Prova de Álgebra Linear

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Universidade do Estado de Santa Catarina
Centro de Educac¸a˜o Superior da Foz do Itajaı´
Prova 2 - A´lgebra Linear - 2012/2
Nome:
Nota
Obs: O desenvolvimento das questo˜es e´ a parte central da avaliac¸a˜o, por este motivo exponha seus ca´lculos e
raciocı´nio de maneira organizada e objetiva!
1. Provar que se W1 e W2 sa˜o subespac¸os vetoriais de um espac¸o vetorial V , enta˜o W1 +W2 = [W1 ∪W2].
[1.0 Pt]
2. Considere o espac¸o vetorial P3(t) de polinoˆmios reais em t de grau ≤ 3. [1.0 Pt]
a) Mostre que B = {1, 1− t, (1− t)2, (1− t)3} e´ uma base de P3(t).
b) Encontre o vetor das coordenadas [u]B de u = 2− 3t+ t2 + 2t3.
3. Sejam W1 = {(x, y, z, t) ∈ R4|x+ y = 0 e z − t = 0} e W2 = {(x, y, z, t) ∈ R4|x− y − z + t = 0}
subespac¸os de R4. [2.0 Pt]
a) Determine o subespac¸o W1 ∩W2 e exiba uma base para este subespac¸o.
b) Determine W1 +W2. W1 +W2 e´ uma soma direta? Justifique.
4. Considere as seguintes bases deR2: B1 = {u¯1, u¯2} eB2 = {v¯1, v¯2}, onde u¯1 = (1,−2), u¯2 = (3,−4), v¯1 =
(1, 3) e v¯2 = (3, 8). [3.0 Pt]
a) Ache as coordenadas de um vetor arbitra´rio v = (a, b) ∈ R2 em relac¸a˜o a base B1 e em relac¸a˜o a base
B2, ou seja, encontre [v¯]B1e[v¯]B2 .
b) Ache a matriz P, de mudanc¸a de base de B1 para B2, e a a matriz Q, de mudanc¸a de base de B2 para B1.
Verifique que Q = P−1.
c) Mostre que P[v]B2 = [v]B1 para ∀v ∈ R2 e que P−1[v]B1 = [v]B2 para ∀v ∈ R2.
5. Sabendo que T → R e´ uma transformac¸a˜o linear e que T (1, 2) = (3,−1) e T (0, 1) = (1, 2), determine
T (x, y), onde (x, y) e´ um vetor qualquer de R2. [1.0 Pt]
6. Verificar se as seguintes transformac¸o˜es sa˜o lineares: [2.0 Pt]
a) Seja o espac¸o vetorial V sobre R. Dado w ∈ V , seja a translac¸a˜o definida por w, dada pela aplicac¸a˜o
Tw : V → V , tal que Tw(u) = u+ w, ∀u ∈ V .
b) Seja T :Mn(R)→Mn(R) dada por T (X) = P−1XP, onde P e´ uma matriz invertı´vel de Mn(R).
c) Seja a aplicac¸a˜o F :Mn(R) →Mn(R), dada por F (X) = BX,∀X ∈Mn(R) e B uma matrix fixa de
Mn(R). E quanto a G :Mn(R)→Mn(R), dada por G(X) = XB. E´ verdade que F = G?