A1_2_Medidas_de_Posiao

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.ABUSOS QUANDO SE USA A ESTATÍSTICA. 
 
Não é de hoje que ocorrem abusos com a estatística. Há cerca de um século, o estadista Benjamin Disraeli 
disse: “Há três tipos de mentiras: as mentiras, as mentiras sérias e as estatísticas.” Já se disse também que 
os “os números não mentem; mas os mentirosos forjam os números” (Figures dont’t lie; liars figure) e que 
“se torturarmos os dados por bastante tempo, eles acabam por admitir qualquer coisa”. O historiador 
Andrew Lang disse que algumas pessoas usam a estatística “como um bêbado utiliza um poste de 
iluminação – para servir de apoio e não para iluminar”. Todas essas afirmações se referem aos abusos da 
estatística quando os dados são apresentados de forma enganosa. Eis alguns exemplos das diversas maneiras 
como os dados podem ser distorcidos. 
 
✓ Pequenas amostras; 
✓ Estimativas por suposição; 
✓ Números imprecisos; 
✓ Perguntas tendenciosas; 
✓ Gráficos enganosos; 
✓ Pressão do pesquisador. 
 
MEDIDA DE POSIÇÃO 
Definição: As medidas de posição mais importantes são as medidas de tendência central, que recebem tal 
denominação pelo fato de os dados observados tenderem, em geral, a se agrupar em torno dos valores 
centrais. Dentre as medidas de tendência central, destacamos: 
 
- a média aritmética; 
- a mediana; 
- a moda. 
As outras medidas de posição são as separatrizes, que englobam: 
- a própria mediana, os quartis, os decis, os percentis. 
MÉDIA ARITMÉTICA ( x ): é o quociente da divisão da soma dos valores da variável pelo número deles: 
n
x
x
n
1i
i
== 
sendo: 
 x = a média aritmética; ix = os valores da variável; n = o número de valores. 
 
EMPREGO DA MÉDIA 
- No cálculo da média participam todos os valores observados; 
- É uma medida de fácil interpretação; 
- É uma medida que sempre existe. 
 
Desvantagem 
- Tem como desvantagem ser uma medida que é fortemente influenciada pelos valores extremos. 
 
MODA (Mo): Denominamos moda de um conjunto de dados o valor (ou valores) que ocorre com maior 
frequência. 
 
EMPREGO DA MODA 
- Empregamos a moda para medidas rápidas e aproximadas de posição; 
- Não existe cálculo, apenas uma contagem. 
 
Desvantagem 
- Deixa sem representação todos os valores do conjunto de dados que não forem iguais a ela. 
 
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MEDIANA (Md): A mediana é outra medida de posição definida como o número que se encontra no centro 
de uma série de números, estando estes dispostos segundo uma ordem. Em outras palavras, a mediana de 
um conjunto de valores, ordenados, é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois 
subconjuntos de mesmo número de elementos. 
 
EMPREGO DA MEDIANA 
 
 Empregamos a mediana quando: 
- Desejamos obter o ponto que divide a distribuição em partes iguais; 
- Pode ser determinada mesmo quando não se conhece todos os valores do conjunto de dados; 
- Não sofre influência de valores discrepantes. 
 
Exemplo 
1- Considere que durante uma semana foi observa o tempo em horas que uma secadora de grãos 
permaneceu ligada: 11, 8, 10, 7 e 3. Determine a média, a moda e a mediana. 
 
Resposta: É interessante colocar em ordem os dados, pois vamos precisar calcular a mediana e os dados 
tem que estar na ordem para identificarmos ela. 
Média = 
n
x
x
n
1i
i
== = 
𝟑+𝟕+𝟖+𝟏𝟎+𝟏𝟏
𝟓
=
𝟑𝟗
𝟓
= 𝟕, 𝟖 h 
Moda = neste caso é amodal, ou seja, não existe moda. 
 
x1 x2 x3 x4 x5 Posições 
 3 7 8 10 11 
Temos n = 5 elementos (n ímpar) 
Mediana = 𝑥
(
𝑛+1
2
)
 = 𝑥
(
5+1
2
)
 = 𝑥
(
6
2
)
 = 𝑥(3) = 8 (elemento que ocupa a terceira posição) 
 
Obs:1-) No caso da Moda, podemos encontrar outras situações: 
a) Para os valores: 2-3-7-5-7-5-8-7-9, temos moda = 7 (Unimodal); 
b) Para os valores: 1-3-4-5-4-8-6-8, temos moda = 4 e 8 (Bimodal); 
c) Para os valores: 5-7-8-5-3-4-7-2-1-3, temos moda = 5, 7 e 3 (Trimodal). 
 
2-) Cálculo da mediana quando a quantidade de elementos é par. 
Exemplo: Dado os elementos. 
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 Posições 
 5 12 20 33 51 63 63 68 
Temos n = 8 elementos (n par) 
Mediana = 
(𝑥𝑛
2
 + 
𝑥𝑛
2
+1 
)
2
 = 
(𝑥8
2
 + 
𝑥8
2
+1 
)
2
 = 
(𝑥4 + 𝑥4+1 )
2
 = 
(𝑥4 + 𝑥5 )
2
 = 
(33 + 51)
2
 = 
(84)
2
 = 42 (valor mediano) 
 
FREQUÊNCIA SIMPLES ABSOLUTA ( FI ) 
Dados organizados em grupos ou categorias/classes são usualmente designados “distribuição de 
frequência”. É um método de se agrupar dados em classes de modo a fornecer a quantidade (e/ou 
percentagem) de dados em cada classe. 
Uma distribuição de frequência agrupa os dados por classes de ocorrência, resumindo a análise de conjunto 
de dados grandes. Com isso, podemos resumir e visualizar um conjunto de dados sem precisar levar em 
conta os valores individuais. 
OBS: Convenciona-se representar o número total de casos por ‘N’ quando a UNIDADE DE ANÁLISE 
corresponder a uma POPULAÇÃO, e por ‘n’ quando se tratar de uma AMOSTRA. 
Matematicamente esta relação é representada como: 
 
 

=
=
k
i
ifN
1
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FREQUÊNCIA SIMPLES RELATIVA ( FRI ) 
São valores que representam as frequências simples absolutas como uma fração ou proporção do número 
total de casos. Em Estatística, convenciona-se representar frequências relativas em porcentagens, com uma 
casa decimal. A frequência relativa facilita análises e, sobretudo comparações com outras DF’s, pelo fato 
de abstrair-se do número total de casos observados. 
Assim se fr = 32,5% (calculada pela razão 13/40 expressa em porcentagem), então significa que 32,5% 
dos funcionários recebem salários X ou mais. A formulação matemática simplificada da definição de 
frequência simples relativa é: 
 
É evidente que a soma das frequências simples relativas deve sempre totalizar 100,0%. 
 
Distribuição de Frequência (DF) 
É a forma padrão de Apresentação Tabular de dados em Estatística. Retomemos aqui sua definição, 
lembrando que a Distribuição de Frequências é utilizada na apresentação dos dados relativos a apenas uma 
variável. 
 
O estudo das DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIAS deve ser dividido em 2 casos distintos: 
➢ Para dados tabulados e agrupados por frequência, SEM intervalos de classes. 
➢ Para dados tabulados e agrupados por frequência, COM intervalos de classes. 
Em síntese, uma Distribuição de Frequência, nada mais é que a organização (ou redução) dos dados 
referentes à observação ou mensuração de uma característica (ou variável) da amostra, em função das 
ocorrências dos diferentes valores assumidos pela variável observada. 
 
Dados tabulados e agrupados por frequência, SEM intervalos de classes. 
Os dados a serem trabalhados apresentam-se tabulados e associados à frequência (ou número de vezes) com 
que aparecem na amostra. 
Exemplo de DF SEM agrupamento em Intervalos: 
 
Idade dos Alunos numa Turma (anos) 
Idade Alunos 
17 3 
18 18 
19 17 
20 8 
21 4 
Total 50 
Fonte: Fictícia 
 
Para dados agrupados 
(Quando os dados estiverem na forma de distribuição de frequência) 
Quando os dados estiverem agrupados, ou seja, na forma de distribuição de frequências a forma de 
calcular a média aritmética muda um pouco. Nestes casos, como as frequências são números indicadores 
da intensidade de cada valor da variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o que nos leva a 
calcular a média aritmética ponderada, dada pela fórmula: 


=
==
n
1i
i
n
1i
ii
f
fx
x 
Exemplo 
1- Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável o número de 
filhos do sexo masculino: 
Nº de Meninos 0 1 2 3 4 
fi 2 6 10 12 4 
 
Qual é a média, a moda e a mediana do nº de meninos por família? 
(%)100=
 i
i
i
f
f
fr
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Resposta: Tabela sem intervalo de classe. 
Nº de Meninos (Xi) fi fa Xi.fi 
0 2 2 0x2 = 0 
1 6 8 1x6 = 6 
2 10 18 2x10 = 20 
3 12 30 3x12 = 364 4 34 4 x 4 = 16 
 34 78 
Média = 


=
==
n
1i
i
n
1i
ii
f
fx
x = 
𝟕𝟖
𝟑𝟒
 = 2,29 Moda = 3 
Mediana = (∑ f1) ÷ 2 = 34÷2 = 17 busco em fa o primeiro valor ≥ 17, no caso será 18, buscar na 
linha o valor para xi = 2, logo a md = 2. 
 
OBS: Mediana para tabela sem intervalo de classe 
No caso de existir uma frequência acumulada (F1), tal que: F1 = (∑ f1) ÷ 2 
A mediana será dada por: Md = (xi + xi + 1) ÷ 2. Isto é, a mediana será a média aritmética entre o valor da 
variável correspondente a essa frequência acumulada e o seguinte. 
Exemplo: 
 
Temos: 8 ÷ 2 = 4 = F3. 
 Logo: Md = (15 + 16) ÷ 2 = 31 ÷ 2 = 15,5 
 
 
 
 
Dados tabulados e agrupados por frequência, COM intervalos de classes. 
Os dados são tabulados e associados à frequência (ou número de vezes) com que aparecem na amostragem, 
estando agrupados em classes que constituem intervalos de dados. Este tipo de DF aplica-se apenas a 
VARIÁVEIS QUANTITATIVAS, principalmente às QUANTITATIVAS CONTÍNUAS. Observe exemplo a seguir: 
Salário dos Empregados da Empresa X 
Salários ($) Empregados 
200 |--- 300 2 
300 |--- 400 3 
400 |--- 500 13 
500 |--- 600 11 
600 |--- 700 9 
700 |--- 800 2 
TOTAL 40 
Fonte: Fictícia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xi fi Fa 
12 
14 
15 
16 
17 
20 
1 
2 
1 
2 
1 
1 
1 
3 
4 
6 
7 
8 
 ∑ = 8 
NOTA 
O símbolo “|---” denota intervalo fechado à esquerda e aberto à direita. 
Na DF acima, o valor 400 e o valor 499,9999 pertencem à terceira classe, mas o valor 500 pertence à 
quarta classe. 
Na última classe, geralmente não destacado, convenciona-se que o símbolo padrão é ‘|---|’, indicando 
intervalo fechado nos dois extremos. 
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Exemplo: Calcule a média, a moda e a mediana da seguinte distribuição de frequência. 
Classe 41 |- 45 45 |- 49 49 |- 53 53 |- 57 57 |- 61 
if 3 1 5 7 4 
 
Resposta: Tabela com intervalo de classe, agora não temos o xi, logo vamos precisar construir uma coluna 
calculando ele, fazendo o ponto médio da classe. O cálculo da moda e da mediana para uma tabela com 
intervalo de classe muda, vamos utilizar as fórmulas abaixo: 
 
Classe fi fa Xi (pto Médio da Classe) Xi.fi 
41 |- 45 3 3 (41+45)/2 = 43 43x3 = 129 
45 |- 49 1 4 (45+49)/2 = 47 47x1 = 47 
49 |- 53 5 9 (49+53)/2 = 51 51x5 = 255 
53 |- 57 7 16 (53+57)/2 = 55 55x7 = 385 
57 |- 61 4 20 (57+61)/2 = 59 59 x 4 = 236 
 20 1052 
 
Média = 


=
==
n
1i
i
n
1i
ii
f
fx
x = 
𝟏𝟎𝟓𝟐
𝟐𝟎
 = 52,6 
Moda = Mo = 𝑙𝑖 + 
∆1
∆1+∆2
 . ℎ (olhar na coluna de fi a maior frequência ) 
Li = limite inferior da classe modal (classe que possuir maior frequência); 
1= diferença entre a frequência da classe modal e a anterior; 
2= diferença entre a frequência da classe modal e a posterior; 
h = amplitude da classe (limite superior menos limite inferior); 
 
Li = 53 
1= 7 – 5 =2 
2= 7 – 4 = 3 
h = 57 – 53 = 4 
 
 
Mo = 𝑙𝑖 + 
∆1
∆1 + ∆2
 . ℎ 
Mo = 53 + 
2
2 + 3
 .4 
Mo = 53 + 
8
5
 
Mo = 53 + 1,6 = 54,6 
Mediana = Md = 𝑙𝑖 + 
(
𝛴𝑓𝑖
2
−𝐹𝑎𝑛𝑡)
𝑓𝑚𝑑
 . ℎ 
𝛴𝑓𝑖
2
 = somatório das frequências dividido por dois; 
Li = limite inferior da classe mediana; 
Fant = frequência acumulada da classe anterior à classe mediana; 
h = amplitude do intervalo de classe mediana; 
fimd = frequência simples da classe mediana considerada. 
 
 
𝛴𝑓𝑖
2
 = 
20
2
= 10 
Li = 53 
Fant = 9 
h = 57 – 53 = 4 
fimd = 7 
Md = 𝑙𝑖 + 
(
𝛴𝑓𝑖
2 − 𝐹𝑎𝑛𝑡)
𝑓𝑚𝑑
 . ℎ 
Md = 53 + 
(10 − 9)
7
 .4 
Md = 53 + 
(1)
7
 .4 
Md = 53 + 
4
7
 
Md = 53 + 0,57 = 53,57
 
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2ª Lista de Exercícios de Estatística 
1. Um dado foi lançado 50 vezes e foram registrados os seguintes resultados 
5 4 6 1 2 5 3 1 3 3 
4 4 1 5 5 6 1 2 5 1 
3 4 5 1 1 6 6 2 1 1 
4 4 4 3 4 3 2 2 2 3 
6 6 3 2 4 2 6 6 2 1 Calcule a média, a moda e a mediana. 
 
2. Calcule para cada caso abaixo a respectiva média, moda e mediana. 
a) 7, 8, 9, 12, 14 d) 3, 4, 7, 7, 7, 8, 9, 10 
 
b) e) 
 
c) 
 
f) 
 
3. Considere a distribuição de frequências das estaturas de 40 alunos de uma determinada classe de 8ª 
série. 
Estaturas(cm) 
if fa ix iifx 
150 |- 154 4 
154 |- 158 9 
158 |- 162 11 
162 |- 166 8 
166 |- 170 5 
170 |- 174 3 
Total 40 
Pergunta-se: qual a estatura média, a estatura mediana e a moda dos alunos desta sala? 
 
4. Num estudo sobre consumo de combustível, 200 automóveis do mesmo ano e modelo tiveram seu 
consumo observado durante 1000 quilômetros. A informação obtida é apresentada na tabela abaixo em 
Km/litro. 
Faixas Frequências 
7 |- 8 
8 |- 9 
9 |-10 
10 |- 11 
11 |- 12 
27 
29 
46 
43 
55 
Determine: a média aritmética, a mediana e a moda da variável em estudo. 
 
5. Os salários-hora de sete funcionários de uma companhia são: R$180,00, R$220,00, R$253,00, 
R$220,00 e R$192,00 R$1200,00 e R$750,00. Determine a média a moda e a mediana. 
6. A pulsação de 8 estudantes após exercícios físicos foram as seguintes (em batimentos por minuto): 80, 
91, 84, 86, 80, 89, 85 e 86. Determine a média à moda e a mediana. 
 
7. Para as distribuições abaixo, determine a média à moda e a mediana. 
 Distrib. A Distrib. B Distrib. C 
 
Xi 3 4 7 8 12
Fi 2 5 8 4 3
Xi 2,5 3,5 4,5 6,5
Fi 7 17 10 5
Classes 68 - 72 72 - 76 76 - 80 80 - 84
Fi 8 20 35 40
Classes 10 - 20 20 - 30 30 - 40 40 - 50
Fi 7 19 28 32
Classes Fi Classes Fi Classes Fi
02 |- 06 6 02 |- 06 6 02 |- 06 6
06 |- 10 12 06 |- 10 12 06 |- 10 30
10 |- 14 24 10 |- 14 24 10 |- 14 24
14 |- 18 12 14 |- 18 30 14 |- 18 12
18 |- 22 6 18 |- 22 6 18 |- 22 6
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8. Calcule a média, a moda e a mediana da seguinte distribuição de frequência: 
Custos R$ Classes de fr. 
if fa ix iifx 
450 |- 550 8 
550 |- 650 10 
650 |- 750 11 
750 |- 850 16 
850 |- 950 13 
950 |- 1050 5 
1050 |- 1150 1 
Total 64 
 
 
9. Considere a seguinte distribuição de frequência correspondente aos diferentes preços de um 
determinado produto em vinte lojas pesquisadas. 
a) Construa uma tabela de frequências simples relativas. 
b) Construa uma tabela de frequências absolutas acumuladas. 
c) Construir a tabela de frequências absolutas simples. 
 
 
 
10. Os dados seguintes representam 20 observações relativas ao índice pluviométrico em determinado 
município do Estado: 
Milímetros de chuva 
a) Construir a tabela de frequências absolutas simples; 
b) Determinar as frequências absolutas acumuladas; 
c) Determinar as frequências simples relativas. 
 
11- Identifique a amostra e a população. 
a) Um repórter da Veja se coloca em uma esquina e pergunta a 10 adultos se acham que o atual presidente 
está fazendo um bom trabalho. 
Amostra: os 10 adultos selecionados; População: todos os adultos. 
b) Em uma pesquisa Gallup de 1059 adultos selecionados aleatoriamente, 30% responderam “sim” quando 
lhes foi perguntado “você tem uma arma em casa?”. 
 
12 - Classifique as variáveis em qualitativas (nominal /ordinal) e quantitativas (discretas/contínuas): 
Nº Entrevistado Estado Civil Nível Escolar Nº de Filhos Salários Região de Origem 
1 Solteiro 1º grau 0 1|-- 2 Interior 
2 Casado 1º grau 2 2|-- 3 Capital 
3 Casado 2º grau 3 3|-- 4 Capital 
4 Solteiro 2º grau 1 4 |-- 5 Outro 
5 Casado 1º grau 0 5|-- 6 Interior 
 
 
 
 
 
 
 
 
Preços No. De lojas
50 2
51 5
52 6
53 6
54 1
Total 20
144 152 159 160
160 151 157 146
154 145 151 150
142 146 142 141
141 150 143 158
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BIBLIOGRAFIA: 
FONSECA, J. S. da, MARTINS, G. de A. Curso de Estatística. 4º ed. São Paulo: Atlas, 1993. 
FONSECA J. S. da, MARTINS, G. de A., TOLEDO, G. L. EstatísticaAplicada. São Paulo: Atlas, 1985-1995. 
CRESPO, A. C.. Estatística Fácil. 14º ed. São Paulo: Saraiva, 1996. 
COMPLEMENTAR: 
NAZARETH, H. Curso Prático de Estatística. 4º ed. São Paulo: Ática, 1991. 
VIEIRA, S., WADA R. Estatística: Introdução Ilustrada. 2º ed. São Paulo, 1988. 
-CRESPO, Antônio Arnot. Estatística Fácil. 16ª ed. São Paulo: Saraiva, 1998. 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788571440821/pageid/4 
 
-BLACKWELL, D. “Estatística Básica”. São Paulo: Mc Graw-Hill , 1989. 
- BUSSAB,W.O.; MORETTIN,P.A. Estatística Básica, 9. ed., São Paulo, Saraiva, 2017. 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547220228/pageid/0 
 
-COSTA, Sergio Francisco. “Estatística Aplicada à Pesquisa em Educação”. Brasília/DF: 
Plano, 2004 
 
-COSTA NETO, Pedro Luiz de Oliveira. “Estatística”. São Paulo: Edgar Blücher, 1977. 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215226/pageid/4 
 
- OLIVEIRA, Francisco Estevam Martins de. “ Estatística e Probabilidade com ênfase em Exercícios 
Resolvidos e Propostos”. 3ª ed. – Rio de Janeiro: LTC, 2017. 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521633846/epubcfi/6/10%5B%3Bvnd.vst.idref%3Dc
opyright%5D!/4/18%400:74.1 
 
- NOVAES, Diva Valério; COUTINHO, Cileda de Queiroz e Silva. “Estatística para Educação Profissional e 
Tecnológica” – 2. ed. São Paulo/SP : Atlas, 2013. 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522478194/pageid/0 
 
- VIEIRA, Sonia. “Estatística Básica”. 2ª ed. rev. e ampl. - São Paulo/SP: Cengage, 2018 . 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128082/pageid/46 
Material complementar com Vídeo Aula: 
- TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística, 12ª Ed., Rio de Janeiro: LTC, 2017. 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521634256/epubcfi/6/2%5B%3Bvnd.vst.idref%3Dx0
1_cover.html%5D!/4/2/2%5Bvst-image-button-593869%5D%400:0 
Este livro traz Vídeo Aulas Selecionadas: 
1- Probabilidade Básica 
2- Variáveis Aleatórias Discretas e Suas Distribuições 
3- Estatística Descritiva 
4- Inferência Estatística – Estimação 
5- Inferência Estatística – Intervalo de Confiança 
6- Inferência Estatística – Teste de Hipóteses 
7- Regressão Linear Simples e Correlação 
Site com vídeo aulas: 
https://www.cecierj.edu.br/videoaulas/ 
https://www.youtube.com/watch?v=a0IxPG3Ihu8&list=PLA0675987914E07BB 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788571440821/pageid/4
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547220228/pageid/0
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215226/pageid/4
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521633846/epubcfi/6/10%5B%3Bvnd.vst.idref%3Dcopyright%5D!/4/18%400:74.1
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521633846/epubcfi/6/10%5B%3Bvnd.vst.idref%3Dcopyright%5D!/4/18%400:74.1
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522478194/pageid/0
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128082/pageid/46
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521634256/epubcfi/6/2%5B%3Bvnd.vst.idref%3Dx01_cover.html%5D!/4/2/2%5Bvst-image-button-593869%5D%400:0
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https://www.cecierj.edu.br/videoaulas/
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