EP02 GP 2013 2 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – EP02 – Tutor
Prezado(a) aluno(a),
o conteu´do desta semana voceˆ encontra nos seguinte cap´ıtulo do livro de Geometria Ba´sica - Mo´dulo
1 - Volume 1,(autores: Arnaut, R.G.T e Pesco, D.U.),
Aula 1: Conceitos Ba´sicos.
Exerc´ıcio 1: Encontre o aˆngulo  de um triaˆngulo ABC sabendo que as bissetrizes dos aˆngulos B
e C formam um aˆngulo de 132◦.
Soluc¸a˜o: Seja o ∆ABC tal que as bissetrizes dos aˆngulos B e C formam um aˆngulo de 132◦.
Denote D o encontro das bissetrizes, onde CB̂D = x e BĈD = y: A
C
B
132º 
D
x
y
Como BD e´ bissetriz, enta˜o DB̂A = x.
Como CD e´ bissetriz, enta˜o DĈA = y.
Do ∆DBC, temos 132◦ + x+ y = 180◦, enta˜o
x+ y = 180◦ − 132◦ = 48◦
Do ∆ABC, Â+2x+2y = 180◦ ⇒ Â = 180◦− 2(x+ y) = 180◦− 2 · 48◦ = 180◦− 96◦ = 84◦
Exerc´ıcio 2: Da figura sabe-se que
(I) MÂP = 80◦ e CB̂Q = 60◦,
(II) AM = AP
(III) BM = BQ
(IV) MQ =MP
Determine o aˆngulo β.
A
P
M
Q
B
C
β
Soluc¸a˜o: Considere a figura com os dados do enunciado,
A
P
M
Q
B
C
z
z
80º
y
y
�
x
x
60º
Geometria Plana – EP02 Tutor 2
Denote BM̂Q = x, MP̂Q = y e AP̂M = z:
Como AM = AP,BM = BQ e MQ =MP , temos:
∆AMP e´ iso´sceles de base PM , enta˜o AP̂M = AM̂P (1),
∆BMQ e´ iso´sceles de base MQ, enta˜o BM̂Q = BQ̂M (2),
∆MQP e´ iso´scelesde base PQ, enta˜o MP̂Q =MQ̂P (3),
De (1) temos, 80◦ + z + z = 180◦ ⇒ 2z = 180◦ − 80◦ = 100◦ ⇒ z = 50◦.
Do aˆngulo externo e (2) temos que 60◦ = x+ x ⇒ x = 30◦.
Temos ainda que x+ PM̂Q+ z = 180◦ ⇒ PM̂Q = 180◦ − 30◦ − 50◦ = 100◦.
De (3) temos que 100◦ + 2y = 180◦ ⇒ y = 40◦.
Em ∆PAC vem 80◦ + z + y + β = 180◦ ⇒ β = 180◦ − 80◦ − 50◦ − 40◦ = 10◦.
Exerc´ıcio 3: Mostre que se a bissetriz do aˆngulo externo em A e´ paralela ao lado BC , enta˜o o
triaˆngulo ABC e´ iso´sceles.
Soluc¸a˜o: Seja ∆ABC, considere a bissetriz AN , do aˆngulo externo em A, paralela ao lado BC.
A
CB
N
M
Enta˜o AĈB = CÂN (aˆngulos alternos internos) e MÂN = AB̂C. Mas MÂN = CÂN . Logo
AB̂C = AĈB. Portanto o triaˆngulo ABC e´ iso´sceles.
Exerc´ıcio 4: Na figura os segmentos AM e AN sa˜o iguais. Exprima o aˆngulo x em func¸a˜o dos
aˆngulos a e b, onde a > b.
b
A
B C D
M
N
x
a
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Geometria Plana – EP02 Tutor 3
Soluc¸a˜o: Seja a figura dado e tal que AM = AN :
b
y
A
B C D
M
N
x
a
y
∆AMN e´ iso´sceles, enta˜o AM̂N = AN̂M . Denote AM̂N = y. Temos que
 = 180◦ − a− b e  = 180◦ − 2y
Enta˜o
a+ b = 2y (1)
NO ∆CND, temos
y + 180◦ − a+ x = 180◦ ⇒ x = a− y (2)
De (1) vem
y =
a+ b
2
(3)
Substituindo (3) em (2), vem:
x = a− a+ b
2
=
2a− a− b
2
=
a− b
2
Da´ı x =
a− b
2
.
Obs: Podemos obter (2) tambe´m observando que a e´ aˆngulo externo do triaˆngulo NCD, ou seja,
a = x+ y, logo x = a− y. Note que AN̂M = CN̂D. Por que?
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