Projeto 03 Método do [Trapézio,1/3Simpson,3/8Simpson] Composto

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E APLICADAS 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
Projeto 03 
Método do Trapézio (Composto) 
Método de ⅓ Simpson (Composto) 
Método de ⅜ Simpson (Composto) 
 
 
 
 
 
 
 
Alunos: Arthur 
Douglas 
 Nekson 
 
Professor: Harlei Miguel de Arruda Leite – DECSI-ICEA/JM 
João Monlevade, Minas Gerais 
2016 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E APLICADAS 
 
 
 
2 
 
Sumário 
 
 
1. Código Principal ........................................................................................................ 3 
1.1 Regra do trapézio composta ............................................................................... 5 
1.2 Regra de ⅓ de Simpson Composto .................................................................... 6 
1.3 Regra de ⅜ de Simpson Composto .................................................................... 7 
1.4 Impressão dos resultados ................................................................................... 8 
2. Caso de Teste 01 ....................................................................................................... 9 
3. Caso de Teste 02 ..................................................................................................... 11 
4. Caso de Teste 03 ..................................................................................................... 13 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E APLICADAS 
 
 
 
3 
 
1. Código Principal 
 
A implementação dos métodos desejados foram realizados com o auxilio da 
ferramenta matemática MATLAB, há existência de um código principal com a chamada 
das funções responsáveis para a execução dos cálculos para cada método solicitado. 
clear 
clc 
Projeto = 3; 
fprintf('\n Projeto: %.1f.\n\n', Projeto); 
 
%Entrada da função 
entrada = input('Fornecer a função:\n f(x)= ', 's'); 
ftexto = strcat('@(x)', entrada); 
f = str2func(ftexto); 
%Entrada do Intervalo e dos m(subintervalo) 
ia = input('Fornecer o intervalo INFERIOR de integração:\n a = '); 
ib = input('Fornecer o intervalo SUPERIOR de integração:\n b = '); 
m = input('Fornecer o numero de SUBINTERVALOS:\n m = '); 
clc; 
 
fprintf('Escolha a opção desejada:\n 
1 - Para integração com a REGRA DO TRAPEZIO COMPOSTA\n 
2 - Para integração com a REGRA DE 1/3 DE SIMPSON COMPOSTA\n 
3 - Para integração com a REGRA DE 3/8 DE SIMPSON COMPOSTA\n'); 
opcao = input('Opção: '); 
switch opcao 
 case 1 
 disp('\n****** REGRA DO TRAPÉZIO (Composta) ******') 
 I1 = I1composto(ia,entrada,ib,m,f); %sem restrição para m 
 %função imprime dentro de IXomposto 
 break; 
 case 2 
 disp('\n*** REGRA DE 1/3 DE SIMPSON (Composta) ***') 
 if(mod(m,2) == 0) %m deve ser multiplo de 2. 
 I2 = I2composto(ia,entrada,ib,m,f); 
 %função imprime dentro de IXomposto 
 else 
 fprintf('O valor de m = %i, não é multiplo de 2\n', m); 
 end 
 case 3 
 disp('\n*** REGRA DE 3/8 DE SIMPSON (Composta) ***') 
 if(mod(m,3) == 0) %m deve ser multiplo de 3. 
 I3 = I3composto(ia,entrada,ib,m,f); 
 %função imprime dentro de IXomposto 
 else 
 fprintf('O valor de m = %i, não é multiplo de 3\n', m); 
 end 
 otherwise 
 fprintf(' SELEÇÃO INVALIDA\n'); 
end 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E APLICADAS 
 
 
 
4 
 
O código principal é composto inicialmente pela leitura dos seguintes itens: a função 
f(x) que deve ser em função da variável x, deve-se digitar somente a função, visto que o 
código já realiza a adequação da entrada para uma função de x, a próxima entrada do 
usuário é o intervalo inferior de integração, em seguida o intervalo superior e 
posteriormente é inserido o numero de subintervalos ao qual se deseja dividir a função 
para realizar a integração da mesma. Depois de informado pelo usuário a função, os 
intervalos e o numero de subintervalos, o programa disponibiliza a escolha do método a 
ser utilizado, trapézio, 1/3 de Simpson e 3/8 de Simpson, como opção de escolha de 1 a 
3, respectivamente. 
Portanto sendo realizada a escolha do método de integração o programa entra em um 
caso especifico, que realiza a chamada da função que realiza o calculo solicitado, estas 
funções são expostas a seguir: 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E APLICADAS 
 
 
 
5 
 
1.1 Regra do trapézio composta 
 
% Função de integração I1composto 
% Regra do trapézio composta 
% Fórmula de integração que utiliza um 
% polinômio interpolador de grau 1, e 
% subdividindo o intervalo [a,b], em m 
% subintervalos. 
% Parâmetros de entrada: 
% ia = intervalo de integração inferior 
% ib = intervalo de integração superior 
% m = numero de subintervalos 
% f = função a ser integrada(em função da variável x) 
% I1 = I1composto(ia,ib,m,f); 
 
 
function [I1] = I1composto(ia, entrada, ib, m, f) 
 
 %Calculando o valor de h 
 h = ((ib-ia)/m); 
 
 %Criando o vetor xi 
 xi = (ia:h:ib); 
 i = length(xi); 
 
 %Criando os coeficientes de cortes, regra do trapézio 
 ci(1) = 1; 
 ci(i) = 1; 
 for(a=2:i-1) 
 ci(a) = 2; 
 end 
 for(a=1:i) 
 yi(a) = f(xi(a)); 
 end 
 calc = yi.*ci; 
 I1 = (h/2)*(sum(calc)); 
 Imprime(ib, entrada, ia, m, I1, h, i, xi, yi, ci) 
end 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E APLICADAS 
 
 
 
6 
 
1.2 Regra de ⅓ de Simpson Composto 
 
% Função de integração I2composto 
% Regra: 1/3 de SIMPSON composta 
% Fórmula de integração que utiliza um 
% polinômio interpolador de grau 2, e 
% subdividindo o intervalo [a,b], em m 
% subintervalos, onde m deve ser muti- 
% plo de 2. 
% Parâmetros de entrada: 
% ia = intervalo de integração inferior 
% ib = intervalo de integração superior 
% m = numero de subintervalos, deve ser multiplo de 2 
% f = função a ser integrada(em função da variavel x) 
% I2 = I2composto(ia,ib,m,f); 
 
function [I2] = I2composto(ia, entrada, ib, m, f) 
 
 %Calculando o valor de h 
 h = ((ib-ia)/m); 
 
 %Criando o vetor xi 
 xi = (ia:h:ib); 
 i = length(xi); 
 
 %Criando os coeficientes de cortes, regra do trapézio 
 ci(1) = 1; 
 for(a=2:2:i-1) 
 ci(a) = 4; 
 ci(a+1) = 2; 
 end 
 ci(i) = 1; 
 for(a=1:i) 
 yi(a) = f(xi(a)); 
 end 
 calc = yi.*ci; 
 I2 = (h/3)*(sum(calc)); 
 Imprime(ib, entrada, ia, m, I2, h, i, xi, yi, ci) 
end 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E APLICADAS 
 
 
 
7 
 
1.3 Regra de ⅜ de Simpson Composto 
 
% Função de integração I3composto 
% Regra: 3/8 de SIMPSON composta 
% Fórmula de integração que utiliza um 
% polinômio interpolador de grau 3, e 
% subdividindo o intervalo [a,b], em m 
% subintervalos, onde m deve ser muti- 
% plo de 3. 
% Parâmetros de entrada: 
% ia = intervalo de integração inferior 
% ib = intervalo de integração superior 
% m = numero de subintervalos, deve ser multiplo de 3 
% f = função a ser integrada(em função da variavel x) 
% I3 = I3composto(ia,ib,m,f); 
 
function [I3] = I3composto(ia, entrada, ib, m, f) 
 
 %Calculando o valor de h 
 h = ((ib-ia)/m); 
 
 %Criando o vetor xi 
 xi = (ia:h:ib); 
 i = length(xi);%Criando os coeficientes de cortes, regra do trapézio 
 ci(1) = 1; 
 for(a=2:3:i-1) 
 ci(a) = 3; 
 ci(a+1) = 3; 
 ci(a+2) = 2; 
 end 
 ci(i) = 1; 
 for(a=1:i) 
 yi(a) = f(xi(a)); 
 end 
 calc = yi.*ci; 
 I3 = (3*h/8)*(sum(calc)); 
 Imprime(ib, entrada, ia, m, I3, h, i, xi, yi, ci) 
end 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E APLICADAS 
 
 
 
8 
 
1.4 Impressão dos resultados 
 
A impressão dos valores obtidos como resultado é realizado pela função ‘Imprime’, 
apresentada em todas as funções anteriores destinadas a realizar os cálculos de 
integração, esta exibe uma breve representação da integral informada pelo usuário, com 
o limite inferior e superior, a escolha dos subintervalos, a tabela solicitada e o valor 
obtido para a integral, tal função pode ser observada a seguir: 
 
% Função de Imprime 
% 
% Recebe como parâmetro os valores de intervalo inferior, 
% a função digitada, intervalo inferior, subintervalos, 
% o valor de integral, o passo, o tamanho do vetor formado 
% através do passo, o vetor xi, o vetor yi e o vetor ci. 
% 
% Parâmetros de entrada: 
% ia = intervalo de integração inferior 
% entrada = função digitada pelo usuário 
% ib = intervalo de integração superior 
% m = numero de subintervalos, deve ser múltiplo de 2 
% I = O valor total da integral 
% h = O passo 
% i = Tamanho do vetor 
% xi = vetor x 
% yi = vetor yh 
% ci = Vetor de coeficientes 
% Imprime(ia, entrada, ib, m, I, h, i, xi, yi, ci); 
 
function Imprime(ia, entrada, ib, m, I, h, i, xi, yi, ci) 
 fprintf('\n /%.3f', ib); 
 fprintf('\n /%s, com m = %d', entrada, m); 
 fprintf('\n /%.3f\n', ia); 
 fprintf ('\nO Valor do paso h é: %f\n\n', h); 
 fprintf(' i Xi Yi Ci\n'); 
 for(a=0:1:i-1) 
 fprintf(' %i %.4f %.4f %d\n', a,xi(a+1),yi(a+1),ci(a+1)); 
 end 
 fprintf('\n\n O valor da integral é: %.4f\n\n', I); 
end 
 
 
A função Imprime realiza a exibição de todos os valores desejados. 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E APLICADAS 
 
 
 
9 
 
2. Caso de Teste 01 
Para a realização do primeiro teste, foi utilizada a equação mostrada abaixo a qual foi 
aplicada à regra do trapézio: 
 
 
Esta função teve como entrada os seguintes itens: 
O titulo do projeto 03, a função f(x) = (x^3)*log(x), o intervalo inferior a = 1 e o 
intervalo superior b = 3 e numero de subintervalos m = 4 
 
 
 
Posterior a isso ocorre a escolha do método o qual se deseja realizar a 
integração, neste caso a opção escolhida e a opção 1: REGRA DO TRAPÉZIO 
COMPOSTA. 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E APLICADAS 
 
 
 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E APLICADAS 
 
 
 
11 
 
3. Caso de Teste 02 
Para a realização do primeiro teste, foi utilizada a equação mostrada abaixo a qual foi 
aplicada à regra de ⅓ de Simpson: 
 
Esta função teve como entrada os seguintes itens: 
O titulo do projeto 03, a função f(x) =1/(1+(x^2)), o intervalo inferior a = 0 e o intervalo 
superior b = 1 e numero de subintervalos m = 4 
 
 
 
 
Posterior a isso ocorre a escolha do método o qual se deseja realizar a 
integração, neste caso a opção escolhida e a opção 2: REGRA DE 1/3 DE SIMPSON 
COMPOSTA. 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E APLICADAS 
 
 
 
12 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E APLICADAS 
 
 
 
13 
 
4. Caso de Teste 03 
Para a realização do primeiro teste, foi utilizada a equação mostrada abaixo a qual foi 
aplicada à regra de ⅜ de Simpson: 
 
Esta função teve como entrada os seguintes itens: 
O titulo do projeto 03, a função f(x) = log((x^3)+sqrt((exp(x))+1)) o intervalo inferior, 
a = 1 e o intervalo superior b = 4 e numero de subintervalos m = 6 
 
 
 
Posterior a isso ocorre a escolha do método o qual se deseja realizar a 
integração, neste caso a opção escolhida e a opção 3: REGRA DE 3/8 DE SIMPSON 
COMPOSTA. 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E APLICADAS 
 
 
 
14