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4.4 - Funções do 2º. grau A função quadrática é um ótimo exemplo para uma série de situações problemas das mais variadas. Seu aspecto gráfico (a parábola) é bastante conhecido e, nesta aula, a fim de construirmos e analisarmos os gráficos de funções de segundo grau, começaremos obtendo e estudando os pontos notáveis da parábola. Toda função do tipo y = ax² + bx + c, com {a, b, c} R e a ≠ 0, é chamada de função quadrática ou função do 2º. grau. Ex.: y = 3x² - x - 2 f(x) = 4x² - 2 A parábola pode ter concavidade para cima ou para baixo. Considerando a parábola de equação f(x) = ax² + bx + c, Se a > 0, a parábola possui concavidade para cima Se a < 0 , a parábola possui concavidade para baixo. Exercícios 19) Determine a, b e c nas funções abaixo: 𝑎) 𝑦 = 𝑥² − 1 𝑏) 𝑦 = −𝑥² + 1 𝑐) 𝑦 = 𝑥² 𝑑) 𝑦 = −𝑥² 𝑒) 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 𝑓) 𝑦 = −2𝑥2 − 4𝑥 𝑔) 𝑦 = −3𝑥2 − 3 ℎ) 𝑦 = 𝑥² − 2𝑥 + 4 4.4.1 - Pontos Notáveis da Parábola Alguns pontos da parábola, por facilitarem a construção do gráfico da função do 2º. grau, merecem destaque. - Intersecção com o eixo Ox Para obtê-los a partir de y = ax² + bx + c, basta atribuirmos o valor zero à variável y e resolver a equação: ax² + bx + c = 0 Utilizamos a fórmula de Baskara, 𝑥 = −𝑏 ± ∆ 2𝑎 onde, ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 - Intersecção com o eixo Ox ax² + bx + c = 0 Se a equação tiver > 0, então terá duas raízes reais e distintas: x1 ≠ x2 Assim, os pontos de intersecção da parábola com o eixo Ox são (x1, 0) e (x2, 0) Se a equação tiver = 0, então terá duas raízes reais e iguais: x1 = x2 Assim, a parábola será tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa x1 = x2 Se a equação tiver < 0, então não terá raízes reais Assim, a parábola não terá ponto em comum com o eixo Ox - Intersecção com o eixo Ox Ex.: y = 2x² - x – 1 pontos de intersecção do gráfico com o eixo Ox: 2x² - x - 1 = 0 onde, a = 2 b = -1 c = -1 = b² - 4ac = (-1)² - 4.2.(-1) = 1 – (-8) = 1 + 8 = 9 Como > 0, a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos distintos: (x1, 0) e (x2, 0) onde x1 e x2 são as raízes da equação. Determinando x1 e x2, temos: 𝑥 = − −1 ± 9 2.2 = 1 ± 3 4 𝑥1 = 1+3 4 = 4 4 = 1 𝑥2 = 1−3 4 = −2 4 = − 1 2 Como o coeficiente de x² é positivo (a > 0), a parábola tem concavidade para cima. Ex.: y = - 4x² - 12x - 9 pontos de intersecção do gráfico com o eixo Ox: -4x² - 12x - 9 = 0 onde, a = -4 b = -12 c = -9 = b² - 4ac = (-12)² - 4.(-4).(-9) = 144 – 144 = 0 Como = 0, temos duas raízes reais e iguais (x1 = x2). Portanto a parábola tangencia o eixo Ox no ponto de abscissa x1 = x2. Determinando essas raízes, temos: 𝑥 = − −12 ± 0 2. (−4) = 12 ± 0 −8 𝑥1 = 𝑥2 = − 12 8 = − 3 2 Como o coeficiente de x² é negativo (a < 0), a parábola tem concavidade para baixo. - Intersecção com o eixo Oy ax² + bx + c Basta atribuirmos o valor zero à variável x. Assim, o ponto de intersecção da parábola com o eixo Oy é (0, y) Ex.: y = x² - 6x + 5 pontos de intersecção de seu gráfico com o eixo Oy: Fazendo x = 0 y = 5 Então, a parábola intercepta o eixo Oy no ponto (0, 5) Ex.: y = x² - 6x + 5 pontos de intersecção do gráfico com o eixo Ox: x² - 6x + 5 = 0 onde, a = 1 b = -6 c = 5 = b² - 4ac = (-6)² - 4.(1).(5) = 36 – 20 = 16 Como > 0, a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos distintos: (x1, 0) e (x2, 0) onde x1 e x2 são as raízes da equação. Determinando x1 e x2, temos: 𝑥 = − −6 ± 16 2.1 = 6 ± 4 2 𝑥1 = 6+4 2 = 10 2 = 5 𝑥2 = 6−4 2 = 2 2 = 1 Como o coeficiente de x² é positivo (a > 0), a parábola tem concavidade para cima. -O vértice da parábola Outro ponto notável da parábola é o seu vértice. O vértice V é o ponto de intersecção da parábola com seu eixo de simetria. O vértice V(xv, yv) da parábola de equação y = ax² + bx + c, com {a, b, c} R e a ≠ 0, é o ponto 𝑉 = − 𝑏 2𝑎 , − ∆ 4𝑎 onde ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 Ex.: No exemplo anterior y = x² - 6x + 5 pontos de intersecção de seu gráfico com o eixo Oy: (0, 5) pontos de intersecção do gráfico com o eixo Ox: (5, 0) e (1, 0) x² - 6x + 5 = 0 onde, a = 1 b = -6 c = 5 = b² - 4ac = (-6)² - 4.(1).(5) = 36 – 20 = 16 Determinando xv e yv, temos: 𝑥𝑣 = − (−6) 2.1 = 6 2 = 3 𝑦𝑣 = − 16 4.1 = − 16 4 = −4 Portanto, o vértice da parábola é o ponto V(3, -4) 4.4.2 - Máximo eMínimo de uma Função Seja f uma função real de variável real. A função f admite valor máximo se, e somente se, existe xmax, com xmax D(f), tal que: f(xmax) f(x), x, x D(f) O número f(xmax) é chamado de valor máximo da função f . Seja f uma função real de variável real. A função f admite valor mínimo se, e somente se, existe xmin, com xmin D(f), tal que: f(xmin) f(x), x, x D(f) O número f(xmin) é chamado de valor mínimo da função f . 4.4.2 - Máximo eMínimo de uma Função Seja f : R R tal que f(x) = ax² + bx + c, com {a, b, c} R e a ≠ 0 f admite valor de máximo se, e somente se, a < 0. Seu valor de máximo é yv = − ∆ 4𝑎 e o ponto máximo é xv = − 𝑏 2𝑎 f admite valor de mínimo se, e somente se, a > 0. Seu valor de mínimo é yv = − ∆ 4𝑎 e o ponto mínimo é xv = − 𝑏 2𝑎 onde ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 Note que estes pontos de mínimo e máximo correspondem respectivamente aos vértices, quando a > 0 (mínimo) ou a < 0 (máximo). Ex.: Determine o valor mínimo e o ponto de mínimo da função y = 2x² + 2x + 1 2x² + 2x + 1 onde, a = 2 b = 2 c = 1 = b² - 4ac = (2)² - 4.(2).(1) = 4 – 8 = -4 Determinando o valor mínimo, temos: 𝑦𝑣 = − (−4) 4.2 = 4 8 = 1 2 Determinando o ponto mínimo, temos: 𝑥𝑣 = − 2 2.2 = − 2 4 = − 1 2 Portanto, a coordenada será V(-1/2, 1/2) 4.4.3 - Variação de Sinal de uma Função do 2º. Grau De um modo geral, a discussão da variação de sinal de uma função do 2º. grau, f(x) = ax2 + bx + c recairá sempre em um dos seguintes casos: Ex.: No exemplo y = 2x² - x – 1 pontos de intersecção do gráfico com o eixo Ox: (1, 0) e (-1/2, 0) Como o coeficiente de x² é positivo (a > 0), a parábola tem concavidade para cima. O valor da função será negativo para o intervalo do domínio ] -1/2, 1[ e positivo, para ] -, - 1/2[ U ] 1, + [ 4.5 - Função EXPONENCIAL As funções exponenciais são utilizadas na representação de situações nas quais a taxa de variação é considerada grande. Em rendimentos financeiros, por exemplo, capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, no desenvolvimento de bactérias e/ou micro-organismos, ou ainda no crescimento populacional, dentre outros. A função denominada como exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente. f: R→R tal que y = a x, sendo que a > 1 ou 0 < a < 1 y=2x f(x)=(1/2)x x y 1 2-1=1/2 0 20=1 1 21=2 2 22=4 x y -2 (1/2)-2=4 -1 (1/2)-1=2 0 (1/2)0=1 1 (1/2)1=1/2 4.6 - Função LOGARÍTMICA Os logaritmos possuem várias aplicações na Matemática e em diversas áreas do conhecimento, como Física, Biologia, Química, Medicina, Geografia, Gestão entre outras. Função Logarítmica é toda função definida por essa lei de formação: f(x) = loga x Com a ≠ 1 e a > 1, é uma função Logarítmica de base a. O domínio desse tipo de função é o conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio é o conjunto do números reais. 1) Os gráficos das funções logarítmicas semprecortam o eixo X no ponto (1,0). 2) Quando a base é maior que 1, os números maiores que 1 tem logaritmos positivos e os números entre 0 e 1 tem logaritmos negativos. 3) Quando a base é menor que 1, os números maiores que 1 tem logaritmos negativos e os números entre 0 e 1 tem logaritmos positivos.
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