Geometria I EAD UNISUL

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Universidade do Sul de Santa Catarina
Palhoça
UnisulVirtual
2007
Geometria I
Disciplina na modalidade a distância
3ª edição revista e atualizada
geometria_I.indb 1geometria_I.indb 1 11/12/2007 16:40:0111/12/2007 16:40:01
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Relacionamento com o 
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Jenniff er Camargo
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Olavo Lajús
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Tecnologia
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3
Apresentação
Este livro didático corresponde à disciplina Geometria I.
O material foi elaborado, visando a uma aprendizagem 
autônoma. Aborda conteúdos especialmente selecionados e adota 
linguagem que facilite seu estudo a distância. 
Por falar em distância, isso não signifi ca que você estará sozinho/
a. Não se esqueça de que sua caminhada nesta disciplina também 
será acompanhada constantemente pelo Sistema Tutorial da 
UnisulVirtual. Entre em contato, sempre que sentir necessidade, 
seja por correio postal, fax, telefone, e-mail ou Ambiente Virtual 
de Aprendizagem. Nossa equipe terá o maior prazer em atendê-
lo/a, pois sua aprendizagem é nosso principal objetivo.
Bom estudo e sucesso!
Equipe UnisulVirtual. 
geometria_I.indb 3geometria_I.indb 3 11/12/2007 16:40:0611/12/2007 16:40:06
geometria_I.indb 4geometria_I.indb 4 11/12/2007 16:40:0611/12/2007 16:40:06
Kelen Regina Salles Silva
Christian Wagner
Palhoça
UnisulVirtual
2007
Design instrucional
Karla Leonora Dahse Nunes
3ª edição revista e atualizada
Geometria I
Livro didático
geometria_I.indb 5geometria_I.indb 5 11/12/2007 16:40:0611/12/2007 16:40:06
515.15
S58 Silva, Kelen Regina Salles 
 Geometria I : livro didático / Kelen Regina Salles Silva, Christian Wagner ; design 
 instrucional Karla Leonora Dahse Nunes, [Carolina Hoeller da Silva Boeing]. – 3. ed. rev. e 
 atual. – Palhoça : UnisulVirtual, 2007.
 227 p. : il. ; 28 cm.
 Inclui bibliografi a.
 ISBN 978-85-7817-037-0
 1. Cálculo. 2. Geometria. I. Wagner, Christian. II. Nunes, Karla Leonora Dahse. 
 III. Boeing, Carolina Hoeller da Silva. IV. Título.
Edição – Livro Didático
Professor Conteudista
Kelen Regina Salles Silva
Christian Wagner
Design Instrucional
Karla Leonora Dahse Nunes
Projeto Gráfi co e Capa
Equipe UnisulVirtual
Diagramação
Duarte Miguel Machado Neto
Fernando Roberto Dias Zimmermann
Ilustrações
Edison Valim
Revisão Ortográfi ca
Amaline Issa Mussi
Ficha catalográfi ca elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul
Copyright © UnisulVirtual 2007
Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição.
geometria_I.indb 6geometria_I.indb 6 11/12/2007 16:40:0611/12/2007 16:40:06
Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Palavras dos professores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
Plano de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
UNIDADE 1 – Representação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
UNIDADE 2 – Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
UNIDADE 3 – Teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
UNIDADE 4 – Áreas . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Para concluir o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 
Sobre os professores conteudistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Respostas e comentários das atividades de auto-avaliação . . . . . . . . . . . . 201
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Sumário
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Palavras dos professores
Neste texto, apresentamos o conteúdo da disciplina de 
Geometria I em conformidade com as defi nições do 
projeto pedagógico do curso. 
Pensamos que um livro de matemática deve ser acessível, 
coerente e informativo. Assim, escolhemos adotar 
diálogos informais introdutórios a cada unidade e seção, 
tendo como interlocutores as personagens George, 
um aluno igual a você, que deseja vencer no campo da 
matemática, e seus amigos, os matemáticos, Euclides, 
Pitágoras, Tales e Arquimedes. Através desses diálogos 
informais, você terá acesso a aspectos históricos da 
geometria, a pequenos lembretes, à formalização de 
alguns conceitos, ou, mesmo, a assuntos complexos. 
De outro lado, no desenvolvimento de cada unidade, 
você verá discorrer sobre a geometria com o rigor que a 
matemática exige, isto através de linguagem que colabore 
com o processo de ensino-aprendizagem. 
Em suma, o ensino, aqui, não resulta banalizado em 
nome da simplicidade. Tampouco foi sofi sticado às 
expensas de uma linguagem hermética, não-assimilável.
Motivamos o aluno, em muitas partes do livro, a buscar 
ferramentas computacionais para o estudo da geometria, 
entre eles o Cabri-Géomètre. Compareça!
Outra recomendação: não deixe de fazer os exercícios que 
lhe são propostos. Nós, autores e tutores, nos colocamos 
à disposição para atendê-lo da melhor maneira possível, 
e, para isso, estaremos interagindo por meio das 
ferramentas disponíveis no ambiente virtual do seu curso. 
geometria_I.indb 9geometria_I.indb 9 11/12/2007 16:40:0711/12/2007 16:40:07
Vamos nos socializar e construir o conhecimento juntos, esse é o 
caminho para o sucesso!
Vamos à luta!
E mãos à obra!
Prof. Christian Wagner, Msc
Profª. Kelen Regina Salles Silva, Msc
geometria_I.indb 10geometria_I.indb 10 11/12/2007 16:40:0711/12/2007 16:40:07
Plano de estudo
O plano de estudos visa a orientá-lo/a no 
desenvolvimento da Disciplina. Nele, você encontrará 
elementos que esclarecerão o contexto da Disciplina e 
sugerirão formas de organizar o seu tempo de estudos. 
O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual 
leva em conta instrumentos que se articulam e se 
complementam. Assim, a construção de competências 
se dá sobre a articulação de metodologias e por meio das 
diversas formas de ação/mediação.
São elementos desse processo:
o livro didático; 
o Ambiente Virtual de Aprendizagem - AVA; 
as atividades de avaliação (complementares, à 
distância e presenciais). 
Ementa da disciplina:
Representação axiomática da Geometria Plana. 
Elementos de Geometria plana aplicada em situações 
práticas. Construções geométricas. A geometria 
integrada aos diversos conteúdos específi cos de 
Matemática. Análise de ferramentas computacionais 
aplicáveis à geometria.
Carga horária:
60 horas – 4 créditos
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Objetivo(s):
Geral
Propiciar ao futuro educador, condições para que o mesmo 
trabalhe na sala de aula o ensino de Geometria dentro de uma 
abordagem atual.
Específi cos
Proporcionar ao aluno uma visão dos conteúdos da 
geometria plana, previstos nas Diretrizes Curriculares do 
Ensino fundamental e Médio.
Aprofundar conceitos da geometria plana, estudados no 
ensino fundamental e médio.
Adaptar estratégias e material didático para o ensino 
fundamental e médio.
Explorar as relações entre a Geometria e a Álgebra. 
Criar hábitos de dedução matemática. 
Desenvolver conceitos de geometria plana dentro do 
ambiente Cabri-géomètre.
Analisar conteúdos de geometria em livros-textos do 
ensino fundamental e médio.
Mostrar através de materiais didáticos a aplicação da 
geometria no dia-a-dia.
Conteúdo programático/objetivos 
Os objetivos de cada unidade defi nem o conjunto de 
conhecimentos que você deverá deter para o desenvolvimento de 
habilidades e competências necessárias à sua formação. Neste 
sentido, veja a seguir as unidades que compõem o Livro Didático 
desta Disciplina, bem como os seus respectivos objetivos. 
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Unidades de estudo: 4
Unidade 1 - Representação Axiomática da Geometria Plana
Conhecer alguns períodos da história da geometria. 
Identifi car os principais axiomas da geometria. 
Resolver problemas envolvendo segmentos e ângulos. 
Unidade 2 - Triângulos
Conhecer e classifi car triângulos. 
Identifi car triângulos retângulos e seus elementos. 
Compreender e Aplicar o Teorema de Pitágoras. 
Sintetizar relações trigonométricas num triangulo 
retângulo.
Identifi car triângulos congruentes, bem como o caso de 
congruência.
Conhecer os pontos notáveis e algumas conclusões. 
Unidade 3 – Teorema de Tales
Conhecer o axioma das paralelas. 
Sintetizar o Teorema de Tales, e conhecer algumas 
aplicações.
Aplicar os casos de semelhança de triângulos, quando 
necessário.
Compreender uma demonstração do Teorema de 
Pitágoras.
Aplicar as relações métricas no triângulo retângulo. 
Compreender o cálculo da altura das pirâmides. 
geometria_I.indb 13geometria_I.indb 13 11/12/2007 16:40:0711/12/2007 16:40:07
14
Unidade 4 – Áreas de Figuras Planas
Identifi car um polígono. 
Calcular a área das principais fi guras planas. 
Conhecer a diferença entre círculo e circunferência. 
geometria_I.indb 14geometria_I.indb 14 11/12/2007 16:40:0711/12/2007 16:40:07
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Agenda de atividades/ Cronograma 
Verifi que com atenção o AVA. Organize-se para acessar 
periodicamente o espaço da Disciplina. O sucesso nos 
seus estudos depende da priorização do tempo para a 
leitura; da realização de análises e sínteses do conteúdo; e 
da interação com os seus colegas e tutor. 
Não perca os prazos das atividades. Registre as datas no 
espaço a seguir, com base no cronograma da disciplina 
disponibilizado no AVA.
Use o quadro para agendar e programar as atividades 
relativas ao desenvolvimento da Disciplina.
Atividades
Avaliação a Distância
Avaliação Final (caso necessário)
Demais atividades (registro pessoal)
geometria_I.indb 15geometria_I.indb 15 11/12/2007 16:40:0711/12/2007 16:40:07
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UNIDADE 1
Representação Axiomática da 
Geometria Plana
Objetivos de aprendizagem
 Conhecer alguns períodos da história da geometria.
 Identifi car os principais axiomas da geometria.
 Resolver problemas envolvendo segmentos e ângulos.
Seções de estudo
Seção 1 Aspectos históricos e noção intuitiva
Seção 2 Axiomas de Incidência e Ordem
Seção 3 Axiomas sobre medição de segmentos
Seção 4 Axiomas sobre medição de ângulos
1
geometria_I.indb 17geometria_I.indb 17 11/12/2007 16:40:0711/12/2007 16:40:07
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de conversa
Nesta unidade, você terá contato com um pouco da história da 
geometria, sua evolução no tempo e a contribuição de alguns 
povos na sua contextualização. Verá também que a geometria, 
para ser construída, requer uma base sólida que se fundamenta 
em algumas noções intuitivas e também numa série de 
propriedades tidas como válidas, sem demonstração, os chamados 
axiomas ou postulados. Ao fi nal da unidade, pense e refl itacomo 
a geometria é importante no seu caminho e no seu dia-a-dia.
Procure analisar e discutir bastante as atividades propostas nesta 
unidade, para que todas as suas dúvidas sejam esclarecidas. 
Lembre-se, o sucesso no campo da matemática requer esforço.
Nesta imensa aventura, que é o estudo da geometria, você vai 
encontrar-se com vários personagens importantes da história da 
matemática. Neste primeiro capítulo, você conhecerá Euclides e 
um jovem que, como você, também está estudando geometria. 
Seu nome é George. Toda vez que um assunto importante 
requerer um pouco mais de cuidado, Euclides encontrará George 
em um sonho e o ajudará no aprendizado. George gosta de ler, 
estudar e, claro, de estar com a família. Ele não dispensa uma 
balada com os amigos. 
E então? Vamos conhecê-los e iniciar o estudo desta importante 
área da matemática?
Acompanhe, a seguir, o diálogo entre Euclides e George.
geometria_I.indb 18geometria_I.indb 18 11/12/2007 16:40:0811/12/2007 16:40:08
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Geometria I
Unidade 1
George: Estou tão preocupado com geometria que já estou até sonhando 
com ela.
Euclides: Calma, meu rapaz. 
George: Euclides? É você mesmo?
Euclides: Claro, quem mais poderia ser? 
George: Devo estar sonhando.
Euclides: E está, vim aqui para ajudá-lo. Que mal o afl ige?
George: A geometria. Estou preocupado, será que consigo entendê-la?
Euclides: Com certeza. Veja bem, quando você contempla um prédio, o 
que o faz estar em pé?
George: Ora, a sua base bem sólida.
Euclides: Então, para você estar intimamente conectado com a geometria, 
você tem de construir uma base sólida para ela.
George: E nisso você é craque, pois suas idéias de axiomas e postulados 
fi zeram com que a geometria fosse toda construída a partir deles.
Euclides: Então, meu jovem, parabéns, você já sabe por onde começar. 
Mãos a obra.
George: Obrigado, Euclides! Vou começar agora mesmo, ou melhor, assim 
que eu acordar.
Figura 1.1 - Teorema de Pitágoras na Babilônia?
geometria_I.indb 19geometria_I.indb 19 11/12/2007 16:40:0911/12/2007 16:40:09
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Universidade do Sul de Santa Catarina
SEÇÃO 1 – Aspectos históricos e noção intuitiva
Aspectos Históricos
Não se sabe ao certo quando a geometria teve início, mas sabe-
se que muitos povos da antiguidade já a utilizavam nas suas 
comunidades para muitos fi ns. Na Grécia antiga, por volta de 
300 a.C., era afi xada a seguinte frase nas portas das principais 
escolas:
Não entre nesta escola, se você não souber geometria.
Mas foi nos idos de 600 a.C. que aconteceram alguns dos grandes 
momentos no desenvolvimento da geometria. Pitágoras e Tales de 
Mileto deram os primeiros passos na sistematização 
dos conhecimentos geométricos. Naquela época, 
a geometria era puramente experimental, sem 
demonstrações e conceitos dedutivos.
Contudo é Euclides que, em 300 a.C., na Grécia, 
deu ordem lógica aos conhecimentos geométricos 
adquiridos por tantos povos ao longo de anos. Ele desenvolveu 
o raciocínio dedutivo, o qual diz que a geometria, por sua vez, 
pode ser desenvolvida a partir do conhecimento de apenas 
algumas idéias básicas - os chamados postulados ou axiomas. O 
seu grande trabalho foi a publicação de treze livros chamados 
de Elementos, nos quais apresenta todo o desenvolvimento da 
geometria até sua época. Sua contribuição foi tão espantosa, que a 
maioria das proposições existentes nos seus livros são adotadas até 
hoje, motivo pelo qual a geometria usada por nós é chamada de 
Geometria Euclidiana.
Curiosidades: Existem algumas geometrias que são 
chamadas de Não-Euclidianas. São geometrias que 
não obedecem às regras ditadas por Euclides. Essas 
geometrias foram responsáveis pelo desenvolvimento, 
por exemplo, da teoria da relatividade de Einstein. O 
seu surgimento ocorreu a partir da tentativa de provar 
o Axioma das Paralelas, que aparecerá na unidade III.
geometria_I.indb 20geometria_I.indb 20 11/12/2007 16:40:1011/12/2007 16:40:10
21
Geometria I
Unidade 1
Mas, afi nal, o que signifi ca a palavra Geometria?
Os agrimensores egípcios já usavam a geometria para medir 
terrenos e suas terras, o mesmo faziam os gregos e outros povos. 
Esta atividade de medir terras, que com o tempo transformou-se 
em ciência, recebeu o nome de:
A geometria, como se pode observar, é uma ciência de suma 
importância, inclusive para o desenvolvimento da humanidade. 
Deste modo, não é necessário buscar mais justifi cativas para 
estudá-la: basta enumerar suas bases e contemplar o que há de 
mais interessante na sua concepção.
Noção Intuitiva
Está lá, no diálogo entre Euclides e George, transcrito 
no início desta unidade:
Quando contemplamos um edifício, sabemos que, 
para se sustentar, deve ter uma base sólida. Partindo 
desta idéia, pode-se imaginar a geometria como 
um imenso edifício e, portanto, exigindo uma base 
onde possa ser erguida. Diferente de muitas áreas 
da matemática, a geometria é construída através de conceitos 
primitivos ou intuitivos (ponto, reta e plano) e, também, através 
de postulados e axiomas.
Axioma ou postulado é uma proposição admitida 
como verdadeira, sem demonstração.
geometria_I.indb 21geometria_I.indb 21 11/12/2007 16:40:1011/12/2007 16:40:10
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Como você viu anteriormente, foi o geômetra grego Euclides, em 
seu livro Elementos, o primeiro a desenvolver um sistema de idéias 
em geometria, no qual utiliza algumas afi rmações simples, como 
verdadeiras (axiomas), para demonstrar outras mais complexas. 
Este sistema de idéias é chamado de dedutivo e inspirou muitas 
outras áreas, entre elas, a física, estudada por Newton.
Observe a letra da música Aquarela, do cantor e compositor 
Toquinho:
Numa folha qualquer eu desenho um sol amarelo 
E com cinco ou seis retas é fácil fazer um castelo 
Corro o lápis em torno da mão e me dou uma luva 
E se faço chover com dois riscos tenho um guarda-chuva 
Se um pinguinho de tinta cai num pedacinho azul do papel 
Num instante imagino uma linda gaivota a voar no céu 
Vai voando, contornando a imensa curva, Norte-Sul 
Vou com ela viajando Havaí, Pequim ou Istambul 
Pinto um barco à vela, branco navegando 
É tanto céu e mar num beijo azul 
Entre as nuvens vem surgindo um lindo avião, rosa e grená 
Tudo em volta colorindo com suas luzes a piscar 
Basta imaginar e ele está partindo, sereno indo 
E se a gente quiser, ele vai pousar.
Esta letra de música expressa bem o que a geometria representa, 
ou seja, que ela está presente no nosso cotidiano. Note que 
apareceram muitas noções geométricas como retas, riscos e curva. 
E algumas palavras usadas na composição musical sugerem uma 
noção geométrica, por exemplo, um pingo de tinta nos dá a noção 
de um ponto. O mar, por exemplo, parece um imenso plano, até 
se perder na linha do horizonte. Com isso quer-se salientar que a 
geometria está presente a sua volta e que, principalmente, as três 
primeiras idéias intuitivas são:
geometria_I.indb 22geometria_I.indb 22 11/12/2007 16:40:1011/12/2007 16:40:10
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Geometria I
Unidade 1
Ponto: Não tem dimensão, não possui comprimento, largura ou 
espessura.
Representa-se um ponto por letras latinas maiúsculas: Ponto A, 
Ponto B, Ponto P e etc.
 
Por exemplo, as marcas que mostram as cidades em um mapa nos 
dão idéia de ponto:
Figura 1.2 – Mapa de SC.
Reta: A reta tem somente uma dimensão, isto é, comprimento 
infi nito. Não possui largura nem espessura. No papel, 
representamos apenas “uma parte” da reta.
Representa-se uma reta por letras latinas minúsculas: Reta a, 
Reta b, Reta r, e etc.
geometria_I.indb 23geometria_I.indb 23 11/12/2007 16:40:1111/12/2007 16:40:11
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Por exemplo, um barbante esticado nos dá a noção de reta:
Plano: O plano tem duas dimensões: comprimento e largura. 
Não possui espessura. Assim como a reta, para representarmos o 
plano no papel, desenhamos apenas “uma parte” dele.
Representa-se um plano por letras gregas minúsculas: Plano α,Plano β,...
Por exemplo, uma quadra de tênis nos dá noção de plano:
Figura 1.3 – Noção de plano.
Você sabia que as letras gregas são muito utilizadas 
em Matemática? Veja, a seguir, as mais empregadas:
• α (alfa), β (beta), δ (delta), ε (epsilon), φ (fi ), 
γ (gama), η( ni), ϕ (psi), λ (lãmbida), µ (mi), π ( pi), θ 
(teta), ρ (rô), σ ( sigma), κ (capa).
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Geometria I
Unidade 1
SEÇÃO 2 – Axiomas de Incidência e Ordem
E George adormece outra vez.
George: Euclides, você está aí?
Euclides: Oi meu jovem! E então, tudo entendido?
George: Até aqui, tudo ótimo! É fascinante saber que idéias tão simples, 
ou seja, o ponto, a reta e o plano são tão fundamentais para o desenrolar 
dessa fascinante disciplina, a geometria.
Euclides: E estas idéias são apenas o começo.
George: Estou começando a entender. Estas idéias intuitivas devem estar 
todas relacionadas, não é? É aí que você entra?
Euclides: Exatamente.
George: São os axiomas, não são?
Euclides: Correto, novamente. Apenas considerei algumas idéias 
verdadeiras e, a partir daí, foi possível provar outras mais complexas.
George: A geometria começa a se organizar.
Euclides: E o mais interessante, são idéias simples e de fácil entendimento.
George: Euclides, não leve a mal, mas preciso acordar, este nosso papo me 
deixou empolgado para conhecer os tais axiomas. Um abraço, e qualquer 
coisa eu o chamo de novo.
Euclides: Até breve, meu jovem. E sucesso!
Você deve estar se perguntando qual a importância 
destes axiomas para a geometria?
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Pelo diálogo anterior, você percebeu que os mesmos são a base 
de toda a geometria. Idéias simples, tidas como verdadeiras, 
para provar outras mais complexas. Com os axiomas e algumas 
defi nições, vamos relacionar as noções de ponto, reta e plano, 
ordenar pontos, medir segmentos e ângulos, entender a idéia de 
ângulo para, mais adiante, estarmos aptos a entrar no estudo da 
geometria plana.
Axiomas de Incidência
Axioma I: Qualquer que seja a reta, existem pontos que 
pertencem à reta e pontos que não pertencem à reta.
r
A
B
C
Figura 1.4 – Representação do axioma I.
Assim, dizemos que A ∈ r e B ∈ r, ou seja, A e B estão em r, ou a 
reta r passa por A e B.
Dizemos também que C ∉ r, ou seja, C não está em r, ou r não passa 
por C.
O símbolo ∈ representa pertence. Já o símbolo ∉ 
representa não pertence. No caso A ∈ r, lê-se “A 
pertence a r”, e, no caso C ∉ r, lê-se “C não pertence a r”.
As retas e os pontos se relacionam da seguinte maneira:
 Pontos colineares são pontos que pertencem a uma 
mesma reta.
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Geometria I
Unidade 1
Veja a fi gura a seguir:
Dizemos que o ponto M, N e P são colineares.
Já os pontos M, N, P, A e B não são colineares.
Quantos pontos são necessários para obter uma única 
reta?
Tente responder a esta pergunta! Você pode utilizar o 
software Cabri-géomètre nessa tentativa.
A resposta é dois pontos. Na verdade, este é o axioma II. 
Axioma II: Por dois pontos distintos passa uma única reta.
A
B
Figura 1.5 – Representação do Axioma II.
Observe que, neste caso, tomamos os pontos A e B para mostrar 
que por eles passa uma única reta. Mas não se esqueça de que a 
reta é infi nita. Para denotarmos essa reta, utilizamos .
Você já ouviu falar de alguns termos relacionados a 
retas, como, por exemplo, semi-retas e segmento de 
reta? Você sabe a diferença entre eles?
O software Cabri-
géomètre foi apresentado 
na disciplina Informática 
Aplicada à Educação 
Matemática
geometria_I.indb 27geometria_I.indb 27 11/12/2007 16:40:1511/12/2007 16:40:15
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Universidade do Sul de Santa Catarina
A seguir, mostraremos algumas defi nições muito importantes e 
que são peças chaves na geometria:
Incidência: Dizemos que uma reta r, incide sobre o ponto A se 
A ∩ r = A
O símbolo ∩ representa intersecção. No caso A ∩ r = A, 
lê-se:
“A intersecção de A com r é igual a A ”.
Interseção entre duas retas: Dizemos que duas retas se 
interceptam em um ponto, quando este ponto pertencer a cada 
uma delas. 
rP sP Psr
r
s
P
 
rP sP sr
r
s
P
Semi-reta: Seja r uma reta e A e B pontos sobre r. A semi-reta 
com extremidade em A, contendo o ponto B é a parte da reta r, 
com extremidade em A, que contém o ponto B. Representamos a 
semi-reta de origem em A e que contém o ponto B por .
Segmento de Reta: O conjunto constituído por dois pontos A e B 
e por todos os pontos que se encontram entre A e B é chamado de 
segmento de reta, neste caso segmento . Os pontos A e B são 
chamados de extremos ou extremidades do segmento. 
geometria_I.indb 28geometria_I.indb 28 11/12/2007 16:40:1611/12/2007 16:40:16
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Geometria I
Unidade 1
Esse segmento pode ser denotado por ou . Só existe 
diferença entre as notações, quando estivermos falando de 
segmentos orientados.
Observe que, ao representarmos uma semi-reta, 
utilizamos uma seta sobre as letras que representam 
os pontos dessa reta; já, na representação de 
segmento, utilizamos um traço.
Agora que já conhecemos segmentos, vamos mostrar uma 
das fi guras construída por três pontos não colineares e pelos 
segmentos de reta determinados por estes três pontos.
A mais simples das fi guras geométricas usando 
segmentos de reta é o triângulo.
 
Você sabia que os triângulos são fi guras geométricas 
muito utilizadas no nosso dia-a-dia?
Olhe para os lados e tente identifi car algum triângulo. 
Encontrou?
Na unidade II, estaremos trabalhando com essa fi gura tão útil 
e vamos aprender que, desde os tempos mais antigos, ela foi 
fundamental para o desenvolvimento da geometria. 
Agora, vamos continuar falando de ponto e reta.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Você já pensou quantas retas passam por um único 
ponto? 
Pegue uma folha, um lápis e uma régua e tente 
descobrir. 
O que você descobriu?
Pois é! Infi nitas retas - e este é mais um axioma da geometria.
Axioma III: Por um ponto passam infi nitas retas.
A
Figura 1.6 – Representação do Axioma III.
Com base nos três axiomas analisados, chamados axiomas de 
incidência, já podemos provar alguns resultados mais complexos.
Teoremas são resultados mais complexos, que 
podem ser demonstrados a partir de outros 
resultados.
Teorema 1.1: Duas retas distintas, ou não se interceptam, ou se 
interceptam em um único ponto.
geometria_I.indb 30geometria_I.indb 30 11/12/2007 16:40:1711/12/2007 16:40:17
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Geometria I
Unidade 1
E George cai em sono profundo:
Euclides: Você por aqui, meu jovem?
George: Problemas, Euclides, problemas. Preciso demonstrar um 
resultado, usando apenas os axiomas, você pode me ajudar?
Euclides: Claro meu rapaz. Vamos mostrar isto por absurdo. 
George: Como fazemos isso?
Euclides: Qual a hipótese do seu resultado?
George: Hipótese? O que é isso?
Euclides: É o que é dado no teorema como verdadeiro.
George: Ah bom! O teorema dá como hipótese que as retas são distintas.
Euclides: E a tese?
George: Tese? Também não sei o que signifi ca.
Euclides: Tese é o que você quer demonstrar.
George: Só isso? A tese do problema é que devemos mostrar que as retas 
não se interceptam, ou se interceptam em um ponto.
Euclides: Este teorema pode ser demonstrado por absurdo. Nesse caso 
devemos negar a tese, ou seja, suponha que elas se interceptam em dois 
pontos e chega-se a uma contradição da hipótese. 
George: Humm... Boa idéia. Vamos ver.
Euclides: Mas lembre-se de que nem todos os teoremas e proposições são 
demonstrados desta forma.
George: Ok! Vou lembrar disso.
geometria_I.indb 31geometria_I.indb 31 11/12/2007 16:40:1711/12/2007 16:40:17
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Demonstração (por absurdo):Hipótese: Dadas duas retas distintas r e s.
Tese: As retas r e s não se interceptam, ou se interceptam em um 
ponto. 
Dadas duas retas r e s, suponha que r e s se interceptam em dois 
pontos A e B nesse caso. Pelo axioma II r e s são coincidentes o 
que é absurdo já que por hipótese as retas são distintas. Logo, as 
retas se interceptam em no máximo um ponto.
Axiomas de Ordem
Para dar uma ordenação nos pontos que pertencem a uma reta, é 
necessário mais dois axiomas.
Axioma IV: Dados três pontos colineares, um e apenas um deles 
localiza-se entre os outros dois.
Figura 1.7 – Representação do axioma IV.
Na fi gura 1.7: C está entre A e B.
Quantos pontos existem entre dois pontos de uma 
reta?
Se você observar bem, responderá:
- Infi nitos! 
Isto parece simples, não é mesmo? O axioma V nos garante esta 
certeza.
geometria_I.indb 32geometria_I.indb 32 11/12/2007 16:40:1911/12/2007 16:40:19
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Geometria I
Unidade 1
Axioma V: Dados dois pontos A e B, sempre existem um ponto 
C entre A e B e um ponto D tal que B está entre A e D.
Figura 1.8 – Representação do axioma V.
Observação: Como conseqüência do axioma V, tem-se que 
existem infi nitos pontos entre dois pontos e que uma semi-reta 
 contém infi nitos pontos além daqueles entre A e B.
Para fi nalizar o estudo desta seção, vamos defi nir as idéias de 
segmentos colineares, consecutivos e adjacentes.
Segmentos consecutivos:
Dois segmentos são consecutivos, se a extremidade 
de um deles é também extremidade do outro (uma 
extremidade de um coincide com uma extremidade 
do outro).
 
Figura 1.9: Segmentos consecutivos
Segmentos colineares:
Dois segmentos de reta são colineares, se estão numa 
mesma reta.
Figura 1.10: Segmentos Colineares
geometria_I.indb 33geometria_I.indb 33 11/12/2007 16:40:1911/12/2007 16:40:19
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Observe que na fi gura 1.10:
 e , apesar de serem colineares, não são 
consecutivos (pois a extremidade do segmento não é 
extremidade do segmento ). 
 e são consecutivos e colineares.
 e são consecutivos e colineares (pois o ponto N é 
extremidade dos segmentos e ).
Segmentos adjacentes: Dois segmentos 
consecutivos e colineares são adjacentes, se possuem 
em comum somente uma extremidade (não têm 
pontos internos comuns).
Figura 1.11: 
Segmentos Adjacentes
Dada a fi gura abaixo, determine o que se pede:
Segmentos consecutivos.a. 
Segmentos colineares.b. 
Segmentos adjacentes.c. 
As semi-retas determinadas pelos d. 
pontos A, B e C.
geometria_I.indb 34geometria_I.indb 34 11/12/2007 16:40:1911/12/2007 16:40:19
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Geometria I
Unidade 1
Solução:
Os segmentos a. e são consecutivos, assim como os 
segmentos e , pois ambos têm a extremidade do 
ponto B em comum.
Os segmentos b. , e são colineares, pois 
pertencem à mesma reta.
Os segmentos adjacentes são c. e .
As semi-retas com origem no ponto A são denotadas por e 
. As Semi-retas com origem no ponto B são denotadas por 
e . E fi nalmente, as Semi-retas com origem no ponto C são 
 e .
Agora você já pode começar a fazer algumas das atividades de 
auto-avaliação que estão no fi nal da unidade, tente do 1o ao 9o.
SEÇÃO 3 – Axiomas sobre medição de segmentos
Euclides: Olá George, como vão os estudos?
George: Beleza, mas o que manda?
Euclides: Tenho uma pergunta a lhe fazer. Você sabe “Como” e “Quando” 
foi criada a unidade metro? 
George: Não. Poxa, na verdade eu nunca pensei nisso.
geometria_I.indb 35geometria_I.indb 35 11/12/2007 16:40:2011/12/2007 16:40:20
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Euclides: Então vou lhe contar. Em 1790, alguns matemáticos importantes 
da época, entre eles Lagrange, Laplace e Monge, integraram uma 
comissão criada pela Assembléia Constituinte da França, com o objetivo 
de criar uma unidade de medida e comprimento. Depois disso, por volta 
de 1795, estabeleceu-se o metro como unidade de medida padrão de 
comprimento defi nido como “a décima milionésima parte do quadrante 
de um meridiano terrestre”.
George: Nossa, que legal, mas como eles fi zeram isso?
Euclides: Agora é com você, tente descobrir.
George: Euclides, não me deixe com essa curiosidade. Euclidessss.
Tente você também desvendar o desafi o proposto por 
Euclides.
Agora que você já conhece a defi nição de segmento de reta, 
está apto a medir estes segmentos. Para isso, temos mais alguns 
axiomas que nos ajudam em uma etapa de construção.
Você já deve ter usado ou usa o mais conhecido instrumento de 
medição: a régua graduada.
Figura 1.12 – Régua 
Graduada.
Dizemos que dois conjuntos A e B têm uma 
correspondência biunívoca, se todo elemento de A 
está relacionado com um elemento de B e vice – versa.
Axioma VI: Cada ponto de uma reta tem 
correspondência com um número real e vice-versa, ou 
seja, existe uma correspondência biunívoca entre os pontos 
de uma reta e os números reais. Fazendo a diferença 
destes números, medimos a distância entre os pontos 
correspondentes.
Como cada ponto corresponde a um número real e os 
números reais são infi nitos, observa-se intuitivamente que 
a reta também é infi nita.
geometria_I.indb 36geometria_I.indb 36 11/12/2007 16:40:2211/12/2007 16:40:22
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Geometria I
Unidade 1
O número correspondente a um ponto da reta é 
denominado coordenada daquele ponto.
Assim, cada ponto da reta real é associado com um número real.
Considere o segmento de reta .
Pelo axioma VI, A está relacionado ao número real a, e B está 
relacionado ao número real b, o comprimento do segmento é 
dado por
As barras | | indicam que o número AB é sempre 
positivo.
Observe que, quando falamos de comprimento do segmento 
, a notação é AB. Ou seja, para representar a medida de 
qualquer segmento, não utilizamos nem barra, nem seta 
sobre a notação. Mas atenção, essa é uma convenção adotada 
nesse material, você pode encontrar outras notações em livros 
diferentes.
geometria_I.indb 37geometria_I.indb 37 11/12/2007 16:40:2211/12/2007 16:40:22
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Universidade do Sul de Santa Catarina
1) Suponha que um segmento da reta real, 
onde o ponto A tem coordenada -5 e o ponto B tem 
coordenada 3. Qual o comprimento deste segmento?
Solução: 
2) Dada a fi gura abaixo, determine MN, sabendo que 
AB = 27:
Pela fi gura:
Como 
Assim
Note, pelo exemplo, que podemos ter outros segmentos com 
extremidades em outros pontos, mas com o mesmo comprimento. 
São segmentos diferentes, mas com a mesma medida, neste caso, 
estamos falando de segmentos congruentes.
A seguir, explanaremos a idéia de segmentos congruentes que, 
de maneira geral, se confunde com a idéia de igualdade entre 
segmentos.
Congruência entre Segmentos
A palavra congruência é usada na geometria, quando dois 
objetos geométricos do mesmo tipo são idênticos. Por objetos, 
podemos entender segmentos, ângulos, triângulos, entre outros.
O símbolo que representa congruência é . 
No caso , lê-se “o segmento é 
congruente ao segmento ”.
geometria_I.indb 38geometria_I.indb 38 11/12/2007 16:40:2311/12/2007 16:40:23
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Geometria I
Unidade 1
Podemos então pensar que congruência é um termo primitivo, 
utilizado em axiomas, para representar a relação entre dois 
elementos do mesmo tipo.
Você sabe qual a diferença entre congruência e 
igualdade?
Parecem ter o mesmo signifi cado, não é mesmo? 
Observe que duas fi guras são iguais, quando o conjunto de 
pontos que as formam são os mesmos. 
Duas fi guras são congruentes, quando se “encaixam” exatamente 
umas sobre as outras, apesar de os pontos que as defi nem serem 
diferentes.
Dois segmentos, são ditos congruentes se têm o 
mesmo comprimento.
Figura 1.13: Segmentos Congruentes
Os Sinais |, ||, ||| sobre os segmentos representam 
que aqueles que possuem o mesmo sinal tem 
comprimentos iguais.
Na fi gura 1.13 os segmentos , e são congruentes, 
denotamos por ≡ ≡ .
geometria_I.indb 39geometria_I.indb 39 11/12/2007 16:40:2411/12/2007 16:40:24
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Universidade do Sul deSanta Catarina
Note que os segmentos são formados por pontos diferentes, 
mas, se transportados um sobre os outros, se “encaixam” 
perfeitamente, por isso dizemos que todos eles são congruentes.
Os segmentos e não são congruentes a nenhum 
dos outros, pois o comprimento de cada um é diferente do 
comprimento dos outros.
A seguir, você irá acompanhar as propriedades da congruência de 
segmentos. 
Propriedades são verdades provadas, que valem 
sempre.
Propriedades: A congruência de segmentos satisfaz as seguintes 
propriedades:
1) Refl exiva: Todo segmento é congruente a si mesmo: ≡ .
2) Simétrica: Se ≡ , então ≡ .
3) Transitiva: se ≡ e ≡ , então ≡ .
Axioma VII: Se um ponto C está entre A e B então,
Figura 1.14 – Representação do axioma VII.
O próximo resultado nos fala de um ponto muito importante, 
o ponto médio. Mas este requer demonstração um pouco mais 
extensa.
geometria_I.indb 40geometria_I.indb 40 11/12/2007 16:40:2511/12/2007 16:40:25
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Geometria I
Unidade 1
Num outro sono de George, Euclides aparece:
George: Amigo, preciso de você.
Euclides: Estou aqui para ajudar, o que houve?
George: Vou começar a estudar um assunto da geometria que é o ponto 
médio, fi quei assustado.
Euclides: Por que?
George: Percebi que a demonstração é grande e deve ser confusa.
Euclides: Caro George, percebo que você nem leu a demonstração e já 
acha que não conseguirá.
George: Verdade, só porque é extensa, já entrei em pânico.
Euclides: Extensa é, mas é apenas um conjunto de idéias que são 
deduzidas a partir de outras mais simples.
George: Verdade, os axiomas mais uma vez.
Euclides: Isso mesmo. Então fi que mais tranqüilo, e não se desespere 
antes da hora.
George: Obrigado!
Dado um segmento de reta , se conseguirmos um 
ponto C deste segmento tal que, AC = CB, dizemos 
que C é o ponto médio do segmento .
Figura 1.15 – Representação de C como Ponto Médio do segmento .
geometria_I.indb 41geometria_I.indb 41 11/12/2007 16:40:2511/12/2007 16:40:25
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Observe que o ponto médio divide o segmento em dois 
segmentos congruentes e .
Teorema 1.2: Um segmento tem exatamente um ponto 
médio.
Demonstração: Vamos dividir essa demonstração em duas 
partes: a existência e a unicidade do ponto médio.
(Existência: Um segmento tem um ponto médio)
Considere um segmento de reta , com coordenadas 
dos extremos dados por a e b.
Considere também um terceiro número c e denote-o por:
O axioma IV nos garante que existe um ponto C da reta que tem 
exatamente esta coordenada.
A idéia é mostrar que este ponto C está entre A e B, e, além 
disso, AC = CB. 
Calculando o comprimento do segmento e .
Ou seja, AC = CB. Mas como o número está entre a e b, 
segue que o ponto C está entre A e B, pois é coordenada de 
C. Pela defi nição de ponto médio, segue que C é o ponto médio 
de . Com isto provamos a existência de ponto médio cuja 
coordenada é dada por: .
geometria_I.indb 42geometria_I.indb 42 11/12/2007 16:40:2711/12/2007 16:40:27
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Geometria I
Unidade 1
(Unicidade: Este ponto é único)
Para isto, suponha a existência de um outro ponto médio D do 
segmento , então AD = DB Considere a, b e d coordenadas 
dos pontos A, B e D respectivamente. Portanto, para provar que 
C = D, basta provar que as coordenadas destes pontos são iguais, 
isto é, d = c = .
Assim, se a < d < b, então a – d = d – b, pois d é coordenada do ponto 
médio D, e, resolvendo a igualdade, tem-se que d = .
E, se b < d < a, então, b – d = d – a, ou seja, d = .
Logo se conclui que d = c e, pelo axioma IV, segue que D = C, 
isto é, o ponto médio é único.
1) Sejam A, B e C pontos de uma reta. Faça um 
desenho representando-os, sabendo que AB = 3 cm, 
AC = 2 cm e BC = 5 cm.
Solução: O maior segmento é o segmento , logo A 
está entre B e C. Então:
2) Se, num segmento , o ponto A tem coordenada 
4 e o ponto B tem coordenada 8, qual a coordenada 
do ponto médio M ?
Solução: Denotamos a coordenada do ponto M, por m, 
então:
 
Propriedades da distância entre dois pontos:
a) Para quaisquer dois pontos A e B, tem-se . Além disso, 
AB = 0, se, e somente se, A = B.
geometria_I.indb 43geometria_I.indb 43 11/12/2007 16:40:2711/12/2007 16:40:27
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Universidade do Sul de Santa Catarina
O axioma VI nos garante que a dist ância é sempre positiva, já 
que a medida do segmento é dada pelo módulo da diferença das 
coordenadas.
b) Para quaisquer dois pontos A e B, tem-se:
O axioma VI também nos garante ist o, pois:
SEÇÃO 4 – Axiomas sobre medição de ângulos
George está no sono dos Deuses, depois de mais um dia de estudos, e 
encontra, mais uma vez, Euclides.
George: Euclides, que prazer em vê-lo de novo!
Euclides: O prazer é todo meu. Venho acompanhando o seu desempenho 
no estudo da geometria e confesso que estou gostando muito.
George: Ah, obrigado! Mas realmente o assunto é bem empolgante.
Euclides: E, então, qual o próximo passo?
George: Já sei medir segmentos e encontrar a coordenada do ponto 
médio. Preciso de algo mais?
Euclides: Com certeza. Você, que é bem moderno, já deve ter ouvido falar 
de GPS, de latitude, longitude.
geometria_I.indb 44geometria_I.indb 44 11/12/2007 16:40:2711/12/2007 16:40:27
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Geometria I
Unidade 1
George: Com certeza, e o que isso tem a ver com geometria?
Euclides: Ora, quando você fala de longitude e latitude, como você mede 
isto?
George: Usando Graus.
Euclides: Exatamente, muitas coisas importantes da sua vida dependem 
deste tipo de medição, que é o grau. Supõe-se que o homem começou 
a medir ângulos por volta de 2800 a.C., com o objetivo de auxiliar 
na astronomia. Veja que interessante: quando um astrônomo queria 
saber a que distância a lua estava acima do horizonte, ele esticava o 
braço e calculava quantos dedos comportavam o espaço entre a lua e 
o horizonte, e assim utilizava essa medida para seus estudos. Pesquise 
mais sobre isso e veja suas inúmeras aplicações ao longo dos anos, para o 
desenvolvimento da humanidade.
George: Ah, então o grau tem tudo a ver com geometria também?
Euclides: E como! Quando falamos de segmentos de mesma origem, 
podemos falar de grau.
George: Interessante, mais um conceito tão simples e tão importante. Já vi 
que tenho trabalho para amanhã. Um abraço!
Euclides: Até breve.
A região do plano, compreendida entre duas semi-
retas com origem comum, é chamada de ângulo.
Figura 1.16 – Esboço do ângulo AÔB.
Existem algumas maneiras de representar um ângulo. 
De acordo com a fi gura 1.16, podemos designá-lo 
como ângulo Ô, ou AÔB, ou BÔA, ou apenas ângulo α. 
A origem O é chamada de vértice e as semi-retas r e s 
são os lados do ângulo.
geometria_I.indb 45geometria_I.indb 45 11/12/2007 16:40:2811/12/2007 16:40:28
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Você acompanhará, a seguir, a defi nição de alguns conceitos 
fundamentais para a continuação do nosso estudo.
Dois ângulos são consecutivos, se um lado de um 
deles é também lado do outro.
Dois ângulos consecutivos são adjacentes, se não 
têm pontos internos comuns.
 
Observe que, para que dois ângulos sejam adjacentes, eles devem 
ser consecutivos.
Tente esboçar alguns exemplos de ângulos 
consecutivos e adjacentes.
Um ângulo formado por duas semi-retas distintas, opostas, 
pertencentes à mesma reta, é chamado de ângulo raso.
Figura 1.17 - Ângulo raso.
Os ângulos são medidos em graus e usa-se um 
transferidor para medi-los.
geometria_I.indb 46geometria_I.indb 46 11/12/2007 16:40:2911/12/2007 16:40:29
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Geometria I
Unidade 1
Figura 1.18 - Transferidor.
Observação: Tome uma circunferência de raio qualquer e 
a divida em 360 partes iguais, obtendo assim 360 arcos de 
circunferência. Agora tome duas semi-retas com origem no 
centro da circunferência, sendo que uma delas tem extremidade 
no início de um destes arcos e a outra tem extremidade no fi m 
do mesmo arco. Esta região entre as semi-retas forma um ângulo 
cuja medida chamaremos de grau.Representa-se, usando-se o 
símbolo °.
 Existem muitos objetos no cotidiano que dão a 
noção de ângulo como, por exemplo, a região entre 
os ponteiros do relógio, os raios de uma roda de 
bicicleta, o braço e o antebraço, as hélices de um 
helicóptero. E, se você olhar à sua volta, atentamente, 
encontrará muitos outros.
Axioma VIII: Todo ângulo tem uma medida em graus 
maior ou igual a zero. A medida de um ângulo é zero se ele 
é constituído por duas retas coincidentes. A medida de um 
ângulo é 180o (ângulo raso) se é formado entre duas semi-retas 
opostas.
Figura 1.19 – Ângulos Zero e Raso.
geometria_I.indb 47geometria_I.indb 47 11/12/2007 16:40:2911/12/2007 16:40:29
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Axioma IX: É possível colocar, em correspondência biunívoca, 
os números entre 0o e 180o e as semi-retas de mesma origem 
que dividem um dado Semi-plano, de modo que a diferença entre 
estes números seja a medida do ângulo formado pelas semi-retas 
correspondentes.
Figura 1.20 – Representação do 
axioma IX.
Assim, a medida do ângulo AÔB, denotada por m(AÔB), pode 
ser calculada como:
m(AÔB) =|bº - aº|
Exemplo: Considere o diagrama abaixo:
Note que m(AÔC) = 60º e m(BÔC) = 120º. Então, m(AÔB) = 
|120º - 60º| = 60º 
Dois ângulos são ditos suplementares, se a soma de 
suas medidas é 180°.
geometria_I.indb 48geometria_I.indb 48 11/12/2007 16:40:3111/12/2007 16:40:31
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Geometria I
Unidade 1
Figura 1.21 – Os ângulos AÔB e AÔC são suplementares.
 
Exemplos: Os ângulos de medida 30° e 150° são suplementares, 
pois a soma de suas medidas é 180°. Já os ângulos de medidas 30° 
e 60° não são suplementares, pois a soma de suas medidas não é 
de 180°.
Duas retas distintas que se interceptam em um único 
ponto são chamadas de concorrentes.
Figura 1.22 – Retas concorrentes - r s = {A}
Duas retas concorrentes, formam-se quatro 
ângulos. Dois destes ângulos são opostos pelo 
vértice, quando os lados de um dos ângulos são 
prolongamentos dos lados do outro.
Figura 1.23 – Ângulos opostos pelo vértice.
geometria_I.indb 49geometria_I.indb 49 11/12/2007 16:40:3211/12/2007 16:40:32
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Assim, os ângulos AÔB e DÔC são opostos pelo vértice, da 
mesma forma como DÔA e CÔB também são opostos pelo 
vértice.
Proposição: Ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida. 
De acordo com a fi gura 1.23, AÔB e DÔC são opostos pelo 
vértice e possuem o mesmo suplemento AÔD. Logo:
m(AÔB)+m(AÔD) = 180º (1)
m(DÔC)+m(AÔD) = 180º (2)
Da equação (1) temos que m(AÔD) = 180º - m(AÔB). Agora 
substitua m(AÔD) encontrado na equação (2). Portanto:
m(DÔC)+(180º - m(AÔB) = 180º, ou seja, m(AÔB) = m(DÔC).
Um ângulo cuja medida é 90° é chamado de ângulo 
reto.
Figura 1.24 – Ângulo reto.
Vamos utilizar o símbolo para representar um 
ângulo reto. 
Exemplo: Mostre que o suplemento de um ângulo reto é um 
ângulo reto.
geometria_I.indb 50geometria_I.indb 50 11/12/2007 16:40:3211/12/2007 16:40:32
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Geometria I
Unidade 1
Solução: Denote por x a medida do suplemento do ângulo reto. 
Como o ângulo reto mede 90°, então temos:
Se x é um ângulo qualquer, então 180º - x é o seu suplemento.
Dois ângulos cuja soma é 90° são chamados de 
complementares. Assim, se x é um ângulo qualquer, 
então 90º- x é o seu complemento.
Exemplos:
1) Se x, a medida de um ângulo qualquer, escreva o dobro do seu 
suplemento e, em seguida, a metade do seu suplemento.
Solução: Se x é um ângulo qualquer, então 180º - x é o seu suplemento, 
logo o dobro do seu suplemento é dado por 2.(180º - x). Da mesma 
maneira a metade do seu suplemento é dado por 
2) Qual o complemento do ângulo que mede 16° e o suplemento 
do ângulo que mede 55º?
Solução: Se x =16º é o ângulo dado, então seu complemento é 
obtido por:
Já o suplemento de y = 55° é dado por:
3) Encontre as medidas de dois ângulos que sejam complementares 
e em que a medida do menor seja 40° inferior à do maior.
Solução: Sejam a e b as medidas dos ângulos procurados e 
suponha que a é a medida do ângulo maior.
Como a e b são complementares, a + b = 90º 
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Como o ângulo menor mede 40° a menos que o maior, então b = a - 40º
Portanto temos: 
Substituindo a segunda equação na primeira, temos:
Assim, o ângulo b mede b = a - 40o = 65o - 40o = 25o.
Os ângulos procurados medem 65o e 25o.
Veja na tabela a seguir, a medida dos ângulos e seus nomes. 
Considere x, um ângulo que mede entre 0° e 180°.
Medida dos Ângulos Nomes
x = 90º Ângulo reto
x < 90º Ângulo agudo
x > 90º Ângulo obtuso
x = 180º Ângulo raso
Suponha duas retas concorrentes. Se a medida de um 
dos quatro ângulos for de 90°, então todos os outros 
também medem 90o. Neste caso dizemos que as retas 
são perpendiculares.
Teorema 1.13: Por um ponto dado de uma reta, num plano, 
passa uma única perpendicular a esta reta.
Que tal você tentar demonstrar este teorema? 
Use simplesmente o axioma IX e a idéia de 
correspondência biunívoca.Veja a atividade de auto-
avaliação número 25.
geometria_I.indb 52geometria_I.indb 52 11/12/2007 16:40:3311/12/2007 16:40:33
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Geometria I
Unidade 1
Da mesma forma que falamos sobre congruência de segmentos, 
podemos falar, também, sobre congruência de ângulos.
Congruência de Ângulos
Dois ângulos são ditos congruentes, se eles têm a 
mesma medida.
Figura 1.25: Ângulos Congruentes.
Propriedades: A congruência entre ângulos satisfaz as seguintes 
propriedades:
4) Refl exiva: todo ângulo é congruente a si mesmo: AÔB ≡ AÔB
5) Simétrica: se AÔB ≡ CÔD, então CÔD ≡ AÔB.
6) Transitiva: se AÔB ≡ CÔD e CÔD ≡ EÔF, então AÔB ≡ EÔF
Dado um ângulo AÔB, uma semi-reta é chamada 
de bissetriz do ângulo, se m(AÔC) ≡ m(CÔB).
Figura 1.26: Ângulo AÔB e sua bissetriz .
Ou seja, a bissetriz de um ângulo é uma semi-reta interna ao 
ângulo, com origem no vértice do ângulo e que o divide em dois 
ângulos congruentes.
geometria_I.indb 53geometria_I.indb 53 11/12/2007 16:40:3311/12/2007 16:40:33
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo: São dados dois ângulos agudos adjacentes, cujas 
bissetrizes formam um ângulo de 60o. Sabendo que a medida de 
um deles é 42o, determine a medida do outro. 
Solução: Sejam 2x e 2y as medidas dos dois ângulos assim pela 
fi gura:
Como 
Logo, os ângulos medem 42o e 78o.
George: Euclides, tudo bem com você?
Euclides: Com certeza, meu rapaz. E então, o que achou de todo o estudo?
George: Fascinante. Idéias simples, usadas para demonstrar resultados 
importantes e, o mais legal, demonstrações não tão difíceis de entender. 
Euclides: Que bom que você gostou, fi co feliz em ter podido ajudá-lo 
nesse maravilhoso mundo da geometria. Mas lembre-se, isto é apenas o 
começo. Apenas o iniciei nos estudos.
George: Eu sei, Euclides, tenho muito que aprender ainda, esta é apenas a 
ponta do iceberg. 
Euclides: Acredito que a partir de agora nos encontraremos com menos 
freqüência, pois você já consegue andar com suas próprias pernas. Mas, 
como dizem vocês jovens modernos, foi maneiro te ajudar. Um grande 
abraço!
geometria_I.indb 54geometria_I.indb 54 11/12/2007 16:40:3411/12/2007 16:40:34
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Geometria I
Unidade 1
George: Falou, Euclides, obrigado e até mais.
E George se despede de seu mais ‘antigo professor’ e vai em busca de 
novos conceitos geométricos.
Síntese
Você estudou nesta unidade uma série de propriedades da 
geometria: algumas delas são aceitas sem demonstração, os 
axiomas; outras necessitam dos axiomas para serem verifi cadas. 
O mais interessante – você deve ter notado – é que as idéias 
são simples e a partir delas conseguimos a chegar a resultados 
importantes. O que fi zemos neste capítulo I foi dar a base para 
a construção da geometria e fi zemos isso com a ajuda da pessoa 
que conferiu ordem lógica à geometria: Euclides. Agora você estáapto a estudar outros aspectos da geometria, como congruência e 
semelhança de triângulos, trigonometria e área de fi guras planas 
conhecidas. E então, preparado? Mais assuntos interessantes o 
aguardam nos próximos capítulos. Mãos à obra.
Antes de passar ao próximo capítulo, esclareça todas as suas 
dúvidas com o seu professor tutor e bom trabalho.
Saiba mais
Se você gosta de História da Matemática e fi cou interessado 
nos axiomas de Euclides, sugerimos a leitura de Teorema do 
Papagaio, um delicioso texto que mistura fi cção com a realidade 
da história da matemática.
GUEDJ, Denis. Teorema do papagaio. São Paulo: Companhia 
das Letras, 1999.
geometria_I.indb 55geometria_I.indb 55 11/12/2007 16:40:3511/12/2007 16:40:35
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Atividades de auto-avaliação
1) Responda às perguntas, usando a idéia de ponto, reta ou plano.
 a) Que idéia dá a marca de pênalti de um campo de futebol?
 b) Que idéia dá a página de um livro?
 c) Que idéia dá o barbante de sustentação de uma pipa?
2) Considere os seguintes elementos: O furo feito por uma agulha, a 
superfície de uma piscina, as linhas divisórias de uma quadra de 
futebol, uma corda esticada, a cabeça de um prego, uma folha de 
papel, quais nos dão a idéia de:
 a) Ponto? 
 b) Reta?
 c) Plano?
geometria_I.indb 56geometria_I.indb 56 11/12/2007 16:40:3511/12/2007 16:40:35
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Geometria I
Unidade 1
3) Imagine-se num estádio de futebol, contemplando o campo e suas 
linhas divisórias. Identifi que, no campo, algo que dê a idéia de ponto, 
reta e plano.
4) Encontre a sua volta pelo menos três objetos nos que dão idéia de 
ponto, reta e plano.
geometria_I.indb 57geometria_I.indb 57 11/12/2007 16:40:3511/12/2007 16:40:35
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Universidade do Sul de Santa Catarina
5) Assinale V (verdadeiro) ou F (falso).
A. ( ) Três pontos distintos são sempre colineares.
B. ( ) Quatro pontos todos distintos determinam duas retas.
C. ( ) Por quatro pontos todos distintos pode passar uma só reta.
D. ( ) Quaisquer que sejam os pontos A e B, se A é distinto de B, então 
existe uma reta r tal que A ∈ r e B ∈ r.
E. ( ) Quaisquer que sejam os pontos P e Q e as retas r e s, se P é distinto 
de Q, e P e Q pertencem às retas r e s, então r = s.
F. ( ) Qualquer que seja uma reta r, existem dois pontos A e B tais que A 
é distinto de B, com A ∈ r e B ∈ r.
G. ( ) Se A = B, existe uma reta r tal que A, B ∈ r.
H. ( ) Duas retas distintas que têm um ponto em comum são 
concorrentes.
I. ( ) Duas retas concorrentes têm um ponto em comum.
J. ( ) Se duas retas distintas têm um ponto em comum, então elas 
possuem um único ponto comum.
6) Utilizando os axiomas de 1 a 5, discuta as seguintes questões:
a) Existem retas que não se interceptam.
b) Num segmento de reta existem infi nitos pontos.
geometria_I.indb 58geometria_I.indb 58 11/12/2007 16:40:3511/12/2007 16:40:35
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Geometria I
Unidade 1
7) Quantas retas passam por quatro pontos todos distintos, sendo três 
colineares?
8) Três pontos distintos de uma reta, quantos segmentos distintos podem 
determinar?
9) Quantos segmentos há que passam por A e B distintos? Quantos há 
com extremidades em A e B.
10) Sejam A, B e C pontos de uma reta. Faça um desenho representando-
os, sabendo que C está ente A e B e que AB = 5 e AC = 2
geometria_I.indb 59geometria_I.indb 59 11/12/2007 16:40:3611/12/2007 16:40:36
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Universidade do Sul de Santa Catarina
11) Sejam A
1
 e A
2
 pontos de coordenadas 1 e 2. Dê a coordenada do ponto 
médio A
3
 do segmento A
1
A
2
. Dê a coordenada do ponto médio A
4
 do 
segmento A
3
A
2
. Dê a coordenada do ponto médio A
5 
do segmento A
3
A
4
.
12) Desenhe uma reta e sobre ela marque dois pontos A e B. Suponha que 
a coordenada do ponto A seja zero e a do ponto B seja um. Marque 
agora pontos cujas coordenadas são 1, , , , 2, 0,-1, -3, -5, , .
13) Se o segmento mede x + 3 e o segmento mede 2x - 5 e M é o 
ponto médio do segmento , determine AB.
geometria_I.indb 60geometria_I.indb 60 11/12/2007 16:40:3611/12/2007 16:40:36
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Geometria I
Unidade 1
14) Usando uma folha de papel, lápis e régua, desenhe duas retas 
perpendiculares.
15) Dois ângulos são complementares e o suplemento de um deles mede 
tanto quanto o suplemento do segundo, mais 30°. Quanto medem 
estes dois ângulos?
16) Assinale V (verdadeiro) ou F (falso) nas alternativas abaixo.
A. ( ) A região compreendida entre duas semi-retas de mesma origem 
recebe o nome de ângulo.
B. ( ) Um ângulo raso mede 90°.
C. ( ) Um ângulo formado por duas semi-retas distintas pertencentes a 
uma mesma reta é um ângulo raso.
D. ( ) O aparelho usado para medir ângulos recebe o nome de régua.
E. ( ) Duas retas concorrentes e perpendiculares formam um ângulo de 
90°.
F. ( ) O ângulo agudo é maior que 90° e o ângulo obtuso é menor que 
90°.
G. ( ) Dois ângulos cuja soma é de 180° recebem o nome de 
suplementares.
H. ( ) 30° e 120° são ângulos suplementares.
I. ( ) Se α é um ângulo qualquer, então o seu suplementar mede 180° - a.
J. ( ) Dois ângulos opostos pelo vértice são iguais.
geometria_I.indb 61geometria_I.indb 61 11/12/2007 16:40:3611/12/2007 16:40:36
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Universidade do Sul de Santa Catarina
17) Demonstre que, se um ângulo e seu suplemento têm a mesma 
medida, então o ângulo é reto.
18) Demonstre que o suplemento de um ângulo agudo é sempre obtuso. 
Lembre-se de que você deve mostrar que o ângulo procurado é maior 
que 90°
19) Dado um ângulo de medida x, encontre:
a) o triplo do seu suplemento;
b) a sétima parte do complemento;
c) o complemento de sua terça parte.
geometria_I.indb 62geometria_I.indb 62 11/12/2007 16:40:3611/12/2007 16:40:36
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Geometria I
Unidade 1
20) Encontre dois ângulos que sejam complementares e em que a medida 
do maior seja quatro vezes a do menor.
21) Encontre dois ângulos que são suplementares e em que a medida do 
menor seja a metade da medida do maior.
22) Encontre dois ângulos suplementares cuja medida do maior é 20° 
inferior ao triplo do menor.
geometria_I.indb 63geometria_I.indb 63 11/12/2007 16:40:3611/12/2007 16:40:36
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Universidade do Sul de Santa Catarina
23) Suponha que dois ângulos α e β de duas retas que interceptam 
uma terceira são iguais e que α + β = 180º. Conclua que as retas são 
perpendiculares. Faça desenho para auxiliar nas suas conclusões.
24) Classifi que as sentenças a seguir em V (verdadeiro) ou F (falso), e 
justifi que:
A. ( ) se dois segmentos são consecutivos, então eles são colineares;
B. ( ) se dois segmentos são colineares, então eles são consecutivos;
C. ( ) se dois segmentos são adjacentes, então eles são colineares;
D. ( ) se dois segmentos são colineares, então eles são adjacentes;
E. ( ) se dois segmentos são adjacentes, então eles são consecutivos;
F. ( ) se dois segmentos são consecutivos, então eles são adjacentes;
Utilize o espaço abaixo para as justifi cativas:
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Geometria I
Unidade 1
25. Demonstre o teorema 1.3: Por qualquer ponto de uma reta passa uma 
única perpendicular a esta reta.
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UNIDADE 2
Triângulos
Objetivos de aprendizagem
 Conhecer e classifi car triângulos.
 Identifi car triângulos retângulos e seus elementos.
 Compreender e Aplicar o Teorema de Pitágoras.
 Sintetizar relações trigonométricas num triangulo 
retângulo.
 Identifi car triângulos congruentes, bem como o caso de 
congruência.
 Conhecer os pontos notáveis e algumas conclusões.
Seções de estudo
Seção 1 Defi nição e classifi cação de triângulos
Seção 2 Teorema de Pitágoras
Seção 3 Relações trigonométricas no triângulo 
retângulo
Seção 4 Congruência de triângulosSeção 5 Pontos Notáveis de um triângulo
2
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de conversa
Euclides: Olá, meu rapaz, estou orgulhoso de você.
George: Que bom Euclides, fi co feliz por você reconhecer o meu esforço. 
Euclides: Não é somente reconhecimento, é merecimento.
George: É, acho que me saí bem na Unidade 1. Sabe que entendi 
muitas coisas sobre as quais tinha dúvidas? Que bom ter tido você me 
acompanhando.
Euclides: Ótimo, como você se mostrou curioso e com vontade de 
aprender, vou apresentá-lo a um novo amigo.
George: Um novo amigo? Mas quem?
Euclides: Para falar de triângulos, só poderia ser Pitágoras.
George: Arrasou, hein, cara!
Euclides: É, realmente Pitágoras é um dos nomes mais conhecidos, não 
apenas na geometria, mas na matemática. Ele nasceu em Samos – Grécia, 
pelos anos 582 a.C., viajou bastante e, ao ir para a Itália, fundou a Escola 
de Crotona. Também conhecida como escola dos Pitagóricos, ensinava 
fi losofi a, matemática, música e astronomia. Veja o princípio que a regia: ‘A 
essência de todas as coisas é o número’. 
George: E o tão famoso Teorema de Pitágoras?
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Geometria I
Unidade 2
Euclides: Pois é, se observarmos bem, o Teorema de Pitágoras está 
associado a uma relação numérica de fundamental importância na 
Matemática moderna. Observe sua afi rmação: “o quadrado da hipotenusa 
é igual à soma dos quadrados dos catetos”. Somente relações numéricas, 
percebeu? Alguns historiadores dizem que o Teorema de Pitágoras já era 
muito utilizado antes de Pitágoras, claro que nem tinha esse nome. E ele 
foi nomeado assim, pois foi Pitágoras quem fez a primeira demonstração 
desse teorema.
George: E o que você quis dizer sobre o número ser a essência de todas as 
coisas?
Euclides: Os Pitagóricos estudaram os sons e mostraram que a música 
e a matemática têm muito em comum. Descobriram que a altura de um 
som tem relação com o comprimento da corda que, ao vibrar, o produz. 
Ao longo de seus estudos, notaram que uma corda de determinado 
comprimento daria uma nota. Reduzida a ¾ do seu comprimento, daria 
uma nota uma quinta acima. Reduzida à metade de seu comprimento, 
daria uma nota uma oitava acima. Assim os números 12, 8 e 6, segundo 
Pitágoras, estariam em “progressão harmônica”, sendo 8 a média 
harmônica de 12 e 6. Com isso desenvolveu a idéia de que o próprio 
universo estivesse organizado sobre os números e as relações entre eles.
George: Tudo isso é muito interessante, quando vou conhecê-lo? 
Euclides: Em breve, aguarde.
Nesta unidade, você vai conhecer informações fundamentais da 
geometria dos triângulos. Ao longo das seções, poderá observar 
que muitos conceitos que utilizamos intuitivamente possuem 
uma base sólida dentro da geometria. Além de estudar triângulos 
retângulos e suas aplicações, você conhecerá o Teorema de 
Pitágoras e poderá observar que ele constitui uma ferramenta 
útil, tanto para a geometria dos triângulos como para o nosso 
dia-a-dia.
Figura 2.1. O método da paralaxe aplicado à medida Terra-Lua. 
Por José Roberto V. Costa.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
SEÇÃO 1 - Defi nição e classifi cação de triângulos
Na seção anterior, o triângulo foi apresentado como a mais 
simples das fi guras geométricas, formado por três segmentos de 
reta. Talvez esse seja o motivo de ser a fi gura geométrica mais 
utilizada na geometria antiga. A História conta que muitos 
problemas foram solucionados utilizando-se triângulos: a 
extensão de terras, a altura de construções e cálculo de distâncias 
são exemplos da sua utilidade. 
Veja, a seguir, um exemplo de como os gregos faziam o cálculo 
para encontrar a distância de um barco até a costa. Observe a 
fi gura:
Figura 2.2. Esboço da forma de medir distância entre um barco e a costa. 
(Fonte: Dicionário Enciclopédico Conhecer - Abril Cultural)
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71
Geometria I
Unidade 2
Eram necessários dois observadores: um se colocava na costa, 
de maneira que pudesse ver o barco sob um ângulo de 90o 
com relação à sua posição e o outro fi cava na mesma linha do 
primeiro, mas observando o barco sob um ângulo de 45o. Em 
seguida, utilizavam o teorema de Pitágoras, ou seja, medindo a 
distância entre eles, os catetos eram iguais.
Para começarmos nosso estudo sobre essa fi gura tão importante, 
vamos defi ni-la com muito cuidado. 
 Chama-se triângulo ABC a fi gura geométrica 
formada pela reunião dos três segmentos , e 
, onde os pontos A, B e C não são colineares.
Figura 2.3 - Triângulo ABC.
Notação: Triângulo ABC ou ABC 
Para trabalharmos com triângulos, temos de conhecer alguns 
elementos fundamentais:
Vértices: os pontos A, B e C são vértices do triângulo;
Ângulos: os ângulos internos do triângulo são BÂC ou  , ˆABC 
ou B̂ , ˆACB ou Ĉ ;
Lados: os lados do triângulo são os segmentos ( de medida c), 
( de medida b) e (de medida a); o lado é dito oposto ao 
ângulo  , o lado oposto ao ângulo B̂ e o lado oposto ao 
ângulo Ĉ .
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Perímetro: a soma dos lados de um triângulo é chamada 
de perímetro, então o perímetro do triângulo acima é: 
 AB BC CA+ + ;
Lado Adjacente: um lado adjacente a dois ângulos é o lado que 
une os vértices desses dois ângulos. No triângulo ABC, o lado 
 é adjacente aos ângulos B̂ e  , o lado é adjacente aos 
ângulos Ĉ e B̂ e o lado é adjacente aos ângulos  e Ĉ .
 
Os triângulos podem ser classifi cados de acordo com 
os comprimentos de seus lados ou das medidas de seus 
ângulos. Veja como:
Classifi cação de triângulos quanto aos lados:
Eqüilátero : o triângulo eqüilátero tem os três lados 
congruentes. Assim, no triângulo ABC da fi gura 2.4, 
temos a = b = c.
As letras minúsculas a, b e c representam, 
respectivamente, os comprimentos dos 
lados opostos aos vértices A,B e C, por isso 
utilizamos o sinal de = (igual) e não o de ≡ 
(congruência).
Isósceles : o triângulo isósceles tem pelo menos dois lados 
congruentes. Assim, no triângulo ABC da fi gura 2.5, 
temos a = c. 
Neste caso o lado é chamado do base do 
triângulo isósceles.
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Geometria I
Unidade 2
Escaleno : o triângulo escaleno não tem 
lados congruentes. Assim, no triângulo 
ABC da fi gura 2.6, temos a ≠ b ≠ c.
O símbolo ≠ signifi ca “é diferente de”. No caso a ≠ 
b ≠ c, lê se “a é diferente de b e b é diferente de c”.
Um triângulo eqüilátero é também um 
triângulo isósceles?
Sim, pois, se um triângulo tem os três lados congruentes, dois 
dos seus lados são congruentes, o que basta para que ele seja 
classifi cado também como isósceles.
Classifi cação de triângulos quanto aos ângulos:
Retângulo : todo triângulo retângulo tem 
um ângulo reto.
Assim, no triângulo ABC da fi gura 2.7, o ângulo 
A é o ângulo reto (m ( Â )= 90o).
Acutângulo : o triângulo acutângulo tem 
os três ângulos agudos. 
Assim, no triângulo DEF da fi gura 2.8, as 
medidas dos ângulos ˆDEF , ˆEFD , ˆEDF são 
menores que 90o.
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Obtusângulo : o triângulo obtusângulo tem um 
ângulo obtuso. 
Assim, no triângulo JKH da fi gura 2.9, a medida do 
ângulo ˆJHK é maior que 90o.
Exemplo: Um triângulo isósceles pode ser classifi cado segundo 
seus ângulos, veja os exemplos a seguir.
SEÇÃO 2 – Teorema de Pitágoras
Pitágoras: Olá, George, tenho ouvido falar em você.
George: Olá, você deve ser o grande Pitágoras.
Pitágoras: Isso mesmo, meu caro, mas por que grande?
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George: Você desenvolveu um dos teoremas mais famosos da 
matemática.
Pitágoras: Desenvolvi não, eu apenas provei um resultado que já era 
conhecido pelos Babilônios 1000 anos antes do meu nascimento. Mas, sem 
dúvida, esse teorema é muito útil, além de famoso, e vem sendo aplicado 
por muitos séculos em diversas áreas.
George: Eu acho interessante isto de o teorema de Pitágoras ser utilizado 
por pessoas que a gente nem imagina. Eu tenho um amigo que é artista 
naval, o Rodolpho; ele utiliza o Teorema de Pitágoras como referência para 
defi nir escalas nos seus projetos de maquetes de embarcações. Ele diz 
que aprendeu o teorema quando criança, e mesmo quando esquece seu 
enunciado, sabe utilizá-lo no seu trabalho. 
Pitágoras: Na verdade, a versatilidade desse teorema o torna inesquecível, 
e quando aprendemos um conteúdo de verdade, não esquecemos jamais. 
George: Eu fi co surpreso ao ver crianças conseguindo utilizar o Teorema 
de Pitágoras.
Pitágoras: Mostrar a importância de conceitos para nossos jovens é uma 
das tarefas fundamentais para o crescimento da humanidade. Sem falar 
que as crianças são nosso futuro, e, como eu sempre digo, eduque-as e 
não será preciso punir os homens. 
George: Estou vendo que você realmente é um sábio.
Pitágoras: Na verdade, sempre procurei viver conforme alguns valores e, 
entre eles, este: “Pensem o que quiserem de ti, faze aquilo que te parece 
justo”. 
George: Isso é bom.
Nesta seção, vamos apresentar os elementos dos triângulos 
retângulos e enunciar o Teorema de Pitágoras. 
Seja o Triângulo ABC da fi gura 2.10:
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Figura 2.10: Triângulo Retângulo reto em  .
Dado um triângulo ABC retângulo, defi nimos:
Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto;
Catetos: são os lados que formam o ângulo reto.
No triângulo da fi gura 2.10: Hipotenusa , catetos 
 e .
Observe que a hipotenusa é sempre maior que 
qualquer um dos catetos.
Classifi cação de Triângulos Retângulos
Como qualquer triângulo, podemos classifi car 
os triângulos retângulos em relação aos seus 
lados da seguinte forma:
Triângulo Retângulo Isósceles 
O triângulo retângulo isósceles possui os dois 
catetos iguais , na fi gura 2.11: b = c e m( Â )= 
90o .
Triângulo Retângulo Escaleno 
O triângulo retângulo escaleno possui todos 
os lados com medidas diferentes, na fi gura 
2.12: a ≠ b ≠ c.
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Teorema 2.1 – (Teorema de Pitágoras): Se ABC é um triângulo 
retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma 
dos quadrados das medidas dos catetos. 
Do triângulo ABC da fi gura 2.13, o Teorema garante que: 
2 2 2a b c= +
Figura 2.13: Triângulo Retângulo ABC reto em A com 
hipotenusa a e catetos b e c.
Pesquisas históricas mostram que esse teorema já era 
conhecido pelos Babilônios por volta de 1500 a.C., e 
que os chineses o conheciam talvez em torno de 1100 
a.C. Pitágoras foi o primeiro matemático a demonstrá-
lo. Mas existem inúmeras outras demonstrações, 
vamos apresentar algumas no decorrer das seguintes 
unidades, quando já tivermos estudado outros 
conceitos necessários para cada demonstração.
Exemplos: 1) Utilize o Teorema de Pitágoras para verifi car se os 
triângulos abaixo são retângulos:
 
Solução: Se o triângulo for retângulo, ele deve satisfazer o 
teorema de Pitágoras. O maior lado deverá ser a hipotenusa e os 
demais os catetos.
No triângulo I, tomemos a= 13, b = 7 e c = 6. 
Pelo teorema: 132 = 62 + 72, ou seja, 169 = 36 + 49. 
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Como essa igualdade não é verdadeira, pois 36 + 49 = 
85,
podemos garantir que o triângulo I não é retângulo.
Já no triângulo II, tomemos a = 10, b= 6 e c = 8.
Assim, 102 = 62 + 82, logo 100 = 36 + 64. 
Como 36 + 64 = 100, concluímos que o triângulo II 
é retângulo.
2) Determine o valor de x, no triângulo retângulo abaixo.
 Solução: Pelo Teorema: x2 = 72 + 122
 x2 = 49 + 144 
 x2 = 193 então 193 13,9x = ≅
3) Suponha uma escada de 6 metros de comprimento encostada 
em um muro de 5 metros de altura. Se a extremidade da escada 
encosta na parte de cima do muro, determine a distância da 
escada ao muro, no chão.
Solução: Podemos utilizar o Teorema de Pitágoras para resolver 
este problema, admitindo que o comprimento da escada é a 
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Unidade 2
hipotenusa, um dos catetos é a altura do muro e o outro é a 
distância que estamos procurando, assim:
 62 = 5 2 + d2
 36 = 25 + d2 
 36 - 25 = d 2 
 d2 = 11 então 11 3,3d = ≅
Pense em algum problema do seu dia-a-dia que pode 
ser resolvido, utilizando o teorema de Pitágoras.
SEÇÃO 3 - Relações trigonométricas do triângulo 
retângulo
George: Pitágoras, me ajude, por favor.
Pitágoras: Pois não rapaz, diga qual seu problema.
George: Eu tenho uma dúvida: a gente no colégio estuda Trigonometria, 
e quase ninguém gosta. Minha curiosidade é saber o que afi nal é 
Trigonometria e onde ela é utilizada.
Pitágoras: Meu caro, acredito que algumas pessoas não gostem de 
Trigonometria, por não conhecer bem esse assunto. Vou falar um pouco 
sobre o desenvolvimento da Trigonometria.
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Bem, a palavra trigonometria vem do grego: tri - três, gono - ângulo, 
metrien - medida, ou seja, medida de triângulos. 
George: Mas o que é medida de triângulos?
Pitágoras: É a relação entre os lados e ângulos de triângulos e serviu 
à navegação, à agrimensura e à astronomia. Por volta de 300 a.C., a 
Trigonometria estava diretamente relacionada à Astronomia. E somente 
Leonhard Euler, um famoso matemático do século XVIII, desvinculou a 
Trigonometria da Astronomia e a transformou em um ramo independente 
da matemática. Hoje, a Trigonometria é usada em várias áreas das ciências, 
como a Engenharia, a Física, a Astronomia, a Navegação, entre outras.
George: Nossa, deu para conhecer um pouco da história, mas não entendi 
como a Trigonometria pode ser tão utilizada. 
Pitágoras: Bem, nesta seção você verá a Trigonometria em triângulos 
retângulos. Mas, desde o início, a Trigonometria era estudada também em 
triângulos esféricos, e essa Trigonometria muito utilizada nessas áreas.
George: Triângulos esféricos? O que é isso? 
Pitágoras: São triângulos formados por uma secção da superfície de uma 
esfera. Mas depois você estuda isso. Agora vamos estudar a Trigonometria 
Plana, em triângulos retângulos, ok?
George: Tô nessa!
Os elementos fundamentais do triângulo são os seus lados e seus 
ângulos. Esses elementos podem ser utilizados para calcular 
outros elementos do triângulo. Vamos ver essas relações a seguir. 
Antes vamos re-nomear os catetos desse triângulo.
Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição 
em relação ao ângulo sob análise. Se estivermos operando com 
o ângulo B, então o lado oposto indicado por b é o cateto oposto 
ao ângulo B; e o lado adjacente ao ângulo B, indicado por c, é o 
cateto adjacente ao ângulo B.
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Figura 2.14: Triângulo Retângulo ABC, reto em A, com ângulo 
interno ˆABC igual a α.
Num triângulo retângulo, podemos estabelecer razões entre as 
medidas dos seus lados: catetos e hipotenusa. Consideremos o 
triângulo retângulo ABC reto em  e um ângulo agudo B de 
medida α (Figura 2.14).
As funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas 
dos lados do triângulo retângulo e seus ângulos. As três funções 
básicas mais importantes