
 
Usando (4), x
x
x dvC
1+= 
Como 
x
x
x l
dq = , segue que xxx lqd ⋅= , e temos 
 
xxxx
x
xx
x
x qvDqvlvlqvC ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= +1 cqd 
Para a última passagem usamos a equação (1): x
x
x lvD = 
Note que a equação demonstrada relaciona uma comutação de 
sobrevivência com uma de mortalidade. 
 
2. (Actuarial Mathematics – 1st ed. [BOW86] Adaptado). 
Prove que 
n
n
k
kn
kxnx
x
vvCD
D
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +∑−
=
−−
++
1
0
11
 
 
Resolução 
 
Seja ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ += ∑−
=
−−
++
1
0
11 n
k
kn
kxnx
x
vCD
D
A . Queremos provar que nvA = . 
 
Trabalharemos primeiro o termo de dentro do somatório, 
1−−
+
kn
kx vC . 
De (4), tiramos que kx
kx
kx dvC +
++
+ = 1 . 
Assim, kx
nxkn
kx
kxkn
kx dvvdvvC +
+−−
+
++−−
+ == 111 . 
 
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Desta forma, ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ += ∑∑ −
=
+
+
+
−
=
+
+
+
1
0
1
0
11 n
k
kx
nx
nx
x
n
k
kx
nx
nx
x
dvD
D
dvD
D
A 
Mas nxx
n
k
kx lld +
−
=
+ −=∑1
0
, o que se pode chegar após alguma 
manipulação algébrica, ou percebendo que ∑−
=
+
1
0
n
k
kxd é igual à soma de 
todas as mortes entre as idades x e x+n. 
 
Voltando ao cálculo de A, e usando (1), 
[ ] [ ] nxnx
x
xnxx
nx
nx
nx
x
x vlvlv
llvlv
lv
A ==−+= +++++ 1)(1 cqd 
 
3. Prove que 1
0
++
=
+ +=∑ nxn
t
txx NDN 
 
Resolução 
 
Da equação (2), ∑∞
=
+=
0t
txx DN 
Assim, )...()...( 211 ++++++= ++++++ nxnxnxxxx DDDDDN 
O primeiro parêntesis é exatamente ∑
=
+
n
t
txD
0
, e o segundo é 1++nxN , 
donde 
(11) 1
0
++
=
+ +=∑ nxn
t
txx NDN cqd 
Cabe ressaltar que (7) é caso particular de (11) para n = 0. 
Exatamente da mesma forma se prova que: 
(12) 1
0
++
=
+ +=∑ nxn
t
txx SNS 
(13) 1
0
++
=
+ +=∑ nxn
t
txx MCM 
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(14) 1
0
++
=
+ +=∑ nxn
t
txx RMR 
 
 
4. Julgue a seguinte afirmação. 
A probabilidade de uma pessoa selecionada na idade de 25 anos 
sobreviver 4 anos é dada por
]25[
29
l
l
. É dado que o período de seleção é 
de 4 anos. 
 
Resolução 
 
A probabilidade pedida pode ser 
]25[
4]25[
]25[4 l
l
p += ou 
]25[
29
]25[4 l
lp = . 
Agora temos de decidir qual das duas é a correta. 
O período de seleção é n = 4. 
m é o número de anos após a seleção. Aqui, m = 4 
Usando a Regra Prática: 
mxlcolchetesentrexEscrevemosnm +⇒< ][: 
mxlcolchetessemxEscrevemosnm +⇒≥ : 
 
Como m = n, escrevemos x sem colchetes. Logo, 
]25[
29
]25[4 l
lp = 
Gabarito: CERTO 
 
5. Assinale a alternativa correta. 
Dado que o período de seleção é de 5 anos, uma expressão que 
calcula a probabilidade de uma pessoa selecionada na idade de 50 
anos, que atualmente está com 52, morrer entre as idades de 54 e 
60 anos é: 
 
A) 
52
6054
l
ll −
 
B) 
50
6054
l
ll −
 
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C) 
2]50[
10]50[4]50[
+
++ −
l
ll
 
D) 
2]50[
604]50[
+
+ −
l
ll
 
E) 
]52[
604]50[
l
ll −+ 
 
Resolução 
 
Se aparecer uma questão como essa na prova, podemos fazer 
em duas etapas: Na primeira colocamos colchetes em tudo, 
ignorando o período de seleção, para na segunda tirarmos ou não os 
colchetes, usando a regra prática para esses casos. 
 A probabilidade de uma pessoa selecionada na idade de 50 
anos, que atualmente está com 52, morrer entre as idades de 54 e 
60 anos é uma razão onde o numerador é o número de pessoas 
selecionadas com 50 anos que morreram entre 54 e 60, 10]50[4]50[ ++ − ll , e 
o denominador é o número de pessoas selecionadas com 50 anos que 
atingiram 52 anos, 2]50[ +l . Logo, desconsiderando o período de seleção, 
2]50[
10]50[4]50[
2]50[6/2
+
++
+
−=
l
ll
q 
Agora usamos a regra prática. 
Do enunciado, o período de seleção é n = 5. 
Para 2]50[ +l , m = 2 < n com colchetes 2]50[ +l 
Para 4]50[ +l , m = 4 < n com colchetes 4]50[ +l 
Para 10]50[ +l , m = 10 ≥ n sem colchetes 60l 
Logo, a probabilidade requerida é 
2]50[
604]50[
2]50[6/2
+
+
+
−=
l
ll
q 
 
Gabarito: D