Medidas de Posição

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Professor Julio Servulo 
CURSO DE ADMINISTRAÇÃO 
Disciplina: ANÁLISE ESTATÍSTICA 
Medidas de Posição 
São as estatísticas que representam uma série de dados orientando-
nos quanto à posição da distribuição em relação ao eixo horizontal do 
gráfico da curva de frequência. As medidas de posições mais 
importantes são as medidas de tendência central ou promédias 
(verifica-se uma tendência dos dados observados a se agruparem em 
torno dos valores centrais). As medidas de tendência central mais 
utilizadas são: média aritmética, moda e mediana. Outros promédios 
menos usados são as médias: geométrica e harmônica. As outras 
medidas de posição são as separatrizes, que englobam: a própria 
mediana, os decis, os quartis e os percentis. 
Medidas Estatísticas 
Medidas Estatísticas 
Medidas Estatísticas 
É igual ao quociente entre a soma dos valores do conjunto e o número total 
dos valore onde xi são os valores da variável e n o número total dos 
valores 
Exemplo: Sabendo-se que a venda diária de arroz tipo A, durante uma 
semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 
18 e 12 quilos, temos, para venda média diária na semana de: 
 M = (10+14+13+15+16+18+12) / 7 = 14 quilos 
Dados não-agrupados 
Quando desejamos conhecer a média dos dados não-agrupados em 
tabelas de freqüências, determinamos a média aritmética simples. 
Medidas Estatísticas 
Medidas Estatísticas 
.Dados agrupados 
 
Sem intervalos de classe 
 
Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando 
para variável o número de filhos do sexo masculino. Calcularemos a 
quantidade média de meninos por família: 
Meninos Freq (fi ) 
0 2 
1 6 
2 10 
3 12 
4 4 
Total 34 
Medidas Estatísticas 
Como as freqüências são números 
indicadores da intensidade de cada 
valor da variável, elas funcionam 
como fatores de ponderação, o que 
nos leva a calcular a média aritmética 
ponderada, dada pela fórmula: 
Meninos(x
i
) Freq (f
i
) x
i
.f
i 
0 2 0 
1 6 6 
2 10 20 
3 12 36 
4 4 16 
Totais 34 78 
 
Com intervalos de classe 
Neste caso, podemos afirmar que 
Todos os valores incluídos 
em um determinado intervalo de 
classe são representados pelo seu 
ponto médio, e determinamos a 
média aritmética ponderada por 
meio da fórmula abaixo onde x
i
 
é o seu ponto médio. 
Medidas Estatísticas 
Estaturas f
i 
x
i 
f
i
.x
i 
50|----54 4 52 208 
54|----58 9 56 504 
58|----62 11 60 660 
62|----66 8 64 512 
66|----70 5 68 340 
70|----74 7 72 216 
Totais 40 2440 
Moda: Mo 
 
É o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores. Desse modo, 
o salário modal dos empregados de uma fábrica é o salário mais comum, isto é, o 
salário recebido pelo maior número de empregados dessa fábrica. 
Medidas Estatísticas 
A Moda para dados não agrupados 
A moda é facilmente reconhecida bastando, para isso e de acordo com definição, 
procurar o valor que mais se repete. 
Dada a série { 7 , 8 , 9 , 9, 10 , 10 , 10 , 11 , 14 } a moda é igual a 10. 
Há séries nas quais não exista valor modal, isto é, nas quais nenhum valor apareça 
mais vezes que outros. 
Exemplo: { 3 , 5 , 6 , 9 , 12 } não apresenta moda. A série é amodal. 
Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de concentração. Dizemos, 
então, que a série tem dois ou mais valores modais. 
Exemplo: { 2 , 3 , 3 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 9 } apresenta duas modas: 3 e 7. A 
série é bimodal. 
. 
 
Medidas Estatísticas 
A Moda quando os dados estão agrupados 
 
a) Sem intervalos de classe 
 
Uma vez agrupados os dados, é possível determinar imediatamente a moda, 
basta fixar o valor da variável de maior freqüência. 
 
Temperatura Frequencia ( f
i
 ) 
00 3 
10 8 
20 13 
30 6 
Medidas Estatísticas 
b) Com intervalos de classe 
 
A classe que apresenta a maior freqüência 
é denominada classe modal. Pela definição, 
podemos afirmar que a moda, neste caso, 
é o valor dominante que está compreendido 
entre os limites da classe modal. 
O método mais simples para o cálculo 
da moda consiste em tomar o ponto médio 
da classe modal. Damos a esse valor a 
denominação de moda bruta. 
Onde li é o limite inferior da 
classe hi a amplitude da classe 
modal. 
Classes f
i 
54|----58 9 
58|----62 11 
62|----66 8 
66|----70 5 
Medidas Estatísticas 
Mediana: Md 
 
A mediana de um conjunto de valores, dispostos segundo uma ordem (crescente 
ou decrescente), é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois 
subconjuntos de mesmo número de elementos. 
 
A mediana em dados não-agrupados 
 
Na série de valores como, por exemplo: { 5, 2, 6, 13, 9, 15, 10 } e de acordo com 
a definição de mediana, o primeiro passo é fazer um rol com a série dada 
crescente ou decrescente dos valores: { 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 } 
O valor que divide a série acima em duas partes iguais é igual a 9, logo a Md = 9. 
Medidas Estatísticas 
Método prático para o cálculo da Mediana 
 
 Se a série dada tiver número ímpar de termos : 
 
O valor mediano será o termo de ordem dado pela fórmula : 
 
 ( n + 1 ) / 2 
 
 Se a série dada tiver número par de termos: 
 
O valor mediano será o termo de ordem dado pela fórmula : 
 
 [( n/2 ) +( n/2+ 1 )] / 2 
Medidas Estatísticas 
Lembrete: 
 
Quando o número de elementos da série estatística for ímpar, haverá 
coincidência da mediana com um dos elementos da série. 
Quando o número de elementos da série estatística for par, nunca haverá 
coincidência da mediana com um dos elementos da série. A mediana será 
sempre a média aritmética dos 2 elementos centrais da série. 
Em uma série a mediana, a média e a moda não têm, necessariamente, o 
mesmo valor. 
A mediana, depende da posição e não dos valores dos elementos na série 
ordenada. Essa é uma da diferenças marcantes entre mediana e média (que se 
deixa influenciar, e muito, pelos valores extremos). 
Vejamos: 
Em { 5, 7, 10, 13, 15 } a média = 10 e a mediana = 10 
Em { 5, 7, 10, 13, 65 } a média = 20 e a mediana = 10 
isto é, a média do segundo conjunto de valores é maior do que a do primeiro, 
por influência dos valores extremos, ao passo que a mediana permanece a 
mesma. 
 
 
 
Medidas Estatísticas 
A mediana em dados agrupados 
a) Sem intervalos de classe 
Neste caso, é o bastante identificara freqüência acumulada imediatamente 
superior à metade da soma das freqüências.A mediana será aquele valor da 
variável que corresponde a tal freqüência acumulada. Exemplo conforme tabela: 
x
i 
f
i 
F
i 
0 2 2 
1 6 8 
2 9 17 
3 13 30 
4 5 35 
Totais 35 
Medidas Estatísticas 
 
Lembrete: 
 
 
 Quando o número de observações (n) for ímpar o valor mediano será o termo 
de ordem dado pela fórmula : 
 Como o número de observações = 35 a fórmula ficará: 
 Md = (35+1) / 2 = 18 que é a 180 posição e procurando na tabela a resposta é 3 
 
 
 Quando o número de observações (n) for par o valor mediano será o termo de 
ordem dado pela fórmula: 
 Md =.[( n/2 ) +( n/2+ 1 )] / 2 
 
 
Medidas Estatísticas 
Onde li é o limite inferior da classe 
mediana e o h é a amplitude da classe . 
Estaturas f
i 
F
i 
50|----54 4 4 
54|----58 9 13 
58|----62 11 24 
62|----66 8 32 
66|----70 5 37 
70|----74 3 40 
40 
Medidas Estatísticas 
Disciplina: Aplicações Estatísticas no Processo Gerencial 
Emprego da Mediana 
 
 Quando desejamos obter o ponto que divide a distribuição em duas partesiguais. 
 Quando há valores extremos que afetam de maneira acentuada a média 
aritmética. 
 Quando a variável em estudo é salário. 
 
Indicações para utilização das três principais medidas de tendência 
central: 
 
Vimos que as três principais medidas de tendência central - a média aritmética, 
a mediana e a moda - têm o mesmo objetivo: determinar um valor que esteja 
localizado no centro da distribuição. Surge, então,a seguinte questão: quando 
deveremos utilizar cada uma dessas medidas? De maneira geral, a moda é a 
menos empregada e a mais difícil de calcular satisfatoriamente. No entanto, é 
adequada para caracterizar situações onde estejam em causa os casos ou 
valores mais usuais. 
Medidas Estatísticas 
Exemplo: 
 
 
As notas finais de matemática de 80 alunos são mostradas a seguir. 
 
68 84 75 82 68 90 62 88 76 93 
73 79 88 73 60 93 71 59 85 75 
61 65 75 87 74 62 95 78 63 72 
66 78 82 75 94 77 69 74 68 60 
96 78 89 61 75 95 60 79 83 71 
79 62 67 97 78 85 76 65 71 75 
65 80 73 57 88 78 62 76 53 74 
86 67 73 81 72 63 76 75 85 77 
Medidas Estatísticas 
De posse da tabela de notas partimos então para a construção de uma tabela de 
frequências. 
Classes Distribuição de notas 
50 ---- 54 53 
55 ---- 59 57, 59 
60 ---- 64 60, 60, 60, 61, 61, 62, 62, 62, 62, 63, 63 
65 ---- 69 65, 65, 65, 66, 67, 67, 68, 68, 68, 69 
70 ---- 74 71, 71, 71, 72, 72, 73, 73, 73, 73, 74, 74, 74 
75 ---- 79 75, 75, 75, 75, 75, 75, 75, 76, 76, 76, 76, 77, 77, 78, 78, 78, 78, 78, 79, 79, 79 
80 ---- 84 80, 81, 82, 82, 83, 84 
85 ---- 89 85, 85, 85, 86, 87, 88, 88, 88, 89 
90 ---- 94 90, 93, 93, 94 
95 ---- 99 95, 95, 96, 97 
Medidas Estatísticas 
 
 
A
s
 As frequências são distribuídas pelas 
classes e com isso temos uma tabela com 
a distribuição de frequências das 80 notas 
dos alunos. Agora podemos calcular a 
mediana, a moda e a média. 
Notas f
i 
50-----54 1 
55-----59 2 
60-----64 11 
65-----69 10 
70-----74 12 
75-----79 21 
80-----84 6 
85-----89 9 
90-----94 4 
95-----99 4 
Exercícios 
 
 
A
s
 Dada a tabela, criar as colunas 
necessárias e calcular a média, mediana 
e moda 
Notas f
i 
50-----54 1 
55-----59 2 
60-----64 11 
65-----69 10 
70-----74 12 
75-----79 21 
80-----84 6 
85-----89 9 
90-----94 4 
95-----99 4 
Exercícios 
 
 
A
s
 
. Calcule a mediana do grupo 1, 2, 5, 9, 3, 8, 3, 3, 5, 8, 6, 4, 2 
 
. O valor que assume a maior freqüência é a ..... 
 
. A seqüencia 600, 900, 800, 600, 500 representa valores de salários. 
 Calcule a moda, mediana. 
 
. São valores de notas de 8 alunos 2, 5, 7, 9, 5, 7, 7, 2. 
 A media, mediana e moda são iguais a ... 
 
. Qual a mediana do grupo 37, 45, 52, 610, 49 e 55 ? 
 
Exercícios 
 
 
A
s
 
 
 
Calcular a média, mediana e moda 
Medidas Estatísticas 
 
 
A
s
 
Medidas Estatísticas 
 
 
A
s
 
Medidas Estatísticas 
 
 
A
s
 
Medidas Estatísticas 
 
 
A
s
 
Medidas Estatísticas 
 
 
A
s