Exercicios Calc. II 2017

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1. 
 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de 
suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique 
a única resposta correta para o limite da função: 
limt→0 r(t)=(sen2t) i + eln(2t)j + (cost)k 
 
 
 
k 
 
 
 
2. 
 
 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) 
= t3 i + t2 j. 
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1. 
 
 
 
3t2 i + 2t j 
 
 
 
3. 
 
 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado 
por r(t) = t3 i + t2 j. 
 Determine a aceleração do objeto no instante t = 1. 
 
 
 
6ti+2j 
 
 
 
4. 
 
 
Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então: ∫r(t)dt é: 
 
 
 
2sent i - cost j + t2 k + C 
 
 
 
5. 
 
 
Calcule a acelaração da curva r(t) = (cost,sent,t2), em t=π2, indicando a 
única resposta correta. 
 
 
 
(0,-1,2) 
 
 
 
6. 
 
 
Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉 
 
 
x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
1. 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de 
 
 
suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema 
acima, indique a única resposta correta para o limite da função: 
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + te-tj + (sentt)k 
 
 
 
i + k 
 
 
 
2. 
 
 
Encontre o vetor velocidade para o movimento circular r(t) = (cos 2t)i + 
(sen 2t)j 
 
 
 
v(t)=-2sen(2t)i+2cos(2t)j 
 
 
 
3. 
 
 
Seja ∫((cost)i + (4t3)j) dt, 
qual a resposta correta? 
 
 
 
(sent)i + t4j 
 
 
 
4. 
 
 
Calcule a integral da função vetorial: 
[∫01dt1-t2]i+[∫01dt1+t2]j+[∫01dt]k 
 
 
 
 3π4+1 
 
 
 
5. 
 
 
Elimine o parâmetro tpara encontrar uma equação cartesiana da curva: x=3t-5 e y=2t+1 
 
 
y=(23)x+133 
 
 
 
6. 
 
 
Um objeto de massa m que se move em uma trajetória circular com 
velocidade angular constante w tem vetor posição dado 
por r(t) = acoswt i + asenwt j. Indique a única resposta correta que 
determina a acelaração em um tempo t qualquer. Observação: a > 0. 
 
 
 
-aw2coswt i - aw2senwt j 
 
 
 
7. 
 
 
Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então a integral definida: ∫0π2r(t)dt é: 
 
 
 
2i + j + π24k 
 
 
 
8. 
 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de 
suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique 
a única resposta correta para o limite da função: 
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + e-tj + (cost)k 
 
 
 
i + j + k 
 
Calcule o limite de: 
lim (x,y)--->(1,2) (x²y³ - x³y² + 3x + 2y) 
 
 
 
11 
 
 
 
2. 
 
 
Encontrando Primitivas. 
Seja ∫((cost)i + 3t2)j dt, 
qual a resposta correta? 
 
 
 
(sent)i + t³j 
 
 
 
3. 
 
 
Elimine o parâmetro tpara encontrar uma equação cartesiana da curva: x=3t-5 e y=2t+1 
 
 
y=(23)x+133 
 
 
 
4. 
 
Um objeto de massa m que se move em uma trajetória circular com 
velocidade angular constante w tem vetor posição dado 
por r(t) = acoswt i + asenwt j. Indique a única resposta correta que 
 
 
determina a acelaração em um tempo t qualquer. Observação: a > 0. 
 
 
-aw2coswt i - aw2senwt j 
 
 
 
5. 
 
 
Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então a integral definida: ∫0π2r(t)dt é: 
 
 
2i + j + π24k 
 
 
 
6. 
 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de 
suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique 
a única resposta correta para o limite da função: 
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + e-tj + (cost)k 
 
 
 
i + j + k 
 
 
 
7. 
 
 
Seja ∫((cost)i + (4t3)j) dt, 
qual a resposta correta? 
 
 
 
(sent)i + t4j 
 
 
 
8. 
 
 
Calcule a integral da função vetorial: 
[∫01dt1-t2]i+[∫01dt1+t2]j+[∫01dt]k 
 
 
 
 3π4+1 
 
 
 
 
1. 
 
Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela 
funções vetoriais: 
 
 
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k 
r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k 
Podemos concluir que 
a) as aeronaves não colidem. 
 b) as aeronaves colidem no instante t=2 
c) as aeronaves colidem no instante t=5 
d) as aeronaves colidem no instante t=3 
e) as trajetórias não se interceptam 
 
 
(c) 
 
 
 
2. 
 
 
Sendo f(x,y,z)=e
xyz 
encontre a soma das derivadas parciais da função em relação a 
cada variável no ponto P(1,0,1). 
 
 
 
 
1 
 
 
 
3. 
 
 
Substitua a equação cartesiana x216+y225=1 por uma equação polar 
equivalente. 
 
 
 
9((rcos(θ))2+16r2=400 
 
 
 
4. 
 
 
Encontrando Derivadas. 
Qual é a resposta correta para a derivada de r(t)=(tcost)i + (tsent)j + tk? 
 
 
 
(cost - tsent)i + (sent + tcost)j + k 
 
(cost - tsent)i + (sent + cost)j + 1 
 
t(cost - sent)i - t(sent + cost)j + k 
 
(tcost - sent)i + (sent - tcost)j + k 
 
(sent - tcost)i + (sentcost)j - k 
 
 
 
5. 
 
 
Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor 
posição r(t) = (3cos t) i + (3sen t)j + t2k. Esta trajetória faz lembrar a de 
uma hélice. Para o intervalo de tempo [0, 4Pi], encontre o módulo da 
velocidade da asa-delta no instante t = 0. 
 
 
 
3 
 
14 
 
1 
 
2 
 
9 
 
 
 
6. 
 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t2), indicando a única 
resposta correta. Considere a resposta em t=π4 
 
 
 
(-22,22,π2) 
 
(22,22,π4) 
 
(-2,2,π4) 
 
(-22,- 22,-π4) 
 
(22,22,π2) 
 
 
 
7. 
 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t), indicando a única 
resposta correta. 
 
 
 
(sent,-cost,1) 
 
(sect,-cost,1) 
 
(-sent, cost,1) 
 
(sent,-cost,0) 
 
(sent,-cost,2t) 
 
 
 
8. 
 
 
Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde 
sua posiçào é dada pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk 
 
 
 
i/2 
+ 
j/2 
 
2i 
+ 
2j 
 
2i 
+ 
j 
 
2j 
 
2i 
 
termine o versor tangente à curva de função 
vetorial r(t)=(2sent)i+(2cost)j+(tgt)k no ponto t=π4. 
 
 
 
(105)i -(105)j+(255)k 
 (25)i+(25)j+(255)k 
 (22)i -(22)j+(22)k 
 (2)i -(2)j+(2))k 
 (12)i -(12)j+(22)k 
 
 
 
2. 
 
Seja r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k o vetor posição de uma 
partícula que se move ao longo de uma curva lisa no 
plano. 
Considere as afirmações. Assinale (V) para as 
verdadeiras e (F) para as falsas: 
1) ( ) Quando uma partícula se move durante um 
intervalo de tempo I, as coordenadas da partícula 
são x(t),y(t),z(t). Os pontos P(x(t),y(t),z(t)) formam uma 
curva que é a trajetória da partícula. 
 2) ( ) A velocidade é a derivada da posição,isto é: 
 v(t) =r'(t) = dr(t)dt 
3) ( ) O módulo da velocidade ou a magnitude da 
velocidade é igual a 
 |v(t)|= (dx(t)dt)2+(dy(t)dt)2+(dz(t)dt)2. 
4) ( ) A aceleração é a derivada da velocidade, ou 
 
 
seja 
a(t) = v'(t)= dv(t)dt 
5) ( ) O vetor unitário ou versor v(t)|v(t)| é a direção 
do movimento no instante t. 
6) ( ) r(t)é lisa se for contínua e nunca 0. 
 
 
 
1) (V) 2)(F) 3) (V) 4)(V) 5) 
(V) 6) (V)1) (V) 2)(F) 3) (F) 4)(V) 5) 
(F) 6) (V) 
 
1) (V) 2)(V) 3) (V) 4)(V) 5) 
(V) 6) (F) 
 
1) (V) 2)(V) 3) (F) 4)) 
(V) 5)(V) 6) (F) 
 
1) (V) 2)(F) 3) (V) 4) (V) 5) 
(V) 6) (F) 
 
 
 
3. 
 
 
Determine a equação do plano tangente à superfície 
 z=f(x,y)=3.x.y²-10x² no ponto P(1,2,2). 
 
 
 
z=-8x+12y-18 
 
z=8x-12y+18 
 
z=8x - 10y -30 
 
 z=-8x+10y-10 
 
z=-8x+12y -14 
 
 
 
4. 
 
 
Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂y 
 
 
 
-6sen(x - 3y) 
 
-6sen(x + 3y)cos(x + 3y) 
 
sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
-6sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
 
 
5. 
 
 
Um objeto de massa m que se move em uma trajetória circular com 
velocidade angular constante w tem vetor posição dado 
por r(t) = acoswt i + asenwt j. Indique a única resposta correta que 
determina a velocidade em um tempo t qualquer. Observação: a > 0. 
 
 
 
-senwt i + awcoswtj 
 
-awsenwt i - awcoswtj 
 
- awsenwt i + awcoswtj 
 
-senwt i + coswtj 
 
awsenwt i + awcoswtj 
 
 
 
6. 
 
 
Seja a função f(x,y,z)=x-y2+z2 . Encontre ∂f∂x , ∂f∂y e ∂f∂z 
 
 
 
∂f∂x=x2 , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2 
 
∂f∂x=x , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2 
 
∂f∂x=y2+z , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 
∂f∂x=xy , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 ∂f∂x=1 , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 
 
 
7. 
 
 
Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂x 
 
 
 
sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
2sen(x - 3y) 
 
2sen(x + 3y)cos(x + 3y) 
 
2sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
2cos(x - 3y) 
 
 
 
8. 
 
 
Calcule a velocidade de uma partícula com vetor de 
posição r(t) = (t2, et, tet). Indique a única resposta correta. 
 
 
 
(2t,et,(1 -
 t)et) 
 
(t,et,(2+t)et) 
 
(2,et,(1+t)et) 
 
(2t,et,(1+t)et) 
 
(t,et,(1+t)et) 
 
1. 
 
 
Marque dentre as opções a que representa uma equação 
cartesiana para a equação polar r2 = 4r cosΘ 
 
 
 
(x - 2)2 + (y + 4)2 = 4 
 
(x + 2)2 + y2 = 4 
 
(x - 2)2 + y2 = 10 
 
(x - 4)2 + y2 = 2 
 
(x - 2)2 + y2 = 4 
 
 
 
2. 
 
 
Marque dentre as opções a que representa uma equação 
cartesiana para a equação polar r=42cosΘ-senΘ 
 
 
 
y = x + 1 
 
y = x + 6 
 
y = x 
 
y = 2x - 4 
 
y = x - 4 
 
 
 
3. 
 
Supondo que r(t)é o vetor posição de uma partícula que se move a 
longo de uma curva então,em qualquer instante t , pode-se afirmar: 
 I) O vetor velocidade da partícula, tangente à curva, é dado 
por:v(t)=dr(t)dt 
 II) A aceleração é a derivada segunda da velocidade em relação ao 
tempo. 
 III) O versor v(t)|v(t)|dá a direção do movimento no instante t. 
IV) A velocidade de uma partícula pode ser expressa como o produto 
 
 
do módulo de sua velocidade pela sua direção. 
Estão corretas apenas as afirmações: 
 
 
I,II,III e IV 
 
I,III e IV 
 
I,II e III 
 
II,III e IV 
 
I,II e IV 
 
 
 
4. 
 
 
Determine o versor tangente à curva de função 
vetorial r(t)=(2sent)i+(2cost)j+(tgt)k no ponto t=π4. 
 
 
 
(105)i -(105)j+(255)k 
 
 (25)i+(25)j+(255)k 
 (12)i -(12)j+(22)k 
 (2)i -(2)j+(2))k 
 (22)i -(22)j+(22)k 
 
 
 
5. 
 
 
Determine a equação do plano tangente à superfície 
 z=f(x,y)=3.x.y²-10x² no ponto P(1,2,2). 
 
 
 
z=8x-12y+18 
 
z=-8x+12y-18 
 
z=8x - 10y -30 
 
 z=-8x+10y-10 
 
z=-8x+12y -14 
 
 
 
6. 
 
 
Um objeto de massa m que se move em uma trajetória circular com 
velocidade angular constante w tem vetor posição dado 
por r(t) = acoswt i + asenwt j. Indique a única resposta correta que 
determina a velocidade em um tempo t qualquer. Observação: a > 0. 
 
 
 
-senwt i + awcoswtj 
 
- awsenwt i + awcoswtj 
 
-senwt i + coswtj 
 
awsenwt i + awcoswtj 
 
-awsenwt i - awcoswtj 
 
 
 
7. 
 
 
Seja a função f(x,y,z)=x-y2+z2 . Encontre ∂f∂x , ∂f∂y e ∂f∂z 
 
 
 
∂f∂x=x2 , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2 
 ∂f∂x=1 , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 
∂f∂x=x , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2 
 
∂f∂x=xy , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 ∂f∂x=y2+z , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 
 
 
8. 
 
 
Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂x 
 
 
 
2sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
2cos(x - 3y) 
 
2sen(x - 3y) 
 
2sen(x + 3y)cos(x + 3y) 
 
 
1. 
 
Seja r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k o vetor posição de uma partícula 
que se move ao longo de uma curva lisa no plano. 
Considere as afirmações. Assinale (V) para as verdadeiras e 
(F) para as falsas: 
1) ( ) Quando uma partícula se move durante um intervalo 
 
 
de tempo I, as coordenadas da partícula são x(t),y(t),z(t). Os 
pontos P(x(t),y(t),z(t)) formam uma curva que é a trajetória da 
partícula. 
 2) ( ) A velocidade é a derivada da posição,isto é: 
 v(t) =r'(t) = dr(t)dt 
3) ( ) O módulo da velocidade ou a magnitude da 
velocidade é igual a 
 |v(t)|= (dx(t)dt)2+(dy(t)dt)2+(dz(t)dt)2. 
4) ( ) A aceleração é a derivada da velocidade, ou seja 
a(t) = v'(t)= dv(t)dt 
5) ( ) O vetor unitário ou versor v(t)|v(t)| é a direção do 
movimento no instante t. 
6) ( ) r(t)é lisa se for contínua e nunca 0. 
 
 
 
1) (V) 2)(V) 3) (V) 4)(V) 5) 
(V) 6) (F) 
 
1) (V) 2)(F) 3) (V) 4)(V) 5) 
(V) 6) (V) 
 
1) (V) 2)(F) 3) (F) 4)(V) 5) 
(F) 6) (V) 
 
1) (V) 2)(V) 3) (F) 4)) 
(V) 5)(V) 6) (F) 
 
1) (V) 2)(F) 3) (V) 4) (V) 5) 
(V) 6) (F) 
 
 
 
2. 
 
Supondo que r(t)é o vetor posição de uma partícula que se move a 
longo de uma curva então,em qualquer instante t , pode-se afirmar: 
 I) O vetor velocidade da partícula, tangente à curva, é dado 
por:v(t)=dr(t)dt 
 II) A aceleração é a derivada segunda da velocidade em relação ao 
tempo. 
 
 
 III) O versor v(t)|v(t)|dá a direção do movimento no instante t. 
IV) A velocidade de uma partícula pode ser expressa como o produto 
do módulo de sua velocidade pela sua direção. 
Estão corretas apenas as afirmações: 
 
 
I,II e III 
 
I,II,III e IV 
 
I,II e IV 
 
II,III e IV 
 
I,III e IV 
 
 
 
3. 
 
 
Determine o versor tangente à curva de função 
vetorial r(t)=(2sent)i+(2cost)j+(tgt)k no ponto t=π4. 
 
 
 
(105)i -(105)j+(255)k 
 (2)i -(2)j+(2))k 
 
 (25)i+(25)j+(255)k 
 (22)i -(22)j+(22)k 
 (12)i -(12)j+(22)k 
 
 
 
4. 
 
 
Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a 
equação polar r2 = 4r cosΘ 
 
 
 
(x + 2)2 + y2 = 4 
 
(x - 2)2 + (y + 4)2 = 4 
 
(x - 2)2 + y2 = 4 
 
(x - 2)2 + y2 = 10 
 
(x - 4)2+ y2 = 2 
 
 
 
5. 
 
 
Um objeto de massa m que se move em uma trajetória circular com 
velocidade angular constante w tem vetor posição dado 
por r(t) = acoswt i + asenwt j. Indique a única resposta correta que 
determina a velocidade em um tempo t qualquer. Observação: a > 0. 
 
 
 
-awsenwt i - awcoswtj 
 
- awsenwt i + awcoswtj 
 
-senwt i + awcoswtj 
 
-senwt i + coswtj 
 
awsenwt i + awcoswtj 
 
 
 
6. 
 
 
Seja a função f(x,y,z)=x-y2+z2 . Encontre ∂f∂x , ∂f∂y e ∂f∂z 
 
 
 ∂f∂x=y2+z , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 ∂f∂x=1 , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 
∂f∂x=x2 , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2 
 
∂f∂x=xy , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 
∂f∂x=x , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2 
 
 
 
7. 
 
 
Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂x 
 
 
 
2sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
2sen(x + 3y)cos(x + 3y) 
 
sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
2sen(x - 3y) 
 
2cos(x - 3y) 
 
 
 
8. 
 
 
Determine a equação do plano tangente à superfície 
 z=f(x,y)=3.x.y²-10x² no ponto P(1,2,2). 
 
 
 
 z=-
8x+10y-
10 
 
z=8x-
12y+18 
 
z=-8x+12y-
18 
 
z=-
8x+12y -
14 
 
z=8x - 10y -
30 
 
1. 
 
 
Sendo x=cos(wt), qual é o resultado da 
soma: d2xdt2+w2x? 
 
 
 
w2 
 
w2sen(wt)cos(wt) 
 0 
 -wsen(wt) 
 
cos2(wt) 
 
 
 
2. 
 
 
Encontre a curvatura para r(t)=(lnsect)i+tj para -π2<t<π2 
 
 
ln t + sen t 
 
cos t 
 
ln t 
 
tg t 
 
sen t 
 
 
 
3. 
 
 
Encontre a derivada direcional da 
função f(x,y,z)=lnxyz em P(1,2,2) na direção do vetor v=i+j -k. 
 
 
 
 23 
 
32 
 33 
 
22 
 
3 
 
 
 
4. 
 
 
 Considere w=f(x,y,z) uma função de três variáveis que tem 
derivadas parciais contínuas ∂w∂x , ∂w∂y e ∂w∂z em algum 
intervalo e x,ye z são funções de outra variável t 
Então dwdt=∂w∂x⋅dxdt+∂w∂y⋅dydt+∂w∂z⋅dzdt. 
Diz - se que dwdt é a derivada total de w com relação 
a t e representa a taxa de variação de w à medida 
que t varia. 
Supondo w=x2 -3y2 +5z2 onde x=et, y=e-t, z= e2t, 
calcule dwdt sendo t= 0 
 
 
 
20 
 
10 
 
8 
 
12 
 
18 
 
 
 
5. 
 
 
Encontre a curvatura para a curva r(t) = (cos t + t sen t)i + (sen t - t cos t)j para t > 0 
 
 
1/t + sen t 
 
sen t 
 
1/t + sen t + cos t 
 
cos t 
 
1/t 
 
 
 
6. 
 
 
Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos t)j 
+ 3k 
 
 
 
(-
sen 
t - 
cos 
t)i 
+ 
(cos 
t)j 
 
(-
sen 
t)i 
+ 
(cos 
t)j - 
k 
 
(-
sen 
t)i 
+ 
(cos 
t)j 
 
(-
sen 
t)i 
+ 
(cos 
t)j 
+ k 
 
(-
sen 
t)i - 
(cos 
t)j 
 
 
 
Sendo x=cos(wt), qual é o resultado da 
soma: d2xdt2+w2x? 
 
 
 
w2 
 
w2sen(wt)cos(wt) 
 
-wsen(wt) 
 
cos2(wt) 
 0 
 
 
 
2. 
 
 
Encontre a curvatura para r(t)=(lnsect)i+tj para -π2<t<π2 
 
 
sen t 
 
tg t 
 
ln t + sen t 
 
cos t 
 
ln t 
 
 
 
3. 
 
 
Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos t)j 
+ 3k 
 
 
 
(-sen t)i - (cos t)j 
 
(-sen t)i + (cos t)j 
 
(-sen t)i + (cos t)j + k 
 
(-sen t - cos t)i + (cos t)j 
 
(-sen t)i + (cos t)j - k 
 
 
 
4. 
 
 
 Considere w=f(x,y,z) uma função de três variáveis que tem 
derivadas parciais contínuas ∂w∂x , ∂w∂y e ∂w∂z em algum 
intervalo e x,ye z são funções de outra variável t 
Então dwdt=∂w∂x⋅dxdt+∂w∂y⋅dydt+∂w∂z⋅dzdt. 
Diz - se que dwdt é a derivada total de w com relação 
a t e representa a taxa de variação de w à medida 
que t varia. 
Supondo w=x2 -3y2 +5z2 onde x=et, y=e-t, z= e2t, 
calcule dwdt sendo t= 0 
 
 
 
20 
 
8 
 
10 
 
18 
 
12 
 
 
 
5. 
 
 
Encontre a curvatura para a curva r(t) = (cos t + t sen t)i + (sen t - t cos t)j para t > 0 
 
 
cos t 
 
1/t + sen t 
 
sen t 
 
1/t 
 
1/t + sen t + cos t 
 
 
 
6. 
 
 
Encontre a derivada direcional da 
função f(x,y,z)=lnxyz em P(1,2,2) na direção do vetor v=i+j -k. 
 
 
 
 3 
 
23 
 
32 
 
22 
 33 
. 
 
 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é 
dado por r(t) = t3 i + t2 j. 
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1. 
 
 
 
t2 i + 2 j 
 
- 3t2 i + 2t j 
 
0 
 
3t2 i + 2t j 
 
 2t j 
 
 
 
2. 
 
 
Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉 
 
 
x=1+t ; y=2+5t, z=-1 
 
x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
x= t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
x=1 -t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
x=1+t ; y=2+5t 
 
 
 
3. 
 
 
Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então: ∫r(t)dt é: 
 
 
-cost j + t2 k + C 
 
sent i - t2 k + C 
 
2senti + cost j - t2 k + C 
 
πsenti - cost j + t2 k + C 
 
2sent i - cost j + t2 k + C 
 
 
 
4. 
 
 
Calcule a acelaração da curva r(t) = (cost,sent,t2), em t=π2, indicando a 
única resposta correta. 
 
 
 
(0, 1,-2) 
 
(0,0,2) 
 
(0,-1,2) 
 
(0,0,0) 
 
(0,-1,-1) 
 
 
 
5. 
 
 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado 
por r(t) = t3 i + t2 j. 
 Determine a aceleração do objeto no instante t = 1. 
 
 
 
6ti -2j 
 
ti+2j 
 
6ti+j 
 
6i+2j 
 
6ti+2j 
 
 
 
6. 
 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de 
suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique 
a única resposta correta para o limite da função: 
limt→0 r(t)=(sen2t) i + eln(2t)j + (cost)k 
 
 
 
i - j + k 
 
j - k 
 
k 
 
j 
 
j + k 
 
1. 
 
 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) 
= t3 i + t2 j. 
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1. 
 
 
 
- 3t2 i + 2t j 
 
 2t j 
 
t2 i + 2 j 
 
0 
 
3t2 i + 2t j 
 
 
 
2. 
 
 
Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉 
 
 
x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
x=1+t ; y=2+5t 
 
x= t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
x=1+t ; y=2+5t, z=-1 
 
x=1 -t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
 
 
3. 
 
 
Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então: ∫r(t)dt é: 
 
 
 
-cost j + t2 k + C 
 
2senti + cost j - t2 k + C 
 
sent i - t2 k + C 
 
πsenti - cost j + t2 k + C 
 
2sent i - cost j + t2 k + C 
 
 
 
4. 
 
 
Calcule a acelaração da curva r(t) = (cost,sent,t2), em t=π2, indicando a 
única resposta correta. 
 
 
 
(0,-1,2) 
 
 
 
5. 
 
 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado 
por r(t) = t3 i + t2 j. 
 Determine a aceleração do objeto no instante t = 1. 
 
 
 
6ti+2j 
 
 
 
6. 
 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de 
suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique 
a única resposta correta para o limite da função: 
limt→0 r(t)=(sen2t) i + eln(2t)j + (cost)k 
 
 
 
i - j + k 
 
k 
 
j - k 
 
j 
 
j + k 
 
1. 
 
 
Um objeto de massa m que se move em uma trajetória circular com 
velocidadeangular constante w tem vetor posição dado 
por r(t) = acoswt i + asenwt j. Indique a única resposta correta que determina 
a acelaração em um tempo t qualquer. Observação: a > 0. 
 
 
 
-w2coswt i - w2senwtj 
 
-aw2coswt i - aw2senwt j 
 
aw2coswt i + aw2senwtj 
 
aw2coswt i - aw2senwtj 
 
-aw2coswt i - awsenwtj 
 
 
 
2. 
 
Calcule o limite de: 
 
 
lim (x,y)--->(1,2) (x²y³ - x³y² + 3x + 2y) 
 
 
12 
 
- 11 
 
-12 
 
11 
 
5 
 
 
 
3. 
 
 
Encontrando Primitivas. 
Seja ∫((cost)i + 3t2)j dt, 
qual a resposta correta? 
 
 
 
(cost)i + 3tj 
 
(cost)i - sentj + 3tk 
 
-(sent)i -3tj 
 
(cost)i - 3tj 
 
(sent)i + t³j 
 
 
 
4. 
 
 
Encontre o vetor velocidade para o movimento circular r(t) = (cos 2t)i + 
(sen 2t)j 
 
 
 
v(t)=-2sen(2t)i+2cos(2t)j 
 
v(t)=-2sen(2t)i-2cos(2t)j 
 
v(t)=-2sen(t)i+2cos(t)j 
 
v(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)j 
 
v(t)=sen(2t)i+cos(2t)j 
 
 
 
5. 
 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de 
suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique 
a única resposta correta para o limite da função: 
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + e-tj + (cost)k 
 
 
 
i + j + k 
 
j - k 
 
i + j - k 
 
i - j - k 
 
- i + j - k 
 
 
 
6. 
 
 
Calcule a integral da função vetorial: 
[∫01dt1-t2]i+[∫01dt1+t2]j+[∫01dt]k 
 
 
 
 
π 
 3π4+1 
 
3π2 +1 
 
π2+1 
 
π4+1 
 
 
 
7. 
 
 
Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então a integral definida: ∫0π2r(t)dt é: 
 
 
 
i - j - π24k 
 
i+j- π2 k 
 
2i + j + π24k 
 
2i + j + (π2)k 
 
2i - j + π24k 
 
 
 
8. 
 
 
Seja ∫((cost)i + (4t3)j) dt, 
qual a resposta correta? 
 
 
 
(cost)i+3tj 
 
(sent)i + t4j 
 
(cost)i-(sent)j+3tk 
 
(cost)i-3tj 
 
-(sent)i-3tj 
 
 
 
 
 
 
 
Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então a integral definida: ∫0π2r(t)dt é: 
 
 
 
i - j - π24k 
 
i+j- π2 k 
 
2i + j + π24k 
 
2i - j + π24k 
 
2i + j + (π2)k 
 
1. 
 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t), indicando a única 
resposta correta. 
 
 
 
(sent,-cost,1) 
 
(sect,-cost,1) 
 
(sent,-cost,2t) 
 
(-sent, cost,1) 
 
(sent,-cost,0) 
 
 
 
2. 
 
 
Dada a função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz) encontre 
 (∂f∂x)+(∂f∂x)+(∂f∂z) 
 
 
 
 1x+1y+1z+2cos(y+2z) 
 
 
 1x+1y+1z+2cos(y+2z) 
 
 1x+1y+1z +1cos(y+2z) 
 (1x)+(1y)+(1z) 
 
 1x+1y+1z +3cos(y+2z) 
 
 
 
 
3. 
 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t2), indicando a única 
resposta correta. Considere a resposta em t=π4 
 
 
 
(-22,- 22,-π4) 
 
(-22,22,π2) 
 
(-2,2,π4) 
 
(22,22,π2) 
 
(22,22,π4) 
 
 
 
4. 
 
 
Substitua a equação cartesiana x216+y225=1 por uma equação polar 
equivalente. 
 
 
 
16((rcos(θ))2+9r2=400 
 
9((rcos(θ))2+16r2=400 
 
9((rcos(θ))2+r2=400 
 
9((rcos(θ))2+16r2=0 
 
9((rcos(θ))2 -16r2=400 
 
 
 
5. 
 
Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela 
funções vetoriais: 
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k 
r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k 
Podemos concluir que 
a) as aeronaves não colidem. 
 b) as aeronaves colidem no instante t=2 
c) as aeronaves colidem no instante t=5 
 
 
d) as aeronaves colidem no instante t=3 
e) as trajetórias não se interceptam 
 
 
(e) 
 
(c) 
 
(d) 
 
(a) 
 
(b) 
 
 
 
6. 
 
 
Encontre o vetor aceleração da partícula de posição: 
r(t)= (et)i+29(e2t)j-2(et)k no instante t=ln3. 
 
 
 
a(t)=(e3)i+29(e3)j-2(e3)k 
 a(t)=3i+8j-6k 
 a(t)=e3i +29e3j-2e3k 
 
a(t)=3i +89j-6k 
 
a(t)=e3i +2e3j-4e3k 
 
 
 
7. 
 
 
Encontrando Derivadas. 
Qual é a resposta correta para a derivada de r(t)=(tcost)i + (tsent)j + tk? 
 
 
 
(cost - tsent)i + (sent + tcost)j + k 
 
(tcost - sent)i + (sent - tcost)j + k 
 
t(cost - sent)i - t(sent + cost)j + k 
 
(sent - tcost)i + (sentcost)j - k 
 
(cost - tsent)i + (sent + cost)j + 1 
 
 
 
8. 
 
 
Sendo f(x,y,z)=e
xyz 
encontre a soma das derivadas parciais da função em relação a 
cada variável no ponto P(1,0,1). 
 
 
 
 
2e 
 
e 
 
0 
 
1 
 
3e 
 
 
1. 
 
 
Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde 
sua posiçào é dada pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk 
 
 
 
2i 
 
2j 
 
2i + j 
 
i/2 + j/2 
 
2i + 2j 
 
 
 
2. 
 
 
Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor 
posição r(t) = (3cos t) i + (3sen t)j + t2k. Esta trajetória faz lembrar a de 
uma hélice. Para o intervalo de tempo [0, 4Pi], encontre o módulo da 
velocidade da asa-delta no instante t = 0. 
 
 
 
3 
 
1 
 
2 
 
9 
 
14 
 
 
 
3. 
 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única 
resposta correta. 
 
 
 
(1-cost,sent,1) 
 
(1-cost,sent,0) 
 
(1-cost,0,0) 
 
(1-sent,sent,0) 
 
(1 +cost,sent,0) 
 
 
 
4. 
 
 
Substitua a equação cartesiana x216+y225=1 por uma equação polar 
equivalente. 
 
 
 
16((rcos(θ))2+9r2=400 
 
9((rcos(θ))2 -16r2=400 
 
9((rcos(θ))2+16r2=0 
 
9((rcos(θ))2+r2=400 
 
9((rcos(θ))2+16r2=400 
 
 
 
5. 
 
 
Sendo f(x,y,z)=e
xyz 
encontre a soma das derivadas parciais da função em relação a 
cada variável no ponto P(1,0,1). 
 
 
 
 
2e 
 
3e 
 
0 
 
e 
 
1 
 
 
 
6. 
 
 
Encontrando Derivadas. 
Qual é a resposta correta para a derivada de r(t)=(tcost)i + (tsent)j + tk? 
 
 
 
(sent - tcost)i + (sentcost)j - k 
 
t(cost - sent)i - t(sent + cost)j + k 
 
(tcost - sent)i + (sent - tcost)j + k 
 
(cost - tsent)i + (sent + tcost)j + k 
 
(cost - tsent)i + (sent + cost)j + 1 
 
 
 
7. 
 
Dada a função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz) encontre 
 
 
 (∂f∂x)+(∂f∂x)+(∂f∂z) 
 
 
 1x+1y+1z+2cos(y+2z) 
 
 (1x)+(1y)+(1z) 
 1x+1y+1z +1cos(y+2z) 
 
 1x+1y+1z +3cos(y+2z) 
 
 
 1x+1y+1z+2cos(y+2z) 
 
 
 
 
8. 
 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t2), indicando a única 
resposta correta. Considere a resposta em t=π4 
 
 
 
(-22,22,π2) 
 
(22,22,π4) 
 
(-22,- 22,-π4) 
 
(22,22,π2) 
 
(-2,2,π4) 
 
 
Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela 
funções vetoriais: 
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k 
r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k 
Podemos concluir que 
a) as aeronaves não colidem. 
 b) as aeronaves colidem no instante t=2 
c) as aeronaves colidem no instante t=5 
 
 
d) as aeronaves colidem no instante t=3 
e) as trajetórias não se interceptam 
 
 
(e) 
 
(b) 
 
(d) 
 
(c) 
 
(a) 
 
 
 
2. 
 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t), indicando a única 
resposta correta. 
 
 
 
(sent,-cost,2t) 
 
(sent,-cost,1) 
 
(sect,-cost,1) 
 
(sent,-cost,0) 
 
(-sent, cost,1) 
 
 
 
3. 
 
 
Encontre o vetor aceleração da partícula de posição: 
r(t)= (et)i+29(e2t)j-2(et)kno instante t=ln3. 
 
 
 
a(t)=(e3)i+29(e3)j-2(e3)k 
 a(t)=3i+8j-6k 
 a(t)=e3i +2e3j-4e3k 
 
a(t)=3i +89j-6k 
 
a(t)=e3i +29e3j-2e3k 
 
 
 
4. 
 
 
Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde 
sua posiçào é dada pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk 
 
 
 
i/2 + j/2 
 
2i + 2j 
 
2j 
 
2i 
 
2i + j 
 
 
 
5. 
 
 
Substitua a equação cartesiana x216+y225=1 por uma equação polar 
equivalente. 
 
 
 
9((rcos(θ))2 -16r2=400 
 
9((rcos(θ))2+r2=400 
 
9((rcos(θ))2+16r2=0 
 
16((rcos(θ))2+9r2=400 
 
9((rcos(θ))2+16r2=400 
 
 
 
6. 
 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única 
resposta correta. 
 
 
 
(1-sent,sent,0) 
 
(1 +cost,sent,0) 
 
(1-cost,sent,1) 
 
(1-cost,0,0) 
 
(1-cost,sent,0) 
 
 
 
7. 
 
 
Sendo f(x,y,z)=e
xyz 
encontre a soma das derivadas parciais da função em relação a 
cada variável no ponto P(1,0,1). 
 
 
 
 
3e 
 
e 
 
0 
 
2e 
 
1 
 
 
 
8. 
 
 
Encontrando Derivadas. 
Qual é a resposta correta para a derivada de r(t)=(tcost)i + (tsent)j + tk? 
 
 
 
(cost - tsent)i + (sent + cost)j + 1 
 
(tcost - sent)i + (sent - tcost)j + k 
 
(sent - tcost)i + (sentcost)j - k 
 
(cost - tsent)i + (sent + tcost)j + k 
 
t(cost - sent)i - t(sent + cost)j + k 
 
1. 
 
 
Dada a função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz) encontre 
 (∂f∂x)+(∂f∂x)+(∂f∂z) 
 
 
 (1x)+(1y)+(1z) 
 
 1x+1y+1z +3cos(y+2z) 
 
 
 1x+1y+1z+2cos(y+2z) 
 
 
 1x+1y+1z+2cos(y+2z) 
 
 1x+1y+1z +1cos(y+2z) 
 
 
 
2. 
 
 
Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor 
posição r(t) = (3cos t) i + (3sen t)j + t2k. Esta trajetória faz lembrar a de 
uma hélice. Para o intervalo de tempo [0, 4Pi], encontre o módulo da 
velocidade da asa-delta no instante t = 0. 
 
 
 
14 
 
1 
 
9 
 
3 
 
2 
 
 
 
3. 
 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t2), indicando a única 
resposta correta. Considere a resposta em t=π4 
 
 
 
(-22,22,π2) 
 
(-22,- 22,-π4) 
 
(22,22,π2) 
 
(22,22,π4) 
 
(-2,2,π4) 
 
 
 
4. 
 
 
Substitua a equação cartesiana x216+y225=1 por uma equação polar 
equivalente. 
 
 
 
9((rcos(θ))2+16r2=0 
 
9((rcos(θ))2+r2=400 
 
9((rcos(θ))2+16r2=400 
 
9((rcos(θ))2 -16r2=400 
 
16((rcos(θ))2+9r2=400 
 
 
 
5. 
 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única 
resposta correta. 
 
 
 
(1-sent,sent,0) 
 
(1-cost,0,0) 
 
(1-cost,sent,0) 
 
(1 +cost,sent,0) 
 
(1-cost,sent,1) 
 
 
 
6. 
 
 
Sendo f(x,y,z)=e
xyz 
encontre a soma das derivadas parciais da função em relação a 
cada variável no ponto P(1,0,1). 
 
 
 
 
e 
 
3e 
 
0 
 
1 
 
2e 
 
 
 
7. 
 
 
Encontrando Derivadas. 
Qual é a resposta correta para a derivada de r(t)=(tcost)i + (tsent)j + tk? 
 
 
 
t(cost - sent)i - t(sent + cost)j + k 
 
(tcost - sent)i + (sent - tcost)j + k 
 
(cost - tsent)i + (sent + tcost)j + k 
 
(sent - tcost)i + (sentcost)j - k 
 
(cost - tsent)i + (sent + cost)j + 1 
 
 
 
8. 
 
 
Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde 
sua posiçào é dada pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk 
 
 
 
2j 
 
2i + 2j 
 
i/2 + j/2 
 
2i 
 
2i + j 
 
1. 
 
 
Determine a equação do plano tangente à superfície 
 z=f(x,y)=3.x.y²-10x² no ponto P(1,2,2). 
 
 
 
z=8x-12y+18 
 
z=8x - 10y -30 
 
z=-8x+12y-18 
 
z=-8x+12y -14 
 
 z=-8x+10y-10 
 
 
 
2. 
 
 
Calcule a velocidade de uma partícula com vetor de 
posição r(t) = (t2, et, tet). Indique a única resposta correta. 
 
 
 
(2,et,(1+t)et) 
 
(t,et,(1+t)et) 
 
(2t,et,(1+t)et) 
 
(t,et,(2+t)et) 
 
(2t,et,(1 - t)et) 
 
 
 
3. 
 
 
Marque dentre as opções a que representa uma equação 
cartesiana para a equação polar r=42cosΘ-senΘ 
 
 
 
y = 2x - 4 
 
 
 
4. 
 
 
Determine o versor tangente à curva de função 
vetorial r(t)=(2sent)i+(2cost)j+(tgt)k no ponto t=π4. 
 
 
 
(105)i -(105)j+(255)k 
 (12)i -(12)j+(22)k 
 (25)i+(25)j+(255)k 
 (2)i -(2)j+(2))k 
 (22)i -(22)j+(22)k 
 
 
 
5. 
 
 
Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a 
equação polar r2 = 4r cosΘ 
 
 
 
(x - 2)2 + y2 = 4 
 
(x - 2)2 + (y + 4)2 = 4 
 
(x - 2)2 + y2 = 10 
 
(x + 2)2 + y2 = 4 
 
(x - 4)2 + y2 = 2 
 
 
 
6. 
 
 
Um objeto de massa m que se move em uma trajetória circular com 
velocidade angular constante w tem vetor posição dado 
por r(t) = acoswt i + asenwt j. Indique a única resposta correta que 
determina a velocidade em um tempo t qualquer. Observação: a > 0. 
 
 
 
-senwt i + awcoswtj 
 
- awsenwt i + awcoswtj 
 
-senwt i + coswtj 
 
awsenwt i + awcoswtj 
 
-awsenwt i - awcoswtj 
 
 
 
7. 
 
 
Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂x 
 
 
 
2sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
2sen(x - 3y) 
 
2cos(x - 3y) 
 
2sen(x + 3y)cos(x + 3y) 
 
 
 
8. 
 
 
Seja r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k o vetor posição de uma 
partícula que se move ao longo de uma curva lisa no 
plano. 
Considere as afirmações. Assinale (V) para as 
verdadeiras e (F) para as falsas: 
1) ( ) Quando uma partícula se move durante um 
intervalo de tempo I, as coordenadas da partícula 
são x(t),y(t),z(t). Os pontos P(x(t),y(t),z(t)) formam uma 
curva que é a trajetória da partícula. 
 2) ( ) A velocidade é a derivada da posição,isto é: 
 v(t) =r'(t) = dr(t)dt 
3) ( ) O módulo da velocidade ou a magnitude da 
velocidade é igual a 
 |v(t)|= (dx(t)dt)2+(dy(t)dt)2+(dz(t)dt)2. 
4) ( ) A aceleração é a derivada da velocidade, ou 
seja 
a(t) = v'(t)= dv(t)dt 
5) ( ) O vetor unitário ou versor v(t)|v(t)| é a direção 
do movimento no instante t. 
6) ( ) r(t)é lisa se for contínua e nunca 0. 
 
 
 
1) (V) 2)(V) 3) (V) 4)(V) 5) 
(V) 6) (F) 
 
 
 
 
 
1) (V) 2)(V) 3) (F) 4)) 
(V) 5)(V) 6) (F) 
 
 
1. 
 
Supondo que r(t)é o vetor posição de uma partícula que se move a 
 
 
longo de uma curva então,em qualquer instante t , pode-se afirmar: 
 I) O vetor velocidade da partícula, tangente à curva, é dado 
por:v(t)=dr(t)dt 
 II) A aceleração é a derivada segunda da velocidade em relação ao 
tempo. 
 III) O versor v(t)|v(t)|dá a direção do movimento no instante t. 
IV) A velocidade de uma partícula pode ser expressa como o produto 
do módulo de sua velocidade pela sua direção. 
Estão corretas apenas as afirmações: 
 
 
II,III e IV 
 
I,II,III e IV 
 
I,III e IV 
 
I,II e III 
 
I,II e IV 
 
 
 
2. 
 
 
Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂y 
 
 
 
-6sen(x - 3y) 
 
-6sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
-6sen(x + 3y)cos(x + 3y)sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
 
 
3. 
 
 
Seja a função f(x,y,z)=x-y2+z2 . Encontre ∂f∂x , ∂f∂y e ∂f∂z 
 
 
 
∂f∂x=x , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2 
 ∂f∂x=1 , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 
∂f∂x=y2+z , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 ∂f∂x=xy , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 
∂f∂x=x2 , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2 
 
 
 
4. 
 
 
Determine a equação do plano tangente à superfície 
 z=f(x,y)=3.x.y²-10x² no ponto P(1,2,2). 
 
 
 
z=8x-12y+18 
 
z=-8x+12y -14 
 
z=8x - 10y -30 
 
 z=-8x+10y-10 
 
z=-8x+12y-18 
 
 
 
5. 
 
 
Determine o versor tangente à curva de função 
vetorial r(t)=(2sent)i+(2cost)j+(tgt)k no ponto t=π4. 
 
 
 
 (25)i+(25)j+(255)k 
 (22)i -(22)j+(22)k 
 
(105)i -(105)j+(255)k 
 (12)i -(12)j+(22)k 
 (2)i -(2)j+(2))k 
 
 
 
6. 
 
 
Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a 
equação polar r2 = 4r cosΘ 
 
 
 
(x - 2)2 + y2 = 10 
 
(x - 2)2 + y2 = 4 
 
(x - 4)2 + y2 = 2 
 
(x - 2)2 + (y + 4)2 = 4 
 
(x + 2)2 + y2 = 4 
 
 
 
7. 
 
 
Um objeto de massa m que se move em uma trajetória circular com 
velocidade angular constante w tem vetor posição dado 
por r(t) = acoswt i + asenwt j. Indique a única resposta correta que 
determina a velocidade em um tempo t qualquer. Observação: a > 0. 
 
 
 
-senwt i + awcoswtj 
 
-senwt i + coswtj 
 
- awsenwt i + awcoswtj 
 
-awsenwt i - awcoswtj 
 
awsenwt i + awcoswtj 
 
 
 
8. 
 
 
Marque dentre as opções a que representa uma equação 
cartesiana para a equação polar r=42cosΘ-senΘ 
 
 
 
y = x - 4 
 
y = 2x - 4 
 
y = x 
 
y = x + 6 
 
y = x + 1 
 
1. 
 
 
Encontre a derivada direcional da 
função f(x,y,z)=lnxyz em P(1,2,2) na direção do vetor v=i+j -k. 
 
 
 
 33 
 32 
 23 
 
3 
 22 
 
 
 
2. 
 
 
Sendo x=cos(wt), qual é o resultado da 
soma: d2xdt2+w2x? 
 
 
 
w2sen(wt)cos(wt) 
 
-wsen(wt) 
 
w2 
 0 
 
cos2(wt) 
 
 
 
3. 
 
 
Encontre a curvatura para a curva r(t) = (cos t + t sen t)i + (sen t - t cos t)j para t > 0 
 
 
1/t + sen t 
 
1/t 
 
cos t 
 
1/t + sen t + cos t 
 
sen t 
 
 
 
4. 
 
 
Encontre a curvatura para r(t)=(lnsect)i+tj para -π2<t<π2 
 
 
ln t 
 
cos t 
 
ln t + sen t 
 
tg t 
 
sen t 
 
 
 
5. 
 
 Considere w=f(x,y,z) uma função de três variáveis que tem 
derivadas parciais contínuas ∂w∂x , ∂w∂y e ∂w∂z em algum 
intervalo e x,ye z são funções de outra variável t 
Então dwdt=∂w∂x⋅dxdt+∂w∂y⋅dydt+∂w∂z⋅dzdt. 
Diz - se que dwdt é a derivada total de w com relação 
 
 
a t e representa a taxa de variação de w à medida 
que t varia. 
Supondo w=x2 -3y2 +5z2 onde x=et, y=e-t, z= e2t, 
calcule dwdt sendo t= 0 
 
 
8 
 
20 
 
10 
 
12 
 
18 
 
 
 
6. 
 
 
Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos t)j 
+ 3k 
 
 
 
(-sen t)i + (cos t)j + k 
 
(-sen t)i + (cos t)j 
 
(-sen t)i - (cos t)j 
 
(-sen t)i + (cos t)j - k 
 
(-sen t - cos t)i + (cos t)j 
 
 
1. 
 
 
Encontre a derivada direcional da 
função f(x,y,z)=lnxyz em P(1,2,2) na direção do vetor v=i+j -k. 
 
 
 
 23 
 
3 
 
32 
 
22 
 33 
 
 
 
2. 
 
Sendo x=cos(wt), qual é o resultado da 
 
 
soma: d2xdt2+w2x? 
 
 
-wsen(wt) 
 
cos2(wt) 
 
w2sen(wt)cos(wt) 
 0 
 
w2 
 
 
 
3. 
 
 
Encontre a curvatura para a curva r(t) = (cos t + t sen t)i + (sen t - t cos t)j para t > 0 
 
 
1/t + sen t + cos t 
 
cos t 
 
1/t 
 
sen t 
 
1/t + sen t 
 
 
 
4. 
 
 
Encontre a curvatura para r(t)=(lnsect)i+tj para -π2<t<π2 
 
 
cos t 
 
ln t 
 
tg t 
 
ln t + sen t 
 
sen t 
 
 
 
5. 
 
 Considere w=f(x,y,z) uma função de três variáveis que tem 
derivadas parciais contínuas ∂w∂x , ∂w∂y e ∂w∂z em algum 
intervalo e x,ye z são funções de outra variável t 
Então dwdt=∂w∂x⋅dxdt+∂w∂y⋅dydt+∂w∂z⋅dzdt. 
Diz - se que dwdt é a derivada total de w com relação 
a t e representa a taxa de variação de w à medida 
 
 
que t varia. 
Supondo w=x2 -3y2 +5z2 onde x=et, y=e-t, z= e2t, 
calcule dwdt sendo t= 0 
 
 
10 
 
18 
 
8 
 
12 
 
20 
 
 
 
6. 
 
 
Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos t)j 
+ 3k 
 
 
 
(-sen t)i + (cos t)j 
 
(-sen t)i - (cos t)j 
 
(-sen t - cos t)i + (cos t)j 
 
(-sen t)i + (cos t)j + k 
 
(-sen t)i + (cos t)j - k 
 
1. 
 
 
Encontre a derivada direcional da 
função f(x,y,z)=lnxyz em P(1,2,2) na direção do vetor v=i+j -k. 
 
 
 
 
22 
 23 
 
3 
 
32 
 33 
 
 
 
2. 
 
 
Sendo x=cos(wt), qual é o resultado da 
soma: d2xdt2+w2x? 
 
 
 
-wsen(wt) 
 
w2sen(wt)cos(wt) 
 0 
 
cos2(wt) 
 
w2 
 
 
 
3. 
 
 
Encontre a curvatura para a curva r(t) = (cos t + t sen t)i + (sen t - t cos t)j para t > 0 
 
 
1/t 
 
1/t + sen t 
 
sen t 
 
cos t 
 
1/t + sen t + cos t 
 
 
 
4. 
 
 
Encontre a curvatura para r(t)=(lnsect)i+tj para -π2<t<π2 
 
 
ln t 
 
sen t 
 
tg t 
 
ln t + sen t 
 
cos t 
 
 
 
5. 
 
 Considere w=f(x,y,z) uma função de três variáveis que tem 
derivadas parciais contínuas ∂w∂x , ∂w∂y e ∂w∂z em algum 
intervalo e x,ye z são funções de outra variável t 
Então dwdt=∂w∂x⋅dxdt+∂w∂y⋅dydt+∂w∂z⋅dzdt. 
Diz - se que dwdt é a derivada total de w com relação 
a t e representa a taxa de variação de w à medida 
que t varia. 
Supondo w=x2 -3y2 +5z2 onde x=et, y=e-t, z= e2t, 
 
 
calcule dwdt sendo t= 0 
 
 
10 
 
20 
 
8 
 
18 
 
12 
 
 
 
6. 
 
 
Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos t)j 
+ 3k 
 
 
 
(-sen t)i + (cos t)j - k 
 
(-sen t - cos t)i + (cos t)j 
 
(-sen t)i + (cos t)j + k 
 
(-sen t)i - (cos t)j 
 
(-sen t)i + (cos t)j