Relatorio Gotas de Millikan

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGA´
CENTRO DE CIEˆNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE FI´SICA
LABORATO´RIO DE FI´SICA MODERNA
Gotas de Millikan
ACADEˆMICOS: Alvaro Franco Martins R.A.:88777
Andre Farinha Bo´sio R.A.:93625
Mariana Ferrareze Casaroto R.A.:93352
Milena Camila Fernandes R.A.:94821
Vinicius Zanatta R.A.:103374
TURMA:31
PROFESSOR: Dr. Gustavo Sanguino Dias
MARINGA´, PARANA´
9 de Junho de 2017
Suma´rio
1. Resumo 3
2. Objetivos 3
3. Introduc¸a˜o 4
4. Fundamentac¸a˜o Teo´rica 5
5. Desenvolvimento Experimental 8
5.1 Materiais Utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.2 Procedimento experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.3 Dados obtidos experimentalmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6. Discussa˜o dos resultados 11
7. Conclusa˜o 14
Refereˆncias Bibliogra´ficas 15
2
1. Resumo
Este relato´rio segue como princ´ıpio os trabalhos de Robert Andrews Millikan, J.J.
Thompson e George Stokes.
O experimento realizado compo˜e-se basicamente em aplicar um campo ele´trico
em got´ıculas de o´leo sob efeito do campo gravitacional. Com a velocidade terminal,
atrave´s da lei de Stokes, foi poss´ıvel determinar a massa das gotas. Ale´m disso,
obtida a velocidade de subida das gotas por meio do campo ele´trico, foi enta˜o cal-
culado a forc¸a atuante e por fim a carga de cada gota. A priori, o sucesso deste
experimento dependeu da sua capacidade em medir pequenos valores das forc¸as que
atuam nas gotas de o´leo.
Foi poss´ıvel encontrar a carga de cada gota e mostrar que a carga e´ quantizada,
sendo sempre um nu´mero inteiro da carga fundamental, e = 1.6021765 × 10−19 C
[3]. O valor encontrado para a carga fundamental foi de 1.21 × 10−19 C, esse valor
possui um desvio percentual de 24.47%.
2. Objetivos
O presente experimento foi desenvolvido com o propo´sito de determinar a carga
elementar do ele´tron e mostrar que a carga e´ quantizada, sendo sempre um mu´ltiplo
inteiro da carga elementar.
3
3. Introduc¸a˜o
No fim do se´culo XIX e in´ıcio do se´culo XX nota´veis descobertas realizadas
ampliaram e inseriram novos caminhos para o conhecimento f´ısico. Em 1897 um dos
pioneiros na investigac¸a˜o do ele´tron, Joseph John Thomson descobriu por interme´dio
de experieˆncias que raios cato´dicos sa˜o constitu´ıdos de part´ıculas com carga ele´trica
negativa, os ele´trons. Seguiram-se no decorrer desse per´ıodo va´rias pesquisas para
determinar as propriedades do ele´tron [4].
Com ajuda de seu estudante C.T.R. Wilson, Thomson obteve a carga do ele´tron
fazendo uso de uma caˆmara de bolhas e da relac¸a˜o de Stokes para estimar o raio
me´dio das got´ıculas. O Valor obtido por Thomson foi na ordem de 1.1 × 10−19
coulomb. Em 1903 outro estudante de Thomson, H. A. Wilson implementou o
experimento introduzindo um campo ele´trico na mesma direc¸a˜o do campo gravita-
cional. A carga ele´trica obtida por esse me´todo girava em torno de 1.04 × 10−19
coulomb.
Em 1907 Millikan e seu estudante Begeman iniciaram seus experimentos a partir
da ideia de H. A. Wilson. Seus estudos obtiveram valores mais aproximados ao
teo´rico atual, no entanto, uma fonte de erro muito importante era a dificuldade de
se levar em considerac¸a˜o o efeito da evaporac¸a˜o das got´ıculas de a´gua. Assim, para
contornar o problema Millikan utilizou um forte campo ele´trico, o que resultou na
observac¸a˜o de gotas individuais que paravam ou invertiam o movimento conforme
o campo ele´trico era ligado ou desligado. Nesta fase Millikan e Begeman chegaram
a uma importante conclusa˜o, na qual, os valores das cargas das diversas got´ıculas
eram sempre mu´ltiplos exatos da menor carga que eles haviam obtid o[5].
Posteriormente, para solucionar o problema da evaporac¸a˜o, ao inve´s de utilizar
vapor d’a´gua, Millikan empregou gotas de o´leo. As gotas eram ionizadas e assim
podiam ser confinadas no campo ele´trico orientado. Medindo-se as velocidades de
subida e descida Millikan realizou uma ana´lise de forc¸as atuantes na gota, forc¸a peso,
forc¸a ele´trica, forc¸a viscosa (lei de Stokes) e empuxo. Por essa ana´lise calculou-se o
raio da gota e enfim sua carga.
4
4. Fundamentac¸a˜o Teo´rica
Uma part´ıcula em queda livre esta´ sob ac¸a˜o de duas forc¸as, sua forc¸a peso e
uma forc¸a de atrito contra´ria ao movimento da part´ıcula. Para este experimento,
considera-se que a part´ıcula ja´ atingiu sua velocidade terminal, uma vez que essa e´
alcanc¸ada em poucos millisegundos para as gotas usadas nesse experimento. Nesta
configurac¸a˜o, a acelerac¸a˜o para o movimento e´ nula e o somato´rio das forc¸as resulta
na igualdade da forc¸a peso e da forc¸a de atrito.
Com base neste procedimento, o sentido do movimento da gota pode ser invertido
atrave´s da aplicac¸a˜o de um campo ele´trico no sentido do eixo y positivo e a mesma
pode encontrar-se em duas situac¸o˜es como esquematiza a figura abaixo:
Figura 4.1: (a) Forc¸as atuando em uma part´ıcula em queda livre e (b) Forc¸as atuando
em uma part´ıcula sob a aplicac¸a˜o de um campo ele´trico externo.
Analisando as forc¸as atuantes na gota de o´leo, e´ poss´ıvel a deduc¸a˜o da equac¸a˜o
para se determinar a carga carregada por elas. Na figura 4.1 (a), vf e´ a velocidade
de descida e k o coeficiente de atrito entre o ar e a gota, m e´ a massa da gota e g a
acelerac¸a˜o da gravidade. Todas as forc¸as examinadas neste procedimento esta˜o na
direc¸a˜o y do eixo, temos [1]:
mg = kvf (4.1)
A figura 4.1 (b) mostra as forc¸as atuando na gota quando um campo ele´trico
externo e´ aplicado. Considerando ~Eq a intensidade ele´trica, q a carga carregada
5
pelas gotas de o´leo e vr a velocidade de subida, temos:
qEq = mg + kvr (4.2)
Em ambos os casos, ha´ tambe´m uma pequena forc¸a de empuxo hidrosta´tico
exercida pelo ar na gota. No entanto, uma vez que a densidade do ar e´ apenas cerca
de um mile´simo da densidade do o´leo, esta forc¸a pode ser omitida. Eliminando k
das equac¸o˜es (4.1) e (4.2) e resolvendo para a carga:
q =
mg(vr + vf )
Eqvf
(4.3)
Para retirar m da equac¸a˜o acima, e´ necessa´rio considerar a expressa˜o para o
volume da esfera e da densidade do o´leo:
ρ =
m
V
(4.4)
m = ρ
4pia3
3
(4.5)
mg = ρ
4pia3
3
g (4.6)
onde V = 4pia
3
3
e´ o volume da gota de o´leo, a seu respectivo raio e ρ a densidade do
o´leo. Substituindo a equac¸a˜o (4.6) em (4.3) :
q =
4pia3ρ(vf + vr)
3(Eqvf )
(4.7)
Para a determinac¸a˜o de a, pode-se empregar a fo´rmula para a lei de Stokes
(~Ff = 6piηa~vf ), va´lida para o movimento de part´ıculas esfe´ricas pequenas, movendo-
se a baixas velocidades. Esta expressa˜o relaciona o raio de um corpo esfe´rico com a
sua velocidade de queda em um meio viscoso, onde η e´ seu coeficiente de viscosidade.
Considerando a fo´rmula da Lei de Stokes igual ao termo direito da equac¸a˜o (4.6) e
isolando a:
Ff = ρ
4pia3
3
g (4.8)
6piηvf = ρ
4pia3
3
g (4.9)
a2 =
9piηvf
2ρg
(4.10)
a =
√
9piηvf
2ρg
(4.11)
Entretanto, a Lei de Stokes torna-se incorreta quando a velocidade de queda nas
got´ıculas e´ inferior a 0, 1 cm/s. Como as velocidades das gotas usada neste experi-
mento esta˜o na ordem de 0, 01 a 0, 001 cm/s a viscosidade η deve ser multiplicada
por um fator de correc¸a˜o. A viscosidade efetiva resultante e´:
ηef = η
(
pa
pa+ b
)
(4.12)
6
onde b e´ uma constante, p e´ a pressa˜o atmosfe´rica e a e´ o raio da gota de o´leo
calculado atrave´s da equac¸a˜o 4.6. Substituindo ηef em 4.6, o raio torna-se:
a =
√
9ηvf
2ρg6
(
pa
pa+ b
)
(4.13)
Por fim, substituindo este resultado em (4.7), temos a carga:
q =
4pi
3
ρg
[√
9ηvf
2ρg6
(
pa
pa+ b
)]3
(vf + vr)
√
vf
V
(4.14)
Podemos reescrever como,
q =
4pi
3
√
1
ρg
[
9η
2
]3√√√√[ 1
1 + b
pa
]3 [
(vf + vr)
√
vfV
]
(4.15)
Considerando a intensidade do campo ele´trico
E =
V
d
(4.16)
onde V e´ a diferenc¸a de potencial entre as placas separadas por uma distaˆncia d.
Em 1909, apo´s va´rias tentativas, medindo tempos de subida e descida de va´rias
gotas de o´leo, calculando suas velocidades e aplicando esses valores a uma fo´rmula
geral obtida da ana´lise das forc¸as que atuavam sobre a gota, Millikan obteve sucesso
com o seu experimento [2]. Calculou e determinou a carga do ele´tron com uma
incerteza da ordem de 0,1%. O valor em mo´dulo publicado por ele em 1913 foi [3]:
e = (1.603± 0, 002)× 10−19C (4.17)
Em consequeˆncia desse resultado, Millikan recebeu o preˆmio nobel de f´ısica em
1923. Como refereˆncia teo´rica [3] deste experimento, o valor usado sera´
e = 1, 6021765× 10−19C (4.18)
7
5. Desenvolvimento Experimental
5.1 Materiais Utilizados
Foram utilizados os seguintes instrumentos durante a realizac¸a˜o da pra´tica expe-
rimental:
• Aparelho PASCO AP-8210A Millikan Oil Drop [1];
• o´leo mineral na˜o-vola´til;
• duas fonte de tensa˜o;
• cronoˆmetro digital;
• cabos com plug banana;
• mult´ımetro digital;
• paqu´ımetro;
• laˆmpada de halogeˆnio;
• microsco´pio
• n´ıvel;
• fibra o´ptica;
• acetona;
• lenc¸os de papel;
• pulverizador de o´leo.
8
5.2 Procedimento experimental
Durante o processo de montagem, limpou-se todas as componentes do aparato
antes de iniciar o experimento, utilizando os lenc¸os de papel e a acetona. Nivelou-se
o aparato com aux´ılio do n´ıvel e mediu-se o tamanho da placa de acr´ılico entre as
placas do capacitor utilizando o paqu´ımetro. Conectou-se o mult´ımetro a fim de
monitorar a resisteˆncia do termistor. Foram ligadas as fonte ao aparato, umas das
fontes foi utilizada para alimentar a laˆmpada (6V) e a outra foi utilizada para gerar
uma diferenc¸a de potencial entre as placas do capacitor (450V), ajustou-se o brilho
da lampada de modo que fosse poss´ıvel ver a grade no fundo do aparato. Para ajuste
do foco, foi inserido um pedac¸o de fibra o´tica no furo da placa superior do capacitor.
Fechou-se a caˆmara com a caixa pro´pria para protec¸a˜o.
Para iniciar a coleta de dados, colocou-se a alavanca da fonte de ionizac¸a˜o na
posic¸a˜o SPRAY DROPLET POSITION para borrifar o´leo entre as placas do capa-
citor. Mudou-se a posic¸a˜o desta alavanca para a posic¸a˜o ON, para que as gostas
fossem ionizadas. Foi poss´ıvel observar va´rias gotas e selecionar uma delas para a
coleta de dados. Observou-se a gota cair em queda livre e mediu-se o tempo em que
ela levou para atravessar um quadrado maior da grade (0.5 mm). Ligou-se o campo
e mediu-se o tempo que ela levou para atravessar o mesmo intervalo no espac¸o. Foi
medido o tempo de queda e de subida diversas vezes para a mesma gota. Repetiu-se
o procedimento de borrifar e medir para va´rias gotas.
5.3 Dados obtidos experimentalmente
Por meio da pra´tica experimental, foi poss´ıvel coletar o tempo de queda livre e de
subida da gota, ao passar por um intervalo de 0.5mm. Esses dados esta˜o na tabela
5.1.
9
Gota tf ± 0.01 (s) tr ± 0.01 (s)) Gota tf ± 0.01 (s) tr ± 0.01 (s)
1 11.44 4.31 3 10.64 4.40
1 10.03 3.98 3 11.46 4.12
1 10.30 3.56 3 10.64 3.98
1 9.32 2.82 3 10.30 3.80
1 10.34 3.26 3 11.46 4.11
1 10.56 4.01 3 10.48 4.21
1 11.36 3.27 3 11.38 3.85
2 6.71 4.54 3 11.78 4.56
2 5.32 5.22 3 12.01 4.98
2 6.87 5.52 3 10.01 3.87
2 5.09 4.96 4 6.54 4.60
2 7.01 5.43 4 7.03 5.32
2 6.96 5.76 4 6.32 5.73
2 5.98 6.02 4 6.21 5.90
2 5.86 4.98 4 6.60 4.32
2 6.53 5.63 4 5.92 3.09
2 6.32 5.39 4 7.21 3.49
4 7.27 3.20
Gota tf ± 0.01 (s) tr ± 0.01 (s) Gota tf ± 0.01 (s) tr ± 0.01 (s)
5 14.02 2.92 6 8.80 4.60
5 13.54 1.87 6 9.52 4.32
5 13.56 1.66 6 9.30 5.02
5 12.89 1.32 6 9.29 4.98
5 14.03 1.88 6 8.72 4.76
5 13.38 2.51 6 9.32 7.30
5 12.92 1.49 6 9.62 7.30
5 13.62 1.30 6 9.62 5.51
5 14.20 1.90 6 8.99 4.74
5 12.87 1.70 8 9.52 2.78
5 12.98 1.72 8 9.84 3.19
5 12.90 1.63 8 9.19 2.95
5 13.69 2.07 8 8.99 1.76
5 14.22 1.80 8 8.85 2.30
5 13.73 1.72 8 9.72 1.95
8 9.23 2.50
Gota tf ± 0.01 (s) tr ± 0.01 (s)) Gota tf ± 0.01 (s) tr ± 0.01 (s)
7 9.52 4.52 10 9.72 3.24
7 9.60 3.87 10 9.81 2.98
7 8.99 3.77 10 8.91 2.85
7 9.70 4.30 10 9.95 3.15
7 10.39 4.54 10 9.26 2.72
7 11.03 5.52 11 9.23 2.20
7 8.98 5.21 11 7.89 1.85
7 10.72 4.62 11 7.80 3.36
7 10.34 3.79 11 8.52 3.52
7 8.70 3.81 11 9.01 3.22
7 10.28 3.85
7 10.30 4.72
9 9.35 2.40
9 8.80 3.21
9 9.85 2.93
9 8.91 3.05
9 9.20 2.86
Tabela 5.1: dados obtidos experimentalmente para o tempo de queda (tf ) e o tempo
de subida (tr) da gota em um intervalo de espac¸o de 0.5 mm. Esses dados foram
coletados quando a diferenc¸a de potencial entre as placas era de 450V e a resisteˆncia
do termistor era de aproximadamente 1.900MΩ.
10
6. Discussa˜o dos resultados
Utilizando os dados coletados para cada gota, foi determinada a velocidade de
subida e descida de cada gota, bem como seu raio, cujo os dados esta˜o na Tabela
6.2
Gota vf × 10−5 (m/s) ∆vf (m/s) vr × 10−4 (m/s) ∆vf (m/s) a× 10−7 (m) ∆a (m)
1 5.52 0.00001 1.39 0.00003 6.93 0.0007
2 7.98 0.00002 0.93 0.00002 8.41 0.0009
3 4.54 0.00001 1.19 0.00002 6.25 0.0007
4 7.53 0.00001 1.09 0.00002 8.16 0.0009
5 3.70 0.00001 2.73 0.00006 5.61 0.0006
6 5.44 0.00001 0.97 0.00002 6.88 0.0007
7 5.06 0.00001 1.14 0.00002 6.62 0.0007
8 5.36 0.00001 1.98 0.00004 6.82 0.0007
9 5.42 0.00001 1.74 0.00004 6.87 0.0007
10 5.25 0.00001 1.68 0.00003 6.75 0.0007
11 5.89 0.00001 1.77 0.00004 7.17 0.0008
Tabela 6.2: Valores calculados para as velocidades de queda (vf ) e de subida (vr)
das gotas e seus respectivos raios (a), bem como o desvio padra˜o associado a cada
valor.
Tendo agora os dados referentes a velocidade de cada gota observada, e´ poss´ıvel
calcular sua carga, como demonstrado na fundamentac¸a˜o teo´rica, usando a equac¸a˜o
(4.15), onde sua distribuic¸a˜o esta explicitada na Tabela 6.3.
Gota q × 10−19(C) ∆q(C)
1 7.13 0.00000006
2 7.83 0.00000005
3 5.37 0.00000005
4 8.07 0.00000006
5 8.94 0.00000009
6 5.49 0.00000005
7 5.73 0.00000005
8 9.04 0.00000007
9 8.26 0.00000007
10 7.82 0.00000006
11 8.94 0.00000007
Tabela 6.3: Valor calculado para a carga de cada gota e o desvio padra˜o associado.
Agora, com a carga referente a cada gota, e´ poss´ıvel fazer um gra´fico de suas
cargas:
11
0 2 4 6 8 10 12
5,00E-019
5,50E-019
6,00E-019
6,50E-019
7,00E-019
7,50E-019
8,00E-019
8,50E-019
9,00E-019
9,50E-019
 Carga(C)
C
ar
ga
(C
)
gota
Figura 6.2: Distribuic¸a˜o das cargas das gotas.
Observando o gra´fico da Figura 6.2, temos que as cargas esta˜o divididas em 4
grupos, sendo o grupo 1 as gotas 3,6 e 7, o grupo 2 com somente a gota 1, o grupo 3
com as gotas 2,4,10 e 9, e por fim o grupo 4 com as gotas 5 e 8. Isto leva a crer que
o incremento de carga na˜o e´ cont´ınuo, mas sim discreto ou quantizado, sendo que
esta quantizac¸a˜o pode ser verificada calculando diferenc¸a entre as cargas me´dias de
cada grupo.
Grupo 1 (C) Grupo 2 (C) Grupo 3 (C) Grupo 4 (C)
5.76× 10−19 7.61× 10−19 8.45× 10−19 9.39× 10−19
Tabela 6.4: me´dia das cargas de cada grupo.
Dessa forma, temos um salto me´dio de 1.21 × 10−19 C, a qual seria a carga
fundamental do ele´tron, tendo um desvio de 24.47% em relac¸a˜o a` carga real, de
e = 1.6021765× 10−19 C [3].
E´ poss´ıvel ainda verificar a natureza quantitativa das cargas, observando que
devido a quantizac¸a˜o do ele´tron, a carga deve ser dar forma q = n.e, onde n e´ o
nu´mero de ele´trons extras. Logo, se dividirmos a carga de cada gota pela carga
fundamental encontrada, devemos achar uma reta, como e´ observado no gra´fico da
Figura 6.3.
12
5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
 Numero de elétrons
N
um
er
o 
de
 e
lé
tro
ns
Carga (C x 10E-19)
Figura 6.3: Gra´fico representandoa dependeˆncia da carga das gotas (C) em relac¸a˜o
ao nu´mero de ele´trons.
Logo, temos a comprovac¸a˜o de que a carga do ele´tron e´ quantizada, bem como
seu valor fundamental.
Tendo em vista as dificuldades do experimento, o valor encontrado de q = 1.21×
10−19 C foi muito satisfato´rio. A divergeˆncia do valor teo´rico e do valor experimental
se da´ pela imprecisa˜o e ma´ calibrac¸a˜o do equipamento.
Um fator que influenciou muito nas ana´lises dos resultados e´ que, na˜o foi poss´ıvel
coletar dados suficiente para uma melhor ana´lise estat´ıstica. Em seu experimento
original, Millikan observou centenas de gotas, e neste experimento foi poss´ıvel cole-
tar os dados de apenas 11 gotas.
13
7. Conclusa˜o
E´ poss´ıvel comprovar pelo experimento realizado que a carga ele´trica transpor-
tada por uma part´ıcula pode ser calculada medindo as forc¸as experimentadas pela
part´ıcula em um campo ele´trico conhecido. Na ana´lise dos dados obtidos pode-se
observar a quantizac¸a˜o da carga e determinar o valor da carga elementar, cujo
valor foi de 1.21 × 10−19 C, que e´ um valor razoavelmente pro´ximo do teo´rico
e = 1.6021765× 10−19C.
O desvio percentual de 24.47% do obtido para o teo´rico pode ser justificado pelos
erros associados ao reflexo humano na cronometragem do tempo de subida e descida
das gotas, ale´m de erros nos instrumentos de medida e principalmente na pouca
quantidade de gotas coletadas por ocorreˆncia do mau funcionamento do aparelho de
coleta.
Assim, embora o experimento seja relativamente fa´cil, e´ preciso tempo e pacieˆncia
para a coleta de um numero adequado de gotas e um certo grau de habilidade ex-
perimental para medir a carga de um ele´tron com mais precisa˜o.
14
Bibliografia
[1] Instruction Manual and Experiment Guide for de PASCO scientific Model AP-
8210A. PASCO, Roseville , 1987.
[2] Lima, C. R. A. To´picos de Laborato´rio de F´ısica Moderna, 2013.
[3] https://www.britannica.com/science/electron-charge, Pa´gina visitada em 5 de
Junho de 2017. Acesso a`s 15:10.
[4] http://www.fis.ufba.br/sites/fis.ufba.br/files/roteiro millikan-ufba.pdf,
Pa´gina visitada em 6 de Junho de 2017. Acesso a`s 16:53.
[5] https://www.if.ufrgs.br/historia/millikan.html, Pa´gina visitada em 6 de Junho
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15